学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数数列
D ．摆动数列
【解析】 因为等比数列{a n }的公比为q ＝－14，a 1＝2，故a 2<0，a 3>0，…
所以数列{a n }是摆动数列．
【答案】 D
2．对任意等比数列A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列【解析】 设等比数列的公比为a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.
【答案】 D
3．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11的值为( )
A ．48
B ．72
C ．144
D ．192
【解析】 ∵a 6a 7a 8a 3a 4a 5
＝q 9＝8(q 为公比)， ∴a 9a 10a 11＝a 6a 7a 8q 9＝24×8＝192.
【答案】 D
4．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是( )
A ．3
B ．27
C ．3或27
D ．15或27
【解析】 设此三数为3，a ，b ，则??? 2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，
解得??? a ＝3，b ＝3或???
a ＝15，
b ＝27，
所以这个未知数为3或27. 【答案】 C
5．在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )
A ．10n
B ．n 10
C ．100n
D ．n 100 【解析】 设这n ＋2个数为a 1，a 2，...，a n ＋1，a n ＋2，
则(a 2·a 3·…·a n ＋1)2＝(a 1·a n ＋2)n ＝100n
，∴a 2·a 3·…·a n ＋1＝10n 【答案】 A 二、填空题
6．在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________．
【解析】 因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，
所以a 3a 8＝213，又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29＝512.
因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2，所以a 7＝a 8q ＝256.
【答案】 256
7.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x ＋y ＋z 的值为________.
【解析】 ∵x 2＝24，∴x ＝1.
∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.
同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.
∴y ＝5·? ????123，z ＝6·? ??
??124， ∴x ＋y ＋z ＝1＋5·? ????123＋6·? ????124＝3216
＝2. 【答案】 2
8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．
【解析】 由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均
增长率只需利用a 12a 1
＝m ，所以月平均增长率为11m －1. 【答案】 11m －1
三、解答题
9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比.
【解】 设该数列的公比为q .
由已知，得??? a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，
所以??? a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得?
?? a 1＝1，q ＝3，(q ＝1舍去)， 故首项a 1＝1，公比q ＝3.
10．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p ＋q 的值．
【解】 不妨设a >b ，由题意得??? a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，
∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，
∴??? ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴???
a ＝4，
b ＝1，
∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9. [能力提升]
1．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )
A．±2 B．±4
C．2 D．4
【解析】∵T13＝4T9，
∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.
又∵{a n}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.
【答案】 C
2．公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()
A．16 B．14
C．4 D．49
【解析】∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6b8＝b27＝16.
【答案】 A
3．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
【解析】由题意知，数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{a n}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{a n}中连续四项至少有一项为负，∴q<0.
又∵|q|>1，∴{a n}的连续四项为－24,36，－54,81.
∴q＝
36
－24
＝－
3
2，
∴6q＝－9.
【答案】－9
4．在等差数列{a n}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，ak n，…成等比数列，求数列{k n}的通项k n.
【解】依题设得a n＝a1＋(n－1)d，a22＝a1a4，
∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，整理得d 2＝a 1d ，
∵d ≠0，∴d ＝a 1，得a n ＝nd .
∴由已知得d,3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d ，…是等比数列． 又d ≠0，∴数列1,3，k 1，k 2，…，k n ，…也是等比数列，首项为1，公比为q ＝31＝3，由此得k 1＝9.
等比数列{k n }的首项k 1＝9，公比q ＝3，
∴k n ＝9×q n －1＝3n ＋1(n ＝1,2,3，…)，即得到数列{k n }的通项为k n ＝3n ＋1.