第七讲 多元函数偏导数与最值问题
一、多元函数偏导数（抽象函数、隐函数、方程组）
例1．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)k
f tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f x
y z kf x y z x y z
???++=???． 证明：令,
,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为
(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，
上式两边对t 求导得
1(,,)k f u f v f w kt f x y z u t v t w t -??????++=??????， 又 ,u v w
x y z t t t ???===???
有 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w -???++=???
上式两边同乘以t ，得
(,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w ???++=??? 即有 (,,)f f f
u v w kf u v w u v w
???++=???
于是得 (,,)f f f
x
y z kf x y z x y z
???++=???． 例2．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z j =，sin y x =，其中,f j 具有一阶连续偏导数，且
0x j ?1?，求du dx
． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，见复合关系图：
有复合关系，有
x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx
???￠￠￠=++=++??? x
y
z
x
y
x
u
U
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d
由2(,,)0y
x e z j =两边对x 求导，得
12320y dy dz
x e dx dx
j j j ￠￠￠++=g g ，
又
cos dy
x dx
=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx j j j ￠￠=-+￠
g
于是
123cos (2cos )y z x y f du f f x x e x dx j j j ￠￠￠￠￠=+-+￠
g ． 例3．已知函数(,)u v x y =，满足方程
2222
()0u u u u
a x y x y
????-++=???? （1）试选择参数a ，b ，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e a b +=，将原方程变形使得新方程中不
含一阶偏导数项；
（2）再令x y x =+，x y h =-，使新方程变换形式 解：（1）
()x y x y x y u v v e v e v e x x x
a b a b a b a a +++???=+=+??? 2222()()x y x y u v v v
e v e x x x x
a b a b a a a ++????=+++???? 222(2)x y v v
v e x x
a b a a +??=++??， ()x y u v
v e y y
a b b +??=+??， 22222(2)x y
u v v v e y y y
a b b b +???=++??? 将上述式子代入已知方程中，消去x y
e
a b +变得到
222222
(2)(2)()0u u v v a a a a v x y x y
a b a b a b ????-+++-++-++=????， U
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由题意，令2020a a a b +=ìí-+=?，解出2
2
a a
a b ì=-??í?=??，
故原方程为 2222
0u u
x y ??-=??．
（2）令x y x =+，x y h =-，则
v v v v v x x x x h x h x h
???????=+=+???????， v v v v v
y y y x h x h x h
???????=+=-??????? 22222222v v v v v x x x x x
x h x h x x h x h h ?????????=+++??????????? 22222
2v v v
x x h h ???=++???? 同理 22222
22v v v v y x x h h
????=-+????? 将上面式子代入22220u u
x y
??-=??中得到
20v
x h
?=??． 二、求闭区域上连续函数的最值 （1）先求开区域内的最值，（2）再求区域边界上最值，这是由一元函数或拉格朗日乘数法求出．
例4．求函数2
2
(,)49z f x y x y ==++在闭区域{
}
2
2
(,)4D x y x y =+￡上最大值和最小值．
解：先求(,)f x y 在区域D 内部的驻点，由
(,)0x f x y ￠=，(,)0y f x y ￠=
得到驻点(0,0)对应的函数值(0,0)9f =，
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再考虑函数(,)f x y 在区域D 边界22
4x y +=上的情形，
方法1：讨论2
2
(,)49f x y x y =++在约束条件2
2
4x y +=下条件极值， 令 2
2
2
2
(,)49(4)F x y x y x y l =++++- 求导，得
2222082040F
x x x F
y y y F
x y l l l
ì?=+=?????=+=í????=+-=???， 解方程组，得0x =，2y =±，4l =-或2x =±，0y =，1l =-，
求出函数值(0,2)25f =，(0,2)25f -=，(2,0)13f =，(2,0)13f -=， 比较得(,)f x y 在闭区域D 上最大值
{}max (0,0),(0,2),(2,0)25M f f f =±±=，
最小值(0,0)9m f ==．
方法2：将条件22
4x y +=写成参数形式2cos x t =，2sin y t =代入(,)f x y 中，
22()(2cos ,2sin )4cos 16sin 9t f t t t t j ==++
求导，得 ()8cos sin 32sin cos 24sin cos t t t t t t t j ￠=-+=
令()0t j ￠=，得到0t =，2t p =
，则(0)13j =，(252
p
j =， 因为()t j 是周期函数，所以只讨论0t =，2
t p
=就可以了，结论同上．
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第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数 一、二元函数的一阶偏导数 1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数 z f(x ，y) 在点(x ，y 0)处及其附近有定 义，若一元函数z f(x ，y 0)在点x 0处对x 可导，则称此导数值为二元函数 z f(x ，y)在点(x 0，y 0)处对x 的一阶偏导数，记作 f x (x 0，y 0) ，或z x |x x 0，或 y y 0 f(x 0，y 0) z ； ，或 |x x x x yy 若一元函数z f(x ，y 0 )在点y 0处对y 可导，则称此导数值为二元函 数 z f (x ，y) 在点(x 0，y 0)处对y 的一阶偏导数，记作 f y (x 0，y 0)，或z y |x x 0，或 f(x 0，y 0) ，或 y y y 0 z x 0。 |x yy y 0 2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。 3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数 z f(x ，y)在区域E 上每一点(x ，y)处都 有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域 E 上每一点(x ，y)都有一个对x 的一阶偏导 数值和一个对 y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新 的二 元函数分别称 为 z f (x ，y)对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作 f x (x ，y)，或z x ，或 f(x ，y) z ，或 和f y (x ，y)，或z y ，或f(x ，y)，或z 。 x x y y 二、二阶偏导数 1、定义——二元函数 z f(x ，y)一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数 z f (x ，y) 的二阶偏导数，共有四个，分别记作 f xx (x ，y) (f x (x ，y))x ，或z xx ，或 f 2 (x ，y) 2z x 2 ，或 x 2 2 ， 2 f xy (x ，y) (f x (x ，y))y ，或z xy ，或 f(x y)，或 z y x x y 2 ， 2
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1) 2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2) 2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2) 2.2二元函数连续与可微之间的关系 (3) 2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3) 2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4) 二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6) 参考文献 (7) 致谢 (8)
本科生毕业论文 2 二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系 摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性. 关键词 二元函数 连续 偏导数 可微 The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common.. Key words binary function continuation partial derivatives differentiability 引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系. 1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 定义1 设f 为定义在点集2D R ?上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ?∈， 就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合 D 在点0P 连续. 定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内 有定义，则当极限00000000(,))(,) (,lim lim x x x f x y f x y f x x y x x ?→?→+-=????存在时，则称这个极限 为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0 (,) |x y f x ??. 定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义， 对于0()U P 中的点00,)(,)(y P x y x x y ++=??，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为
§8.4 多元函数求导法则 【定理】若函数及都在点可导; 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导,且其导数为 (1) 证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数 的对应增量为。 据假定,函数在点具有连续偏导数,从而有 这里,当时,。 上式两边除以得 而当时,有,从而 所以 故复合函数在点可导,其导数可用(1)式计算。 用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。 例如, 设与复合而得到 函数。 若在点可导, 对具有连续偏导数, 则复合函数在点可导, 且 (2)在公式(1)与(2)中的导数称为全导数。
上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。 例如, 设 与 复合而得到 函数 ,若 在点 具有对及的偏导数, 函数 在对应点具有连续偏导数, 则在点的两个偏导数存在, 且 (3) 事实上,求时,看作常量,因此中间变量及仍可看作一元函数而应用上述定理。 但均是的二元函数,所以应把(1)式中的 直导数记号改为偏导数的记号,再将换成,这样便得到了(3)式。 类似地, 设及 均在点具有对及的偏 导数,而函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数 在点的两个偏导数都存在,且 (4) 例如,若有连续偏导数,而 偏导数存在,则复合函数 可看作上述情形中当的特殊情形, 因此 (4)式变成
等式两边均出现了 或,尽管记号一样,但其意义有本质的差别,以第一式加以阐明: 左边的是将复合函数 中的看作常数,而对求偏导数； 右边的是把函数中的及看作常数,而对 求偏导数。 因此,为了避免麻烦, 我们往往将上述两式的形式写为 由该复合函数变量间的关系链，可对此求（偏）导数法则作如下解释： 求,可沿第一条线路对求导, 再沿第二条线路对求导, 最后把两个结果相加。 而沿第一条线路对 求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的 函数,求导结果自然是 ( 这与一元复合函数求导法则很类似)；而沿第二条线路对 求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的 函数,求导结果自然是。
第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种： （一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)，
的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000
多元函数的一阶偏导数练习题 1.Z=ln(e x+e y),y=2x3,求dZ/dx。 2.设Z=arctan(v/u),u=xsiny,v=xcosy,求Z'x，Z'y。
3.z=f(u,v),u=2x2-3y2,v=e x,求dz/dx,dz/dy。 4.设Z=f(2x2-y2,3x+2y),求Z'x，Z'y。
5.设z3+2xyz=33,求?z/?x,?z/?y。 6.设函数z=z(x,y)由方程x+y2-e^2-3z=0所确定,求?z/?y。
7.设函数z=z(x,y)由方程x3+y3+z3-2xyz+2=0所确定,求?z/?x,?z/?y。 8.(x+2)/z=lnz/y,求?z/?x，?z/?y。
9.设u=3x+sin(y/2)+e xyz+33,求?u/?x,?u/?y,?u/?z。 10.u=xyz*e^(x2+2y2+3z2),求?u/?x，?u/?y,?u/?z。
参考答案： 1.dZ/dx=(e x+6x2*e y)/(e x+e y). 2.Z'x=(ucosy-vsiny)/(u2+v2),Z'y=-x(usiny+vcosy)/(u2+v2). 3.dz/dx=4xf'u+e^xf'v，dz/dy=-6yf'u. 4.Z'x=4xf1'+3f2'，Z'y=-2yf1'+2f2'. 5.?z/?x=-2yz/(3z2+2xy)，?z/?y=-2xz/(3z2+2xy). 6.?z/?y=2y/3. 7.?z/?x=(3x2-2yz)/(2xy-3z2),?z/?y=(3y2-2xz)/(2xy-3z2). 8.?z/?x=y/(1+lnz)，?z/?y=(x+2)/(1+lnz). 9.?u/?x=3+yze xyz,?u/?y=(1/2)cos(y/2)+xze xyz,?u/?z=xye xyz. 10. ?u/?x=yz*(1+2x2)e^(x2+2y2+3z2), ?u/?y=xz*(1+4y2)e^(x2+2y2+3z2), ?u/?z=xz*(1+6z2)e^(x2+2y2+3z2).
多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法课程名称高等数学授课周次第15周第2次授课方式课堂讲授 第六章、第六节复合函数与隐函数的微分法(1) 2 章(节) 课时名称 教学目的使学生掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法 教学重点多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法 教学难点多元抽象复合函数的二阶偏导数的求法 一、教学引导: 现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。 二、学生课前准备: 复习一元复合函数的求导法则;预习多元复合函数的求导法则 三、课堂教学过程: 第一节课:多元复合函数的求导法则: 1, 复合函数的中间变量均为一元函数的情形: 定理1 如果函数u,,(t)及v,,(t)都在点t可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(t)～ ,(t)]在点t可导～且有 dz,zdu,zdv,,，, ，称为全导数 dt,udt,vdt dzyz,x,x,sint,y,cost,例1 设求全导数 dt 2, 复合函数的中间变量均为多元函数的情形: 定理2 如果函数u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)都在点(x～ y)具有对x及y的偏导
数～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f [,(x～ y)～ ,(x～ y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有 教学过程,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,，,,,，, ～ , ,x,u,x,v,x,y,u,y,v,y设计推广: 设z,f(u～ v～ w )～ u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)～ w,,(x～ y)～则,z,z,u,z,v,z,w,z,z,u,z,v,z,w,,，,，,,,，,，, ～ , ,x,u,x,v,x,w,x,y,u,y,v,y,w,y ,z,zu 例2 设 z,esin v～ u,xy～ v,x，y～求和, ,x,y 讨论: ,z,z, (1)设,(～ )～ ,(～ )～ ,()～则,, zfuvu,xyv,y,,x,y ,z,z,u,z,z,u,zdv,,,,，, 提示: ～ , ,x,u,x,y,u,y,vdy ,z,z, (2)设z,f(u～ x～ y)～且u,,(x～ y)～则,, ,,x,y ,f,f,f,f,z,u,z,u,，,，提示: ～ , ,x,u,x,x,y,u,y,y ,f,z,z这里与是不同的～是把复合函数z,f[,(x～ y)～ x～ y]中的y看 作 ,x,x,x ,f不变而对x的偏导数～是把f(u～ x～ y)中的u及y看作不变而对x的偏导 ,x ,f ,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z,,，,数, 与也朋类似的区 别，; ,,，,,x,u,x,v,x,y,y,u,y,v,y,y 222 ,u,u2x，y，zz,xsiny例3设～而, 求和 u,f(x,y,z),e,x,y 3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情形 定理3 如果函数,(～ )在点(～ )具有对及对的偏导数～函数u,xyxyxy v,,(y)在点y可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函