特殊的平行四边形讲义
知识点归纳
四边形分类专题汇总
专题一：特殊四边形的判定
【知识点】
1.平行四边形的判定方法：
（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________
2.矩形的判定方法：
（1）______________ （2）______________ （3）______________
3.菱形的判定方法：
（1）______________ （2）______________ （3）______________
4.正方形的判定方法：
（1）______________ （2）______________ （3）______________
5.等腰梯形的判定方法：
（1）______________ （2）______________ （3）______________
【练一练】
一．选择题
1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．
A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等
C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点
3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )
A.一组对边平行，另一组对边相等
B.一组对边平行，一组对角相等
C.一组对边平行，一组邻角互补
D.一组对边相等，一组邻角相等
4．如下左图所示，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，下列判断正确的是（ ）． A ．若AO=OC ，则ABCD 是平行四边形; B ．若AC=BD ，则ABCD 是平行四边形;
C ．若AO=BO ，CO=DO ，则ABC
D 是平行四边形;
D ．若AO=OC ，BO=OD ，则ABCD 是平行四边形 5．不能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）
A ．AB=CD ，AD=BC
B ．AB ∥CD ，AB=CD
C ．AB=C
D ，AD ∥BC D ．AB ∥CD ，AD ∥BC
6.四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判断它为矩形的题设是（ ） A ．AO=CO ，BO=DO B ．AO=BO=CO=DO
C ．AB=BC ，AO=CO
D ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD
7.四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CD B ．AD=BC C ．AB=BC D ．AC=BD
8.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（ ） A 、AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CD B 、AD ∥BC ，∠A ＝∠C C 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD D 、AC ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC 9.在下列命题中，真命题是（ ）
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10.在下列命题中，正确的是（ ）
A 一组对边平行的四边形是平行四边形
B 有一个角是直角的四边形是矩形
C 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 11.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形
C ．当∠ABC=900
时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形
12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．
的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形
B ．如果90BA
C ∠=o
，那么四边形AEDF 是矩形
C ．如果A
D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形
D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。
A 、对角线互相垂直且相等的四边形
B 、一条对角线平分一组对角的矩形
C 、对角线相等的棱形
D 、对角线互相垂直的矩形 14.下列命题中，假命题是（ ）。
A 、四个内角都相等的四边形是矩形
B 、四条边都相等的平行四边形是正方形
C 、既是菱形又是矩形的四边形是正方形
D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C B A Ａ Ｆ
Ｃ
Ｄ Ｅ
15.在四边形中，是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（）。
A、，
B、，
C、，
D、，，
16.下列命题正确的是（）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是等腰梯形
17.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）
A、当AB=BC时，它是菱形
B、当AC⊥BD时，它是菱形
C、当∠ABC=90°时，它是矩形
D、当AC=BD是，它是正方形
18.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）
A.等腰梯形
B.正方形
C.平行四边形
D.矩形
例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为
例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等；D.邻角互补例3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，?H，求证：?四边形EFGH是矩形．
例1已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
例2、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。
例3（中考题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
求线段的长．
例4、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系并证明你的猜想
例5、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
例1、（2011海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD；② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
A
B P
D
E
专题二：矩形的有关线段计算
1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0
120AOD ∠=，AB=，则AC 的长为 。
2. 如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是
___________厘米.
3. 如图，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（
）
A ．
B ．
C ．3
D ．
4. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ． C ． D ．2
5. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．
A 、
B 、2
C 、3
D 、
6. 黄冈)如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是_________cm.
7. 把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则
重叠部分△DEF 的面积是 cm 2
．
8. 如图(十二)，长方形ABCD 中，E 为BC 中点，作AEC ∠的角平分线交AD 于F 点。若AB ＝6，AD ＝16，则FD 的长度为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
9. 如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm.
10. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且AE ＝CE ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点B 1重合，则AC ＝ cm ．
专题三：菱形的有关线段计算
1. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ） A ．12cm 2
B ． 24cm 2
C ． 48cm 2
D ． 96cm 2
2. .若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（ ）
题2
B F C
G D A A B
C E 'A 题11 （'B ）
D A B B 1 C D
E
A 16
B 8
C 4
D 1
3. 如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_________cm.
4. 菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ． 32 B ．33 C ． 34 D ． 3
5. 已知菱形ABCD 的面积是2
12cm ，对角线4AC =cm ，则菱形的边长是__________cm ；
6. 菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，4cm AB =．那么，菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 ．
7. 已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ） A 、163
B 、16
C 、83
D 、8
8. 如图为菱形ABCD 与△ABE 的重迭情形，其中D 在BE 上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE 的长度为何（ ）
A 、8
B 、9
C 、11
D 、12
9. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于 cm 2
．
10. 基本图形:1.等腰三角形地边上的任意一点2.最短距离PA+PB 3.中点四边形 4.动点问题
专题四：正方形的有关线段计算
1. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在
MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N = ;
2. 如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2
．
3. 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在
A 落在F 处，折痕为MN
，则线段CN 的长是（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D
．6cm
B
N
E
题3
4. 如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，
∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△ABE ≌△DAF ；（2）若∠AGB=30°，求EF 的长.
5. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则AM 的长是B
A ．1.5 Ｂ．2 Ｃ．2.25 Ｄ．2.5
专题五：有关特殊四边形的角度计算
1. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ．
2. 如图，，矩形的顶点在直线上，则 度．
3. 如图，在菱形ABCD 中，，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则________度．
4. 如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ） A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°
5. 如图19，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为 度．
6. 如图，已知矩形纸片，点是的中点，点是上的一点，，现沿直线将纸片折叠，使点落在约片上的点处，连接，则与相等的角的个数为（ ） B. 3
四边形动点专题：
专题一：证明与计算
与中点相关的证明，或构造平行四边形将条件集中，或构造出中位线等等。
1.如图l ，在四边形A8CD 中，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长,分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则∠BME=∠CNE(不需证明)．
(温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理，可证得HE=HF ，从而∠HFE=∠HEF ，再利用平行线的性质，可证得∠BME=∠CNE ．)
B C D A P D A B C m l
α 65°
D C B A E
P A D
E P C B F
问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF ，分别交DC 、AB 于点M 、N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论．
问题二：如图3，在△ABC 中，AC>AB ，D 点在AC 上，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长，与BA 的延
长线交于点G ，? 若∠EFC=600
，连结GD ，判断△AGD 的形状并证
明．
2.在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ． （1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合， 求证：FM = MH ，FM⊥MH ；
（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图2中的CE 缩短到图14-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗
3.已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG=CG ；
（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o ，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立通过观察
你还能得出什么结论
A
C B D
F E N
M O
E
B
C D
H A F N
M 1 2
图1
图2
图3
A
B
C
D
F G E
图1
A
H
C (M )
D E
B
F
G (N )
G
图2
A H
C
D
E
B
F
N
M
A H C
D
E
图3
B
F G M
N
D
图①
D
E 图②
图③
4.已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；
（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
图①
图②
特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示： 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组 邻边相等； ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
专题一：特殊四边形的判定 【知识点】 1.平行四边形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________ 2.矩形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 3.菱形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 4.正方形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 5.等腰梯形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 【练一练】 一．选择题 1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形; D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（） A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（） A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B、AD∥BC，∠A＝∠C C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC
特殊 的平行四边形 一、知识回顾 矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． ③具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形． ③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形． ③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 课前练习: 1．已知平行四边形ABCD 的周长是28cm ，CD-AD=2cm ，那么AB=______cm ，BC=______cm ． 2．菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____ 3．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于________ 4．已知正方形的边长为a ，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____． 5．矩形ABCD 被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm ，对角线长是13cm ， 则矩形ABCD 的周长是_____________ 6．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点， 将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ 二、例题讲解 矩形 例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长 （2）△BED 的面积 巩固练习： 1．如图，矩形ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为 EF,求DE 和EF 的长。 2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8,求折痕EF 的长 Ｍ Ｄ Ｑ ＢＡC ’ D A B C E F D A B C E C ’ E A D
中考复习专项——平行四边形 1．下列说法不正确的是（） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 2．（2010 湖南湘潭）下列说法中,你认为正确的是（） A．四边形具有稳定性 B．等边三角形是中心对称图形 C．任意多边形的外角和是360o D．矩形的对角线一定互相垂直 3．（2010 天津）下列命题中正确的是（） A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4．（2010湖北襄樊）菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（） A．3：1 B．4：1 C．5： 1 D．6：1
5．（2010宁夏回族自治区）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（） A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 6．（2010 江津）四边形 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（） A． B． C． D． 7. （2010 四川成都）已知四边形 ，有以下四个条件：① ；② ；③ ；④ ．从这四个条件中任选两个，能使四边形 成为平行四边形的选法种数共有（） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
8.（2010湖南衡阳）如图6，在□ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG= ，则ΔCEF的周长为（） A．8 B．9 C．10 D．11 9．（2010江苏苏州）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB， ，BE=2，则t an∠DBE的值是（） A． B．2 C． D．
特殊平行四边形综合练习题 考点综述： 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是四边形的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。 典型例题： 例1：（2007义乌）在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 例2：（2007大连）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 例3：（2008台州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 例4：（2008青岛）已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：BCG DCE △≌△； （2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90o 得到DAE '△，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由． 实战演练： 1.（2007滨州）对角线互相垂直平分的四边形是（ ） A B C D E F E ' G
A ．平行四边形、菱形 B ．矩形、菱形 C ．矩形、正方形 D ．菱形、正方形 2.（2008常州）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形 D .矩形 3.（2008扬州）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 4.（2007连云港）如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边 AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BA C ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果A D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 5.（2007德州）如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ） A ． B ． C ． D ．8 6.（2008潍坊）如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 7.（2007泉州）在右图的方格纸中有一个菱形ABCD （A 、B 、C 、D 四点均为格点）， 若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为 8.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，已知120 2.5AOD AB ∠==o ，，则AC 的长为 ． D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ ＢＥ Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ A D A B C D A B C D
专题24 特殊平行四边形的存在性 破解策略 在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形 因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题． 例题讲解 例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2 －2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．经过点A 的直线l ：y ＝ax ＋a 与抛物线的另一交点为C ，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，那么以点A ，C ，P ，Q 为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P 的坐标;若不能，请说明理由． 解：以点A ，C ，P ，Q 为都顶点的四边形能成为矩形． 令ax 2 －2a －3a ＝ax ＋a ．解得x 1＝－1，x 2＝4， 所以点A 的坐标为（－1，0），C 的坐标为（4，5a ）． 因为y ＝ax 2 －2ax －3a ，所以抛物线的对称轴为x ＝1．则x P ＝1． ①若AC 是矩形的一条边，如图， 则x A ＋x P ＝x C ＋x Q ，可得x Q ＝－4，从而点Q 坐标为（－4，21a ）． 同样y A ＋y P ＝y C ＋y Q ，可得y P ＝26a ，从而点P 坐标为（1，26a ）． 因为AC ＝PQ ，所以有22＋（26a ）2＝82＋（16a ）2 ， 解得)(77,7721舍去=- =a a ，此时点P 的坐标为（1，7 726-）
②若AC 是矩形的一条对角线，如图． 则x A ＋x C ＝x P ＋x Q ，可得x Q ＝2，从而点Q 坐标为（2，－3a ）． 同样y A ＋y C ＝y P ＋y Q ，可得y P ＝8a ，从而点P 坐标为（1，8a ）． 因为AC ＝PQ ，所以有52＋（5a ）2＝12＋（11a ）2 ， 算得)(2 1 ,2143舍=- =a a ，所以此时点P 的坐标为（1，－4） 综上可得，以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，7 7 26- ）或（1，－4）． 例2：如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的中心与原点重合，C ，D 两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒． （1）菱形ABCD 的边长是_____，面积是_____，高BE 的长是_____; （2）若点P 的速度为每秒1个单位．点Q 的速度为每秒k 个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形，并求出k 的值． 解：（1）5，24，4．8．
九年级数学上册《特殊平行四边形》 一、填空题： 1.判定一个四边形是矩形，可以先判定它是__________，再判定这个四边形有一个__________或再判定这个四边形的两条对角线__________. 2.菱形的面积为24cm 2，边长为5cm ，则该菱形的对角线长分别为 。 3.正方形以对角线的交点为中心，在平面上旋转最少_______度可以与原图形重合. 4.正方形的对角线长为10 cm ，则正方形的边长是_________. 5.矩形的两条对角线的一个交角是60°,一条对角线与较短边 的和是12 cm ，则对角线长是_ __. 6.如图，矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边上，如果 ∠BAE=50°，则∠DAF=_______. 7.顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 ；顺次连接平行四边形各边中点，所得的图形是 ；顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________；顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________；顺次连结等腰梯形四边中点所得四边形是_________。由此猜想：顺次连结___ ____的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连结_ _ _______的四边形四边中点所得四边形是菱形。即新四边形的形状与原四边形的____ _____有关。 8.已知菱形ABCD 的两条对角线长分别是6 cm 和8 cm ，则菱形的周长是_________. 9.如图，正方形ABCD ，以AB 为边分别在正方形内、外作等边△ABE 、△ABF ，则∠CFB=_______，若AB=4，则AFBE 四边形S =_________. 10.如图，E 为正方形ABCD 边BC 延长线上一点，且CE=BD ，AE 交DC 于F ，则∠AFC=________. 11.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L ”型图案， 则FAC ∠= ，FCA ∠= 。 12.边长为a 的正方形，在一个角剪掉一个边长为的b 正方形， 则所剩余图形的周长为 。 13.已知菱形一个内角为120，且平分这个内角的一条对角线 长为8cm ，则这个菱形的周长为 。 14.如图，矩形纸片ABCD ，长AD ＝9cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折 叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长为 ，折痕EF 的长为 。 二、选择题： 1.能判定一个四边形是菱形的题设是（ ） A.有一组邻边相等 B.对角线互相垂直 C.有三边相等 D.四条边都相等 2.□ABCD 是正方形需增加的条件是（ ） A.邻边相等 B.邻角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直且相等 3.矩形边长为10cm 和15cm ，其中一个内角的角平分线分长边为两部份，这两部份的长为（ ） A.6cm 和9cm B. 5cm 和10cm C. 4cm 和11cm D. 7cm 和8cm 4.从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点， 则菱形的内角中钝角的度数是（ ） A.150 B. 135 C. 120 D.100 5.如图，在矩形ABCD 中，O 是BC 的中点，∠AOD=90°， 若矩形ABCD 的周长为30 cm ，则AB 的长为( ) A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.7.5 cm 6.矩形各内角的平分线若能围成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 7.若菱形ABCD 的周长为16，∠A ∶∠B=1∶2，则菱形的面积为（ ） A.23 B.33 C.43 D.83 8.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点， 使该点到各顶点距离相等的图形是（ ） A.平行四边形和菱形 B.菱形和矩形 C.矩形和正方形 D.菱形和正方形 9.如图，过矩形ABCD 的顶点A 作对角线BD 的平行线交CD 的延长线于E ，则△AEC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.等腰直角三角形 10.矩形的对角线长10 cm ，顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为（ ） A.40 cm B.10 cm C.5 cm D.20 cm 11.如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边， 则∠FAB 等于( ) A.135° B.45° C.22.5° D.30° 12.如图矩形ABCD 中,AB=2AD,E 是CD 上一点,AE=AB,则∠CBE 等于( ) A F D C B E B D A F 9题图 E B C D A F 10题图 E B C D A G F 11题图 14题图 D C B A F E G 5题图 A C B D A D C B E 9题图 11题图 12题图
特殊的平行四边形 知识点一：矩形 1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2、性质定理（1）矩形的四个角是直角 （2）矩形的对角线相等且互相平分 （3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3、判定定理 （1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形 （2）对角线相等平行四边形为矩形 （3）有三个角是直角的四边形是矩形 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 归纳补充： 1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条 2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题 3、矩形的面积S矩形=长×宽=ab
知识点二：菱形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质定理： （1）菱形的四条边都相等 （2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 （3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 2、判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （3）四条边都相等的四边形是菱形 ※注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形 归纳补充: 1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形 2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算 3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形 1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形 2、性质定理 （1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。 （2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角 （3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形 3、判定定理 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形 （2）对角线相互垂直的矩形是正方形 （3）对角线相等的菱形是正方形 （4）有一个角是直角的菱形是正方形 方法总结： （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。
九年级第一章测试题（特殊的平行四边形） 考试时间120分钟，满分100分 第I 卷（选择题，共30 分） 、选择题（每题3分，共30 分） 2 .若平行四边形的一边长为10cm,则它的两条对角线的长度可以是 3.如图，平行四边形ABCD 中，经过两对角线交点 0的直线分别交 于点E ,交AD 于点F.若BC=7 CD=5 OE=2则四边形ABEF 的周长等 于 （ ） 如图，矩形ABCD 勺对角线AC BD 相交于点0, CE// BD, DE// AC 若 AC=4则四边形CODE 勺周长（ ） 6 C . 8 姓名 班级 得分 1.以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形, 最多能作（ A. 4个 B . 3个 C. 2个 D. 1个 A. 5cm 和 7cm B. 18cm 和 28cm C. 6cm 和 8cm D. 8cm 和 12cm BC A. 14 B . 15 C. 16 D.无法确定 D . 10
A. S i =S B . S i >S C. S v S 2 D 不能确定 120°,若一条对角线的长是2,那 5.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到 一个钝角为120° 6.如图，菱形ABCD 中,对角线AC BD 交于点0,菱形ABCD 周长为32, 点P 是边CD 的中点，贝懺段OP 的长为（ 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ） A. 15° 或 30 B . 30° 或 45 C. 45° 或 60° D. 30° 或 60° A. 3 B. 5 C. 8 7.如图，在平行四边形ABCD 中, HG// AB 若四边形AEPH 和四边形 S 2的大小关系为（ ） BD 上一点 P,作 EF// BC ， CFPG 勺面积分另为S i 和S,则S 与 过对角线 n A C B
九年级上册第一章单元测试卷 松岗中学李卫 一．选择题（共12小题） 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是 （） A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD 2.正方形的一条对角线长为8，则正方形的边长为（） A.2 B.4 C. D. 3.在下列命题中，是真命题的是（） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（）
A．45° B．22.5° C．67.5° D．75° 第4题第5 题第6题 5.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（1，3） 6.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（） A．10 B． C．6 D．5
7.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件： ①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 8.矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（） A． B． C． D．
第7题第8 题第9题 9.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，P E⊥AC于E，PF⊥BD 于F，则PE+PF等于（） A． B． C． D． 10.如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（） A．1 B．2 C． D．
1.如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；： (2)①当t为______s时，四边形ACFE是菱形； ②当t为______s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形． 2.在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明． 3.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB 边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形． （第4题） 4.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．
6.如图，已知菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD 上的一个动点P （不与 B 、D 重合）分别向直线AB 、AD 作垂线，垂足分别为E 、F ． （1）BD 的长是______； （2）连接PC ，当PE+PF+PC 取得最小值时，此时PB 的长是______． 8.如图，已知矩形ABCD ，AD=4，CD=10，P 是AB 上一动点，M 、N 、E 分别是PD 、 PC 、CD 的中点． （1）求证：四边形PMEN 是平行四边形； （2）请直接写出当AP 为何值时，四边形PMEN 是菱形； （3）四边形PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说 明理由． 5.如图所示，在?ABCD 中，AC ⊥BC ，AC=BC=2，动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 移动，过点P 分别作PM ∥AB ，PN ∥AD ，连结AM ，设AP=x ，△AMP 的面积为y ． （1）四边形PMCN 是不是菱形，请说明理由． （2）写出y 与x 之间的函数关系式． 7.如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q 。 （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）。设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形。 （第7题） （第8题）
特殊四边形经典例题 ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形； 于点M，N．给出下列结论： ①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S平行四边形ABCD． 其中正确的结论有（） MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则 m1，m2的大小关系为（） 6．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断： ①EF是△ABC的中位线； ②△DEF的周长等于△ABC周长的一半； ③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC； ④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形， 其中正确的是（）
7．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n， 过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=_________．8．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形 A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是_________． 9．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=_________，S△AEG=_________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长 度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？ （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
特殊平行四边形专题练习 一、基础知识点复习： （一）矩形： 1、矩形的定义：__________________________的平行四边形叫矩形． 2、矩形的性质：①．矩形的四个角都是______；矩形的对角线__________________________． ②.矩形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴. 3、矩形的判定：①．有_____个是直角的四边形是矩形． ②．对角线____________________________的平行四边形是矩形． ③．对角线________________________________的四边形是矩形． 4、练习：①矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=4cm， 则矩形对角线AC长为______cm． ②．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD ③．四边形ABCD中，AD//BC，则四边形ABCD是___________，又对角线AC，BD交于点O， 若∠1=∠2，则四边形ABCD是_______________． （二）菱形： 1、菱形的定义：有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形． 2、菱形的性质：①．菱形的四条边______；菱形的对角线_____________，且每条对角线______________． ②.菱形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴. 3、菱形的判定：①．__________________边都相等的四边形菱形． ②．对角线_____________________________的平行四边形是菱形． ③．对角线_____________________________________________的四边形是菱形． 4、菱形的面积与两对角线的关系是________________________ 5、练习：①．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，若∠ABD=65°，则∠A=_____． ②．一个菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则这个菱形的周长等于cm, 面积= cm2 ③．若菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角的度数比为 (三)正方形: 1、正方形的定义：的平行四边形叫正方形。 2、正方形的性质：①．正方形的四个角是_____角，四条边_____，对角线_______________________． ②．正方形是______对称图形，又是对称图形,它有______条对称轴．
一、选择题（每题3分，共30分） 1．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（） A．4个B．3个C．2个D．1个 2．若平行四边形的一边长为10cm，则它的两条对角线的长度可以是（） A．5cm和7cm B．18cm和28cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm 3．如图，平行四边形ABCD中，经过两对角线交点O的直线分别交BC 于点E，交AD于点F. 若BC=7，CD=5，OE=2，则四边形ABEF的周长等于（） A．14 B．15 C．16 D．无法确定 4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（） A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（） A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60° 6．如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD交于点O，菱形ABCD周长为32，点P是边CD的中点，则线段OP的长为（） A．3 B．5 C．8 D．4 7．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC， HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S 1和S 2 ，则S 1 与 S 2 的大小关系为（） A．S 1=S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 ＜S 2 D．不能确定 8．矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（）
A．6 B．C．2（1+）D．1+ 9．如图，菱形ABCD中，∠A=120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是（） A．60°B．70°C．75°D．80° 10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为（） A．14 B.12 C.24 D.48 第II卷（非选择题，共70分） 二、填空题（每题3分，共24分） 11．在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，如果∠BAC＝70°， 那么∠ADC等于 12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=4，则四边形CODE的周长为
特殊平行四边形复习 矩形 1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为 2 ：菱形具有而矩形不具有的性质是（） A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补 3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，?H， ? 求证：?四边形EFGH是矩形． 二．菱形 1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形． ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别3、如图，在 交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形. A B C D E F O 1 2
4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交 于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。求证：AM=BE 。 5． （10湖南益阳）如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ． (1)求线段BE 的长． 6、（2011四川自贡）如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想 7、（2011山东烟台） 如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围. B M A D C E D B C O 60
广东省韶关四中八年级数学下册《特殊平行四边形》综合练习题 考点综述： 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是四边形的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。 典型例题： 例1：（2007义乌）在下列命题中，正确的是（） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 例2：（2007大连）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（）。 A．4 B．3 C．2 D．1 C A E
例3： （2008台州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC BD ， ，相交于点O E 为AB的中点，且OE a =，则菱形ABCD的周长为（） A．16a B．12a C．8a D．4a 例4：（2008青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE CG =，连接BG并延长交DE于F． （1）求证：BCG DCE △≌△； （2）将DCE '是 △，判断四边形E BGD △绕点D顺时针旋转90o得到DAE' 什么特殊四边形？并说明理由． 实战演练： 1.对角线互相垂直平分的四边形是（） A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形 2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形
平行四边形及特殊平行四边形知识点总结 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 平行四边形矩形菱形正方形图形 性质1．对边 且； 2．对角； 邻角； 3．对角线 ； 1．对边 且； 2．对角 且四个角都是 ； 3．对角线 ； 1．对边且四条 边都； 2．对角； 3．对角线 且每 条对角线 ； 1．对边且四条 边都； 2．对角且四个角 都是； 3．对角线 且每条对角 线； 面积 2. 判定方法小结： (1) 判定平行四边形的方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (2) 判定矩形的方法： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 (3) 判定菱形的方法： ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四边都相等的四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 (4) 判定正方形的方法： ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
③有一组邻边相等的矩形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形； ⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形； ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 请按照下图中的序号回答每一种判定需要满足的条件： 3.基础达标训练： （1）两条对角线的四边形是平行四边形； （2）两条对角线的四边形是矩形； （3）两条对角线的四边形是菱形； （4）两条对角线的四边形是正方形； （5）两条对角线的平行四边形是矩形； （6）两条对角线的平行四边形是菱形； （7）两条对角线的平行四边形是正方形； （8）两条对角线的矩形是正方形； （9）两条对角线的菱形是正方形。 一、选择题（每题3分，共30分） 1．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（） A．4个B．3个C．2个D．1个2．若平行四边形的一边长为10cm，则它的两条对角线的长度可以是（） A．5cm和7cm B．18cm和28cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm
平行四边形矩形菱形正方形图形 性质①对边且； ②对角；邻角； ③对角线； ④对称性：平行四边形不是轴对称图形. ①对边且； ②对角且四个角都是； ③对角线； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直 线，2条）． ①对边且四条边都； ②对角； ③对角线且每条对角 线； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2 条） ①对边且四条边都； ②对角且四个角都是； ③对角线且每条对角线 （即与边的夹角 度）； ④对称性：轴对称图形（4条） 判定方法 ①的 四边形是平行四边形； ②的 四边形是平行四边形； ③的 四边形是平行四边形； ④的 四边形是平行四边形； ⑤的 四边形是平行四边形； ①是矩形； ②是矩形； ③是矩形； ①是菱形； ②是菱形； ③是菱形； ①有一组的矩形是正方形； ②对角线的矩形是正方形； ③有一个角是的菱形是正方形； ④对角线的菱形是正方形.； ⑤有一组且有一个角是的 平行四边形是正方形； ⑥对角线且的 平行四边形是正方形.?????? 正方形的判定方法很多，所有以平行四边形， 矩形，菱形三者的判定作为条件的四边形都是 正方形. 面积
一、本章知识框架图 正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系有怎样的包含关系？请填入下图中. 平行四边形 二、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）判定矩形的常用方法（3种） ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的有一个角为直角． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③说明四边形ABCD的三个角是直角． （2）判定菱形的常用方法（3种）