第4讲 椭 圆
一、选择题
1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 2
9＝1
C.x 2
81＋y 2
45
＝1 D.x 2
81＋y 2
36
＝1
解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1
332a ，∴c ＝3，
∴b 2
＝a 2
－c 2
＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 2
72＝1.
答案 A
2．椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，
|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )． A.14
B.5
5
C.1
2
D.5－2
解析 因为A ，B 为左、右顶点，F 1，F 2为左、右焦点，所以|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c .
又因为|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列， 所以(a －c )(a ＋c )＝4c 2
，即a 2
＝5c 2
. 所以离心率e ＝c a ＝5
5
，故选B. 答案 B
3．已知椭圆x 2＋my 2
＝1的离心率e ∈? ????12，1，则实数m 的取值范围是 ( )．
A.? ??
??0，34
B.? ??
??43，＋∞ C.? ???
?0，34∪? ??
??43，＋∞
D.? ????34，1∪? ??
??1，43
解析 椭圆标准方程为x 2
＋y 21m
＝1.当m >1时，e 2＝1－1m ∈? ????14，1，解得m >4
3
；当0 e 2＝1 m －11m ＝1－m ∈? ????14，1，解得0 ??43，＋∞. 答案 C 4．设F 1、F 2分别是椭圆x 2 4＋y 2 ＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1 ⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.26 3 解析 由题意知，点P 即为圆x 2 ＋y 2 ＝3与椭圆x 2 4 ＋y 2 ＝1在第一象限的交点，解方程组 ????? x 2＋y 2 ＝3，x 24 ＋y 2 ＝1，得点P 的横坐标为26 3 . 答案 D 5．椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为 直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A. 3－12 B.5－1 2 C.1＋54 D.3＋14 解析 根据已知a 2 ＋b 2 ＋a 2 ＝(a ＋c )2 ，即c 2 ＋ac －a 2 ＝0，即e 2 ＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－1 2. 答案 B 6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32 .双曲线x 2－y 2 ＝1的渐近线与椭圆C 有 四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ( )． A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 2 16＋y 2 4 ＝1 D. x 2 20＋y 2 5 ＝1 解析 因为椭圆的离心率为 32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14 a 2，即a 2 ＝4b 2 .双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 2 4b 2＝ 1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2 ＝45b 2，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆 C 的交点坐标为? ????25b ，25b ，所以四边形的面积为4325b 325b ＝165b 2＝16，所以b 2 ＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 2 5＝1. 答案 D 二、填空题 7．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 2 16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM | ＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________． 解析 由题意知|OM |＝1 2|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝235－6＝4. 答案 4 8．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a 6＋y 2 a 5 ＝1的离心率为________． 解析 由题意，得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16>a 5，∴e ＝16－134＝3 4 . 答案 34 9. 椭圆3 122 2y x + =1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的_____倍． 解析 不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23 ，|PF 1|=2 147，因此|PF 1|=7|PF 2|. 答案 7 10.如图，∠OFB ＝π 6 ，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴， OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为________． 解析 设标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)， 由题可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ，∴|BF |＝a ， ∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝3 3 ，a ＝2b . S △ABF ＝122|AF |2|BO |＝12 (a －c )2b ＝1 2 (2b －3b )b ＝2－3， ∴b 2 ＝2，∴b ＝2，∴a ＝22，∴椭圆的方程为x 28＋y 2 2＝1. 答案 x 28 ＋y 2 2 ＝1 三、解答题 11．如图，设P 是圆x 2 ＋y 2 ＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4 5 |PD |. (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4 5的直线被C 所截线段的长度． 解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得? ??? ? x P ＝x ，y P ＝5 4y ， ∵P 在圆上，∴x 2 ＋? ?? ??54y 2＝25， 即C 的方程为x 225＋y 2 16 ＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4 5(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝4 5(x －3)代入C 的方程，得 x 2 25＋ x －3 2 25＝1， 即x 2 －3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412 . ∴线段AB 的长度为|AB |＝ x 1－x 2 2 ＋ y 1－y 2 2 ＝? ?? ??1＋1625 x 1－x 2 2 ＝ 4125341＝415 . 12．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交 于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距； (2)如果AF 2→＝2F 2B → ，求椭圆C 的方程． 解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2. 所以椭圆C 的焦距为4. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF 2→＝2F 2B → 及l 的倾斜角为60°，知y 1<0，y 2>0， 直线l 的方程为y ＝3(x －2)． 由????? y ＝3 x －2 ，x 2a 2＋y 2 b 2＝1消去x ， 整理得(3a 2 ＋b 2 )y 2 ＋43b 2 y －3b 4 ＝0. 解得y 1＝－3b 2 2＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2 2－2a 3a 2＋b 2 . 因为AF 2→＝2F 2B → ，所以－y 1＝2y 2， 即3b 2 2＋2a 3a 2＋b 2＝22－3b 2 2－2a 3a 2＋b 2 ，解得a ＝3. 而a 2 －b 2 ＝4，所以b 2 ＝5. 故椭圆C 的方程为x 29＋y 2 5 ＝1. 13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为 3 2 ，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)已知点P (0,1)，Q (0,2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与 QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上． (1)解 由题意知，b ＝ 22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a ＝ 1－? ????c a 2＝1 2 . 所以a ＝2 2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2 2 ＝1. (2)证明 由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)， 则直线PM 的方程为y ＝y 0－1 x 0 x ＋1， ① 直线QN 的方程为y ＝ y 0－2 －x 0 x ＋2. ② 法一 联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－4 2y 0－3 ， 即T ? ????x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3.由x 208＋y 2 02 ＝1，可得x 20＝8－4y 20 . 因为18? ????x 02y 0－32＋12? ????3y 0－42y 0－32＝x 20＋4 3y 0－4 2 8 2y 0 －3 2 ＝8－4y 20＋4 3y 0－4 28 2y 0－3 2＝32y 20－96y 0＋728 2y 0－3 2＝8 2y 0－3 2 8 2y 0－3 2＝1， 所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 法二 设T (x ，y )，联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3 . 因为x 208＋y 20 2＝1，所以18? ????x 2y －32＋12? ????3y －42y －32 ＝1. 整理得x 28 ＋ 3y －4 2 2 ＝(2y －3)2 ， 所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2 －12y ＋9，即x 28＋y 2 2＝1. 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 14．如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上， 上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1， OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的 直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程． 解 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为x 2 a 2＋y 2 b 2＝ 1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)． 因△AB 1B 2是直角三角形， 又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c 2. 结合c 2 ＝a 2 －b 2 得4b 2 ＝a 2 －b 2 ， 故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2 ，所以离心率e ＝c a ＝25 5. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2， 故S △AB 1B 2＝122|B 1B 2|2|OA |＝|OB 2|2|OA |＝c 22b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2 ＝ 4，从而a 2 ＝5b 2 ＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 2 4 ＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2 ＋5)y 2 －4my －16＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝ 4m m 2 ＋5，y 12y 2＝－16 m 2＋5 ， 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q → ＝(x 2－2，y 2)， 所以B 2P →2B 2Q → ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2 ＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16 m 2 ＋1 m ＋5－16m 2 m ＋5＋16＝－16m 2 －64m ＋5， 由PB 2⊥QB 2，得B 2P →2B 2Q → ＝0， 即16m 2 －64＝0，解得m ＝±2. 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.
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