补充线性规划问题习题及解答
1．某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm ，现在要在宽度上进行切割以完成下列订货任务：24cm 宽的75卷，40cm 宽的50卷和32cm 宽的110卷，长度是一样的，试将这个要解决的切割方案问题列成线性规划模型，使切余的边料最少。 答：有下面八种切法
设x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6 ，x 7，x 8分别表示八种下料方案切割的铜卷数，求解x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8使满足条件：
???????≥≥++++≥++≥++++取整数
0110235027522487543864276541
876541x ,x x x x ，x x x x x x x x x x x x x x x ，x 2,，，，x 3 并使余料总数：
Z= 4x 1+20x 2+4x 3+4x 4+12x 5+12x 6 +20x 7 +28x 8 取得最小值。 近似最优解x 1=25/4,x 3=20,x 4=50 其他为0，最优值z*=305。（不是整数解）
2．某养鸡场养鸡10000只，用大豆和谷物饲料混合喂养，每天每只平均吃混合饲料，其中应至少含有蛋白质和钙。已知大豆中含50%蛋白质和%的钙，价格是元/kg，谷物中含有10%的蛋白质和%的钙，价格是元/kg，粮食部门每周只保证供应谷物饲料25000kg，大豆供应量不限，问应如何搭配两种饲料，才能使喂养成本最低，建立该问题的数学模型。
解：设每周用大豆x1公斤，谷物x2公斤,数学模型为
图解最优解x1= , x2=,最小值z*=。
3．一家昼夜服务的饭店，24小时内需要服务员的人数如下
每个服务员每天连续工作8小时，且在表中时段开始上班，试求要求满足以上要求的最少上班人数，建立该问题的数学模型。
解：设在j钟点上班的人数为xj(j=1,2,…,6)，上班之后连续工作8小时，下班离开，每班中间不允许交接班离开。故有
4人8人10人7人12人4人
50%x1 +10%x2≥×7×10000=7000 蛋白质
%x1+%x2≥×7×10000=140 钙
x1 +x2≤×7×10000=35000 总量
x2≤25000 谷物限量
x1≥0,x2≥0
min z=x1+
据题意有
2~6时 x1 +x6 ≥4
6~10时 x1+x2+ ≥8
10~14时 x2+x3 ≥10
14~18时 x3+x4 ≥7
18~22时 x4+x5 ≥12
22~2时 x5+x6 ≥4
min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6
最优解x1=4 , x2=10 , x4=8 , x5=4 , 其他xj=0, 最优值min z=26（人）
4．设有四个投资机会：
甲：在三年内，投资人应在每年年初投资，每年每元可获利息元，每年取息后可重新将本息投入生息。
乙：在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元可获得利息元，两年后取息，可重新将本息投入生息。
丙：在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元可获得利息元，这种投资最多不得超过15000元。
丁：投资人应在第三年年初投资，一年内每元投资可获利息元，这种投资不得超过10000元。
假定在这三年为期的投资中，开始时有30000元可供投资，投资人应怎样决定投资，才能在第三年底获得最高的收益，试建立其数学模型。解：设xij为第i年初投放到j项目的资金数，其数学模型为：
max z=++
x11+x12≤30000
x21+x23≤
x31+x34≤+
x23≤15000
x34≤10000
xij≥0 ,(i=1,2,3 ,j=1,2,3,4)
最优解x11=12500, x12=17500, x23=15000, x31=16250, x34=10000,其他为0；最优值z*=57500
5．某一求目标函数最大值的线性规划问题，用单纯形法求解时得到的某一步的单纯形表如下：
问a1，a2，a3，c，d各为何值及变量x j属于那一类性质的变量时：（1）现有解为唯一最优解。
（2）现有解为最优，但最优解有无穷多个。
（3）存在可行解，但目标函数无界。
（4）此问题无可行解。
答：
＜0, d ≥0, x 3, x 4 ,x 5都不是人工变量；
=0, d ≥0 , a 1，a 2至少一个大于零，x 3,x 4,x 5都不是人工变量； ＞0 , d ≥0 , a 1≤0，a 2≤0，x 3,x 4,x 5都不是人工变量； ≤0 , d ＞0 且x 3,x 4,x 5 至少一个是人工变量。
6. 某线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表格如下：
求a ，b ，…，k ，l 各个值。
答：a =3, b =2, c =4, d =-2, e =2, f =3,
g =1, h =0, i =5, j =5, k =-3/2, l =0
7. 写出下列线性规划问题的对偶问题：
（1）
??????
?≤≥=----≥++≤++-+-+=0
x x ,x ,0x 2x 4x 7x 3x 25x 4x 3x 3
x 3x 3x 2x .
t .s x 4x 3x 2x 3Z min
4321432143243214
321无约束， 答: ?????
??
??≥≤≥-+-=-+=-+-≤++
+-=无约束
3213
2132132131321,0,04
443373323232253max y y y y y y y y y y y y y y y y y w
（2）
()()
()????
?
????==≥=====∑∑∑∑====n ,,2,1j ;m ,,2,1i 0x n ,,2,1j b x m ,,2,1i a x .
t .s x c Z min
ij m 1
i j ij i n
1j ij m 1i n
1j ij
ij ΛΛΛΛ答: 8．用对偶单纯形法求解下列线性规划问题:
（1）
???
??≥≥+≥++=0x ,x 7x 7x 4
x x 2.
t .s x x Z min
2
121212
1 解:化成标准形式，列对偶单纯形表
采用对偶单纯形迭代规则得最优表： 最优解X=(21/13,10/13,0,0) ,最优值minZ= 31/13(maxZ’=-31/13) 。
?????==≤++=∑∑==)
...21...21(,max 1
1n j m i v u c v u v b u a w j i ij j i j
n
j j i m i i ，，，；，，，不限制
（2）
???
??≥≥+≥+++=0x ,x ,x 5x 2x 23x 3x .
t .s x 18x 12x 4Z min
3
213231321解: 化成标准形式，列对偶单纯形表
最优解X=(0,3/2,1,0,0) ,
最优值minZ=36(maxZ’=0-(3/2)×12-1×18=-36) 。 9．设
（1）写出其对偶问题。 （2）求解对偶问题。
（3）从对偶解中求出原问题的解。
???
??≥≥-++--≤++++-+-+=0,,,,326
3.
.4253min 5
4321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Z
-5
答：（1）对偶模型
（2）求解对偶问题，图解法。得Y =(-3,1) ,w *
=-15 。
（3）利用互补松弛性求原问题解，由y 1,y 2异于0，知原约束均为等式；又由对偶约束1，2，4式为严格不等式，故可得x 1,x 2,x 4等于0。代入原约束方程组，解得x 3=3，x 5=3, 即X *
=(0,0,3,0,3)T
,最优值z *
=-1×3-4×3=-15=w *
。
10．从下面最优单纯形表中（最大化问题，约束条件均为“≤”连接）
（1）写出原问题与对偶问题的最优解。 （2）求
1b Z ??，6
x Z ??，并解释这两个数值的含义。
?
?????
??
?≥≤-≤-≤+-≤+≤-≤-+=0
,0423125
3
..36max 21212121212121y y y y y y y y y y y y t s y y w
（3）如果以代价2
5增添第一种资源一个单位，是否值得 （4）若有人原向你购买第三种资源，应要价多少才合算
（5）是否有其它最优解，如果没有，说明为什么如果有，则求出另一个最优解。
解：(1)原问题最优解X *
=(2,0,3/2,0,1,0)T
,对偶问题最优解Y*=(4,0,9,0,0,0)。
(2)在最优表上可以得到最优基的逆B -1
,
根据最优表上P j ’=B -1
P j ,可解得P j =BP j ’,从而得A ,
对偶解---单纯形因子
再由检验数 ,可得 解得C =(1,1,2,0,0,0) ，最优值z*=1×2+0+2×(3/2)=5。
??
??
? ??=-6114011021
B ???
?
?
??=-----1000100017
2
71
7
17
117
127
271
74
7
4A ????
? ??=????? ???????
??='=----7114111413237
2
7
17
117
271
7
412100b B b 01
≤-=λ-j
B j j P B
C c j B j j P B C c 1-+λ=)
9,0,4(1==-Y B C B
在最优方案时，有411
==??y b Z
,因为b 1影子价格大于0,是稀缺资源，
故在一定范围内每增加一个单位该种资源就会增加4个单位总收入（影子价格或边际收入为4）。
对66
c x Z
=?? ，x 6表示第三种资源剩余数量，该偏导数值表示资源剩余量
对总收入的影响率。在初始方案时其值为0，在最佳方案时其值为-9，从另外角度说明引入该资源有利于减少短缺造成的损失或增加收入（影子价格为9）。
(3) 如果以代价2
5
增添第一种资源一个单位, 会增加
4个单位总收
入，值得。
(4) 若有人愿向你购买第三种资源，要价不低于其影子价格9才合算。 (5) 在最优表上,非基变量x 2的检验数为0，故最优解不唯一。令x 2进基，x 1出基，换基迭代得新最优解X *
=(0,2,3/2,0,5)T
,最优值z *
=0+1×2+2(3/2)=5 。
11．设
()()
???
??≥≤++≤++-++-=0,,29010412120
3.
.1355max
3
21321321321x x x x x x x x x t s x x x Z 先用单纯形法求出最优解，再分析在下列各条件单独变化的情况下最优解的变化。
（1）约束条件（2）右端常数由90变为70。 （2）目标函数中x 3的系数由13变为8。 （3）增加一个约束条件：50x 5x 3x 2321≤++ 解: 先用单纯形法求出最优解 MAX:-5X1 +5X2 +13X3
ST:
1] -1X1 +1X2 +3X3 +1X4 = 20
2] 12X1 +4X2 +10X3 +1X5 = 90
得到了第一个可行基
用最大检验数法
---------------------------------------------------------- I BA C -5 5 13 0 0
b X1 X2 X3 X4 X5
----------------------------------------------------------
1 X
2 5 20 -1 1
3 1 0
2 X5 0 10 16 0 -2 -4 1
---------------------------------------------------------- Cj-Zj -100 0 0 -2 -5 0
迭代次数 = 2
最优解
MAX Z= 100
变量名取值检验数
X1 0
X2 20
X3 0
X4 0
X5 10
约束标号对偶价格
( 1)
( 2)
在最优基不变的条件下, 变量在目标函数中的系数的取值区间
变量名现系数系数取值区间
X1 ( - , )
X2 ( , )
X3 ( - , )
X4 ( - , )
X5 ( , )
在最优基不变的条件下, 右端常数项的取值区间 约束序号 现常数 常数取值区间 ( 1) ( , ) ( 2) ( , )
-------------------------------------------------------
(1) 约束条件（2）右端常数由90变为70,不影响最优基,只须验证可
行性。由最优表找到最优基的逆???? ??-=-14011
B ,???
? ??-=???? ?????? ??-=-1020702014011
b B , x 5不可行,采用对偶单纯形迭代，x5出基，x3进基， -------------------------------------------------------- I BA C -5 5 13 0 0 b X1 X2 X3 X4 X5
------------------------------------------------------- 1 X3 13 5 -8 0 1 2 -1/2 2 X2 5 5 23 1 0 -5 3/2
------------------------------------------------------- Cj-Zj -90 -16 0 0 -1 -1
-------------------------------------------------------- 最优解
变量名 取值 检验数 X1 0 X2 5 X3 5
X4 0 X5 0 MAX Z= 90
(2) 目标函数中非基变量x 3的系数c 3由13变为8。
检查检验数λ3=c 3-C B B -1
P 3=8-(5,0)(3,10)T
=8-15=-7<0,最优解，最优值不变。
(3) 增加一个约束条件：50x 5x 3x 2321≤++,引进松弛变量x 6作为一
个基变量，在最优表添加一行，迭代出单位矩阵和检验数形式，判断是否最优解。
--------------------------------------------------------------
I BA C -5 5 13 0 0 0
b X1 X2 X3 X4 X5 X6
--------------------------------------------------------------
1 X
2 5 20 -1 1
3 1 0 0
2 X5 0 10 16 0 -2 -4 1 0
3 X6 0 50 2 3 5 0 0 1
--------------------------------------------------------------
Cj-Zj -100 0 0 -2 -5 0 0
--------------------------------------------------------------
I BA C -5 5 13 0 0 0
b X1 X2 X3 X4 X5 X6
--------------------------------------------------------------
1 X
2 5 20 -1 1
3 1 0 0
2 X5 0 10 16 0 -2 -4 1 0
3 X6 0 -10 5 0 (-4) -3 0 1
--------------------------------------------------------------
Cj-Zj -100 0 0 -2 -5 0 0
采用对偶单纯形迭代，x6出基，x3进基，
--------------------------------------------------------------
I BA C -5 5 13 0 0 0
b X1 X2 X3 X4 X5 X6
--------------------------------------------------------------
1 X
2 5 25/2 11/4 1 0 -5/4 0 3/4
2 X5 0 15 27/2 0 0 -5/2 1 -1/2
3 X3 13 5/2 -5/
4 0 1 3/4 0 -1/4
--------------------------------------------------------------
Cj-Zj -95 -5/2 0 0 -7/2 0 -1/2
最优解
MAX Z= 95
变量名取值检验数
X1 0
X2 25/2
X3 5/2
X4 0
X5 15
X6 0
约束标号对偶价格
( 1)
( 2)
( 3)
在最优基不变的条件下, 变量在目标函数中的系数的取值区间
变量名现系数系数取值区间
X1 ( - , )
X2 ( , )
X3 ( , )
X4 ( - , )
X5 ( , )
X6 ( - , )
在最优基不变的条件下, 右端常数项的取值区间
约束序号现常数常数取值区间
( 1) ( , )
( 2) ( , )
( 3) ( , )
12．设
（1）求在不影响最优基的条件下各个c j 的允许变化的范围。 （2）求在不影响最优基的条件下各个b i 的允许变化的范围。 解：列单纯形表求解得最优表，利用最优基不变时求解各系数区间 MAX: 2X1 +5X2 +8X3
ST:
1] 3X1 +2X2 -1X3 +1X4 =610 2] -1X1 +6X2 +3X3 +1X5 =125 3] -1X1 +1X2+1/2X3 +1X6 =420 MAX: 2X1 +5X2 +8X3 ST:
1] 3X1 +2X2 -1X3 +1X4 =610 2] -1X1 +6X2 +3X3 +1X5 =125 3] -1X1 +1X2+1/2X3 +1X6 =420 得到了第一个可行基 用最大检验数法
--------------------------------------------------------- I BA C 2 5 8 0 0 0 b X1 X2 X3 X4 X5 X6
----------------------------------------------------------- 1 X4 0 610 3 2 -1 1 0 0 2 X5 0 125 -1 6 3 0 1 0 125/3 3 X6 0 420 -1 1 1/2 0 0 1 840
----------------------------------------------------------- Cj-Zj 0 2 5 8 0 0 0
----------------------------------------------------------- 旋转元是 A[2][3] 用最大检验数法
?????????≥≤++-≤++-≤-+++=0
,,42021
125
36610
23.
.852max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x Z
-------------------------------------------------------------------
I BA C 2 5 8 0 0 0
b X1 X2 X3 X4 X5 X6
-------------------------------------------------------------------
1 X4 0 1955/3 8/3 4 0 1 1/3 0 1955/8
2 X
3 8 125/3 -1/3 2 1 0 1/3 0
3 X6 0 2395/6 -5/6 0 0 0 -1/6 1
--------------------------------------------------------------------
Cj-Zj -1000/3 14/3 -11 0 0 -8/3 0
--------------------------------------------------------------------
旋转元是 A[1][1]
用最大检验数法
-------------------------------------------------------------------
I BA C 2 5 8 0 0 0
b X1 X2 X3 X4 X5 X6
-------------------------------------------------------------------
1 X1
2 1955/8 1 3/2 0 3/8 1/8 0
2 X
3 8 985/8 0 5/2 1 1/8 3/8 0
3 X6 0 9645/16 0 5/
4 0 5/16 -1/16 1
--------------------------------------------------------------------
Cj-Zj -5895/4 0 -18 0 -7/4 -13/4 0
--------------------------------------------------------------------
迭代次数 = 2
最优解
MAX Z= 5895/4 = 1473 3/4 =
变量名取值检验数
X1 1955/8 = 244 3/8 =
X2 0
X3 985/8 = 123 1/8 =
X4 0 X5 0 X6 9645/16 = 602 13/16 =
约束标号 对偶价格 ( 1) ( 2) ( 3)
(1) 在不影响最优基的条件下各个c j 的允许变化的范围 在最优基不变的条件下, 变量在目标函数中的系数的取值区间 变量名 现系数 系数取值区间 X1 ( , ) X2 ( - , ) X3 ( , ) X4 ( - , ) X5 ( - , ) X6 ( , )
（2）在不影响最优基的条件下各个b i 的允许变化的范围B -1
b’≥0 在最优基不变的条件下, 右端常数项的取值区间 约束序号 现常数 常数取值区间 ( 1) ( , ) ( 2) ( , )
( 3) ( , )
01≤-=λ-j B j j P B C c
2019年上海市高考数学试卷 2019.06.07 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B =I 2. 已知z ∈C ，且满足 1i 5z =-，求z = 3. 已知向量(1,0,2)a =r ，(2,1,0)b =r ，则a r 与b r 的夹角为 4. 已知二项式5(21)x +，则展开式中含2x 项的系数为 5. 已知x 、y 满足002x y x y ≥??≥??+≤? ，求23z x y =-的最小值为 6. 已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，2()log f x x =，则3()2f = 7. 若,x y +∈R ，且 123y x +=，则y x 的最大值为 8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S = 9. 过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A 、B ，A 在B 上 方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，则λ= 10. 某三位数密码，每位数字可在0-9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有 两位数字相同的概率是 11. 已知数列{}n a 满足1n n a a +<（*n ∈N ），若(,)n n P n a (3)n ≥均在双曲线22 162 x y -=上， 则1lim ||n n n P P +→∞ = 12. 已知2()||1 f x a x =--（1x >，0a >），()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图像 上任意一点P ，在其图像上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ），满足AP AQ ⊥，且 ||||AP AQ =，则a =
线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 2x -y _2 例1、设变量x、y满足约束条件x 一y _ _1，则z =2x ? 3y的最大值为__________ 。 x y _1 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 \ >1, 例2、已知」x-y+1兰0,则x2+y2的最小值是_」“(x-1)2+(y+2『”值域？ 2x - y - 2 <0 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 Zf x _0 例3、在约束条件y_0 下，当3乞s乞5时，目标函数Z=3x?2y的最大值的变化范围是() |y x _s y 2x^4 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线x2-y2 =4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是() fx-yZ0 「x-yX0 『x-y^0 "x-y 兰0 (A) x y _ 0 (B) x y 乞0 (C) x y 乞0 (D) x y _ 0 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 (1 ：：: x ：「v ‘：：4 例5已知变量x，y满足约束条件若目标函数ax y (其中a 0)仅在 [―2 兰x—y 兰2 点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为 __________ 。 六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 丄x y _ 2 _ 0 _ 例6在平面直角坐标系中，不等式组x_y，2_0表示的平面区域的面积是()(A)4、、2 (B)4 [八0 (C) 2.2 (D)2 七、研究线性规划中的整点最优解问题 ”5x-11y —22, 例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件<2x+3yX9, 则 、2x 兰11. z =10x 10y 的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如z =-—a时，可把z看作是动点P x, y与定点Q b, a连线的斜率，这样目 x —b 标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。 x—y+ 2W 0，V
2013—2017高考全国卷线性规划真题 1.【2017全国1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1, 0,x y x y y +≤??-≥??≥?则z =x +y 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.【2017全国2，文7】设,x y 满足约束条件2+330 233030x y x y y -≤??-+≥??+≥? ,则2z x y =+的最小值是 A.15- B.9- C.1 D 9 3.【2017全国3，文5】设x ，y 满足约束条件3260 0x y x y +-≤??≥??≥? ，则z x y =-的取值范围是 A ．[–3,0] B ．[–3,2] C ．[0,2] D ．[0,3] 4．(2016全国1，文16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 5．(2016全国2，文14)若x ，y 满足约束条件?????x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则z ＝x －2y 的最小值为________． 6．(2016全国3，文13)设x ，y 满足约束条件?????2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____． 7.（2015全国1，文15）若x ,y 满足约束条件20 210220x y x y x y +-≤??-+≤??-+≥? ,则z =3x +y 的最大值为 ． 8.（2015全国2，文14）设x ，y 满足约束条件50 210210x y x y x y +-≤??--≥??-+≤?，则2 z x y =+的最大值为__________. 9.（2014全国1，文11）设x ，y 满足约束条件, 1,x y a x y +≥??-≤-?且z x a y =+的最小值为7，则a = A ．-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3
习题 2-1 判断下列说法是否正确: （1）任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题; （2）对偶问题的对偶问题一定是原问题; （3）根据对偶问题的性质, 当原问题为无界解时, 其对偶问题无可行解, 反之, 当对偶问题无可行解时, 其原问题具有无界解; （4）若线性规划的原问题有无穷多最优解, 则其对偶问题也一定具有无穷多最优解; （5）若线性规划问题中的b i, c j值同时发生变化, 反映到最终单纯形表中, 不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况; （6）应用对偶单纯形法计算时, 若单纯形表中某一基变量x i<0, 又x i所在行的元素全部大于或等于零, 则能够判断其对偶问题具有无界解。 （7）若某种资源的影子价格等于k, 在其它条件不变的情况下, 当该种资源增加5个单位时, 相应的目标函数值将增大5k;
（8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解, 若y i >0, 说明在最优生产计划中第i 种资源已经完全耗尽; 若y i =0, 说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z ()??? ??≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 解: (1)令'''444x x x =-, 增加松弛变量5x , 剩余变量6x , 则该问题的标准形式如下所示: ''' 12344''' 12344''' 123445''' 123446'''1234456max 342554222214..232 ,,,,,,0 z x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-+-+-?-+-+-=?+-+-+=??-++-+-=??≥? (2)令'z z =-, '11x x =-, '''333x x x =-, 增加松弛变量4x , 则该问题的标准形式如下所示: ''''' 1233'''' 1233'''' 12334''''12334 max 22334 ..26,,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =+-+?++-=?+-++=??≥? 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题, 并对照
20１７高考全国卷及自主招生数学高考真题 线性规划专题真题整理(附答案解析) 1.（１7全国卷Ｉ,文数7)设x ，ｙ满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤??-≥??≥? 则z =x ＋y 的最大值为( ） A.０ B ．１ Ｃ．2 D.3 答案：Ｄ 解析：如图,由图易知当目标函数z x y =+经过 直线33x y +=和0y =（即x 轴）的交点(3,0)A 时, z 能取到最大值，把(3,0)A 代入ｚ＝x +ｙ可得 max 303z =+=,故选Ｄ. 2.（17全国卷I ，理数１４题)设x ,ｙ满足约束条件21210x y x y x y +≤??+≥-??-≤? ，则32z x y =-的最小值 为 答案：5- 解析:不等式组21210x y x y x y +≤??+≥-??-≤? 表示的平面区域如图所示。 由32z x y =-变形得322z y x =-。要求z 的最小值， 即求直线322z y x =-的纵截距的最大值。由右图,易知 当直线322 z y x =-过图中点A 时,纵截距最大。 联立方程组2121x y x y +=-??+=?,解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =?--?=-。 故32z x y =-的最小值是-5.
3.(17全国卷Ⅱ，文数7、理数５)设ｘ、ｙ满足约束条件2+330233030x y x y y -≤??-+≥??+≥? .则2z x y =+ 的 最小值是（ ） A ． －1５ B.-９ C ． １ Ｄ 9 答案：A 解析:不等式组2+330233030x y x y y -≤??-+≥??+≥? 表示的可行域如图所示, 易知当直线2z x y =+过到213 y x =+与3y =-交点 ()63--，时，目标函数2z x y =+取到最小值，此时有 ()()min 26315z =?-+-=-,故所求z 最小值为15-． ４.(17全国卷Ⅲ,文数5)设ｘ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤??≥??≥? ，则z =x -ｙ的取值范围是 （ ) A.[-３,０］ B.［-3，2] C ．[0，2] D.[0,３] 答案：Ｂ 解析:绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数 的几何意义可得目标函数z =x -y 在直线3260x y +-=与 直线0x =（即x 轴)的交点()0,3A 处取得最小值, 此时min 033z =-=-。 在点()2,0B 处取得最大值， 此时max 202z =-=．故本题选择B 选项. 5．(17全国卷Ⅲ，理数13）若ｘ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥??+-≤??≥? 则34=-z x y 的最小值为__ ＿＿＿___.
线性规划的方法及应用 1 引言 运筹学最初是由于第二次世界大战的军事需要而发展起来的，它是一种科学方法，是一种以定量的研究优化问题并寻求其确定解答的方法体系．线性规划（Linear Progromming ，简称LP ）是运筹学的一个重要分支，其研究始于20世纪30年代末，许多人把线性规划的发展列为20世纪中期最重要的科学进步之一．1947年美国的数学家丹泽格提出了一般的线性规划数学模型和求解线性规划问题的通用方法――单纯形法，从而使线性规划在理论上趋于成熟．此后随着电子计算机的出现，计算技术发展到一个高阶段，单纯形法步骤可以编成计算机程序，从而使线性规划在实际中的应用日益广泛和深入．目前，从解决工程问题的最优化问题到工业、农业、交通运输、军事国防等部门的计划管理与决策分析，乃至整个国民经济的综合平衡，线性规划都有用武之地，它已成为现代管理科学的重要基础之一． 2 线性规划的提出 经营管理中如何有效地利用现有人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现．这类问题可以用数学语言表达，即先根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通常用变量的函数形式（称为目标函数），对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达（称为约束条件）．当变量连续取值，且目标函数和约束条件为线性时，称这类模型为线性规划的模型．有关对线性规划问题建模、求解和应用的研究构成了运筹学中的线性规划分支．线性规划实际上是:求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解.从而线性规划模型的基本结构为： ①变量：变量又叫未知数，它是实际系统的位置因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如n x x x ,,,21 等． ②目标函数：将实际系统的目标用数学形式表示出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值（如产值极大值，利润极大值）或极小值（如成本极小值，费用极小值等等）． ③约束条件：约束条件是指实现系统目标的限制因素．它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应设备能力、计划指标．产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件．约束条件的数学表示有三种，即 ,,,线性规划的变量应为非负值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负． 线性规划问题有多种形式，函数有的要求实现最大化，有的要求最小化；约束条件可以是“ ”，
多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现 一．多目标线性规划模型 多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函 数,其数学模型表示为： 11111221221122221122max n n n n r r r rn n z c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++??=+++?? ??=+++? （1） 约束条件为： 1111221121122222112212,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x +++≤??+++≤?? ??+++≤?≥?? （2） 若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。我们记:()ij m n A a ?=,()ij r n C c ?=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ， 12(,,,)T r Z Z Z Z = . 则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为: max Z Cx = 约束条件：0 Ax b x ≤?? ≥? （3） 二．MATLAB 优化工具箱常用函数[3] 在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为： ①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下 限和上限, fval 求解的x 所对应的值。 算法原理：单纯形法的改进方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub ） fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束
2017 高考全国卷及自主招生数学高考真题 线性规划专题真题整理（附答案解析） x 3y 3, 1. （ 17 全国卷 I ，文数 ）设 x ，y 满足约束条件 x y 1, 则 z=x+y 的最大值为（ ） 7 y 0, A ． 0 B ． 1 C ．2 D ．3 答案： D 解析：如图，由图易知当目标函数 z x y 经过 直线 x 3 y 3 和 y 0 （即 x 轴）的交点 A(3,0) 时， z 能取到最大值，把 A(3,0) 代入 z=x+y 可得 z max 3 0 3 ，故选 D. x 2 y 1 2.（17 全国卷 I, 理数 14 题）设 x ，y 满足约束条件 2x y 1，则 z 3x 2 y 的最小值 x y 0 为 答案： 5 x 2 y 1 解析：不等式组 2x y 1 表示的平面区域如图所示。 x y 0 由 z 3x 2 y 变形得 y 3 x z 。要求 z 的最小值， 2 2 即求直线 y 3 x z 的纵截距的最大值。由右图，易知 2 2 当直线 y 3 x z 过图中点 A 时，纵截距最大。 2 2 联立方程组 2 x y 1 ，此时 z 3(1) 2 1 5 。 x 2 y 1 ，解得 A 点坐标为 ( 1,1) 故 z 3x 2 y 的最小值是 -5.
2x+3y 30 3. （17 全国卷Ⅱ，文数 7、理数 5）设 x、y 满足约束条件2x 3 y 3 0 .则z2x y的 y 30 最小值是（） A.-15 C.1D9 答案： A 2x+3y 30 解析：不等式组2x 3y 30 表示的可行域如图所示， y30 易知当直线z 2x y 过到y 2 x 1与 y 3 交点 3 6 ，3 时，目标函数 z2x y 取到最小值，此时有 z min 26315 ，故所求z 最小值为15． ）设，满足约束条件 3x 2 y60 的取值范围是 4. （17 全国卷Ⅲ，文数 5 x0，则 z=x-y x y y0 () A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 答案： B 解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数 的几何意义可得目标函数z x y 在直线3x 2y 60 与= - 直线 x0 （即x 轴）的交点A0,3处取得最小值， 此时 z min0 3 3。在点B2,0处取得最大值，此时 z max 2 0 2 . 故本题选择 B 选项 . 5.（17 全国卷Ⅲ，理数13）若 x，y 满足约束条件x y 0 x y 2 0 则z3x 4 y 的最小值为y 0 ________．
线性规划练习题含答案 一、选择题 1．已知不等式组 2, 1, y x y kx x ≤-+ ? ? ≥+ ? ?≥ ? 所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k的值为 A．－1 B． 1 2 - C． 1 2 D．1 【答案】B 【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分，由于AOB ?的面积为2, AOC ?的面积为1，所以当直线y=kx+1过点A（2，0），B（0，1）时符合要求，此时 1 2 k=-,故选B。 2．定义 () () max{,} a a b a b b a b ≥ ?? =? < ?? ，已知实数y x,满足1 ,1≤ ≤y x，设{} max,2 z x y x y =+-，则z的取值范围是（） A、? ? ? ?? ? -2, 2 3 B、? ? ? ?? ? 2, 2 3 C、? ? ? ?? ? 3, 2 3 D、? ? ? ?? ? -3, 2 3 【答案】D 【解析】{} ,2,20 max,2 2,22,20 x y x y x y x y x y z x y x y x y x y x y x y x y ++≥-+-≤ ?? =+-== ?? -+<---> ?? ， 当z=x+y时，对应的点落在直线x-2y=0的左上方，此时 3 2 2 z -≤≤；当z=2x-y时，对应的点落在直线x-2y=0的右下方， 3 3 2 z -≤≤ 3．若实数x，y满足 ? ? ? ? ? ≤ + ≥ ≥ , 12 3 4 ,0 ,0 y x y x 则 1 3 + + = x y z的取值范围是（）
A ． )7,4 3 ( B ．??????5,32 C ．?? ????7,3 2 D ．?? ????7,4 3 【答案】D 【解析】作出如右图所示的可行域，由于13 ++=x y z 的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率，数形结合，可知3 3 , ,7,[,7]4 4 PA PB PA PB k z k k k z ≤≤==∴∈,应选D 4．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥?? -+≥??≥? ，则2z x y =+的最小值等于 ( ) A. 2 B. 3 C.5 D. 9 【答案】B 【解析】解：因为设,x y ∈R 且满足满足1 230 x x y y x ≥?? -+≥??≥? 故其可行域为 当直线Z=x+2y 过点（1，1）时，z=x+2y 取最小值3， 故选B 5．若实数，满足条件则的最大值为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A 【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y 过点A 时，Z 取得最大值.因为A(3,-3)，所以Z max =23(3)9?--=,故选A. x y 0,30,03,x y x y x +≥?? -+≥??≤≤? 2x y -9303-
线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面 积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值 为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产
线性规划模型在生活中的实际应用 一、线性规划的基本概念 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. 二、线性规划模型在实际问题中的应用 （1）线性规划在企业管理中的应用范围 线性规划在企业管理中的应用广泛，主要有以下八种形式： 1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是获利最大. 2.劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要. 3.运输问题：如何制定运输方案，使总运费最少. 4.合理利用线材问题：如何下料，使用料最少. 5.配料问题：在原料供应的限制下如何获得最大利润. 6.投资问题：从投资项目中选取方案，是投资回报最大. 7.库存问题：在市场需求和生产实际之间，如何控制库存量从而获得更高利益.
8.最有经济计划问题：在投资和生产计划中如何是风险最小 . （2）如何实现线性规划在企业管理中的应用 在线性规划应用前要建立经济与金融体系的评价标准及企业的计量体系，摸清企业的资源.首先通过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统的各有关部分的特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统的有关因素与系统目标的关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白较好的数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不同参数获取的不同结果与实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决策. 3.3 线性规划在运输问题中的应用 运输是物流活动的核心环节，线性规划是运输问题的常用数学模型，利用数学知识可以得到优化的运输方案. 运输问题的提出源于如何物流活动中的运输路线或配送方案是最经济或最低成本的.运输问题解决的是已知产地的供应量，销地的需求量及运输单价，如何寻找总配送成本最低的方案；运输问题包含产销平衡运输问题和产销不平衡运输问题；通常将产销不平衡问题转化为产销平衡问题来处理；运输问题的条件包括需求假设和成本假设.需求假设指每一个产地都有一个固定的供应量所有的供应量都必须配送到目的地.与之类似，每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须有出发地满足；成本假设指从任何一个产地到任何一个销地的配送成本和所配送的数量的线性比例关系.产销平衡运输问题的一般提法是： 假设某物资有m个产地a1，a2，?，am;各地产量分别为b1，b2，?，bn，物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价为cij,满足：
第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1．在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题. 2．多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 （1）一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． （2）简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x )>0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)；②变形?f (x ) g (x )≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. （3）简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )；②当0a g (x )?f (x )
线性规划常见题型及解法 温故 1．不在3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0） 2．已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线3x–2y + m = 0 的两侧，则（）A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24 C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤24 3．在△ABC中，三顶点坐标为A（2 ，4），B（－1，2），C（1 ，0 ），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z= x– y 的最大值和最小值分别是（） A．3，1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－1 4．在直角坐标系中，满足不等式x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的是（） 5．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）A． 2 3260 y x y x ≥- ? ? -+> ? ?< ? B． 2 3260 y x y x >- ? ? -+≥ ? ?≤ ? C． 2 3260 y x y x >- ? ? -+> ? ?≤ ? D． 2 3260 y x y x >- ? ? -+< ? ?< ?
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值
线性规划模型在实际生活中的应用 【摘要】线性规划在实际生活中扮演着很重要的角色，研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,其广泛应用于经济等领域，是实际生活中进行管理决策的最有效的方法之一。解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。本文通过对例题利用线性规划分析，如何合理的分配利用，最终找到最优解使企业利润最大，说明了线性规划在实际生活中的应用，而且对线性规划问题模型的建立，模型的解进行了分析，运用图解法和单纯形法解决问题。 【关键词】线性规划、建模、实际生活、图解法、单纯形法 前言：线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件。线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。本文运用常用的图解法和单纯形法解决利润最大化决策问题，贴近生活，很好的吧线性规划应用到生活实践中。 1、简单线性问题步骤简单介绍 建模是解决线性规划问题极为重要的环节，一个正确的数学模型的建立要求建模者熟悉线性规划的具体实际容，要明确目标函数和约束条件，通过表格的形式把问题中的已知
第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f (x ) g (x ) >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形?f (x ) g (x )≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )； ②当0a g (x )?f (x )
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致． 归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用． 本节主要讲解线性规划的常见基础类题型． 【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y ≥3，x －y ≥－1， 2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( ) A ．[7，23] B ．[8，23] C ．[7，8] D ．[7，25] 求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求 直线的截距z b 的最值，间接求出z 的最值． 【解析】画出不等式组???? ? x ＋y ≥3，x －y ≥－1， 2x －y ≤3， 表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－2 3 x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组 ????? x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得????? x ＝2， y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组????? x －y ＝－1，2x －y ＝3，得????? x ＝4，y ＝5， 所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23． 【答案】A
【母题二】变量x ，y 满足???? ? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0， x ≥1， (1)设z ＝y 2x －1，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围； (3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0 ??? ? x －12表示点(x ，y )和????12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方． 【解析】(1)由约束条件???? ? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0， x ≥1， 作出(x ，y )的可行域如图所示． 由 ????? x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ????1，22 5． 由????? x ＝1， x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由? ???? x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． ∵z ＝ y 2x －1 ＝y －0x －12 ×12 ∴z 的值即是可行域中的点与????12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－ 12×12＝29 ． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29． ∴2≤z ≤29． (3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4， d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8 ∴16≤z ≤64．
高考全国卷线性规划真 题含答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
2013—2017高考全国卷线性规划真题 1.【2017全国1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤?? -≥??≥? 则z =x +y 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.【2017全国2，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤?? -+≥??+≥? ,则2z x y =+的最小值 是 A.15- B.9- C.1 D 9 3.【2017全国3，文5】设x ，y 满足约束条件32600 0x y x y +-≤?? ≥??≥? ，则z x y =-的取值范围是 A ．[–3,0] B ．[–3,2] C ．[0,2] D ．[0,3] 4．(2016全国1，文16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料 kg ，乙材料 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 5．(2016全国2，文14)若x ，y 满足约束条件???? ?x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝ x －2y 的最小值为________．