自测题（第一章）
一、选择题（毎小题3分,共15分）：
1. 在某学校学生中任选一名学生，设事件A 表示“选出的学生是男生”，B 表示“选出的学生是三年级学生”，C 表示“选出的学生是篮球运动员”，则ABC 的含义是（ B ）.
（A ）选出的学生是三年级男生；
（B ）选出的学生是三年级男子篮球运动员； （C ）选出的学生是男子篮球运动员； （D ）选出的学生是三年级篮球运动员；
2. 在随机事件C B A ,,中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为（ ）. （A ）C B C A
（B ）C AB （C ）BC A C B A C AB
（D ）C B A
3．甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，设A 为甲胜，B 为乙胜，则甲胜乙输的概率为（
）.
（A ）6.06.0? （B ）4.06.06.0?- （C ）4.06.0- （D ）0.6 4．下列正确的是（
）.
（A ）若)()(B P A P ≥，则A B ? （B ）若B A ?，则)()(B P A P ≥
（C ）若)()(AB P A P =，则B A ? （D ）若10次试验中A 发生了2次，则2.0)(=A P 5．设A 、B 互为对立事件，且0)(,0)(>>B P A P ，则下列各式中错误的是（ ）.
（A ）0)|(=A B P （B ）0)|(=B A P （C ）0)(=AB P （D ）1)(=B A P
解：1. 由交集的定义可知，应选（B ）
2. 由事件间的关系及运算知，可选（A ）
3. 基本事件总数为4
8C ，设A 表示“恰有3个白球”的事件，A 所包含的基本事件数为1
5C =5，故P (A )=4
8
5C
，故
应选（D ）。
4. 由题可知A 1、A 2互斥，又0
P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B )–P (A 1A 2B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2) 故应选（C ）。
5. 因为A 、B 互为对立事件，所以P (A +B )=1，P (AB )=0，又P (A )0>，P (B )>0， 所以B =A ，因而P (B |A )=P (A |A )=1，故选（A ） 二、填空题（毎小题3分, 共15分）：
1．A 、B 、C 代表三件事，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 ． 2．已知)()(),()()(,16
1)(B A P B A P B P A P AB P B A P ===
，则)(A P = ．
3．A 、B 二个事件互不相容，1.0)(,8.0)(==B P A P ，则=-)(B A P ．
4．对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为7.0,5.0,4.0，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 ．
5．设A 、B 、C 两两相互独立，满足2
1)()()(,<
==Φ=C P B P A P ABC ，且已知16
9)(=
++C B A P ，则
=)(A P ．
解：1. AB +BC +AC
2
2. ∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A )P (B )
∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.6
3. A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.8
4. 设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为
C B A C B A C B A ++，即有
P (C B A C B A C B A ++)
=P (A ))()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P ++=0.36 5. 甲产品滞销或乙产品畅销。
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“?”，毎小题2分,共10分）:
1. 设A 、B 为任意两个互不相容事件，则对任何事件AC C ,和BC 也互不相容． [ ] 2．概率为零的事件是不可能事件．
[ ]
3. 设A 、B 为任意两个事件，则)()()(AB P A P AB A P -=- ． [ ]
4. 设A 表示事件“男足球运动员”，则对立事件A 表示“女足球运动员” ．[ ]
5. 设0)(=A P ，且B 为任一事件，则A 与B 互不相容，且相互独立 ．[ ] 解：1. 正确2. 不正确3. 正确4. 不正确5. 不正确
四、（6分）从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数，求取到的最大数是4的概率． 解：设A 表示事件“12名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察每个人的属相看作一次试验，由
乘法原理，这12个属相的所有可能排列数为1212
，而事件A 所包含的形式有12
12
P
种，则12
121212
)(P A P =
=0.000054。
五、（6分）3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为4
1
,31,
51若让他们共同破译的概率是多少？ 解：设A i 表示“第i 人能译出密码”，i =1, 2, 3，A 1，A 2，A 3相互独立，A 表示“密码译出”，则321A A A A ??= ∴ P (A )=1–P ()()()(1)(1)321321A P A P A P A A A P A -=-= 5
3)411)(311)(511(1=
-
-
-
-=
六、（10分）已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的概率为0.02，而次品被误认为是正品的概率为0.05，求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率． 解：设A 表示通过检验认为该产品为正品，B 表示该产品确为正品
依题意有
%8.9905
.004.098.096.098
.096.0)
|()()|()()
|()()|(=?+??=
+=
B A P B P B A P B P B A P B P A B P
七、（10分）假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率．
解：设B 1、B 2、B 3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A 1、A 2分别表示第一、二次选出的为一等
品，依题意，有
P (A 1)=P (B 1)P (1A |B 1)+P (B 2)P (A 1|B 2)+P (B 3)P (A 1|B 3)
3
=15
7
40243130123150
2031=
?+?+
?
=0.467 P (21A A )=39
2340
243
129
1130
123
149
1950
203
1)|()(3
1
21?
?
+
?
?
+
?
?
=
∑=i i i B A A P B P =0.220
八、（10分）设2
1)(,3
1)(=
=
B P A P ．
1. 若Φ=AB ，求)(A B P ；
2. 若B A ?，求)(A B P ；
3. 若8
1)(=AB P ，求)(A B P ． 解：1. P (B A )=P (B )–P (AB ) 因为A ，B 互斥，故P (AB )=0，而由已知P (B )=
2
1
∴ P (B A )=P (B )=2
1
2. ∵ P (A )=
3
1，由A ?B 知：P (AB )=P (A )=
3
1
∴ P (B A )=P (B )–P (AB )=
2
1–
31=
61 3. P (AB )=
8
1 ∴P (B A )=P (B )–P (AB )=2
1–8
1=
8
3
九、（10分）一批产品10件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随机取2件进行测试，若合格，则进入第二道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1件，若合格，则认为包装合格，准予出厂．两道检验中，1件合格品被认为不合格的概率为0.05，一件不合格品被认为合格的概率为0.01，已知这批产品中质量和包装均有2件不合格，求这批产品能出厂的概率．
解：设i H 表示报名表是第i 个地区考生的(i =1, 2, 3)，A j 表示第j 次抽到的报名表是男生表(j =1, 2)，则
P (H 1)=P (H 2)=P (H 3)=3
1
P (A 1|1H )=
10
7； P (A 1|H 2)=
15
8； P (A 1|H 3)=
25
20
(1) p =P (1A )=90
29)25
515710
3
(31
)|()(3
1
1=++
=
∑=i i i H A P H P
(2) 由全概率公式得 P (A 2|H 1)=10
7，P (A 2|H 2)=
15
8，P (A 2|H 3)=
25
10
P (1A A 2|H 1)=
30
7，P (1A A |H 2)=30
8，P (1A A 2|H 3)=
30
5
P (A 2)=9061)252015810
7
(31
)|()(3
1
2=
++=
∑=i i i H A P H P
P (1A A 2)=9
2)0
530
830
7
(31
)|()(3
1
21=
++=
∑=i i i H A A P H P
因此，612090
619
2
)
()()|(22121==
=
=A P A A P A A P q 十、（8分）设1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<
4 ∴ P (A |B )=
)
(1)(1)
()()|(,)
()(B P B A P B P B A P B A P B P AB P -+-=
=
)
(1)
()()(1B P AB P B P A P -+--=
又 ∵ P (A |B )+P )|(B A =1 ∴
)
()
()()
(1)
()()(1B P AB P B P B P AB P B P A P -=-+--
化简，得： P (AB )=P (A )P (B ) ∴ 事件A 、B 相互独立 自测题 （第二章）
一、选择题（每小题3分, 共15分）:
1．设随机变量X 的分布律为),2,1(}{ ===k b k X P k λ，则（
）.
（A ）10<<λ，且11--=λb
（B ）10<<λ，且1-=λb
（C ）10<<λ，且11-=-λb （D ）10<<λ，且11-+=λb 2．设随机变量X 的密度函数为x
x Ae x f 22
)(+-=，则（ ）. （A ）
π
e
（B ）
π
e 1 （C ）
π
e 1
（D ）π
e 2
3．设随机变量X 的概率密度和分布函数分别是)(x f 和)(x F ，且)()(x f x f -=，则对任意实数a ，有=-)(a F （
）.
（A ）
)(2
1a F - （B ）
)(2
1a F + （C ）1)(2-a F
（D ）)(1a F -
4．设相互独立的随机变量Y X ,具有同一分布，且都服从区间[0，1]上的均匀分布，则在区间或区域上服从均匀分布的随机变量是（
）.
（A ）（Y X ,）
（B ）Y X +
（C ）Y X -
（D ）2X
5．设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为使)()()(21x bF x aF x F -=是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（
）. （A ）52,53-==
b a （B ）3
2,32=
=b a
（C ）2
3,21=
-
=b a
（D ）2
3,21-==
b a
1解 ∵
11}{2
1
=-=++==∑∞
=λ
λ
λλb
b b k X
P i
∴ 11
-=-λb 故选(C )
5
2解 ∵
1)(=?
+∞
∞
-dx x f 即：b
a x d e a bx
-
=?
+∞
=1
∴ b =-a
又∵f (x )=a e bx
≥0 ∴a >0 故选(D )
3解 ∵X ～N ),(2σμ
∴ f (x )=
22
2)(21σ
σ
πu x e --
由4个结论验得(B )为正确答案
4解 ∵}2,2{}1,1{)(==+====Y X P Y X P Y X P
=
9
532323131=?+? 故选(D )
5解 因为F (x )必须满足条件0≤F (x ) ≤1，而只有取5
2,53-
==
b a 时，才会使0≤F (x ) ≤1满足,故选(A )
二、填空题（每小题3分, 共15分）: 1．二维随机变量（Y X ,）的联合分布律为:
则α与β应满足的条件是 ，当Y X ,相互独立时，α= ．
2．二维随机变量（Y X ,）的联合密度为：])()[(212
122
22
1121),(σμσμσπσ-+--=y x e y x f ，则X 的边缘概率密度
为 ．
3．连续型随机变量X 的概率密度为其它
10,
0,
)(2<
?=x kx x f ，则常数=k ．
4．设)02.0,10(~2
N X ，已知Φ(2.5)=0.9938，则=<≤}05.1095.9{X P ．
5．设Y X ,是相互独立的随机变量，),3(~),,2(~2
2
σσ-N Y N X ，且95.0}7654.8|12{|=≤-+Y X P ，则
σ= ．
1解 ∵∑
∑l
j
j
i P
=1 ∴ 3.02.0+++βα=1 即有βα+=0.5
当X ，Y 相互独立 ∴P (X =1, Y =1)= P (X =1)P (Y =1) ∴ a =(a +0.2)(a +β) ∴a =0.2
2解 ∵X f (x )=y d e
y d y x f y x ])()[(212
122
22
1121),(σμσμσ
πσ----∞
+∞
-∞
+∞
-?
?
=
=2
1
2
12)
(1
21σμσπ--x e
6
3解 ∵1)(=?
+∞
∞
-x d x f ∴3
1
2
k dx kx =
?=1
∴k =3
4解 ∵ X ～N (10, 0.022
)
∴ P {9.95≤X <10.05}=P }5.25.2{02.01005.1002
.010
95.9≤≤-=?
??
?
?
?-<
≤-X P X
=29876.019938.021)5.2(=-?=-φ
5解 ∵X , Y 相到独立 ∴f (x , y )=f X (x )f Y (y )
三、（12分）随机变量X 的概率密度为??
??
?
>
≤=4
||,04||,
cos )(π
πx x x A x f ，试求（1）系数A ；（2）X 的分布函数；（3）X 落在??
?
??6,0π内的概率．
解 (1) ∵?
+∞
∞
-x d x f )(=1, 即A A xdx A 2|sin cos 44
44
=
=--
?π
ππ
π=1
∴ 2
2=
A
(2) 当x <-4
π
时, F (x )=0
当|x |≤
4
π
时，x x d x x d x f x F x
x
sin 2
22
1cos 2
2
)()(4
+
=
=
=
?
?
-
∞
-π
当x ≥
4
π
时，??
-∞
-=
=
44
cos 2
2)()(π
π
x d x x d x f x F x
=1
∴ ????
??
?
??
≥
<≤-
+-<=4
,14
4
,sin 222
1
4
,0)(ππππx x x x x F
(3) 4
2cos 2
2)(6
6
=
=
=
?
?
x d x x d x f P π
π
四、（12分）假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为5=θ的指数分布．设备定时开机，出现故障时自
动关机，而在无故障的情况下工作2h 便关机，试求设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数． 解：(1)∵X 可能的取值为0, 1, 2, 3
设Ai ={第i 个元件出故障) i =1, 2, 3
∴)()()()0(321A P A P A P X P ==
=(1-0.2)(1-0.3)(1-0.5)=0.28
7
)()()()1(321321321A A A P A A A A A A P X P ++==
=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++ =0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47
同理P (X =2)=P ()()()321321321A A A P A A A P A A A ++=0.22
)()()()()3(321321A P A P A P A A A P X P ====0.03
∴ X 的分布律：
(2) 由(1)及分布函数的定义知 当x <0时，F (x )=0
当0≤x <1时，F (x )=P (X =0)=0.28
当1≤x <2时，F (x )=P (X =0)+P (X =1)=0.75
当2≤x <3时，F (x )=P (X =0)+P (X =1)+P (X =2)=0.97 当x ≥3时，F (x )=P (X =0)+P (X =1)+P X=2)+P (X =3)=1 ∴ ?????
??
??≥<≤<≤<≤<=3
1
3297.02175
.02
028.000)(x x x x x x F 其图为 五、（10分）随机变量X 的概率密度为??
?≤>=-0
,
00)(,
x x e x f x ；求2X Y =的概率密度．
、解：分别记X ，Y 的分布函数为F X (x )，F Y (y )
由于y =x 2≥0，故当y ≤0时，F Y (y )=0
当y =x 2>0时,有F Y (y )=P (Y ≤y )=P (X 2≤y )=P (-y ≤X ≤y )
=y
y
x
y y
X e
x d e
x d x f ---
-==
?
?
1)(0
将F Y (y )关于y 求导数，即得y 的概率密度为 ????
?>=
'--='-=---其它
,2
1)()1()(y e
y
y e
e
y f y
y
y
Y
∴ ???
??>=-
其它
,
00
,21)(y e y
y f y
Y 六、（12分）随机变量X 和Y 均服从区间[0，1]上的均匀分布且相互独立． 1．写出二维随机变量（Y X ,）的边缘概率密度和联合概率密度．2．求}23{≤+Y X P ．
解：(1)由题意得：
8 ?????≤≤=其它,020,2
1)(x x f X ??
???≤≤=其它,02
0,21)(y y f Y 又∵ X,Y 相互独立
∴ f (x , y )=f X (x )f Y (y )=??
???≤≤≤≤其它
,02020,
4
1
y x
(2) y d x d y d x d y x f Y X P y x y x ??
??
≤
+≤
+=
=
≤
+2
32
34
1
),(}2
3{
=y d x d x
?
?-230
230
4
1=
32
9
七、（12分）已知随机变量Y X 与的分布律为:
且已知1}0{==XY P ．
（1）求（Y X ,）的联合分布律；（2）Y X 与是否相互独立？为什么？ 解：(1)由P (XY =0)=1，可见
P {X =-1, Y =1}=P {X =1, Y =1}=0
易见 4
1}1{}0,1{=-===-=X P Y X P
2
1}1{}1,0{=
====Y P Y X P
4
1
}1{}0,1{=
-====X P Y X P
)4
1
2141(1}0,0{++-===Y X P =0
于是，得X
和Y 的联合分布：
-1
0 1
4
1 0
4
1
2
1 0
(2) ∵P (X =0, Y =0)=0而P (X =0)P (Y =0)=041)4
14
1(2
1≠=
+?
∴ P (X =0) P (Y =0)≠P (X =0, Y ≠0) ∴ X , Y
不独立
八、（12分）设Y X ,是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为:
9
??
?≤≤=其它
,
010,
1)(x x f x ??
?≤>=-0
,
00,
)(y y e y f y Y
求随机变量Y X Z +=的概率密度函数． 设Z 的密度函数为f Z (z )，则由卷积公式得
?
?
-=-=====
-=
1
1
)()()(z
z Y t
x z Y Z t d t f x d x z f z f 令
a ) 当z <0时，f Y (t )=0，∴f Z (z )=0
b ) 当0≤z <1时，z -1<0，z ≥0 z
z
t z z e
t d e t d z f ----=+
=
?
?
10)(0
1
c ) 当z ≥1时，z -1≥0 z
z
z
z
z t Z e
e e
e
t d e z f ------=-==
?
)1()(11
综述：??
???≥-<≤-<=--1
,)1(10,
10,0)(z e e z e z z f z z
Z 自测题（第三章）
一、选择题（毎小题3分, 共6分）:
1. 对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（ ）.
（A ）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4
2．若)()(Y X D Y X D +=-，则（ ）.
（A ）X 与Y 独立
（B ）)()(Y D X D = （C ）0)(=+Y X D
（D ）X 与Y 不相关
1. 选（D ）；由题意知：X ～B (3, p )，而D (X )=3 · p · (1–p )=0.72 ∴ p =0.4。
2. 选（B ）；∵E (X )=dx x
a x
dx x xf a
a
?
?
-∞
+∞
--=
2
2)(π，而被积函数为对称区间上的奇函数，∴ E (X )=0。
二、判断题（每小题3分, 共12分）: 1．设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞+=
x x x f ,)
1(1
)(2
π，则)(X E =0．（ ）
2．设),0(~2σN X ，则对任何实数a 均有：),(~2
2
a a N a X ++σ．（
）
3．设),(~2
σμN X ，Y 从参数为λ的指数分布，则2
2
2
2
)(σμ+=+Y X E ．（ ）
4．设)()()(Y E X E XY E =，则X 与Y 独立．（
）
1. [×]； ∵ E (X )=)
1(121
1
)
1()(22
2
x d x dx x x
dx x f x ++=
+=
???
?
∞
+∞-∞
+∞
-∞
+∞
-ππ
10 ∞-∞=+=
∞
+∞
-)
1l n (212
x π
不一定等于零。
2. [×]； ∵ E (X +a )=E (X )+a =a ，D (X )=D (X +a )=D (X )=2σ ∴ X +a ～N (0,2σ)
3. [√]； ∵ D (X )=E (X 2)–[E (X )]2，D (Y )=E (Y 2)–[E (Y )]2， 而 E (X )=μ，D (X )=2σ，E (Y )=
λ1
，D (Y )=
2
1
λ
(其中θ
λ1
=
)。
∴ E (X 2+Y 2)=E (X 2)+E (Y 2)=D (X )+[E (X )]2+D (Y )+[E (Y )]2
=2
2
2
2
22
2
211
-++=??
? ??+++λ
σμλλμ
σ
。
4. [×]； 参见教材例3.14。 三、填空题（每空2分, 共22分）:
1．设二维随机变量（
,）的联合分布律为：
则)(X E = ，)(X D = ，)(Y E = ，)(Y D = ，),cov(Y X = ，=XY ρ ．
2．设连续型随机变量X 概率密度为??
?≤≤+=其它
,
010,
2)(x ax x f ，且3
1)(=
X E ，则常数=a ．
3．设随机变量X 的数学期望5)(,.75)(==X D X E ，且05.0}|75{|≤≥-k X P ，则≥k ．
4．对圆的直径作近似测量，测量近似值X 均匀分布于区间],0[a 内，则圆面积的数学期望是 ． 5．设随机变量X 与Y 相互独立，且)1,0(~),,2,1(~N Y N X ．令32++-=X Y Z ，则=)(Z D ． 6．设随机变量（Y X ,）在区域}||,10|),{(x y x y x D <<<=内服从均匀分布，则
=++)253(Y X E ．
1. E (X )=1×???
??+
?+412
124
1
=4
7
； D (X )=E (X 2
)–[E (X )]2
=2
22474121241
1???
??-??? ??+?+?=16
3；
E (Y )=41)1(214
11?-+?
??
??+
?=2
1
； D (Y )=E (Y 2)–[E (Y )]2
=2
222141)1(21411??? ??-?-+??
? ??+?=43；
11
cov(X , Y )=E (XY )–E (X )E (Y )=2
14
72
124
110)1(4
1)2(?
-
?
+?
+?-+?
-=8
1-
；
=?-=
?
=
4
316
381)
()(),cov(Y D X D Y X XY ρ3
1-
；
2. ∵ E (X )=3
13
33
)2()(10
2
3
10
=
+=
???
? ??+=+?=
?
?∞+∞
-a x
x
a
dx ax x dx x xf
∴ a =–2。
3. ∵ |x |f (x )为奇函数，?+∞
∞
-dx x f x )(||收敛，∴ E (X )=0。
4. 设Y =2
2??
?
??X π表示圆面积，∵ X ～U [–a , a ]，E (X )=0，D (X )=32
a ，
E (Y )=E 34})]([)({4)(4222
22a X E X D X E X ?=+==???
???????? ??ππππ=122a π。
5. ∵ X 与Y 相互独立，∴ D (Z )=D (–Y +2X +3)=D (–Y )+D (2X +3) =(–1)2
D (Y )+4D (X )=1+4×2=9。 6. D (Y )=D (2X –3)=4D (X )=4{
E (X 2
)–[E (X )]2
}=4(4–12
)=12。 四、（10分）设随机变量（Y X ,）的概率密度为：
??
???≤≤≤≤+=其它
,01
0,20),
(3
1
),(y x y x y x f
求数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X 及相关系数XY ρ． 、解：E (X )=dy y x x dx dy dx y x xf ??
?
?
+=
∞
+∞
-∞
+∞
-1
2
)(3
1),(
911213
12
2=
??
?
??+=
?
dx x x ； E (Y )=??
??
+=
∞
+∞
-∞
+∞
-2
1
)(3
1),(dx y x y dy dxdy y x yf
9
5
)22(3
1
1
2
=
+=
?dy y y ；
∵ E (X 2)=??
??
+=
∞
+∞
-∞
+∞
-1
2
2
2
)(3
1),(dy y x x dx dxdy y x f x
9
16)2
1(3
12
2
3
=
+
=
?
dx x x ，
∴ D (X )=E (X 2)–[E (X )]2=923911916
2
=
??
?
??-； 又 ∵ E (Y 2)=??
?
?
+=
∞
+∞
-∞
+∞
-2
2
1
2
)(3
1),(dx y x y dy dxdy y x f y
12 =
18
7)22(3
11
2
=
+?
dy y y
∴ D (Y )=E (Y 2
)–[E (Y )]2
=162
1395187
2
=
???
??-； 又 ∵ E (XY )=dy y x xy dx dxdy y x f xy ??
??
+=
∞
+∞
-∞
+∞
-1
2
)(3
1),(
32312
13
12
2=???
??+=
?
dx x x ，
∴ cov(X , Y )=E (XY )–E (X ) · E (Y )=
81
1
9591132-
=?-
； 299
213
23811629162
13923811)
()(),cov(-
=??
?-
=?
-=
?
=
Y D X D Y X XY ρ。
五、（10分）设有甲、乙两种投资证券，其收益分别为随机变量21,X X ，已知均值分别为21,μμ，风险分别为21,σσ，相关系数为ρ，现有资金总额为C （设为1个单位）．怎样组合资金才可使风险最小？
解：E (X )=?
?
?
∞
+-+∞
+-∞
+∞
--=
?
=
1
)(!
!
)(x
m x
m
e
d m x
dx e
m x
x dx x x ?
dx e
x m m x d e
m e
m x
x
m m x
x
m ?
?
∞
+-+∞
+-∞
+-++=
+
-
=0
1
1
!
)1()(!
1!
= (1)
)(1()1(0
+=-+=+∞+-+∞
-?m e
m dx e
m x
x
；
∵ E (X 2
)=)(!
1
!
1
)(0
2
2
2
x
m x
m e
d x
m dx e
x
m dx x x -∞
++-∞
++∞
+-=
=???? =dx x
e
m m x
d e
m e
x
m m x
m x
x
m 1
2
2
!
2)(!
1
!
1+∞
+-+∞
+-∞
+-+?+=
+
-
?
?
=(m +2) (m +1)
∴ D (X )=E (X 2)–[E (X )]2=(m +2) (m +1)–(m +1)2=m +1。
六、（10分）设随机变量X 的分布密度为?
?
?≤≤-=其它
,010),
1()(x x ax x f ，求)(),(,X D X E a 和
})(2|)({|X D X E X P <-．
解：由16
3121)1()(1
321
==
??
?
??-=-=
??
∞
+∞
-a x x a dx x ax dx x f
得：a =6；这时，f (x )=?
??≤≤-其它01
0)1(6x x x ，
E (X )=2
141316)1(6)(1
431
=
?
?
? ??-=-?=
?
?
∞
+∞
-x x dx x x x dx x xf ；
13
D (X )=
E (X 2)–[E (X )]2
=
20121)1(62
1
2
=??
? ??--??
dx x x x ； ???
???+<<-=??????<-=<-5121512
15121})(2|)({|X P X P X D X E X P
=50
5112
131216)1(6)(5
1210
325
12
1
5
12
1
5
2
1+
=
?
?
?
??-=-=
+
+
+
-
?
?x x dx x x dx x f 。
七、（10分）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从密度为??
?≤>=-0
0)(x x e x f x
，的分布，求（1）X +Y 的分布
密度；（2）求)(XY E ． 解：由于X 与Y 相互独立，
（1）应用卷积公式，有Z =X +Y 的分布密度 f Z (z )=dx x z f x f Y X )()(-?
+∞∞
-
考虑到f X (x )仅在x >0时有非零值，f Y (z –x )仅在z –x >0，即x
z
z
z
z x z z
x
ze
xe
dx e dx e
e
-----===
??
?0
)
(0
，
即 f (z )=??
?≤>-0
0z z ze z
。
（2）E (XY )=E (X )·E (Y )=1×1=1（∵X 、Y 均服从λ=1的指数分布）。
八、（10分）设随机变量X 服从泊松分布，6)(=X E ，证明：3
1}93{≥< 证明：∵ X ～π(λ)，且E (X )=6=λ，则D (X )=λ=6 根据切比雪夫不等式，有 P {3 3 13 62 = 。 九、（10分）X 为连续型随机变量，概率密度满足：当],[b a x ?时，0)(=x f ，证明： 2 )2 ( )(,)(a b X D b X E a -≤≤≤． 证明：∵ a ≤x ≤b ，1)(=?+∞ ∞ -dx x f ∴ a =a ? ? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ -+∞∞ -≤ = ≤dx x bf dx x xf X E dx x f )()()()( b dx x f b ==? +∞ ∞ -)(。 容易证明 D (X )≤E {(x –c )2}，取c = 2 b a + ∴ D (X )≤dx x f b a x b a x E )(222 2 ???? ? ? +-= ??? ? ??????? ??+-?∞ +∞- ≤dx x f b a b )(22 ?∞ +∞-??? ??+-=? ∞ +∞ -? ? ? ??-dx x f a b )(22 2 2?? ? ??-=a b 。 14 一、填空题（满分15分） 1.已知3.0)(=B P ,7.0)(=?B A P ,且A 与B 相互独立，则=)(A P 。 2.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且31 }0{= =X P ，则=λ 。 3.设),2(~2 σ N X ,且2.0}42{=< 4.已知DX=2，DY=1，且X 和Y 相互独立，则D(X-2Y)＝ 5.设2 S 是从)1,0(N 中抽取容量为16的样本方差，则=)(2 S D 1. 73 2. 3ln 3. 0.3 4. 6 5. 152 二、选择题（满分15分） 1.已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，且4.0)(=A P ，则=)(B P 。 （A ）0.4， （B ）0.5， （C ）0.6， （D ）0.7 2.有γ个球，随机地放在n 个盒子中（γ≤n ），则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为 。 （A ）γ γn ! （B ）γ γn C r n ! （C ） n n γ ! (D) n n n C γ γ ! 3.设随机变量X 的概率密度为 | |)(x ce x f -=，则c ＝ 。 （A ）－21 （B ）0 （C ）21 （D ）1 4.掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为 。 （A ）50 （B ）100 （C ）120 （D ）150 5.设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。 （A ）x 1 （B ） ∑=-n i i X n 1 1 1 （C ） ∑=-n i i X n 1 21 1 （D ） x 1. C 2. A 3. C 4. B 5. D 三、计算题（满分60分） 1.某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率。 67 .010 810 710 6212 2 4212 1 418212 2 8=? + ? + ? = C C C C C C C P 2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N （40，100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。（841 3.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ） 8413 .0)1(104050}50{=Φ=??????-<= 15 令 10 40-= x Y ，则)8413.0,5(~B Y .因此 0283 .0)8413.01(8413.0}2{3 2 2 5=-==C Y P . 3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于56 ”的概率。 ?? ?≤≤=其它 101 )(x x f , ?? ?≤≤=其它 0101 )(y y f 所以 ?? ?≤≤≤≤==其它 01 0,101 )()(),(y x y f x f y x f 故 251756= ???? ?? +〈Y X P . 4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X 的期望EX 和方差DX 。 .9.0)(=X E ，61.0)(=X D . 5.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2％的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差。（)99.0)325.2(,98.0)055.2(=Φ=Φ ) , (~2 n N X σ μ ，而 {} 98.002.014||=-=≤-μX P ，故 98.0142=-?????? ??Φn σ，99.04=? ????? ??Φn σ， 325.24=n σ，44.5=σ. 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15 分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。（ 0301 .2)35(025.0=t ， 0281 .2)36(025.0=t ） ) , 5.66(~2 n N X σ ，设 70 :,70:10≠=X H X H ，则 ) 1(~--= n t n S X t μ，故拒绝域为 ?? ????-≤≥=)35()35(|22ααt t t t t w 或,即 {}0301.20301.2|-≤≥=t t t w 或. 由于4.1=t 不在拒绝域内，故接受0H ，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. 四、证明题 1.设A ，B 是两个随机事件，0 ()( )A B P A B P ||=，证明：A 与B 相互独立。 ) |()()|()()(A B P A P A B P A P B P += [] )()()|()|()()(A P AB P A B P A B P A P A P = =+=， 所以 )()()(B P A P AB P =. 16 2.设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X ,1是X 的简单随机样本，试证：() 2 2 1 S X +是λ的无偏估计。 λ=)(2S E ，22)(λλ+=i X E ，故() λ=??? ???+221S X E ， 因此 ( ) 2 21S X +是λ的无偏估计. 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 12 1 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解（1）ABC （2）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ； （3）A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；（4）ABC ABC ABC ； （5）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率 解 设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<，不等式构成平面域S .------------------------------------5分 A 发生0,0,2 22 a a a x y x y a ?<< << <+< 不等式确定S 的子域A ，----------------------------------------10分 所以 1()4 A P A = =的面积S 的面积 -----------------------------------------15分 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 210131111115 6 5 15 30 X P -- 求2 Y X =的分布列. 解 Y 的分布列为 17 0149171115 30 5 30 Y P . 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 解 || 102 x EX x e dx +∞--∞ = ?=? ， （因为被积函数为奇函数）--------------------------4分 2 2 | | 20 12 x x D X EX x e dx x e dx +∞+∞---∞ == = ? ? 20 2x x x e xe dx +∞ +∞--=-+? 2[] 2.x x xe e dx +∞+∞--=-+ =? ----------------------------------------10分 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中 因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 解 X ～b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分 (1430)P X ≤≤≈Φ-Φ---------------------------10分 (2.5)(1.5=Φ-Φ- =0.994+0.933--1 0.927=.--------------------------------------------------15分 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布:1()(1),1,2,, 01k P X k p p k p -==-=<< ,的样本，试求未 知参数p 的极大似然估计. 解 11 11 (,,;)(1 )(1)n i i i n x n x n n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏ ----------5分 1 l n l n ()l n (1), n i i L n p X n p ==+ --∑ 1 ln 0,1n i i X n d L n dp p p =-= - -∑ --------------------------------10分 解似然方程 1 1n i i n X n p p =-+= -∑， 得p 的极大似然估计 1 p X =。--------------------------------------------------------------------15分 《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为 =)(y f Y _________. 18 4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2 )1(-=>e X P ，则=λ_________， }1),{min(≤Y X P =_________. 5． 设总体X 的概率密度为 ???? ?<<+=其它 , 0,10, )1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 解：1．3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．λ λ λ λ λ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λ λ λ λλ---=+e e e 2 2 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 1 6 1)3(-= =e X P . 3．设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤ = ≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 04,1()()0, . Y Y X y f y F y f <<'== =?其它 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 04, ()0, . Y X y f y f <<==?其它 4．2 (1)1(1)P X P X e e λ -->=-≤==，故 2λ= {m i n (,)1}1{m i n (,P X Y P X Y ≤=->1(1)(1) P X P Y =->> 4 1e -=-. 5．似然函数为 111 (,,;)(1)(1)(,,)n n n i n i L x x x x x θθ θθ θ==+=+∏ 1 l n l n (1)l n n i i L n x θθ==++∑ 1 ln ln 01 n i i d L n x d θ θ== + +∑ 解似然方程得θ的极大似然估计为 1 111 ln n i i x n θ==-∑. 19 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则A C 与B C 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ?，则A 与C 也独立. （ ） 2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ） 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是 （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ） 4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为 (,) (1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) 11116 9 18 3 X Y P αβ 若,X Y 独立，则,αβ的值为 （A ）21 ,99αβ==. （A ）1 2,99 αβ== . （C ） 11 , 66αβ= = （D ）5 1, 18 18 αβ= =. （ ） 5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ 为来自X 的样本，则下列结论中 正确的是 （A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ） 解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）. 事实上由图 可见A 与C 不独立. 2．~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1 =-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）. 3．由不相关的等价条件知应选（B ）. 4．若,X Y 独立则有 (2,2)(2)(2P X Y P X P Y α====== 1121 ()()()3939 αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β= 20 故应选（A ）. 5．1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）. 三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认 为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’ 则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.90.950.10.020=?+ ?= （2） ()0.90.95 (|)0.9977()0.857 P AB P B A P A ?===. 四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且 概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：X 的概率分布为 332 3 ()()() 0,1,2,3.5 5 k k k P X k C k -=== 即 0123 2754368125 125 125 125 X P X 的分布函数为 0,0,27,01,12581 (),12,125117 ,23,1251, 3.x x F x x x x ≥?? 263,55EX =?=2318 35525 D X =??=. 五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,) X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度. （1）(,)X Y 的概率密度为 2, (,)(,)0,.x y D f x y ∈?=? ? 其它 22,0 1()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞ -≤≤?= =?? ? 其它 （2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞ = -? ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 2012年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 学校 姓名 准考证号 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1． 9-的相反数是 A ．19 - B ． 19 C ．9- D ．9 2． 首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交 会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为 A ．96.01110? B ．960.1110? C ．106.01110? D ．110.601110? 3． 正十边形的每个外角等于 A ．18? B ．36? C ．45? D ．60? 4． 右图是某个几何体的三视图，该几何体是 A ．长方体 B ．正方体 C ．圆柱 D ．三棱柱 5． 班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英 等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是 A ． 16 B ． 13 C ． 12 D ． 23 6． 如图，直线AB ，C D 交于点O ，射线O M 平分A O C ∠，若76BO D ∠=?，则B O M ∠等于 A ．38? B ．104? C ．142? D ．144? 7． 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量（度） 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期 实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????- 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 2012年全国硕士研究生入学统一考试英语试题 Section Ⅰ Use of English Directions: Read the following text. Choose the best word(s) for each numbered blank and mark A, B, C or D on ANSWER SHEET 1. (10 points) The ethical judgments of the Supreme Court justices have become an important issue recently. The court cannot 1 its legitimacy as guardian of the rule of law 2 justices behave like politicians. Yet, in several instances, justices acted in ways that 3 the court’s reputation for being independent and impartial. Justice Antonin Scalia, for example, appeared at political events. That kind of activity makes it less likely that the court’s decisions will be 4 as impartial judgments. Part of the problem is that the justices are not 5 by an ethics code. At the very least, the court should make itself 6 to the code of conduct that 7 to the rest of the federal judiciary. This and other similar cases 8 the question of whether there is still a 9 between the court and politics. The framers of the Constitution envisioned law 10 having authority apart from politics. They gave justices permanent positions 11 they would be free to 12 those in power and have no need to 13 political support. Our legal system was designed to set law apart from politics precisely because they are so closely 14 . Constitutional law is political because it results from choices rooted in fundamental social 15 like liberty and property. When the court deals with social policy decisions, the law it 16 is inescapably political—which is why decisions split along ideological lines are so easily 17 as unjust. The justices must 18 doubts about the court’s legitimacy by making themselves 19 to the code of conduct. That would make ruling more likely to be seen as separate from politics and, 20 , convincing as law. 1. [A] emphasize [B] maintain [C] modify [D] recognize 2. [A] when [B] lest [C] before [D] unless 3. [A] restored [B] weakened [C] established [D] eliminated 4. [A] challenged [B] compromised [C] suspected [D] accepted 5. [A] advanced [B] caught [C] bound [D] founded 6. [A] resistant [B] subject [C] immune [D] prone 7. [A] resorts [B] sticks [C] loads [D] applies 8. [A] evade [B] raise [C] deny [D] settle 9. [A] line [B] barrier [C] similarity [D] conflict 10. [A] by [B] as [C] though [D] towards 11. [A] so [B] since [C] provided [D] though 12. [A] serve [B] satisfy [C] upset [D] replace 13. [A] confirm [B] express [C] cultivate [D] offer 14. [A] guarded [B] followed [C] studied [D] tied 15. [A] concepts [B] theories [C] divisions [D] conceptions 16. [A] excludes [B] questions [C] shapes [D] controls 习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 2012年文综全国II卷（历史） 24.汉武帝设置十三州刺史以监察地方，并将豪强大族“田宅逾制”作为重要的监察内容，各地财产达300万钱的豪族被迁到长安附近集中居住。这表明当时（） A.政权的政治与经济支柱是豪强大族 B.政治权利与经济势力出现严重分离 C.抑制豪强是缓解土地兼并的重要措施 D.经济手段是巩固专制集权的主要方式 25.许仙与白娘子自由相恋因法海和尚作梗终成悲剧，菩萨化身的济公游戏人间维持正义。这些在宋代杭州流传的故事，反应出当时（） A.对僧人爱恨交加的社会心态 B.民间思想借助戏剧广泛传播 C.中国文化的地域性特色浓厚 D.市民阶层的价值取向 26.明后期松江人何良俊记述：“（正德）以前，百姓十一在官，十九在田……今去农而改业为工商者三倍于前矣。昔日原无游手之人，今去农而游手趁食（谋生）者又十之二三也。大抵以十分百姓言之，已六七去农。”据此可知（） A．工商业的发展造成了农业的衰退 B.工商业发展导致了社会结构的变动 C.财富分配不均引起贫富分化加剧 D.无业游民增加促成了工商业的发展 27.理学家王阳明说：“士以修治，农以具养，工以利器，商以通货，各就其资之所近，力之所及者而业焉，以求尽其心，其归要在于有益生人（民）之道，则一而已……四民异业而同道。”在此，王阳明（） A.重申传统的“四民”秩序 B.主张重新整合社会阶层 C.关注的核心问题是百姓生计 D.阐发的根本问题是正心诚意 28.清代内阁处理公务的案例“积成样本四巨册”，官员“怀揣摹此样本为急”，时人称之为：“依样葫芦画不难，葫芦变化有千端。画成依旧葫芦样，要把葫芦仔细看。”这反应出当时（） A.内阁职权下降导致官员无所事事 B.政治体制僵化官员拘泥规则 C.内阁机要事务繁忙官员穷于应付 D.皇帝个人独裁官员惟命是从 29．梁启超在论述中国古代专制政治发展时说：“专制权稍薄弱，则有分裂，有分裂则有立征，有力征则有兼并，兼并多一次，则专制权高一度，愈积愈进”从中国古代历史整体来看，这一论述中可以确认的是（） A．君主专制是维系统一的主要条件 B.分裂动荡是专制权力产生的前提 C．专制程度随历史进程而不断加强 D.武力夺取政权是专制制度的基础 30．1895年，身为状元的张謇开始筹办纱厂，他称自己投身实业是“捐弃所持，舍身喂虎”。这反映出张謇（） A．毅然冲破视商为末业的传统观念 B．B.决心投入激烈的民族工商业竞争 C．预见到国内工商业发展前景暗淡 D.具有以追求利润为目的的冒险精神 31.1920年12月，毛泽东在致朋友的信中说：“我看俄国式的革命，是无可如何的山穷水尽你诸路皆走不通了的一个变计，并不是有更好的方法弃而不采，单要采这个恐怖的方法。”这表明在当时中国共产党早期组织成员看来（） A.俄国革命道路必须与中国实际相结合 B.在中心城市举行武装暴动是当务之急 C.暴力革命是进行社会改造的必然选择 D.改良仍旧是改造社会行之有效的方法 32.1958年，美国一份评估中国“二五”计划的文件认为，中国虽然面临着农业生产投入不足与人口快速增长的压力，但由于中苏关系良好而可以获得苏联援助，同时减少粮食出口，中国可以解决农业问题，工业也将保持高速发展。这一文件的判断（） A.对中美关系的急剧变化估计不足 B.B.低估了苏联对华经济援助的作用 C.符合中苏两国关系的基本走向 D.与中国工农业发展状况不符 33.据统计，1992年全国辞去公职经商者达12万人，未辞职而以各种形式投身商海者超过1000万人，这种现象被称为“下海潮”。这反映了（） 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 2012年高考语文试题及答案(新课标全国卷) 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。考试用时150分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答 卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 2012年普通高等学校招生全国统一考试 语文 本试题卷分第I卷(阅读题)和第11卷(表达题)两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第I卷阅读题 甲必考题 一、现代文阅读((9分，每小题3分) 阅读下面的文字，完成1-3题。 “黑箱，是控制论中的概念，意为在认识上主体对其内部情况全然不知的对象.“科技黑箱”的含义与此有所不同，它是一种特殊的存贮知识、运行知识的设施或过程，使用者如同面对黑箱，不必打开，也不必理解和掌握其中的知识，只需按规则操作即可得到预期的结果.例如电脑、手机、摄像机、芯片，以及药品等，可以说，几乎技术的全部中间和最终成果都是科技黑箱.在科技黑箱的生产过程中，科学知识是通泌出，价值观和伦理道德则对科学知识进行选择。除此以外，科技黑箱中还整合了大童人文的、社会的知识，并且或多或少渗透了企业文化和理念。这样，在电脑或手机中就集成了物理学、计葬机科学、管理学、经济学、美学，以及对市场的调研和政府的相关政策等知识. 科技黑箱是特殊的传播与共享知识的媒体，具有三大特点。首先，它使得每一个使用者-不仅牛顿，都能直接“站在巨人的肩上”继续前进.试想，如果要全世界的电脑使用者都透彻掌握电脑的工作原理，掌握芯片上的电子理论，那需要多少时间?知识正是通过科技黑箱这一途径而达到最大限度的共享。如今，计葬机天才、黑客的年龄越来越小，神童不断出现，他们未必理解计算机的制作过程就能编写软件、破译密码。每一代新科技黑箱的出现，就为相对“无知识”的年轻一代的崛起与赶超提供了机会。其次.处在相付低端的科技黑箱往往与语境和主体无关，而处于高端的科技黑箱则需满足特定主体在特定场合乃至心理的需要。人们很少能对一把锤子做什么改进，而使用一个月后的电脑则已经深深地打上了个人的印记，这就锐明，在认识变得简单易行之时，实践变得复杂和重要.最后，当科技为我们打开一扇又一扇门的时候，我们能拒绝它的诱惑不进去吗?而一旦进去，我们的行为能不受制于房间和 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 2012年6月大学英语四级考试真题试题及答案解析(完整版) Part ⅠWriting (30minutes) Directions: For this part, you are allowed 30 minutes to write a short essay entitled Excessive Packaging following the outline given below. Y ou should write at least 120 words but no more than 180 words. 1.目前许多商品存在过度包装的现象 2.出现这一现象的原因 3.我对这一现象的看法和建议 On Excessive Packaging Part ⅡReading Comprehension(Skimming and Scanning)(15minutes) Directions: In this part, you will have 15 minutes to go over the passage quickly and answer the questions on Answer sheet 1. For questions 1-7,choose the best answer from the four choices marked A)，B)，C)and D). For questions 8-10,complete the sentences with the information given in the passage. Small Schools Rising This year?s list of the top 100 high school s shows that today, those with fewer students are flourishing. Fifty years ago, they were the latest thing in educational reform: big, modern, suburban high schools with students counted in the thousands. As baby boomers(二战后婴儿潮时期出生的人) came of high-school age, big schools promised economic efficiency. A greater choice of courses, and, of course, better football teams. Only years later did we understand the trade-offs this involved: the creation of excessive bureaucracies(官僚机构)，the difficulty of forging personal connections between teachers and students.SA T scores began dropping in 1963;today,on average,30% of students do not complete high school in four years, a figure that rises to 50% in poor urban neighborhoods. While the emphasis on teaching to higher, test-driven standards as set in No Child Left Behind resulted in significantly better performance in elementary(and some middle)schools, high schools for a variety of reasons seemed to have made little progress. Size isn?t everything, but it does matter, and the past decade has seen a noticeable countertrend toward smaller schools. This has been due ,in part ,to the Bill and Melinda Gates Foundation, which has invested $1.8 billion in American high schools, helping to open about 1,000 small schools-most of them with about 400 kids each with an average enrollment of only 150 per grade, About 500 more are on the drawing board. Districts all over the country are taking notice, along with mayors in cities like New Y ork, Chicago and San Diego. The movement includes independent public charter schools, such as No.1 BASIS in Tucson, with only 120 high-schoolers and 18 graduates this year. It embraces district-sanctioned magnet schools, such as the Talented and Gifted School, with 198 students, and the Science and Engineering Magnet,with383,which share a building in Dallas, as well as the City Honors School in Buffalo, N.Y., which grew out of volunteer evening seminars for students. And it includes alternative schools with students selected by lottery(抽签)，such as H-B Woodlawn in Arlington, V a. And(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
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