1.两个连续基数的积是323,求这两个数。
(2n-1)(2n+1)=323
4n^2-1=323
n^2=81
n=9
2.一商店1月份的利润是2500元,3月份的利润达到3600元这两个月的利润平均月增长率是多少?
2500(1+x)^2=3600
x=20%
3.一辆小轿车新置是价是18万元,若使用第一年后折旧20%,以后其折旧率改变,现知第三年末这辆轿车折旧后值11.664万元,求这辆轿车在第二、三年中的平均年折旧率?
18*(1-20%)*(1-x)^2=11.664
x=10%
4.200+200(1+x)+200(1+x)^2=1400
1+1+x+1+2x+x^2=7
x^2+3x-4=0
(x+4)(x-1)=0
x=-4(舍)
x=1
即增长率是100%
1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元?
解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元,
依题意x≤10
∴(44-x)(20+5x)=1600
展开后化简得:x2-44x+144=0
即(x-36)(x-4)=0
∴x=4或x=36(舍)
即每件降价4元
要找准关系式
2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多
少行多少列?
解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3
增加了3行3列
3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价
解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.
依题意得:
y=(x-30)[60+2(70-x)]-500
=-2x^2+260x-6500
(30<=x<=70)
(2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元.
∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
4..运动员起跑20m后速度才能达到最大速度10m/s,若运动员的速度是均匀增加的,则他起跑开始到10m处时需要多少s?
解:
(0+10)除2为平均增加为5
(0+5a)除2乘a
5.一辆警车停在路边,当警车发现一辆一8M/S的速度匀速行驶的货车有违章行为,决定追赶,经过2.5s,警车行驶100m追上货车.试问
(1)从开始加速到追上货车,警车的速度平均每秒增加多少m?
(2)从开始加速到行驶64m处是用多长时间?
解:
2.5*8=20 100-20=80 80/8=10
100/【(0+10a)/2】=10解方程为2
64/【(0+2a)/2】=a解方程为8
6.一容器装满20L纯酒精,第一次倒出若干升后,用水加满,第二次又倒出同样升数的
混合液,再用水加满,容器里只有5L的纯酒精,第一次倒出的酒精多少升?(过程)
解:设第一次倒出x升,则第二次为x(20-x)/20.(此处为剩下的酒精占总体积20升
的多少即比率然后乘上倒出的升数即为倒出的纯酒精数
则20-x-x(20-x)/20=5
解得x=10
6.1一个长方体的长与宽的比为5:2,高为5厘米,表面积为40平方厘米。画出这个长
方体的展开图,及其过程(设未知数)
解:设宽为2x,长为5x。
2*(2x*5x+2x*5+5x*5)=40
10x的平方+35x-20=0
x=1/2
宽为1厘米,长为2.5厘米
7.用一个白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制作25个盒身,或制作盒底40个,一个盒身和
两个盒底配成一套罐头盒。现在有36张白铁皮,用多少张制盒身,多少张制盒底可以使盒身
和盒底正好配套?
8. 用含30%和75%的两种防腐药水,配置含药50%的防腐药水18kg,两种药水各需取多少?
7、解:设用 X 张制罐身用 Y 张制罐底则X+Y=36 X=36-Y 25X=40Y/2 X=4Y/5 4Y/5=36-Y Y=20 X=16
8、解:设30%的取 X 75%的取 Y 则 30%*X+75%Y=50%*18 6X+15Y=180
X+Y=18 X=18-Y 6*18-6Y+15Y=180
Y=8 X=10
9.印度古算术书中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,八分之一再平
方,蹦蹦跳跳树林里;其余使二叽喳喳,伶俐活泼又调皮,告我总数共多少,两队猴子在一
起。”
解:设共有x只猴子,列方程得
x-(x/8)^2=12
解得:X=48
10.现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒?
解:设边长x
则(19-2x)(15-2x)=77
4x^2-68x+208=0
x^2-17x+52=0
(x-13)(x-4)=0,当x=13时19-2x<0不合题意,舍去
故x=4
11. 某超市一月分销售额是20万元,以后每月的利润都比上个月的利润增长10%,则二月分销售额是多少? 3月的销售额是多少?
解:二月20*(1+0.1)=22 三月22*(1+0.1)=24.2
12. 某企业2007年利润为50万元,如果以后每年的利润都比上年的利润增长x%。那么2009年的年利润将达到多少万元?
解:50*(1+x%)^2
13. 某种药品两次降价,价格降低了36%,求每次降价的百分率
解:设每次降价的百分率x
x^2=36%
x=60%
14. 某厂经过两年体制改革和技术革新,生产效率翻了一番,求平均每年的增长率(精确到0.1%)
解:设平均每年的增长率x
(x+1)^2=2
x=0.414
15.学校组织一次兵乓球比赛,参赛的每两个选手都要比赛一场,所有比赛一共有36场,问有多少名同学参赛?用一元二次方程,化成一般形式。
解:设有X名同学参赛,X*(X-1)/2=36,
一般形式: X方-X-72=0
答案: X=9
16. 一拖拉机厂,一月份生产出甲、乙两种新型拖拉机,其中乙型16台,从二月份起,甲型每月增产10台,乙型每月按相同的增长率逐月递增,又知二月份甲、乙两型的产量之比为3:2,三月份甲、乙两型产量之和为65台,求乙型拖拉机每月增长率及甲型拖拉机一月份的产量。
解:设乙的增长率为X,那么二月乙就是16(1+X)台,甲就是16(1+X)×3÷2;三月乙就是16(1+X)2台,甲就是16(1+X)×3÷2+10台,所以列出算式16(1+X)2+16(1+X)×3÷2+10=65求解,然后可以分别算出一月二月乙的产量,然后就可以解得甲的产量了17.
17.如图,出发沿BC匀速向点C运动。已知点N的速度每秒比点M快1cm,两点同时出发,运动3秒后相距10cm。求点M和点N运动的速度。
解:设M速度x,则N为(x+1),(BC—3x)的=10的平
方,解得x=1或x=5/3又因为AC=7,所以x=1,M的2m/s
18.用长为100cm的金属丝做一个矩形框.李明做平方厘米,
而王宁做的矩形框的面积为600平方厘米,
解:设矩形一边长为X厘米,则相邻一边长为1/2(100-2X)厘米,即(50-X)厘米,依题意得:
X*(50-X)=400 解之得:X1=40,X2=10;
X*(50-X)=600 解之得:X1=20,X2=30;
所以李明做的矩形的长是40厘米,宽是10厘米;
王宁做的矩形的长是30厘米,宽是20厘米。
19.某商品进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件,如果售价超过50元,但不超过80元,每件商品的售价每上涨10元,每个月少卖1件,如果售价超过80元后,若再涨价,每件商品的售价每涨1元,每个月少卖3件。设该商品的售价为X元。
(1)、每件商品的利润为元。若超过50元,但不超过80元,每月售件。
若超过80元,每月售件。(用X的式子填空。)
(2)、若超过50元但是不超过80元,售价为多少时利润可达到7200元
(3)、若超过80元,售价为多少时利润为7500元。
解: 1)x-40 210-(x-40)\10 210-(x-40)\10-3(x-80)
(2)设售价为a (a-40)[210-(a-40)\10=7200
(3)设售价为b (b-40)[210-(b-40)\10-3(b-80)=7500 (第2 、3问也可设
该商品的售价为X1 x2元)
20.某商场销售一批衬衫,平均每天可出售30件,每件赚50元,为扩大销售,加盈利,尽量减少库存,商场决定降价,如果每件降1元,商场平均每天可多卖2件,若商场平均每天要赚2100元,问衬衫降价多少元
解:衬衫降价x元
2100=(50-x)(30+2x)=1500+70x-x^2
x^2-70x+600=0
(x-10)(x-60)=0
x-60=0 x=60>50 舍去
x-10=0 x=10
21.在一块面积为888平方厘米的矩形材料的四角,各剪掉一个大小相同的正方形(剪掉的正方形作废料处理,不再使用),做成一个无盖的长方体盒子,要求盒子的长为25cm,宽为高的2倍,盒子的宽和高应为多少?
解:设剪去正方形的边长为x,x同时是盒子的高,则盒子宽为2x;
矩形材料的尺寸:
长:25+2x
宽:4x;
(25+2x)*4x=888,
解得:x1=6,x2=-18.5(舍去)
盒子的宽:12cm;盒子的高:6cm。
22.甲乙二人分别从相聚20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行,相遇后,二人继续前进,乙的速度不变,甲每小时比原来多走1千米,结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地,求乙每小时走多少千米?
解:可以设乙每小时走a千米
乙从中点相遇后到A地需要时间10/a
甲从中点相遇后到B地需要时间10/a-0.5
根据题意建立方程
(10/a-0.5)(a+1)=10
a=4
即乙每小时走4千米
23.某企业2005年初投资100万元生产适销对路的产品,2005年底,将获得的利润与年初的投资和作为2006年初的投资。道2006年底,两年共获得56万元,已知2006年的年获利率比2005年的年获利率多10个百分点,求2005和2006年的年获利率各是多少
解设2005年获利率是x
100x+100(1+x)(x+0.1)=56
100x+100x平方+110x+10-56=0
100x平方+210x-46=0
(20x+46)(5x-1)=0
x1=-2.3(舍)x2=0.2
0.2+0.1=0.3
2005年获利率是20%,2006年获利率是30%
24.某公司生产开发了960件新产品,需要经过加工后才能投放市场,现在有A,B两个工厂都想参加加工这批产品,已知A工厂单独加工这批产品比B工厂单独加工这批产品要多用20天,而B工厂每天比A工厂多加工8件产品,公司需要支付给A工厂每天80元的加工费,B工厂每天120元的加工费。
1. A,B两个工厂每天各能加工多少件新产品?
2. 公司制定产品方案如下:可以由每个厂家单独完成;也可以由两个厂家同时合作完成。在加工过程中,公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导,并负担每天5元的午餐补助费。请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱,并说明理由。
解:1.设A每天加工x件产品,则B每天加工x+8件产品
由题意得960/x-960/(x+8)=20
解得x=16件
所以A每天加工16件产品,则B每天加工24件产品
2.设让A加工x件,B加工960-x件
则公司费用为x/16*(80+5)+(960-x)/24*(120+5)
化简为5/48*x+5000
所以x=0时最省钱,即全让B厂加工
27.某学校以21元的价格购进一批计算器,该学校自行定价,但每只加价不能超过进价的50%,若每只以a元出售,可卖出(3400—50a)。请根据上列条件,并提出一个问题,并解答
某商店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的30%。若每件商品售价为a元,则可卖出(350-10a)。商品计划要赚400元,则需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?
解:
(a-21)*(350-10a)=400
-10a^2+560a=-7350
a^2-56a=-735
配方得:
a^2-56a+28^2=-735+28^2
(a-28)^2=9
解得:
a=31或25
验证:
a=31时,(31-21)/21=47.6% 不合法,
a=25时,(25-21)/21=19.0% 合法。
答:每件商品售价25元,需要卖出100件。
28.一张桌子的桌面长6米宽为4米。长方形台布的面积是桌面面积的两倍。若将台布铺在桌子上四边(四个角除外)垂下的长度相同,求这块台布的长和宽。
解:设垂下的长度为a,
则:(6+a)*(4+a)=2*4*6
解得:a=2或a=-12(舍去),
台布的长、宽分别为8、6
29.一元二次方程解应用题将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖500个,如果该商品每涨价1元,其销售量就减少10个。商店为了赚取8000元的利润,这种商品的售价应定为多少?应进货多少?
解:利润是标价-进价
设涨价x元,则:
(10+x)(500-10x)=8000
5000-100x+500x-10x^2=8000
x^2-40x+300=0
(x-20)^2=100
x-20=10或x-20=-10
x=30或x=10
经检验,x的值符合题意
所以售价为80元或60元
所以应进8000/(10+x)=200个或400个
所以应标价为80元或60元
应进200个或400个
30.甲、乙两名职工接受相同数量的生产任务,开始时,乙比甲每天少做四件,乙比甲多用了2天时间,这样甲、乙两人各剩624件;随后,乙改进了生产技术,每天比原来多做6件,而甲每天的工作量不变,结果两人完成全部生产任务所用的时间相同。原来甲乙两人每天各做多少件?没人的全部生产任务是多少? 应用题过程谢谢
解:设每人的全部生产任务是y件,甲每天做X+4件,乙原来每天做X件,依题意得:
(y-624)/x=(y-624)/(x+4)+2 1式(因为开始时,乙比甲每天少做4件,乙比甲多用了2天的时间,这样甲、乙两人各剩624件~~即根据时间关系列等式)
(y-624)/x + 624/(x+6)=y/(x+4) 2式(结果两人完成全部生产任务所用的时间相同~~~
也是根据时间关系列等式)
由1,2式得:(X+30)*(X-20)=0
解之得:X=20,X+4=24,,y=864
答:每人的全部生产任务是864件,甲每天做24件,乙原来每天做20件。
31.用22厘米长的铁丝,折成一个面积为30平方厘米的长方形,求这个长方形的长和宽。又问:能否折成面积是32平方厘米的长方形呢?为什么?
解:设长方形的长为x厘米,那么宽为11-x厘米
x(11-x)=32
-x2+11x-32=0
由根的判别式:112-4×1×32=121-128=-7<0
没有实数根
所以无法折成面积是32平方厘米的长方形
长方形的长宽多少?
解:x(11-x)=30
-x2+11x-30=0
x2-11x+30=0
(x-5)(x-6)=0
x=5或6
这个长方形的长和宽为6厘米和5厘米
32.一个自行车队进行训练,训练时所有队员都以35千米/时的速度前进,突然,1号队员以45千米/时的速度独自前进,行进10千米后调转车头,仍以45千米/时的速度往回骑,直到与其他队员会合,1号队员从离队开始到与队员重新会合,经过了多少时间
解:设一共用了x小时,得:
35x=10-45(x-10/45)
35x=10-45x+10
80x=20
x=1/4答:1号队员从离队开始到与队员重新会合,经过了1/4小时。
33.参加一次聚会的每两个人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?
34.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛,共要比赛90场,共有多少个队参加比赛?
35.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两个队之间赛一场),计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解:34、n(n-1)\2=10
n=5
35、x(x-1)\2*2=90
x=10
36、y(y-1)\2=15
y=6
37.某公司生产开发了960件新产品,需要经过加工后才能投放市场,现在有A,B两个工厂都想参加加工这批产品,已知A工厂单独加工这批产品比B工厂单独加工这批产品要多用20天,而B工厂每天比A工厂多加工8件产品,公司需要支付给A工厂每天80元的加工费,B工厂每天120元的加工费。
1. A,B两个工厂每天各能加工多少件新产品?
2. 公司制定产品方案如下:可以由每个厂家单独完成;也可以由两个厂家同时合作完成。在加工过程中,公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导,并负担每天5元的午餐补助费。请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱,并说明理由。
解:1.设A每天加工x件产品,则B每天加工x+8件产品
由题意得960/x-960/(x+8)=20
解得x=16件
所以A每天加工16件产品,则B每天加工24件产品
2.设让A加工x件,B加工960-x件
则公司费用为x/16*(80+5)+(960-x)/24*(120+5)
化简为5/48*x+5000
所以x=0时最省钱,即全让B厂加工
37.在某场象棋比赛中,每位选手和其他选手赛一场,胜者记2分,败者记0分,平局各记1分,今有四位统计员统计了全部选手的得分之和分别是2025分、2027分、2080分、2085分,经核实,只有一位统计员的结果是正确的,问这场比赛有几位选手参加?
解:无论如何,每一局两人合计都应得2分,所以最终的总得分一定是偶数,由于2025、2027、2085都是奇数,所以都不符合题意,所以正确的是第三个记分员
设有x人参加,则一共比了x(x-1)/2局
你的数字似乎有错,请确认是否为2070,而不是2080(2080得不出整数解)
x(x-1)/2=2070/2
x2-x-2070=0
(x-46)(x+45)=0
x1=46,x2=-45(舍)
答:一共有46位选手参加.
39.如图,在一块长35M,宽26M的矩形地面上,修剪同样宽的两条互相垂直的道路,(两条道路与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,要使剩余部分的面积为850M2,道路的宽应为多少?
40.游行队伍有8行12列,后又增加69人,使得队伍增加的行、列数相同,你知道增加了多少行或多少列吗?
图是39题的。
据转换思想
1解:可设道路的宽为Xm
(35-x)(26-x)=850
x^2-61x+60=0
(x-1)(x-60)=0
x1=1,x2=60
x2=60与题意不符
所以x1=1
道路的宽为1m
40解:设增加x行,即x列8*12+69=(8+x)(12+x)
69=x^2+20x
x^2+20x-69=0
(x-3)(x+23)=0
x1=-23
x2=3
x1=-23与题意不符
所以x=3
41.随着人民生活水平的不断提高,我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2006年底拥有家庭轿车64辆,2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.
(1)若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同,求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆?
(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算,建造费用分别为室内车位5000元/个,露天车位1000元/个,考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,求该小区最多可建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案.
(1). 解:设增长率是x.
64(1+x)2=100
x=0.25
2009年有
100(1+0.25)=125
(2)解:设室内车位为X,则室外车位为(150000-5000X)/1000
有条件得到:0<=2X<=(150000-5000X)/1000<=2.5X
得到20<=X<=21.4
X为整数
所以X取20或21
当X=20是,室内车位为50
当X=21时,室内车位45
所以最多能有70个车位
42.为一副长20CM 宽16CM的照片配一个镜框,要求镜框的四条边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的二分之一,镜框边的宽度应为多少
解:方法一:
镜框边的宽度为xcm,照片长加两个宽度,宽加两个宽度,外部变成一个大长方形,故大长方形的长为(20+2x)cm,宽为(16+2x)cm,大长方形面积减去照片(小长方形)面积就是镜框的面积。
(20+2x)(16+2x)-20*16=20*16/2
4x^2+72x-160=0
x^2+18x-40=0
(x+20)(x-2)=0
x=2,x=-20(舍去)
镜框边的宽度应为2cm
方法二:
镜框的面积就是两个以照片长为长、镜框边的宽度为宽的长方形面积,两个以照片宽为长、镜框边的宽度为宽的长方形面积,四个以镜框边的宽度为边长的小正方形面积三部分组成。
2(20x)+2(16x)+4x^2=20*16/2
4x^2+72x-160=0
x^2+18x-40=0
(x+20)(x-2)=0
x=2,x=-20(舍去)
镜框边的宽度应为2cm
43.将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖出500个,已知该商品每降价1元,其销售量就要减少10个,为了赚8000元利润,售价应定为多少?这时进货应为多少个?
43解:设售价应定为x 元,根据题意列方程得[]8000)40()50(10500=-?--x x 整理得
04801402=+-x x
(x -60)(x -80)=0 解得x 1=60,x 2=80
答:当x 1=60时,进货量为400个 当x 2=80时,进货量为200个
44.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a 元,可以卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?每件商品售价多少?
44解:由题意列方程得,a(350-10a)-21(350-10a)=400
0775562=+-a a
(a-25)(a-31)=0
解得,a 1=25,a 2=31
∵%202121
31>-∴a 2=31不合题意,舍去
350-10a =100
答:需要卖出100品,商品售价25元 45.目标P 16实践与探究
每件商品的成本是120元,在试销阶段发现每件售价(元)与产品的日销售量(件)始
终存在下表中的数量关系,但每天的盈利(元)却不一样。为找到每件产品的最佳定价,商场经理请一位营销策划员通过计算,在不改变每件售价(元)与日销售量(件)之间的数量关系的情况下,每件定价为m 元时,每日盈利可以达到最佳值1600元。请你做营销策划员,m 的值应为多少?
45.解:若定价为m 元时,售出的商品为
[70-(m -130)]件 列方程得
[]1600)120()130(70=-?--m m
整理得025*******
=+-m m
0)160(2=-m ∴m 1=m 2=160 答:m 的值是160
46.某商店如果将进货价8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨0.5元,其销售量就可以减少10元,问应将售价定为多少时,才能使所赚利润最大,并求出最大利润
46解:设售价定为x 元,则每件的利润为
(x -8)元,销售量为
]105.010200[?--
x 件,列式得(x -8)]105.010
200[?--x
整理得,
720)14(20)
16028(202
2+--=+--x x x
即当x=14时,所得利润有最大值,最大利润是720元
一元2次方程应用题
1 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场绝地采用适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2见,若商场每天要盈利1200元,
每件衬衫应降价多少元??
解:设应降价x元
根据题意得:
(40-x)*(20+2x)=1200
解得
x=10 x=20
当x=10时20+2x=20件
当x=20时20+2x=60件
因为为了尽快减少库存,
所以应降价20元
降价A元,盈利为40-A元,平均每天售20+2A件
总盈利为(40-A)*(20+2A)=1200元
2 2008年4月30日,青龙山旅游度假区正式对外开放后,经过试验发现每天的门票收益与门票价格成一定关系。门票为40元一人时,平均每天来的人数为380人,当门票每增加1元,平均每天就减少2人。要使每天的没票收入达到24000
元,门票价格应定为多少元?
答案是150和80
设增加X元
(40+X)(380-2X)=24000
X1=40 X2=110
所以当X1=40时定价为:40+40=80元
当X2=110时定价为:110+40=150元
二次函数,设门票收入为y,门票增加x元
y=(40+x)*(380-2x)
y=-2x^2+300x+15200
当y=24000时
x1=110,x2=40
因为380-2x>0所以x<190
所以方程有两根
所以门票价格为40+110=150
或40+40=80
3 某产品的生产成本为1000元,经过两次技术改新,现在的生产成本为490元,求每次技术改新后,成本降低的百分率
设降低x
1000*(1-x)^2=490
(1-x)^2=0.49
1-x=0.7,或-0.7
x=0.3=30%,或x=1.7=170%(舍去)
故:平均每次降低30%。
设每次成本降低的百分率为a,则可列方程
1000×(1-a)×(1-a)=490
(1-a)2=0.49
1-a=0.7或1-a=-0.7
a=0.3=30%或a=1.7>(舍去)
每次技术改新后,成本降低百分之三十。
(1000-490)/1000
就行了!
4 某种果树枝杈很多,它的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样的小分支,主
干、支干、小分支的总数是183,每个支干长处多少小分支。要过程!!
设枝干数为X
1+X+X^2=183
X^2+X-182=0
X1=-14(舍)
X2=13
所以每个枝干长13个小分支
5 某公司第一季度营销收入为100万元第2、3季度连续增长,第3季度的营销收入为169
万元,求第2、3季度的平均增长率
设平均增长率为X
100×(1+X)^2=169
X=0.3=30%
6 原初三1班的同学在毕业时全班同学和6名老师互发电子邮件共发了1260封,求有几
名同学
设有X名同学,共有(X+6)人,每人要发(X+5)封邮件。
(X+6)(X+5)=1260
7 有一容器装满纯酒精30升,第一次到出若干升后用水装满,再到出同样体积的溶液,容器
中剩下的酒精溶液中含有纯酒精4.8升,求每次到出酒精溶液多少升?
解析:
设每次倒出X升
每一次倒出X后,剩下30-X
加水后,液体含酒精比为(30-X)/30
第二次倒出液体中有酒精X*[(30-X)/30]
所以
30-X-X*[(30-X)/30]=4.8
解得X=18 另一解不合题意舍去
8 商场将单价为40元的商品按50元出售时一个月能卖出500个,已知此产品,每涨价1元,其销售量就减少10个,为了赚得8000元的利润,销售量又不超过300个,售价应定为多少?这
时应进货多少?
设售价应定为x元
[500-(x-50)*10]*(x-40)=8000
(1000-10x)*(x-40)=8000
-10x^2+1000x+400x-40000=8000
x^2-140x+4800=0
(x-80)(x-60)=0
x=80或x=60
x=80,500-(x-50)*10=200个
售价应定为80元,进货为200个
x=60,500-(x-50)*10=400个>300个,不合题意舍去
9 某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克。经市场调查发现:在进货价不变的情况下,若每千克涨1元,日销售量将减少20千克。现在市场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
设每千克应涨价x元,则有:
水果每千克盈利为:10+x
每天享受量为:500-20x
每天盈利保证6000元,所以可得:(10+x)*(500-20x)=6000
5000+500X-200X-20X^2=6000
20X^2-300X+1000=0
X^2-15X+50=0
(X-10)(X-5)=0
解方程可得x1=10,x2=5
要让顾客得到实惠,就是要价格最低,所以每千克应涨价5元
10 甲乙两名职工接受相同数量的生产任务,开始时,乙比甲每天少做4件,乙比甲多用了两天,这样甲、乙两人各剩624件;随后,乙改进了生产技术,每天比原来多做6件,而甲每天的工作量不变,结果两人完成全部生产任务所用时间相同。原来甲、乙两人每天各做多少件?每人的全部生产任务是多少?1.设开始时候乙每天做x个则甲是每天做x+4个,甲一开始用了y天,则乙用了y+2天
这样可得
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%) (1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答 需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得 90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗? 解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0. 解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1. 所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5. 答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.
一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典 型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?
解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,
一元二次方程应用题 1、某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行、列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价关系式 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元. 4.现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒? 解:设边长x 则(19-2x)(15-2x)=77 4x^2-68x+208=0 x^2-17x+52=0
增长率问题:1、恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 5、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价:1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a 元,则可卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)。当每吨售价为260元时,月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元。(3)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大。”你认为对吗?请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游,推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游,共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游? 图 1
一元二次方程应用题精选 一、数字问题 1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。 2、一个两位数,十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的积是1008,求这个两位数. 二、销售利润问题 3、某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增 加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.求: (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多,请你帮助设计方案. 4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家 电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? 5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
三、平均变化率问题增长率 (1)原产量+增产量=实际产量. (2)单位时间增产量=原产量×增长率. (3)实际产量=原产量×(1+增长率). 6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少? 7. 某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几? 四、形积问题 8、有一块长方形的铝皮,长24cm、宽18cm,在四角都截去相同的小正方形,折起来做成一个没盖的盒子,使底面积是原来面积的一半,求盒子的高. 9、如图,在一块长为32m,宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路,余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2,求小路宽的宽度.
一元二次方程应用题典型题型归纳 (一)传播与握手问题 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一 个人传染了个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有 个队参加比赛。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有 个队参加比赛。 5.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组 共互赠了182件,这个小组共有多少名同学? 6.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,这个小组共有 多少人? 7.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? (二)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均 每次降价率是。 3.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始 涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率。 4.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同, 求每次降价的百分率?
5.恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. (三)商品销售问题 售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额 1.某商店购进一种商品,进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元)满足关系:P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件? 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产 品全部售出,已知生产ⅹ只熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R、P与x的关系式分别为R=500+30X,P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元? (2)若可获得的最大利润为1950元,问日产量应为多少? 3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500 千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元。 为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现,如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
实际问题与一元二次方程(3) 教学目标: 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤和关键; 3、通过一题多解使学生体会列方程的实 质,培养灵活处理问题的能力. 教学重点:列方程解应用题. 教学难点:会用含未知数的代数式表示题目里的中间量(简称关 系式);会根据所设的不同意义的未知数,列出相应的方程。 教学过程: 一、复习引入 1、上一节,我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”,现在,我们要学习解决“面积、体积问题。 2.直角三角形的面积公式是什么??一般三角形的面积公式呢? 3.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么? 4.梯形的面积公式是什么? 5.菱形的面积公式是什么? 6.平行四边形的面积公式是什么? 7.圆的面积公式是什么? 二、探究: 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何 设计四周边衬的宽度? 解法一: 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两 边之比也为9:7 设正中央的矩形两边分别为9xcm ,7xcm 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为: 2331=x ),(2332舍去不合题意-=x 21274379??=?x x 8.143275422339272927≈-=?-=-x
左右边衬的宽度为: 解法二: 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7 设上下边衬的宽为9xcm ,左右边衬宽为7xcm 依题意得 解方程得 (以下同学们自己完成) 三、例题讲解: 用20cm 长的铁丝能否折成面积为30cm 2的矩形,若能够,求它的长 与宽;若不能,请说明理由. 解:设这个矩形的长为x cm,则宽为 cm, 即 x 2-10x+30=0 这里a=1,b=-10,c=30 ∴此方程无解. ∴用20cm 长的铁丝不能折成面积为30cm 2的矩形. 四、学生练习: 1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米? 2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m, 四周外围环绕着宽度相等 4.14 3214222337212721≈-=?-=-x 212743)1421)(1827(??=--x x 4336±=x )220(x -30)220(=-x x 0 203014242)10(<-=??-=-∴-ac b
一元二次方程应用题经典题型汇总 (一)传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后,由每盒200 元下调至128 元,则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主 干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45 场比赛,共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共 互赠了182 件,这个小组共有多少名同学? 6. 一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72 张,这个小组共有多 少人? 7. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑?若病毒得不到有效控制, 3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过700 台?
(二)平均增长率问题 变化前数量×(1x)n=变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤,2003 年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90 元降到了40 元,求平均每 次降价率是。 3. 某种商品,原价50 元,受金融危机影响, 1 月份降价10%,从2 月份开始涨价, 3 月份的售价为64.8 元,求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求 每次降价的百分率? 5. 为了绿化校园,某中学在2007 年植树400 棵,计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵,求该校植树平均每年增长的百分数。
一元二次方程应用题(含答案) 学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0,
列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤是: “审、设、列、解、答”. (1)“审”指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系.这 一步是解决问题的基础; (2)“设”是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设 什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易; (3)“列”是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系, 再根据这个相等关系列出含有未知数的等式,即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键; (4)“解”就是求出所列方程的解; (5)“答”就是书写答案,应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意, 如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100%等等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验. (一)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均 每次降价率是。 3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期 后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 。 4.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始 涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率。 5.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同, 求每次降价的百分率?
一元二次方程应用题经典题型汇总 认真阅读题目,分析题意,学会分解题目,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目,举例说明. 一、面积问题: 例1:如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直 的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?设 道路的宽为x米,则可列方程为() A.100×80-100x-80x=7644 B.(100-x)(80-x)+x2=7644 C.(100-x)(80-x)=7644 D.100x+80x=356 二、增长率问题:(变化前的基数a,增长率x,变化的次数n,变化后的基数b,关系:a(1+x)n=b)例2:恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 三、商品价格问题 例3:某商场服装部销售一种名牌衬衫,平均每天可售出30件,每件盈利40元.为了扩大销售,减少库存,商场决定降价销售,经调查,每件降价1元时,平均每天可多卖出2件。若商场要求该服装部每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 四、储蓄问题 例4:王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 五、情景对话类 例5:春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
Page 1 of 17 让每一个学生超越老师! 一元二次方程应用题经典题型汇总 同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x .,则根据题意,得200(1-20%)(1+x )2=193.6, 即(1+x )2=1.21,解这个方程,得x 1=0.1,x 2=-2.1(舍去). 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m (1+x )2=n 求解,其中m <n .对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m (1-x )2=n 即可求解,其中m >n .
Page 2 of 17 让每一个学生超越老师! 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商 品售价a 元,则可卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a -21)(350-10a )=400,整理,得a 2-56a +775=0, 解这个方程,得a 1=25,a 2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a 2=31不合题意,舍去. 所以350-10a =350-10×25=100(件). 答 需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解 设第一次存款时的年利率为x . 则根据题意,得[1000(1+x )-500](1+0.9x )=530.整理,得90x 2+145x -3=0.
一、一元二次方程的应用题 1.(2010年长沙)长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望.为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下调后,决定以每平方米4050元的均价开盘销售. (1)求平均每次下调的百分率; (2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,送两年物业管理费.物业管理费是每平方米每月1.5元.请问哪种方案更优惠? 解:(1)设平均每次降价的百分率是x ,依题意得 ………………………1分 5000(1-x )2= 4050 ………………………………………3分 解得:x 1=10% x 2= 19 10 (不合题意,舍去) …………………………4分 答:平均每次降价的百分率为10%. …………………………………5分 (2)方案①的房款是:4050×100×0.98=(元) ……………………6分 方案②的房款是:4050×100-1.5×100×12×2=(元) ……7分 ∵< ∴选方案①更优惠. ……………………………………………8分 2.(2010年成都)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计,2007年底全市汽车拥有量为180万辆,而截止到2009年底,全市的汽车拥有量已达216万辆. (1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率; (2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计,从2010年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆. 答案:26.. 解:(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x 。根据题意,得 2 150(1)216 x += 解得10.220%x ==,2 2.2x =-(不合题意,舍去)。 答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。 (2)设全市每年新增汽车数量为y 万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y ?+万辆,2011年底全市的汽车拥有量为(21690%)90%y y ?+?+万辆。根据题意得 (21690%)90%231.96y y ?+?+≤ 解得30y ≤ 答:该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。
一元二次方程应用题20及答案 1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。 解:设这两个数分别是a和a+1. 根据题意列方程:a2+(a+1)2=25 整理得:a2+a-12=0 解得:a1=3 a2=-4 当a=3时,两个数分别是3和4 当a=-4时,两个数分别是-3和-4 2、有一个两位数,它的十位上的数字比个位上的数字小2,十位上的数字与个位上的数字之 积的3倍刚好等于这个两位数。求这个两位数。 解:设个位数为x,则十位数为x-2 x(x-2)3=10(x-2)+x 3 a22-17x+20=0 (3x-5)(x-4)=0 x=5/3(舍去)或x=4 则这两位数为24 3、有一个两位数,它的个位上的数字与十位上的数字之和是6,如果把它的个位数字与十 位数字调换位置,所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008,求调换位置后得到的两位数。 解:设这个两位数个位数为x,则(10x+6-x)(10(6-x)+x) = 1008, 化简得到x 2-6x+8=0,所以x=2或4 面积问题 4、用一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在四个角上截去四个相同的边长为Xcm的小正方 形,然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方形盒子,求X的值。 解:设小正方形的边长为X厘米 (80-2X)(60-2X)=1500 x2 -70X+825=0 (X-15)(X-55)=0 X=15或X=55(不符合,舍去)X=15 5、如图,在长为32m,宽为20m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路,把耕地分成大小 不等的六块作实验田,要使试验田面积为570m2,道路的宽应为多少? 解:设宽度为xm,640-(20*2*x+32*x)+2x^=570 x2-36x+35=0 (X-1)(X-35)=0 x=1 或35(不合题意,舍去)x=1 增长率问题 6、某新华书店计划第一季度共发行图书122万册,其中一月份发行图书32万册,二、三月 份平均每月增长率相同,求二、三月份各应发行图书多少万册? 解:设增长率为x,则 32+32(1+x)+32(1+x)(1+x)=122 (4x-1)(4x+13)=0 x=0.25或-3.25(不合题意,舍去) 二月发行图书32(1+x)=40册三月发行图书32(1+x)(1+x)=50册 7、某校2009年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款,计划到2011年共捐款4.75万元, 问该校捐款的平均年增长率是多少? 解:设平均年增长率为X。则1+(1+X)+(1+X)(1+X)=4.75 x2+3x-1.75=0 (x-0.5)(x+3.5)=0 解得x=0.5或-3.5(不合题意,舍去)X=0.5=50% 销售问题 8、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售量增 加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每
一元二次方程应用复习 1.“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏.为抢修其中一段120米的铁路,施工队每天比原计划多修5米,结果提前4天开通了列车.问原计划每天修多少米? 2.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1.在温室内,沿前侧内墙保留3m宽的空地,其它三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是2 288m? 3.李叔叔家房子前面有一块长方形荒地,准备把它建成一座花园.但中央修两条互相垂直的等宽小路,正好将荒 地分成四个面积相等的小长方形.如图3-8-7,已知原长方形的长为30米,宽20米,要使每个小长方形面积不少于126m2.则每条小路宽至少为多少米? 4.如图3-9-13,所示一个农户用24m长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍.要使三个鸡舍的总面积为36m2,求每个鸡舍的长和宽. 5.如图3-9-5,从一块长80厘米,宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形,使剩下的长方框 四周的宽度一样,并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半,求这个宽度. (第2题) 蔬菜种植区域 前 侧 空 地
6.某电脑公司2000年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元,且计划从2000年到2002年,每年经营总收入的年增长率相同,问2001年预计经营总收入为多少万元? 7.某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%,由于国际油价油价上涨,这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%。求这个月的石油价格相对上个月的增长率。 8.某百货商店服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元? 9.某商店进了一批服装,进价为每件50元.按每件60元出售时,可销售800件;若单价每提高1元,则其销售 量就减少20件.今商店计划获利12000元,问销售单价应定为多少元?此时应进多少件服装? 10.将进货单价为40元的商品按50元售出时,就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个,问为了赚得8000元的利润,售价应定为多少?这时应进货多少个?
列一元二次方程解应用题的一般步骤: 第一步:审题,明确已知和未知; 第二步:找相等关系; 第三步:设元,列方程,并解方程; 第四步:检验根的合理性; 第五步:作答. 一、 数字问题 1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数. 3. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数. 4.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是 5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数. 二、 传播问题 例一 有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析:设每轮传染中平均一个人传染了x 人 开始有一人患了流感, .2332:或这两个数为答.3,221==x x 解得()[]()[].736510510=-++-x x x x 得根据题意字为设这个两位数的个位数解,,:x .36,25:或这个两位数为答.6,521==x x 解得().3102x x x +-=得根据题意为设这两位数的个位数字解,,:x .5,99,5:--或这两个数为答.9,521-==x x 解得得根据题意设其中一个数为解,,:x ().454=+x x
第一轮:他传染了x 人,第一轮后共有______人患了流感. 第一轮后共有________人患了流感 第二轮的传染源 第二轮:这些人中的每个人都又传染了x 人,第二轮共传染______人 第二轮后共有____________________人患了流感. 2、有一个人收到短消息后,再用手机转发短消息,经过两轮转发后共有144人收到了短消息,问每轮转发中平均一个人转发给几个人? 分析:设每轮转发中平均一个人转发给x 个人,第一轮后有 人收到了短消息,这些人中的每个人又转发了x 人,第二轮后共有 个人收到短消息. 练习:甲型H1N1流感病毒的传染性极强,某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗,经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感,每天平均一个人传染了几人?如果按照这个传染速度,再经过5天的传染后,这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感? 分析:第一天人数+第二天人数=9 解:设每天平均一个人传染了x 人。 变式:甲型H1N1流感病毒的传染性极强,某地因3人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗,经过两天的传染后共有27人患了甲型H1N1流感,每天平均一个人传染了几人?如果按照这个传染速度,再经过2天的传染后,这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感? 变式:甲型H1N1流感病毒的传染性极强,某地因a 人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗,每天平均一个人传染了b 人,第一轮后,传染了( )人,共有( )人患病,第二轮后,传染了( )人, 共有( )人患病。整理得: 总结归纳 a 表示传染之前的人数, x 表示每轮每人传染的人数, n 表示传的天数或轮数, A 表示最终的总人数 综合练习:惠州市开展“科技下乡”活动三年来,接受科技培训的人员累计达95万人次,其中第一年培训了20万人次,设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x,根据题意列出的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ 分析:本题中的相等关系为第一年培训人数+第二年培训人数+第三年培训人数=95万。 9)1(2 =+x 9)1(1=+++x x x 即 A x a n =+)1(