----------三角函数的定义及三角公式
◇知识归纳：
1、三角函数的概念 （1）、按旋转方向，角可以分为三类： （2）、终边在射线y=x 上的角的集合为 ，终边在直线y=x 上的角的集合为 （3）、象限角的概念：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角 任何象限． （4）、弧长公式： ，扇形面积公式： ，1弧度(1rad )等于 度. （5）、任意角的三角函数的定义：
设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），
它与原点的距离是0r =
>，那么
sin α= cos α= tan α=
三角函数符号规律记忆口诀：一全正， （6）、三角函数线的特征是：正弦线 “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线 “躺在
x 轴上(起点是原点)”
、正切线 “站在点(1,0)A 处(起点是A )”. （7）、三角函数值的大小和解三角不等式．若(0,)2
x π
∈，则x 、sinx 、tanx 的大小关系为： ；
2、三角公式：
（1）同角三角函数的基本关系式
平方关系： ； 商数关系： （2）诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”．
sin(90°+α)= cos(-α)= tan(180°-α)= cos(270°-α)= （3）、两角和（差）的正弦、余弦及正切
（4）、二倍角的正弦、余弦及正切
（5）、万能公式：
（6）、降次公式：
（7）、半角公式：
（8）、辅助角公式：
()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由,a b 的符号确定，
θ角的值由tan b
a
θ=确定)，在求最值、化简时起着重要作用.
注：三角函数的恒等变形的基本思路：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:(1)巧变角(配角)；(2)三角函数名互化(切化弦)；(3)公式变形使用；(4)三角函数次数的降升；(5)式子结构转化(对角、函数名、式子结构化同)；(6)常值变换主要指“1”的变
换；(7)正余弦“三兄妹——sin cos sin cos x x x x ±、
”的内在联系――“知一求二”. 求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）.
◇基础演练：
1、若一个6000
的角的终边上有一点P (－4 , a )，则a 的值为 .
2、 sin1100sin200cos 21550－sin 21550 = .
3、1 + tan150
1－tan150 = .
4、cos α + 3 sin α
5、tan200 + tan4000
= .
6、(1 + tan α其中α + β = 45 0
).
7、已知tan α = 12
，则sin2α + sin 2
α = __________.
8、一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A.π3
B.2π
3
C. 3
D. 2 9、如图，三个相同的正方形相接，则α +β = . ◇能力提升：
1、已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ????－α－3π2cos ???
?3π
2－αt a n 2(π－α)cos ????π2－αsin ???
?π2＋α＝( )
A.916 B ．－916 C ．－34 D.34
2、(2012·开封调研)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝2
3
，则这个三角形是( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形 3、tan70°·cos10°(3tan20°－1)等于( )
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．－2
4、已知A 为锐角，sinA ＝35，t a n A －t a n B 1＋t a n A ·t a n B
＝－1
2，则tan B=_____.
5、已知角α的终边上一点的坐标为????sin 2π3
，cos 2π
3，则角α的最小正值为________． 6、点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π
3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．
7、证明：sin(2)sin 2cos()sin sin A B B
A B A A
+-+=．
8、已知,)cos(,cos 141371=-=βαα且,2
0π
αβ<<<（1）求tan2α求的值；（2）、求β
9、在平面直角坐标系xOy 中，点P (12
，cos 2θ)在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ
→
＝－
1
2. (1)求cos2θ的值 (2)求sin(α＋β)的值．
◇课外练习：（第一天）
1．已知sin ????π2－α＝3
5
，则1－2cos 2α＝( ) A.725 B.2425 C ．－725 D ．－2425 2．已知sin (2π＋θ)t a n (π＋θ)t a n (3π－θ)
cos (π
2
－θ)t a n (－π－θ)
＝1，则sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
3．化简sin 235°－
1
2
cos10°cos80°
＝( )
A ．－2
B ．－1
2
C ．－1
D ．1
4．sin 29π
6
＋cos ????－29π3－tan ????25π4＝________. 5.一个半径为2的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么这个扇形的面积为________.
6．已知sin θ＝45，π
2＜θ＜π. (1)求tan θ的值； (2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ
的值．
7、化简：（1）tan15cot15?+?；（2）1sin10 （3）00
1tan10cos50+
◇课外练习：（第二天）
1．点A(sin2013°，cos2013°)在直角坐标平面上位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．(2011·高考福建卷)若tan α＝3，则sin2α
cos 2α
的值等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
3．若sin θ＝－4
5
，tan θ＞0，则cos θ＝________.
4．(2012·洛阳调研)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________. 5、若tan α、tan β是方程2
330x x --=的两根，求)
cos()
sin(βαβα-+的值．
6、已知2 1sin
2sin 2,(,),2sin tan cot 144442
ππππ
αα=α∈ααα（＋）（－）求＋－－的值；
7．已知角A 、B 、C 为△A BC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON
→
＝－1
5. (1)求tan2A 的值； (2)求2cos 2A
2－3sin A －1
2sin ???
?A ＋π4的值．
◇选作题：
1．(2012·秦皇岛质检)若cos(3π－x )－3cos ????x ＋π2＝0，则tan ???
?x ＋π
4等于( ) A ．－12 B ．－2 C.1
2
D ．2
2．在△ABC 中，若cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是( )
A.12
B.22
C.3
2
D ．1 3．(2012·宜昌调研)已知角A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝－3
4
，则sin A －cos A ＝( )
A.72 B ．－72 C ．－12 D.12 4．若sin ????π6＋α＝35，则cos ???
?π
3－α＝________. 5．已知角α的终边上一点的坐标为????sin 2π3
，cos 2π
3，则角α的最小正值为________． 6．f (x )＝asin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a 、b 、α、β均为非零实数)，若f (2012)＝6，则f (2013)＝________.
8．函数()()b x A x f ++=?ωs i n 的图象如下，则()()()201110f f f S +???++=等于（ ）
9、函数2
()6cos
3(0)2
x
f x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、
C 为图象与x 轴的交点,且ABC ?为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;
(Ⅱ)若0()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.
10．将一块圆心角为120，半径为200cm 的扇形铁片截成一块矩形；如图有两种截法：让矩形一边在扇形的一条半径OA 上，或让矩形一边与弦AB 平行．请问哪种截法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．
专题（1）----三角函数的定义与三角公式答案----第一天
1、A ；
2、C ；
3、B ；
4、0；
5、4+2π；
6、（1）-4/3；（2）-8/57；
7、（1）4；（2）4；
（3）原式=0001sin10cos50cos10+000
1sin10sin 40sin80
=+02cos40cos80sin80?+?
=（或40=60-20；80=60+20） =380sin 10cos 30cos 280
sin 20cos 60cos 240cos 0
0=??
?=?+?. 选作题：9、【解析】(Ⅰ)由已知可得
:2()6cos 3(0)2
x f x x ωωω=+-> =3cos ωx+)3
sin(32sin 3π
ωω+=x x 又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4
所以,函数4
82824)(πωωπ===?=，得，即的周期T x f 所以,函数]32,32[)(-的值域为x f
(Ⅱ)因为，由538)(0=
x f (Ⅰ)有 ，
5
3
8)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2
,2()34x (323100π
πππ-∈+-
∈），得，（ 所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即
故=+)1(0x f =+
+
)3
4
4(
sin 320
π
π
πx ]4
)3
4
(
sin[320
π
π
π+
+
x
)
2
2532254(324
sin
)3
4
cos(
4
cos
)34(
[sin 320
?+?=+
++
=π
π
ππ
π
πx x 5
6
7=
专题（1）----三角函数的定义与三角公式答案----第一天
1、C ；
2、D ；
3、-3/5；
4、-315度或-675度；
5、-3/2；
6、注意到）－）与（
＋απ
απ24
24
(互为余角， 由已知得 1sin 2sin 2444ππαα=（＋）（－）214cos 21)42sin(=?=+?ααπ ∵)2,4(ππα∈，∴)2,(4ππα∈∴12
5,354π
απα＝即=
∴原式＝）－）＋（－（αααc o t t a n 1s i n 22
＝α
αα
ααcos sin cos sin 2cos 22－＋－＝αααsin22cos22cos －－＝
）＋
（－ααsin22
12cos ＝）＋（
－6
5sin 216
5cos ππ=23
54123）＝＋（ 7、解：(1)∵OM →·ON →
＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，
∴sinA ＋cosA ＝－15，①两边平方并整理得：2sinAcosA ＝－2425，∵－24
25
＜0，∴A ∈????π2，π，
∴sinA －cosA ＝1－2sin A cos A ＝75.②联立①②得：sinA ＝35，cosA ＝－45，∴tanA ＝－3
4
，
∴tan2A ＝2t a n A 1－t a n 2
A
＝－321－916＝－24
7. (2)∵tanA ＝－34，∴2cos 2A 2－3sin A －12sin ????A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3t a n A 1＋t a n A ＝1－3×? ??
??－341＋? ????－34＝13. 选作题：10．【解析】 在方案一中，令∠AOM=θ，则0＜θ＜90°，
在Rt △OMP 中，MP=200sin θ，OP=200cos θ， 所以，S OPMN =20000sin2θ，
当2θ=90°，即θ=45°时，S OPMN 取得最大值20000 cm 2
． 在方案二中，令∠AOM=θ，则0＜θ＜60°， 在Rt △OMS 中，MS=200sin θ，OS=200cos θ， 在Rt △MQS 中，∠MQS=60°，
MQ MS θ==
，12QS MQ θ==
在Rt △OCQ 中，
)CQ OS QS =
=-
(200cos )100sin θθθθ=
=-，
所以，2sin )MNPQ S CQ MQ θθθ=?=-
2sin )sin cos sin )θθθθθθ=
-=-
1cos 211(2)(2cos 2)22222θθθθ-=
-=+-
130)]2θ=
+?-，
当2θ+30°=90°，即θ=30°时，S MNPQ
cm 2
．
比较两种方案的最大值可知，第二种截法能得到最大面积，最大面积为3
cm 2
一、基本知识（必做题部分）
（五）平面向量（必修4第二章） 1、平面向量的概念（B ） （1）向量的概念：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）． （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的． （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量 (与AB 共线的单位向量是||
AB AB ±)．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行．
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递
性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、
共线． （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量．的相反向量是－．
2、平面向量的加法、减法及数乘运算（B ） 实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数 (1)结合律：()()a a λμλμ=；
(2)第一分配律：()a a a λμλμ+=+； (3)第二分配律：()a b a b λλλ+=+.
注：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：(1)
a a λλ=；(2)当λ>0
时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠.
3、平面向量的坐标表示（B ） 向量的表示方法：
①几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； ②符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；
③坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi yj x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示．如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同． 平面向量的坐标运算：
(1)设=11(,)x y ,=22(,)x y ，则+=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --.
(3)设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设=(,),x y R λ∈，则λ=(,)x y λλ.
(5)设=11(,)x y ,=22(,)x y ，则·=1212x x y y +.
平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
4、平面向量的数量积（C ）
两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量，的
夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2
π
时，a ，b 垂直.当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b 、
不同向，0a b ?>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，?＜0，且 a b 、不反向，0a b ?<是θ为钝角的必要非充分条件.
向量的数量积的运算律： (1) a ·b = b ·a （交换律）；
(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）； (3)（a +b ）·c = a ·c +b ·c . 平面向量数量积的坐标表示：
（1）若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212a b x x y y ?=+；(AB x =
（2）若=(x,y)，则2
=?=x 2+y 2,22y x a += ；
cos θ=
(=11(,)x y ,=22(,)x y ).
9.平面两点间的距离公式(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).,A B d =||AB AB AB =?=5、平面向量的平行与垂直（B ）
⑴两个向量平行的充要条件：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2),λ为实数.①向量式：a ∥b (b ≠0)?a =λb ；②坐标式：a ∥b (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1=0.
⑵两个向量垂直的充要条件：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2), ①向量式：a ⊥b (b ≠0)?a ?b =0; ②坐标式：
a ⊥
b ?x 1x 2+y 1y 2=0. 6、平面向量的应用（A ）
重要结论：
⑴三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123
(
,)33
x x x y y y G ++++. ⑵设A （x 1,x 2）、B (x 2,y 2)，则S ⊿AOB ＝
12212
1
y x y x -. （3）三角形五“心”向量形式的充要条件：
设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 ①O 为ABC ?的外心2
2
2
OA OB OC ?==.
②O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=.
③O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?. 二、思想方法 （三）向量法
向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识： （1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件； （2）平面向量基本定理及其理论；
（3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题. 三、易题重现
1、和向量a = (6,8)共线的单位向量是__________.
2、已知向量m =(a,b )，向量m ⊥n 且,n m
=则n
的坐标可能的一个为__________. 3、将函数y=x+2的图象按a
=(6,－2)平移后，得到的新图象的解析为__________. 4、若O 为平行四边形ABCD 的中心，AB =4e
1, 2216,32BC e e e =-等于__________.
5、若)2,1(),7,5(-=-=b a
，且（b a λ+）b ⊥，则实数λ的值为__________.
6、已知z 是虚数，则方程z 3 = | z | 的解是__________.
7、已知复数z = (4－3i )2·(－1 + 3 i )10
(1－i )12
，则| z | =__________.
8、已知 = (1,2)， = (－3,2)，当k 为何值时，(1)k +与－3垂直？(2) k +与→
a －3平行？
平行时它们是同向还是反向？ 9、已知 |a |＝1，|b |＝2。（I ）若a //b ，求a ·b ；（II ）若a ，b 的夹角为135°，求 |a ＋b | ．
一、1、 2、
三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y = αtan 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α α αcos sin tan = ， 平方关系：1cos sin 22=+αα， 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵ απ +2、απ-2 、απ+23、απ -23的三角函数值，等于α的异名函数值， 前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+
βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α α α2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α α α2 tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 七、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a （） 其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同， 2 2sin b a b += ?，2 2cos b a a += ?，a b = ?tan 。 八、正弦定理
三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）.
复习讲义：三角函数 一、知识点归纳： ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin α= ，cos α= ，tan α= ． 10、三角函数在各象限的符号： 第一象限 为正，第二象限 为正，第三象限 为正，第四象限 为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：
三角函数定义及其三角函数公式汇总 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A 邻边 A C A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据： ①边的关系：2 22c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注 意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度( 坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 sin （α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin （α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos （α＋β）＝cosαcosβ－s inαsinβ cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ 三角函数公式汇总1 :i h l =h l α
高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa
1.已知角范围和其中一个角的三角函数值求任意角三角函数值 方法：①画直角三角形 ②利用勾股定理先算大小后看正负 例题：1.已知α∠为第二象限角，13 5 sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值 2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值 2. 2. 3. 4.利用“加减πk 2”大角化小角，负角化正角，求三角函数值 例题：求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133 π= ;
1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)43 (D)4 3 - 2.已知sin αcos α=8 1,且4π<α<2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） 33 (D)± 3 3.) 4. ） 5.） * 6.）
三角函数诱导公式 诱导公式可概括为把 απ ±?k 2 的三角函数值转化成角α的三角函数值。（k 指奇数或者偶数， α相当锐角） 口诀“奇变偶不变，符号看象限。”其中奇偶是指2 π 的奇数倍还是偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 公式一：=+)2sin(απk =+)2c o s (απk =+)2t a n (απk
三角函数诱导公式练习题 1．若(),2,5 3 cos παππα<≤= +则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 5 4 - 2．sin （－6 π 19）的值是（ ） A 3 6 )= . 10.α是第四象限角,,则αsin 等于________． 13 12 cos =α
第四章 三角函数 一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+?=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1) (180'≈==οο ο π π弧度弧度 (3)弧长公式:r l ?=α 扇形面积公式:22 1 21r lr S α== 3.任意角的三角函数 y x x y x r r x y r r y = ===== ααααααcot tan sec cos csc sin 注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一） 诱导公式： α±? 2 k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号 看象限”。如： ()?? ? ??--??? ??+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。 （二） 同角三角函数的基本关系式：①平方关系1 cos sin 22 =+αα； α ααα22 22tan 11cos cos 1tan 1+=?= +②商式关系 α α α tan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。 （三） 关于公式1cos sin 22 =+αα的深化
() 2 cos sin sin 1ααα±=±； α ααcos sin sin 1±=±； 2 cos 2 sin sin 1α α α+=+ 如： 4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=- 注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为ο0~ο90角的三角函数。 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式； 证明同角的三角恒等式。 三、两角和与差的三角函数 （一）两角和与差公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()β αβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan μ±= ± （二）倍角公式 1、公式βαα cos sin 22sin = cos 2α= 2 2cos 1α + sin 2α= 2 2cos 1α - ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α αα2tan 1tan 22tan -= α α ααα sin cos 1cos 1sin 2 tan -= += )sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注： （1）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。（2）掌握“角的演变”规律（3）将公式和其它知识衔接起来使用。（4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。 2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型： （1）求值 ①“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 ②“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 ③ “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 ④ “给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形， 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论
三角函数题型学霸总结（含答案） 阳光老师：祝你学业有成 一、选择题（本大题共30小题，共150.0分） 1.点在函数的图象上，则m等于 A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦函数的性质，属于基础题由题意知，求得m 的值． 【解答】解：由题意知， 所以， 所以． 2.用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查三角函数图象的作法，属于基础题． 熟练掌握五点法作图即可． 【解答】 解：用“五点法”画，的简图时， 横坐标分别为， 纵坐标分别为0，1，0，，0， 故选A． 3.函数y x，x的大致图象是
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查三角函数的图像，属于基础题利用“五点法”画出函数图像即可得出答案． 【解答】 解：“五点法”作图： x0 0100 10121 故选B． 4.用“五点法”作出函数的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关 键点的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查三角函数图象的画法以及余弦函数的性质，属于基础题． 分别令，，，，得，3，4，3，2，即可得到五点，再对照选项，即可得到答案． 【解答】 解：，分别令，，，，得，3，4，3，2，
所以五个关键点为，，，，， 可知A不属于． 故选A． 5.已知函数的图象与直线 恰有四个公共点，，，，其中，则 A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了三角函数图象的作法及利用导数求函数图象的切线方程，属于较难题． 由三角函数图象及利用导数求函数图象的切线方程可得：切点坐标为，切线方程为：，又切线过点，则，即，得解． 【解答】 解：由 得 其图象如图所示，
基础训练 1、函数)3 2 sin( 10π π - =x y ，振幅是__________，周期是__________，频率是__________， 相位是__________，初相是__________ 2、)3 sin(4π - =x y 的定义域是 ，值域是 ，单调增区间为 ， 减区间为 ；当x= 时，max y = ， 对称中心是 ，对称轴方程为 ；。 3、求函数)24 sin( x y -=π 的递增区3、若函数k x A y ++=)sin(?ω的最大值为5，最小 值为－1，则函数振幅A =____，k =_____ 4、函数)sin()(?ω+=x A x f 0(>A ，0>ω，)2 π ?≤ 的一段图 象如图所示，则)(x f 的解析式是 ． 5、若将某函数的图象向右平移2π 以后所得到的图象的函数式 是)4sin(π +=x y ，则原来的函数表达式为( ) A 、)43sin(π+=x y B 、)2sin(π+=x y C 、)4sin(π-=x y D 、4 )4sin(π π-+=x y 6、在图中，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向。 若已知振幅为cm 5，周期为4s ，且物体向右运动到平衡位置时开始记时。 （1）求物体对平衡位置的位移)(cm x 和时间)(s t 之间的函数关系； （2）求该物体在s t 5.7=时的位置。 O
例题剖析 例1、已知函数)sin(?ω+=x A y （0>A ， 0ω>， π?<||）的一段图象如图所示， （1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间。 例2、若将)(x f y =的图象向右平移 4 π 个单位得图象1C ，再把图象1C 上的每一点的横坐标变为原来的2倍得图象2C ，再把图象2C 上的每一点的纵坐标变为原来的2倍得图象3C ，若3C 是函数x y sin =的图象，试求)(x f y =的表达式。 例3、已知函数)4 2sin(2π + =x y ． （1）求函数取得最小值时自变量x 的值； （2）当ππ6 5 65≤≤-x 时，求函数的值域；（3）求函数的单调递增区间； （4）用“五点法”作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； （5）请逐一写出由函数x y sin =的图象得到)4 2 sin(2π +=x y 的图象的变换过程。
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
1.已知角围和其中一个角的三角函数值求任意角三角函数值 方法：?画直角三角形 ?利用勾股定理先算大小后看正负 例题：1.已知α∠为第二象限角，13 5 sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值 2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值 2.一个式子如果满足关于αsin 和αcos 的?分式 ?齐次式 可以实现αtan 之间的转化 例题：1.已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos αα ααα-=-+那么的值为_____________. 2.已知2tan =α，则1.α αα αcos sin cos sin -+=_____________. 2. α αα α2 2cos sin cos sin -=_____________. 3.1cos sin +αα=_____________.（“1”的代换） 3.已知三角函数αsin 和αcos 的和或差的形式求αsin .αcos 方法：等式两边完全平方（注意三角函数中判断正负利用角的围进行取舍） 例题：已知πα<∠<0，αsin +αcos =2 1 ，求?αsin .αcos ?αcos -αsin 4.利用“加减πk 2”大角化小角，负角化正角，求三角函数值 例题：求值：sin(-23 6π)+cos 137π·tan4π -cos 133 π= ;
1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)4 3 (D)4 3- 2.已知sin αcos α=8 1,且4π<α<2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） (A)2 3 (B)4 3 (C) (D)± 2 3 3.设是第二象限角,则 sin cos αα ( ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1- 4.若tan θ= 3 1,π<θ<3 2π,则sin θ·cos θ的值为 （ ） (A)±3 10 (B) 3 10 5.已知 sin cos 2sin 3cos αααα-+=5 1 ,则tan α的值是 （ ） (A)±83 (B)83 (C)83 - (D)无法确定 * 6.若α是三角形的一个角，且sin α+cos α= 3 2 ,则三角形为 （ ） (A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形
前黄中学三角函数总练习 班学号 姓名 一、选择题 1、要得到函数)6 3cos(π -=x y 的图象，只需将y=cos3x 的图像 （ ） A 、向右平移6π B 、向左平移6 π C 、向右平移18π D 、向左平移18π 2、函数)2 5 2sin(π+=x y 的图像中的一条对称轴方程是 （ ） A 、4π-=x B 、2π-=x C 、8π =x D 、π45=x 3、函数)4 3sin(π-=x y 图像的对称中点是（ ） A 、)0,12(π- B 、)0,127(π- C 、)0,127(π D 、)0,12 11 (π 4、函数y=Asin(ωx+φ)在一个同期内的图象如图，则y 的表达式为 （ ） A 、)6sin(3π +=x y B 、)3sin(3π +=x y C 、)6 2sin(3π +=x y D 、)32sin(3π +=x y 5、由函数图象可知，sin2x=sinx ，在[0，2π]上实数解的个数是 （ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 6、函数)6 2sin(5π +=x y 的图象经过下列平移变换，就可得到函数y=5sin2x （ ） A 、向右平移6π B 、向左平移6 π C 、向右平移12π D 、向左平移12π 7、函数y=tanx-cotx 是 （ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既是奇函数又是偶函数 D 、既不是奇函数又不是偶函数 8、已知函数f(x)=cot(2x-3 π )，下列判断正确的是 （ ） A 、f(x)是定义域上的减函数，周期为2 π B 、f(x)是区间(0，π)上的减函数，周期为2π C 、f(x)是区间(ππ67,32)上的减函数，周期是2π D 、f(x)是区间(ππ32,6)上的减函数，周期为4 π 9、)sin(?+=wx A y 的图象如图，则解析式是 （ ） A 、)68sin(22π π+=x y B 、)62sin(2π +=x y C 、)48sin(22π π+=x y D 、)4 8sin(2π π+=x y 10、已知函数)sin(?+=wx A y ，在同一周期内，当12π = x 时，取得最大值2；当12 7π= x 时，取得最小值-2，那么这个函数解析式是 （ ） A 、)32sin(2π+=x y B 、)62sin(2π-=x y C 、)62sin(2π+=x y D 、)3 2sin(2π -=x y 11、观察正切曲线，满足|tanx|≤1的x 取值范围是 （ ） A 、)](42k ,42[Z k k ∈+- ππππ B 、)](4k ,[Z k k ∈+π ππ C 、)](4k ,4[Z k k ∈+-ππππ D 、)](4 3k ,4[Z k k ∈++π πππ 12、既是以π为周期的函数，又是在(0，2 π )上为减函数的为 （ ） A 、x y tan )1(cot = B 、y=|sinx| C 、y=-cos2x D 、y=cot|x| 二、填空题 13、把函数y=sin(2x+ 4π)的图像向右平移8 π 个单位，再将横坐标压缩到原来的21， 所得到的函数图象的解析式是 。 14、函数y=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0,ππ223<Φ<）的最小值是-3，周期为3 π ， 且它们的图象经过点（0，2 3 -），则这个函数的解析式是 。 -x
三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终 边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββο ②终边在x 轴上的角的集合： { Z k k ∈?=,180 |ο ββ③终边在y 轴上的角的集合：{k k +?=,90180|οοββ④终边在坐标轴上的角的集合：{Z k k ∈?=,90|οββ⑤终边在y = x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系： βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系： βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系： βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18 ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点 SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域
高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa
cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
题型总结 1.已知角范围和其中一个角的三角函数值求任意角三角函数值 方法：画直角三角形 利用勾股定理先算大小后看正负 例题：1.已知α∠为第二象限角，13 5 sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值 2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值 2.一个式子如果满足关于αsin 和αcos 的分式 齐次式 可以实现αtan 之间的转化 例题：1.已知 sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα -=-+那么的值为_____________. 2.已知2tan =α，则1.α αα αcos sin cos sin -+=_____________. 2.α αα α22cos sin cos sin -=_____________. 3.1cos sin +αα=_____________.（“1”的代换）
3.已知三角函数αsin 和αcos 的和或差的形式求αsin .αcos 方法：等式两边完全平方（注意三角函数中判断正负利用角的范围进行取舍） 例题：已知πα<∠<0，αsin +αcos =2 1 ，求αsin .αcos αcos -αsin 4.利用“加减πk 2”大角化小角，负角化正角，求三角函数值 例题：求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 13 3 π= ; 练习题 1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)3 4 (B)43 - (C)43 (D)4 3 - 2.已知sin αcos α= 8 1,且4π<α< 2π ，则cos α－sin α的值为 （ ） (A) 2 3 (B)4 3 (C)3 (D)± 2 3
三角函数的概念及公式 教学目标 1、掌握同终边角的求法，熟悉象限角、轴线角，掌握角度与弧度的互化，会求弧长与扇形面积； 2、掌握三角函数的概念，会求角的三角函数值； 3、同角三角函数的基本关系； 4、掌握诱导公式及应用。 重瞬占分析 重点:''1、角度、弧度的转化； 2、同角三角函数基本关系； 3、诱导公式。 难点：1、角度的表示； 2、同角三角函数值的求解； 3、诱导公式的变换。 知识点梳理 1、角度槪念：角可以看成是平而内一条射线绕着端点从一个位宜旋转到另一个位置所成的图形。 2、角度分类：按逆时针方向旋转的角叫做正角；按顺时针方向旋转的角叫做负角：若一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个零角。 3、彖限角：角的顶点与原点重合，角的始边与兀轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。 4、终边相同的角：所有与角&的终边相同的角，连同Q在内，可构成一个集合S=___________________ , 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 5、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 6、弧度制与角度制的换算关系式：兀弧度=180°. 7、在弧度制下，弧长公式为l = a?R、扇形而积公式为S = -l?R.(α为圆心角，R为半径) 2 8、一般的，设角Q终边上任意一点的坐标为(x, y),它与原点的距离为厂，那么 (1)上叫做α的正弦，记作Sina； r (2)艺叫做a的余弦，记作COSa ；
(3)上叫做α的正切，记作tana。 X 9、同角三角函数关系的基本关系式 (I)平方关系：sin2 x + cos2 x = l (2)商数关系：UmX =竺上 COSX 10、同角三角函数基本关系式的常用变形 (1) sin2a = ______________ ； cos2a ≡_____________ ； (2)(Sina+ cosa)2=_________________ ；(Sina_cos&)'=_________________ (3)Sina COSa= =_________________ 。 注意：用同角三角函数的基本关系式求值时应注意 (1)注意“同角”，至于角的形式无关重要，如siι√4a+cos2 4a = 1等： (3)对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、反用、变形用)，如: CoSa = ±√l-sin2a,开方时要注意正负。 11、诱导公式：奇变偶不变、符号看彖限。
高中三角函数公式大全 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半) 正弦定理：在△ABC 中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中，R 为△ABC 的外接圆的半径。) 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2Sin A?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA Tan3A=)3tan()3tan(tan )(tan 1)(tan 3tan 32 3A A A A A A +-=--ππ 半角公式
第三章 三角函数 3.1任意角三角函数 一、知识导学 1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2．弧度制：任一已知角α的弧度数的绝对值r l = α，其中l 是以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 3．弧度与角度的换算：rad π2360=ο ；rad 1745.01801≈=π ο ；1ο ο 30.57180≈?? ? ??=πrad .用弧度为单位表示角的 大小时，弧度（rad ）可以省略不写.度()ο 不可省略. 4．弧长公式、扇形面积公式：,r l α= 2||2 1 21r lr S α= ＝扇形,其中l 为弧长，r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当πα2=时的情形. 5．任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是 )0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是 y r x r y x x y r x r y ====== ααααααcsc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin .这六个函数统称为三角函数. 三角函数 定义域 x y sin = R x y cos = R x y tan = ? ?????∈+≠Z k k x x ,2π π x y cot = {}Z k k x x ∈≠,π x y sec = ? ?????∈+≠Z k k x x ,2π π x y csc = {}Z k k x x ∈≠,π 7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值） 可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析