第一讲
1. 由盛有号码为N ,,2,1 的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率.
2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率.
3. 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r ≤只, 求下列事件的概率:
(1) (1) 没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有r 双鞋子.
4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率:
(1) (1) 取得以A 为打头的顺次同花色5张;
(2) (2) 有4张同花色;
(3) (3) 5张同花色;
(4) (4) 3张同点数且另2张也同点数.
思考题:
1.（分房、占位问题）把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。
I. I. 若这n 个球是可以区分的，求（1）指定的n 个格子各有
一球的概率；（2）有n 个格子各有一球的概率；
若这n 个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率。
2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率：
（1） （1） 五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10.
第二讲
1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于
2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不订任何报纸的.
3. 在线段[0,1]上任意投三个点, 求0到这三点的三条线段能构成三角形的概率.
4. 设A, B, C, D 是四个事件, 似用它们表示下列事件:
(1) (1) 四个事件至少发生一个;
(2) (2) 四个事件恰好发生两个;
(3) (3) A,B 都发生而C, D 不发生;
(4) (4) 这四个事件都不发生;
(5) (5) 这四个事件至多发生一个;
(6) (6) 这四个事件至少发生两个;
(7) (7) 这四个事件至多发生两个.
5. 考试时共有n 张考签, 有)(n m m ≥个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回, 求在考试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率.
6. 在§3例5中, 求恰好有)(n k k ≤个人拿到自己的枪的概率.
7. 给定)(),(),(B A P r B P q A P p ?===, 求)(B A P 及)(B A P .
思考题
1.（蒲丰投针问题续）向画满间隔为a 的平行线的桌面上任投一直径)(a l l <为的半圆形纸片,求事件“纸片与某直线相交”的概率；
1. n 件产品中有m 件废品, 任取两件, 求:
(1) (1) 在所取两件中至少有一件是废品的条件下, 另一件也是废品的
概率;
(2) (2) 在所取两件中至少有一件不是废品的条件下, 另一件是废品的
概率.
2. 袋中有)3(≥a a 只白球, b 只黑球, 甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后不放回). 试用全概率公式分别求甲乙丙各取得白球的概率.
3. 敌机被击中部位分成三部分: 在第一部分被击中一弹, 或第二部分被击中两弹, 或第三部分被击中三弹时, 敌机才能被击落. 其命中率与各部分面积成正比. 假如这三部分面积之比为, , . 若已中两弹, 求敌机被击落的概率.
4. 甲乙两人从装有九个球, 其中三个是红球的盒子中, 依次摸一个球, 并且规定摸到红球的将受罚.
(1) (1) 如果甲先摸, 他不受罚的概率有多大
(2) (2) 如果甲先摸并且没有受罚, 求乙也不受罚的的概率.
(3) (3) 如果甲先摸并且受罚, 求乙不受罚的的概率.
(4) (4) 乙先摸是否对甲有利
(5) (5) 如果甲先摸, 并且已知乙没有受罚, 求甲也不受罚的概率.
5. 设事件A, B, C 相互独立, 求证: B A AB B A -?,,也相互独立.
思考题
1. 甲、乙两人轮流掷一均匀的骰子。甲先掷，以后每当某人掷出1点时则交给对方掷，否则此人继续掷。试求事件n A ={第n 次由甲掷}的概率.
2（赌徒输光问题）两个赌徒甲、乙进行一系列赌博。在每一局中甲获胜的概率为p ，乙获胜的概率为q ，p+q=1，每一局后，负者要付一元给胜者。如果起始时甲有资本a 元，乙有资本b 元，a+b=c ，两个赌徒直到甲输光或乙输光为止，求甲输光的概率.
第四讲
1. 对同一目标进行三次独立射击,要害各次射击命中率依次为, 和. 求:
(1) (1) 三次射击中恰好一次击中目标的概率;
(2) (2) 至少一次击中目标的概率.
2. 在一电器中, 某元件随机开、关, 每万分之一秒按下面规律改变它的状态:
(1) (1) 如果当前状态是开的, 那么万分之一秒后, 它仍然处于开状态
的概率为)1(α-, 变为闭状态的概率为α;
(2) (2) 如果当前状态是闭的, 那么万分之一秒后, 它仍然处于闭状态
的概率为)1(β-, 变为开状态的概率为β.
假设10,10<<<<βα, 并且用n θ表示该元件万分之n 秒后处于闭状态的概率. 请给出n θ的递推公式.
3. 在伯努里概型中, 若A 出现的概率为p , 求在出现m 次以前A 出现k 次的A 概率(可以不连续出现).
4. 甲乙丙三人进行某项比赛, 设三人胜每局的概率相等. 比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者. 若甲胜了第一、三局, 乙胜了第二局, 问丙成了整场比赛优胜者的概率是多少
5. 一个人的血型为O 、A 、B 、AB 型的概率分别为、、和. 现任选五人, 求下列事件的概率:
(1) (1) 两人为O 型, 其他三人分别为其他三种血型;
(2) (2) 三人为O 型, 两人为A 型;
(3) (3) 没有一人为AB 型
第一讲
1. 1. 设ξ为重复独立伯努里试验中开始后第一个连续成功或连续失败的次数, 求ξ的分布.
2. 2. 直线上一质点在时刻0从原点出发, 每经过一个单位时间分别概率或向左或向右移动一格, 每次移动是相互独立的. 以n ξ表示在时刻n 质点向右移动的次数, 以n S 表示时刻n 质点的位置, 分别求n ξ与n S 的分布列.
3. 3. 每月电费帐单是由电力公司派人上门抄表给用户的. 如果平均有1%的帐单与实际不符, 那么在500张帐单中至少有10张不符的概率是多少
4. 4. 某车间有12台车床独立工作, 每台开车时间占总工作时间的2/3, 开车时每台需用电力1单位, 问:
(1) (1) 若供给车间9单位电力, 则因电力不足而耽误生产的概率等于
多少
(2) (2) 至少供给车间多少电力, 才能使因电力不足而耽误生产的概率
小于1%
5. 5. 螺丝钉的废品率为. 问一盒中应装多少螺丝钉才能保证每盒有
100只以上好螺丝钉的概率不小于80%
6. 6. 某疫苗所含细菌数服从泊松分布, 每一毫升中平均含有一个细菌, 把这种疫苗放入5只试管中, 每管2毫升, 求:
(1) (1) 5只试管中都有细菌的概率;
(2) (2) 至少有3只试管含有细菌的概率.
第二讲
1. 1. 在半径为
R, 球心为O 的球内任取一点P, (1) (1) 求ξ=OP 的分布函数;
(2) (2) 求)2/(R R P <<-ξ.
2. 2. 确定下列函数中的常数A, 使它们为密度函数:
(1) ;)(||x Ae
x p -= (2) ??
???<≤<≤=.,0,32,,21,)(2其他x Ax x Ax x p 3. 3. 某城市每天用电量不超过100万度, 以ξ表示每天耗电量(即用电量/100), 其密度为)10()1(12)(2<<-=x x x x p . 问每天供电量为80万度时, 不够
需要的概率为多少 供电量为90万度呢
3 假设一块放射性物质在单位时间内发射出的α粒子数ξ服从参数为λ的泊松分布.而每个发射出的α粒子被记录下来的概率均为p ,就是说有p -1的概率被计数器遗漏.如果个粒子是否被记录是相互独立的,试求记录下的α粒子数η的分布。
4. 4. 设)4,5(~N ξ, 求a , 使 (1);90.0)(=-a P ξ.
5.
5. 若]5,0[~U ξ, 求方程有实根的概率.
第三讲
1. 1. 试用),(ηξ的分布函数),(y x F 表示下列概率:
).,()3();
,()2();
,()1(+∞<-∞<<=≤≤≤ηξηξηξP y a P y b a P
2 设二维随机向量),(ηξ的密度函数为
???>>=+-.0,0,0,),()(2其它y x Ae y x p y x (1) (1) 确定常数A ；（2）求分布函数),(y x F ；（3）求ξ的边际密度；（4）
计算概率)10,2(<<<ηξP ；（5）计算概率);2(<+ηξP (6) )(ηξ=P .
3. 3. 设随机变量ξ与η相互独立, 且0)1()1(>====p P P ηξ, 又==)0(ξP
)0(=ηP p -=1, 定义:
???++=.,1,,0为偶数为奇数ηξηξζ 问p 取什么值能使ηξ,独立
第四讲
1. 1. 设),(ηξ服从圆222r y x ≤+上的均匀分布,
(1) (1)
求ηξ,各自的密度; (2) (2)
判断ξ与η是否相互独立. 2. 2. 设),(ηξ的密度函数为),(y x p , 求证ξ与η相互独立的充分必要条件为),(y x p 可分离变量, 即)()(),(y h x g y x p ?=. 此时)(),(y h x g 与边际密度有何关系
3.
3. 利用上题的充分必要条件判断ξ与η的独立性, 若它们的密度函
数为: (1)???≤≤≤≤=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x p
(2) ???≤≤≤=.,0,10,8),(其他y x xy y x p
第五讲
1. 四张小纸片分别写有数字0, 1, 1,
2. 有放回地取两次, 每次取一张, 以ηξ,分别记两次取得的数字, 求ηξ,各自的分布以及ξηθ=的分布.
2. 2.
设ηξ,是独立随机变量, 分别服从参数为1λ及2λ的泊松分布,
试直接证明: (1) ηξ+服从参数为1λ+2λ的泊松分布; (2)
.,,1,0,)()()|(212211
n k C n k P k n k k n =++==+==λλλλλληξξ
3.
3. 若Θ服从]2/,2/[ππ-上的均匀分布, ,tan Θ=ψ求ψ的密
度. 4. 4.
设ηξ,独立同分布，且都服从]1,0[上的均匀分布，求ηξζ+=的密度函数.
5. 设ηξ,独立同分布, 且都服从)1,0(N 分布，求ηξζ/=的分布密度.
第六讲 1. 在线段),0(a 上随机投掷两点, 求两点间距离的密度函数.
2. 设ηξ,相互独立，且都服从参数为1的指数分布，求ηξ+=U 与ηξ/=V 的联合密度,并分别求出ηξ+=U 与ηξ/=V 的密度.
3. 设),(ηξ的联合密度为：
???<<<<=.,0,10,10,,4),(其他y x xy y x p
求),(22ηξ的联合密度.
4. 设),(ηξ服从二元正态分布
).,,,0,0(2221r N σσ求ηξ+与ηξ-相互独立的充分必要条件.
第一讲
1. 1. 某人有n 把钥匙, 只有一把能打开家门. 当他随意使用这n 把钥匙时, 求打开家门时已被使用过的钥匙数的数学期望. 假设:
(1) (1) 每次使用过的钥匙不再放回;
(2) (2) 每次使用过的钥匙与其它钥匙混在一起.
2. 2. 设随机变量ξ分别具有下列密度, 求ξE :
?????≤≤-=??
???<≤-<≤=其他其他,0;2/2/,cos 2)()2(.,0,
21,2,10,)()1(2πππx x x p x x x x x p 3. 3. 设分子的速度的分布密度有马克斯韦尔分布律给出:
?????≤>-=.0,0,0),ex p(4)(22
32x x a x a x x p π 分子的质量为m , 求分子的平均速度和平均动能.
第二讲
1. 1. 设事件A 在第i 次试验中出现的概率为p , μ是在n 次独立试验中A 出现的次数, 求μE .
2. 某人有n 把钥匙, 只有一把能打开家门. 当他随意使用这n 把钥匙时, 求打开家门时已被使用过的钥匙数的方差. 假设:
(1) (1) 每次使用过的钥匙不再放回;
(2) (2) 每次使用过的钥匙与其它钥匙混在一起.
3. 某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产品的产量.他们估计出售该产品
一件可获利m 元,而每积压该产品一件导致n 元的损失。另外，该产品的销售量ξ预测服从参数λ的指数分布。问若要获得最大利润，应安排生产多少件产品
4. 4. 设ξ只取值于],[b a , 求证
.4/)(2a b Var -≤ξ 5. 5. 设二维随机向量),(ηξ的分布密度为
???<<<<--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x p 求协方差矩阵.
思考题
1. 设袋中装有m 只颜色各不相同的球. 有返回地摸取n 次, 摸到ξ种颜色的球. 求ξE .
第三讲
1. 1. 设d c b a d c V b a U ,,,,,+=+=ηξ为常数, c a ,同号, 求证V U ,的相关系数等于ηξ,的相关系数.
2. 2. 设随机变量n 221,,,ξξξ 的数学期望都为0, 方差都为1, 两两
间的相关系数都为ρ, 求n ξξη++= 1与n n 21ξξζ++=+ 之间的相关系数.
3. 3. 设ηξ,都是只取两个值的随机变量, 求证: 如果它们不相关, 则它们独立.
思考题
1.
1. 设),1,1,0,0(~),(r N ηξ,求证: ./)1(),max(πηξr E -=
2. 2. 设ρηξηξηξ=====),(,1,0Cov Var Var E E . 证明: 22211),max(ρηξ-+≤E .
第四讲
1. 1. 求下列分布的特征函数:
(1)
;1,,2,1,)(1p q k pq k P k -====- ξ (2)ξ服从],[a a -上的均匀分布;
(3) ξ服从参数为λ的指数分布.
2. 2. 设)(t ?是特征函数, 求证下列函数也是特征函数:
).0(sin )()2();()]()[1(>∈+a at at t Z n t n ?? 3. 3. 证明下列函数是特征函数, 并找出相应的分布.
.)1)(3(;)sin )(
2(;cos )1(1222-+t t t t 思考题
1.
1. 试举例说明在逆极限定理中, 在0=t 处连续这一条件不能少.
2.
2. 当ηξ,独立时, 则有
第一讲
1. 1. 下列分布函数列是否弱收敛于分布函数
??
???≥<≤-+-<=???-≥-<=.,1,,2/)(,,0)()2(./1,1,/1,0)()1(n x n x n n n x n x x F n x n x x F n n 2. 2. 设}{n ξ为独立同分布随机变量序列, }{n ξ的分布列为???? ??-5.05.011, ∑==n k k
k n 12/ξη.求证}{n ξ的分布收敛于[-1,1]上的均匀分布.
第二讲
1. 1. 设某车间有200台同型机床，工作时每台车床60%的时间在开动, 每台开动时耗电1千瓦. 问应供给该车间多少千瓦电力才能有的把握保证正常生产
2. 2. 一家火灾保险公司承保160幢房屋, 最高保险金额有所不同, 数
假设0;
(2) 各幢房屋是否发生火灾相互独立;
(3)如果理陪发生, 理陪量从0到最高保险金额间的均匀分布.
记N 为一年中理陪次数, S 为理陪总量,
a. 计算N 的数学期望和方差;
b. b. 计算S 的数学期望和方差;
c. c. 确定相对保证附加系数θ, 即=θ(每份保单保费收入–平均理陪量)/ 平均理陪量, 以确保保险公司的保费收入大于理陪总量的概率等于.
3.
3. 设}{n ξ为独立同分布, 其分布列为泊松分布. 记
∑∑==-=n k n k k k k n Var E 11/
)(ξξξη计算n η的特征函数, 并求+∞→n 时的极限,
从而验证林德贝格–勒维定理在这种情况成立. 4. 4. 设}{},{n n ηξ各自独立同分布, 也相互独立. 2/1}1{,1,02=±===n n n P E E ηξξ. 求证: ∑==n k k k n n S 11ηξ的分布函数弱收敛
于).1,0(N
思考题
1. 利用中心极限定理证明: .,2/1!0∞→→∑=-n k n e n k k n
第三讲
1. 设}{n ξ独立同分布, 密度为
???≤>=--.,0,,)()(a x a x e x p a x , 令},,min{1n n ξξη =, 求证:
a P n →η.
3. 3. 求证: (1)若
ξξP n →,ηηP n →, 则.ηξηξ±→±P
n n (2)若ξξP n →,ηηP n →, 则.ξηηξP n n →
4. 4.
设}{n ξ独立同分布, 都服从[0,1]上的均匀分布, 令n
n k k n /11)(∏==ξη, 求证: ,c P n →η并求出常数c .
思考题 1. (蒙特卡罗方法) 设)(x f 是定义在[0,1]上的连续函数, 且取值于[0,1]. 现在平面的正方形}10,10:),{(≤≤≤≤y x y x 上做随机投点试验, 记)(A f n 为所投点落在区域=A
,10:),{(≤≤x y x )}(0x f y ≤≤内的频率. 试说明当投点次数充分多时, n f 可充分接近积分值
?10.)(dx x f