第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题
1.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为
则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .
【解题分析】首先要根据Z 的定义确定Z 的取值范围,然后求Z 取值的概率即可. 解: 由于,X Y 仅取0、1两个数值，故Z 也仅取0和1两个数值，因,X Y 相互独立，故 {0}{max(,)0}{0,0}P Z P X Y P X Y ======
111
{0}{0},224P X P Y ====?=g
3
{1}1{0}.4
P Z P Z ==-==
Z 的分布律为
Z
０
１
P
14 34
2．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为
6,01,
(,)0,x x y f x y ≤≤≤?=?
?其它.
则{1}P x y +≤= . 【解题分析】利用(){}()D
P
X Y D f x y dxdy ∈=??，，求解.
解: 如图10-5所示
图10-5
X
０ １
P
12 12
1120
1(1)664
x x
D
P x y xdxy dx dxdy -+≤===
????
． 二、选择题
1.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为
则下列式子正确的是（ ）．
A ．;X Y =
B ．{}0;P X Y ==
C ．{}12;P X Y ==
D ．{} 1.P X Y ==
【解题分析】乍看似乎答案是A ,理由是X 和Y 同分布,但这是错误的,因为,若X Y =,说明X 取什么值时, Y 也一定取相同的值,而这是不可能的,所以只能从剩下的三个答案中选一个,这时只要直接计算{}P X Y =即可.
解: 由X 和Y 相互独立知
{}{1,1}{1,1}P X Y P X Y P X Y ===-=-+==
{1}{1}{1}{1}P X P Y P X P Y ==-=-+==g g
11111
.22222
=?+?= 所以,正确答案是C .
2.(1999年数学三)设随机变量1
01(1,2)1
114
24i X i -??
??=????
:,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ ）．
A ．0；
B ．14；
C ．1
2
； D ．1.
【解题分析】本题应从所给条件{}1201P X X ==出发,找出随机变量12,X X 的联合分布.
解: 设随机变量
12,X X 的联合分布为
由 121212{0}{0,1}{0,1}P X X P X X P X X ====-+==
121212{1,0}{1,0}{0,0}P X X P X X P X X +=-=+==+==
21231232221p p p p p =++++=
知 111331330,p p p p ====
从而有 2111311144p p p =
--=, 类似地 231232111
,,.444
p p p ===
进一步可知 2212321
0.2
p p p =--=
即 1122330.p p p ===
因此有12{}0.P X X ==正确答案是A .
3.(1999年数学四)假设随机变量X 服从指数分布,则随机变量min{,2}Y X =的分布函数（ ）．
A ．是连续函数；
B ．至少有两个间断点；
C ．是阶梯函数；
D ．恰好有一个间断点.
【解题分析】从公式(){}{}{}{}
min 1min z F z P X z P X Y z =≤=->，Y ，
{}{}{}1,1P X z Y z P X z P Y z =->>=->> ()()()()111X Y F z F z =---
出发求解即可.
解: 由题设,0,
()0,
0.x e x X e x λλλ-?>=?≤?:
令12,2,X ξξ==则
120,0,0,2,
()()1,0,1, 2.
x
x x F x F x e x x ξξλ-≤≥?? 于是12min{,2}min{,}Y X ξξ==的分布函数为
120,
0,()1(1())(1())1,02,1, 2.x x F x F x F x e x x λξξ-≤??
=---=-<
可见其仅有一个间断点 2.x =正确答案是D .
4.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则
A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；
B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；
C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；
D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．
解: 由于若随机变量X 与Y 相互独立，它们的分布函数分别为1()F x 与2()F y ，则
max{,}Z X Y =的分布函数为12()()()z F z F x F y =，可知12()()F x F x 必为某一随机变量的
分布函数.故选择B .
注：本题与2002年高数一中的选择题类同.本题也可以用赋值法求解.
三、计算与证明题
1.(1994年数学三)假设随机变量1234,,,X X X X 相互独立,且同分布,{0}0.6,{1}0.4(1,2,3,4,)i i P X P X i =====求行列式123
4
X X X X X =
的概率分布.
【解题分析】X 由22?阶行列式表示,仍是一随机变量,且1423X X X X X =-,由于
1234,,,X X X X 独立同分布, 故14X X 与23X X 也是独立同分布的,因此可先求出14X X 和23X X 的分布律,再求X 的分布律.
解: 记114Y X X =,223Y X X =,则12X Y Y =-.随机变量1Y 和2Y 独立同分布:
1223{1}{1}{1,1}P Y P Y P X X ====== {}{}23110.16P X P X ====. 12{0}{0}10.160.84P Y P Y ====-=.
随机变量12X Y Y =-有三个可能值-1,0,1.易见
12{1}{0,1}0.840.160.1344,P X P Y Y =-====?= 12{1}{1,0}0.160.840.1344,P X P Y Y =====?=
{0}120.13440.7312.P X ==-?=
于是
12
3
41010.13440.73120.1344X X X X X -??
=
????
:． 2．(2003年数学三)设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布律为1
20.30.7X ????
??
:,而Y 的分布密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的分布密度()g u .
【解题分析】本题是求随机变量函数的分布,这里的两随机变量一个是离散型,一个是连续型,我们仍然从求分布函数出发,根据X 的不同取值,利用全概率公式来求解.
解: 设()F y 为y 分布函数,则由全概率公式及X 与Y 的独立性可知,U X Y =+的分布函数为
()()()G u P U u P X Y u =≤=+≤
()()()()1|12|2P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤=
0.3(|1)0.7(|2)P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤=
0.3(1|1)0.7(2|2)P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=
0.3(1)0.7(2)0.3(1)0.7(2)P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-,
由此得 ()0.3(1)0.7(2).g u f u f u =-+-
3.(2006年数学四) 设二维随机变量()X Y ，的概率分布律为
其中a b c ，，为常数,且X 的数学期望0.2EX =-,
{}000.5P Y X ≤≤=,记Z X Y =+.求
(1) a b c ，，的值;(2)Z 的概率分布;(3){}P X Z =
【解题分析】要求a b c ，，的值，只需要找到三个含有a b c ，，的等式即可，这可以由分布函数的性质及题设中所给的两个条件得到；求Z 的概率分布，首先要弄清楚Z 的可能取值，由X Y ，的取值可知，Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，然后再求Z 取值的概率；要求{}P X Z =，只需要转化为求关于X Y ，的概率，由
{}{}{}0P X Z P X X Y P Y ===+==，既可得出结论.
解: (1)由概率分布的性质知,0.61a b c +++=, 即 0.4a b c ++=．
由 0.2EX =-,可得 0.1a c -+=-． 再由
{}{}{}
000.1
000.50.5
0P Y X a b P Y X a b P X ≤≤++≤≤=
=
=++≤，，
得 0.3a b +=.
解以上关于a b c ，，的三个方程得 0.2,0.1,0.1a b c ===.
(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2,
{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-=，
{}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，
{}{}{}
{}01,10,0 1,10.3
P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=
{}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+===， {}{}21,10.1P Z P X Y =====．
即Z 的概率分布律为
(3) {}{}{}0P X Z P X X Y P Y ===+===00.10.2b ++=. 4.(1987年数学一)设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为
1,01
,0
()()0,0,
y X Y x e y f x f y y -≤≤?>?==??
≤??其它, 求2Z X Y =+的概率密度函数. 【解题分析】此类问题,一般有两种解法:一种是先写出二维随机变量(,X Y )的联合概率分布密度函数,再计算2Z X Y =+的概率分布密度函数,另一种是直接利用两独立随机变量和的分布密度计算公式(即卷积公式)求解.
解: 方法１ 由于随机变量,X Y 相互独立,所以二维随机变量(,X Y )的概率分布密度函数为
(,),01,0,
(,)()()0,
y X Y X Y e x y f x y f x f y -?≤≤>==?
?g 其它. 因此,随机变量Z 的分布函数为
2(){2}()()Z X Y x y z
F z P X Y z f x f y dxdy +<=+<=
??
g
22220001212000
00,0,0,
(1),02,(1), 2.z
z z x y
x z z x
y x z z z dx e dy e dx z dx e dy
e dx z ------??≤≤?????==-<≤??????->?????????，
所以,随机变量Z 的分布密度函数为
()()Z Z f z F z '==20,0,1
(1),
02,21(1), 2.2
z z
z e z e e z --??≤??-<≤???->?? 方法２ 由于随机变量,X Y 相互独立,所以,由卷积公式知,随机变量Z 的密度函数为
1
()()(2)(2)Z X Y Y f z f x f z x dx f z x dx +∞
-∞
=-=-?
?
=(2)201
(2)00,0,
,02,, 2.z z x z x z e dx z e dx z ----?≤???<≤???>????
=20,0,1
(1),02,21(1), 2.2
z z
z e z e e z --??≤??-<≤???->?? 5.(1999年数学四)设二维随机变量(,X Y )在矩形{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布,试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率分布密度函数()f s .
【解题分析】由题设容易得出随机变量(,X Y )的分布密度,本题相当于求随机变量
,X Y 的函数S XY =的分布密度.可先求出其分布函数,再求导得分布密度.在求分布函数
时,一定要注意对S 的取值范围进行讨论.
解: 由于二维随机变量(,X Y )服从均匀分布,所以,它的概率分布密度函数为
1
,(,),
2
(,)0,(,).x y G f x y x y G ?∈?=??∈?
若若 设(){}F s P S s =≤为S XY =的分布函数,则 当0s ≤时, ()0;F s = 当2s ≥时, () 1.F s =
现在，设02,s <<如图10-6所示, 曲线xy s =与矩形G 的上边交于点(,1)s ；
图10-6
位于曲线xy s =上方的点满足xy s >,位于下方的点满足xy s <,于是
(){}{}1{}F s P S s P XY s P XY s =≤=≤=->
211111(1
ln 2ln ).222s s x xy s
s
dxdy dx dy s >=-=-=+-????
于是,
1
(ln 2ln ),02()20,
0 2.s s f s s s ?-<
6.(2001年数学一)设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为(01)p p <<,且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求：
（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量(,)X Y 的概率分布.
【解题分析】显然，第一问求的是条件概率, 发车时有n 个乘客, 中途有m 人下车的概率,为n 重伯努利概型,可以依此求解.其次，要求二维随机变量(,)X Y 的概率分布,首先确定X Y ，的取值,然后按乘法公式求解.
解: (1)设事件A ={发车时有n 个乘客},B ={中途有m 个人下车},则在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 个人下车的概率是一个条件概率,即
(|)(|).P B A P Y m X n ===
根据n 重伯努利概型,有
()
(|)1n m
m m
n P B A C p p -=-，
其中0,0,1,2,m n n ≤≤=L .
(2)由于(,)()(|)(),P X n Y m P AB P B A P A ====g 而上车人数服从()P λ,因此
(),!
n
P A e
n λλ-=
于是(,)X Y 的概率分布律为
()()(,)(1)
,!
n
m m
n m
n
P X n Y m P Y m X n P X n C p p e n λλ--=======-g
其中
0,0,1,2,m n n ≤≤=L .
7.(2001年数学三)设随机变量X 和Y 的联合分布在正方形
{(,):13,13}G x y x y =≤≤≤≤(如图10-7)上服从均匀分布,试求随机变量||U X Y =-的
概率分布密度函数().p u
图10-7
【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布,可从分布函数出发求解.但是,这里要注意的是随机变量函数带有绝对值.
解: 由条件知X 和Y 联合密度为
1
3,13,(,)40,x y f x y ?≤≤≤≤?
=???若1其它.
以()()()F u P U u u =≤-∞<<∞表示随机变量U 的分布函数,显然,当0u ≤时,
()0F u =；当2u ≥时，()1F u =.
设02,u <<则||{||}1
()(,)4x y u
x y u G
F u f x y dxdy dxdy -≤-≤=
=
??
??I
2211
[4(2)]1(2)44
u u =--=--, 于是,随机变量U 的分布密度为
()1
(2)2,
()20,
U u
8.(2002年数学三、四)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（()E X ）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数().F y
【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布.首先要找到Y 与X 的关系,然后分情况进行讨论.
解: 设X 的分布参数为λ,由于1
()5,E X λ==可见1
5
λ=.显然,{}min 2Y X =，.对于0,()0;y F y <=对于2,() 1.y F y ≥=
设02,y ≤<有(){}{min{,2}}F y P Y y P X y =≤=≤=5
{}1y
P X y e -≤=-
于是，Y 的分布函数为
5
0,
0,
()12,1, 2.
y y F y e
y y -
?
=-≤
若若0若 求随机变量函数的分布,是概率论中考试的重点,对于求连续型随机变量函数的分布密度,一般从求分布函数出发,结合图形对自变量的取值范围进行讨论,求出分布函数,然后求导即得分布密度.
第三章多维随机变量及其分布 随机向量的定义： 随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。 二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。 对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。
研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 §二维随机变量的分布
一．离散型随机变量 1．联合分布律 定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,… ——
称式为(X,Y)的联合分布律。 (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：
性质： (1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) j i ij p ,=1 2．边缘分布律 设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1 = p{Y=y i }j=1,2, (30)
第三章 多维随机变量及其分布测试题三 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．设是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数＝． 2．设随机变量均服从如下分布： 且满足，则= ． 3．设相互独立，下表为的分布律及边缘分布律的部分数值，又知，试将其余值填入表中： Y X 0 1 2 1 1 4．设均服从正态分布，且，则． 5．设是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数＝． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设和独立，都服从同一0-1分布：，则=（ ）． (A) 0； (B) ； (C) ； (D) 1． 2．设随机变量和有相同的概率分布：，并且满足，则等于（ ）． (A) 0； (B) 0.25； (C) 0.50； (D) 1． 3．设独立和之和与和服从同名概率分布，如果和都服从（ ）． (A) 均匀分布； (B) 二项分布；
(C) 指数分布； (D) 泊松分布． 4．设随机变量和都服从正态分布，则（ ）． (A) 一定服从正态分布； (B) 和不相关与独立等价； (C) 一定服从正态分布； (D) 未必服从正态分布． 5．设随机变量，Y相互独立，且X～，Y ～，则下列式子中正确的（ ）． （A）； （B）； （C）； （D）． 三．解答题（本题共10小题，第1至5小题每小题6分，第6至10小题每小题8分，满分70分．） 1．一个袋中有4个球，分别标有数字1、2、2、3，从袋中随机取出2个球，令、分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（，）的联合分布列(袋中各球被取机会相同)． 2．设二维随机变量（）的联合密度函数为： 求（1）分布函数；（2）（）落在由轴、轴和直线所围成的区域内的概率． 3．设二维随机变量的概率分布为： -112 -15/202/206/20 23/203/201/20 求：（1）概率分布；（2）概率分布． 4．在10件产品中有两件一级品、7件二级品和1件次品，从中不放回的抽取三件，用分别表示抽到的一级品和二级品的件数，求：（1）的联合分布；（2）的边缘分布；（3）判断是否相互独立；（4）相关系数．
第3章 多维随机变量及其分布试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则{0}P X Y +≠=（ C ） (A) (B) (C) (D) 2、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???<<-<<-=other y x c y x f ,01 1,11,),(，则常数c = （A ） (A) 41 (B) 2 1 (C) 2 (D)4 3、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 设1,0,},,{====j i j Y i X P p ij ，则下列各式中错误的是（ D ） (A) 0100p p < (B) 1110p p < (C) 1100p p < (D) 0110p p < 4、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则}{Y X P ==（A ） (A) (B) (C) (D) 5、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e Ae y x f y x , 00 ,0,),(2，则常数A = （D ）
(A) 21 (B) 1 (C) 2 3 (D)2 6、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则}0{=XY P =（C ） (A) 41 (B) 125 (C) 4 3 (D)1 7、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 ),(y x F 为其联合分布函数，则)3 ,3(F =（D ） (A) 0 (B) 121 (C) 61 (D) 4 1 8、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e e y x f y x , 00 ,0,),(，则}{Y X P ≥= （B ） (A) 41 (B) 21 (C) 32 (D) 4 3 9、设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别41，4 3 ，则}1{-=XY P =（ D ） (A) 161 (B) 163 (C) 41 (D) 8 3 10、设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为),(y x F ，则),(+∞x F =（ B ） (A) 0 (B) )(x F X (C) )(y F Y (D) 1
第三章 多维随机变量及其分布 作业 1．若对于所有y x ,有 ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的. 2．设随机变量X 和Y 是相互独立的，X 的密度函数∞<<-∞=-x e x f x ,21 )(212 π，Y 的 密度函数???<≥=-0 ,00,)(2y y e y f y ，则),(Y X 的联合密度函数),(y x f = . 3．已知随机变量)4,7(~,)4,9(~N Y N X ，且X 与Y 是相互独立，则Y X Z +=的概率密度函数)(z f Z = . 4．设),(Y X 为二维随机变量，试用联合分布函数),(y x F 表示概率},{y Y x X P >>. 5．设随机变量X ，Y 是相互独立，其边缘密度函数与边缘分布函数分别为)(,)(y f x f Y X 与)(,)(y F x F Y X ，则},min{Y X N =的分布密度函数)(z f Z = . 6．设)(),(21y f x f 是两个概率密度函数，则仅当函数),(y x R 满足条件 时，函数),()()(),(21y x R y f x f y x f +=才能成为概率密度函数. 7．设相互独立的两个随机变量Y X ,具有同一分布律，且X 的分布律为 2 1}1{}0{= ===X P X P ，则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 8．设二维随机变量),(Y X 的密度函数为?? ???≤≤≤≤=其它,020,10,21),(y x y x f ，则X 与Y 中至少有一个大于2 1的概率为 . 9．在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件：“两数之积大于 4 1”的概率为 . 10．设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则}0},{max{≥Y X P = .
第三讲 多维随机变量及其分布 考试要求 1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率. 2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、 各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布 （1）一般二维随机变量 F （x , y ）=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ （?∞, +∞）, y ∈ （?∞, +∞）的性质 F （x , y ）为联合分布函数 ? 1） 0 ≤F （x , y ）≤1 , ?x ∈ （?∞, +∞）,, y ∈ （?∞, +∞）; 2） F （?∞, y ）= F （x , ?∞）=0, F （+∞,+∞）=1; 3） F （x , y ）关于x , y 均为单调不减函数； 4） F （x , y ）关于x , y 均分别右连续. （2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布 联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,??? , p i j ≥ 0, 1=∑∑i j j i p . 边缘分布律 p i ? = P {X = x i }= ∑j j i p , i =1, 2 ,??? , p ? j = P { Y = y j }= ∑i j i p , j =1, 2 ,??? , 条件分布律 P {X = x i |Y = y j } = j j i p p ?, P { Y = y j | X = x i } = ? i j i p p . 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度 f （x , y ）为联合概率密度 ? 1? f （x , y ）≥0, 2? 1=?? ∞+∞-∞ +∞ - ),(dxdy y x f . 设（ X , Y ）~ f （x , y ）则 分布函数: ??∞-∞ -=x y dxdy y x f y x F ),(),(; 边缘概率密度: ? ∞ +∞ -= ),()(dy y x f x f X , ? ∞ +∞ -= ),()(dx y x f x f Y .
第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-. 2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 . 3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F 4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X 5、设随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<--=其它 04 2,20) 6(),(y x y x k y x f ，则=k 8 1 . 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布. 7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则 =? ∞+∞ -)(x f X 1 . 8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 . X Y 0 1 2 3 j P ? 1 0 8 3 8 3 0 86 3 81 0 8 1 8 2 ?i P 81 83 83 8 1
9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 186= +βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β 18 2 . 10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f 2 2221 y x e +- π ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z 4 22 21x e - π . 12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()() ?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =__1___。 二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X ，第二次取的球上标的数字Y ，求),(Y X 的联合分布律. 解：031 }1,1{?= ==Y X P 31 131}2,1{=?===Y X P 31 2132}1,2{=?===Y X P 3 1 2132}2,2{=?===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，Y 为投入2 号信箱的信数，求),(Y X 的联合分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2,3 Y 的可能取值为0,1,2,3 33 1 }0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 33233 3 3}2,0{====C Y X P X Y 1 2 1 0 31 2 3 1 3 1
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y | 第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 一、二维随机变量的分布函数 设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量. 一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究. 首先引入(X , Y )的分布函数的概念. 定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数 F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y } 称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数. 分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.. 由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为 P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1) 与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.（凡含-∞的概率分布为0） 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ). 4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0. 注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量 如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0; 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p . 我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为 = ),(y x F ∑∑≤≤==x x y y j i i j y Y x X P },{= ∑∑≤≤x x y y ij i j p 这里 ∑∑ ≤≤x x y y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和. 例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数.. 解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}= 3 12231=?. 第三章 多维随机变量及其分布 习题1 §3.1 二维随机变量的概率分布 一、填空题 1. 设（Y X ,）的分布函数为 ?? ?≥≥+--=----其它， ，，），（ 00 03331y x y x F y x y x ，则 （Y X ,）的联合概率密度),(y x f = ； 2设随机变量(Y X ,)的分布函数为 )3 (2(y arctg C x arctg B A y x F ++=）），（, 则A = , B = , C = ，(0≠A )； 3. 用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示概率),(c Y b X a P ≤≤<= ),(),(c a F c b F -； 4.设),(Y X 在区域G 上服从均匀分布，G 为y x =及2 y x =所围成的区域，),(Y X 的概率密度为 5. 设 (Y X ,) 联合密度为?? ?? ?>>=--其它，），（ ,00 ,0y x Ae y x f y x ，则系数A = ； 6. 设二维随机变量(Y X ,)的联合概率密度为()4,01,01 ,0, xy x y f x y <<< 一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是 （）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为 （A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为 （A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0 二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度 ， 3 4 ，则 且区域 5 。 6 . 7 =? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下： 第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分） 1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 222 13,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ? +-≥≥?++++=???其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1 《 7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34 (0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=, 则(max{,}0)P X Y ≥=_ 5 7 . 8．随机变量(,) (0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 . 9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ， ()D X Y -= 37 . 10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+==== 0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题（每题4分） 1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）. A .???>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x F B .?????>>??=--., 0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞---y x t s dsdt e y x F ),( D .?? ???>>=--.,0,0,0,),(其他y x e y x F y x 2．设平面区域D 由曲线1 y x = 及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）． A ．12 B ．1 3 C ．14 D ．12- 3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）． A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布 B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布 C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布 D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）． A ．X 与Y 不相关 B ．(,)()()X Y F x y F x F y =? C ．X 与Y 相互独立 D ．1XY ρ=- 多维随机变量及其分布 随机向量的定义： 随机试验的样本空间为S={ω}，若随机变量X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)定义在S 上，则称（X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。 二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。 对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 § 3.1 二维随机变量的分布 一．离散型随机变量 1．联合分布律 定义 3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i,j=1,2,… ——(3.1) 称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。 性质： (1) p ij ≥ 0，i, j=1,2, (2) ∑j i ij p ,=1 2．边缘分布律 设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.≥0②∑ p i.=1 p .j = p{Y=y i }j=1,2,… ①p .j ≥0②∑ p .j =1 我们称p i.和p .j 分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。 二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,j ∑ (Y=y j )} = j ∑ P{X=x i ,Y=y j }= j ∑ p ij (3.4) 同理可得 p .j = i ∑ p ij (3.5) 例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随机地在1到X 中取一值。试求（X,Y ）的联合分布率及边缘分布率。 解： {}{}{} , ,3,2,13 1 1/,i j i i i X P i X j Y P j Y i X P ≤=? ======= 第三章多维随机变量 一、填空 1、设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 二、选择 1、设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为 若,X Y 独立，则,αβ的值为（） （A ）21,99αβ==.（A ）12,99αβ==.（C ）11,66αβ==（D ）51,1818 αβ==.2、设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P 01 0.40.6 Y P 则有（）（A ）()0.P X Y ==（B ）()0.5. P X Y ==（C ）()0.52. P X Y ==（D ）() 1.P X Y ==三、计算题 1、设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上服从均匀分布.求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度. 2、设(,)X Y 的概率密度为 0,,(,).0, x y x e f x y -< 3、设(,)X Y 在由直线2 1,,0x x e y ===及曲线1y x =所围成的区域上服从均匀分布，（1）求边缘密度()X f x 和()Y f y ，并说明X 与Y 是否独立. （2）求(2)P X Y +≥.4、二维随机变量(,)X Y 在以(1,0),(0,1),(1,0)-为顶点的三角形区 域上服从均匀 分布，求Z X Y =+的概率密度。5、口袋中有4个球，每个球上有一个数字，依次是1,2,2,3，从袋中任取1球，不放回，再取一球，以随机变量X 和Y 分别记第一次和第二次取得球上数字。 试求：（1）),(Y X 的联合分布律；（2）边缘分布律；（3）Y 在}1{=X 条件下的分布律。 （3）判断,X Y 的独立性。 6、将3个球放入3个盒子，以随机变量X 和Y 分别记第一个盒子和第二个盒子中球的个数。试求：（1）),(Y X 的联合分布律；（2）边缘分布律； （3）Y 在}1{=X 条件下的分布律。（4）判断,X Y 的独立性。 #00001 已知F(x,y)=A(B+arctg ) 3()(2 y arctg B x +, 1)求常数A ，B ，C 。 2)求P{0 ???? ?? ???? == == >∴>=?=?=--G G G G y D y y G S S dxdy dx dy dxdy X Y P G X Y c cdx dy Cdxdy y 的面积 是其中或 见如图区域14 311}2{}2){21 1 1 1 10 2 3)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理解为(X,Y)落在{X ≤0.5,Y ≤0.5}区域（见如图G 1）上的概率。故有 ?? ? ? -= = = ≤≤=1 21 4 11}5.0,5.0{)5.0,5.0(G y y dx dy dxdy Y X P F #00004 已知(X,Y)的分布函数为?? ? ??≤≤--≤≤--=----其它 00101),(x y ye e y x xe e y x F y y y x 求F X (x)与F Y (y)。 *00004 解：F X (x)=F(x,∞)=? ? ?<≥--0 01x x e x F Y (y)=F(∞,y)= ? ? ?<≥----0 01y y ye e y y #00005 (X,Y)的分布函数如 2.1.求X 及Y 的边缘概率密度。 *00005 解法1：可先求出(X,Y)的概率密度，再由式(3.2.1)和(3.2.2)求出X 与Y 的边缘概率密度 ?? ?≥=?? ???≥== ???<≥=???? ?<≥==?? ?≤≤=???=-∞ ∞ ---∞ -∞ ∞ --? ? ? ? 其它 其它其它0000),()(0 00 0),()(00),(),(02 y ye y dx e dx y x f y f x x e x x dy e dy y x f x f y x e y x F y x y x f y y y Y x x y X y 解法2： 2.1.已算出了F X (x)及F Y (y)，则 f X (x)=F'X (x,)=? ??≥-其它 0x e x f Y (y)=F Y '(y)= ???≥-其它 0y ye y #00006 已知(X,Y)的分布律为 习题6（多维随机变量及联合分布） 一．填空题 1. 设随机变量X 在1，2，3，4中随机取值，随机变量Y 在1到X 中随机取整数值，则二维随机变量),(Y X 的联合概率分布列与两个边缘分布列分别为 ； ； . 概率==)(Y X P . 2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为 18 .012.012.008.01 11 01b a X Y --，且X 与Y 相互独立， 则=a ；=b . 3. 设区域1,1≤≤y x D ：，二维随机变量),(Y X 在D 上服从均匀分布，则它的联合密度函数 =),(y x f ；=≤+)1(Y X P . 4. 设),(Y X 是二维相互独立的随机变量，且)4,0(~U X ，)5(~e Y ，则概率 =≤≥)1,2(Y X P . 二．解答题 1. 若随机变量X 服从6.0=p 的10-分布，)5.0,2(~B Y ，且X 与Y 相互独立，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及概率).(Y X P < 2. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，)1,0(~U X ，)2(~e Y .写出二维随机变量),(Y X 的联合密度函数),(y x f ，并求t 的二次方程022 2 =++Y Xt t 有实根的概率。 3. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为? ? ?=,0,),(kx y x f ., ,10其它x y x ≤≤≤（1）求k 值；（2）求两个边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；（3）讨论随机变量X 与Y 的相互独立性；（4）求概率)5.0(≤X P 及).1(≥+Y X P 第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ). A.(X,Y) B.XY C.X+Y D.X －Y 2.设X,Y 独立同分布,11{1}{1},{1}{1},2 2 P X P Y P X P Y =-==-=====则（ ）. A.X =Y B.0}{==Y X P C.21}{==Y X P D.1}{==Y X P 3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使 )()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ). A.52,53-==b a B.32,32==b a C. 2 3,21= -=b a D. 2 3,21-== b a 4.设随机变量i X 的分布为1210 1~(1,2){0}1,11 1424i X i X X -?? ? === ??? 且P 则12{}P X X ==( ). A.0 B.41 C.2 1 D.1 5.下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布 B.边缘分布不能决定决定联合分布 C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同 D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量(X,Y) 的联合分布为: 则b a ,应满足( ). A ．1=+b a B. 13 a b += C.3 2=+b a D.2 3,2 1-==b a 7．接上题，若X ，Y 相互独立，则（ ）. A.9 1,9 2 ==b a B.9 2,9 1==b a C.3 1,3 1==b a D.3 1,3 2=-=b a 8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ). A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j === = B.361 }{= =Y X P C.21}{=≠Y X P D.2 1 }{=≤Y X P 9.设(X,Y)的联合概率密度函数为???≤≤≤≤=其他， y x y x y x f 01 0,10,6),(2,则 下面错误的是( ). A.1}0{=≥X P B.{0}0P X ≤= C.X,Y 不独立 D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是( ). A.{(,)}(,)G P X Y G f x y dxdy ∈=?? B.2{(,)}6G P X Y G x ydxdy ∈=?? C.1200 {}6x P X Y dx x ydy ≥=?? D.??≥=≥y x dxdy y x f Y X P ),()}{( 11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y D f x y ≠∈?=??其他,若 {(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是( ). A.{,)(,)G P X Y G f x y dxdy ∈=?? B.??-=≤-G dxdy y x f X Y P ),(1}02{ C.??=≥-G dxdy y x h X Y P ),(}02{ D.??= ≥D G dxdy y x h X Y P ),(}2{ 12.设(X,Y)服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是 习题三 一、填空题 1.设Y X 与两随机变量, 且），00(≥≥Y X P =7 4 0,740(73=≥=≥）（），Y P X P , 则 =≥）），（0(max Y X P 5/7 . 2.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布为 则关于X 的边缘分布律为 . 3．若） ，（Y X 的联合分布律为 βα,应满足条件是 3 = β+α .若Y X 与相互独立则α= 2/9 ,β= 1/9 ； 4.设Y X 与独立同分布, 且X 的分布律为5.0)1(,5.0)0(====X P X P , 则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 P(Z=0)=, P(Z=1)= ； 5.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 ()101,01 ,0 x y f x y <<< ?? ?≤≤≤≤-=其它0 0,10)2(8.4),(x y x x y y x f 则关于X 的边缘概率密度是?????≤≤-=-=?其它0 1 0)2(4.2)2(8.4)(02x x x dy x y x f x X . 9. 设随机变量X 和Y 相互独立，且X 在区间()0,2上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，则{}1P X Y +>=112e - . 10. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则 {}max{,}1P X Y ≤= 1/9 . 11. 若2 2 112212~(,),~(,),,X N Y N k X k Y μσμσ-相互独立服从分布为 12222 1122122(,)N k k k k μμσσ-+. 12．已知12,,,n X X X 独立且服从于相同的分布函数()F x ，若令 max(η=12,, ,)n X X X ，则()=F x ηη的分布函数()n F x . 二、选择题 1.设随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，其边缘分布函数()X F x 是（B ） ()()()()A lim (,);B lim (,);C (,0);D (0,).y y F x y F x y F x F x →-∞→+∞ 2.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数, 则（A ） （A ）1 {,},,1,2,636 P X i Y j i j ==== . （B ）361}{= =Y X P . （C ）2 1 }{= ≠Y X P . （D ）2 1 }{=≤Y X P . （A ）X =Y . （B ）P {X =Y }=0 . (C) P {X =Y }=1/2. (D) P{X =Y }=1. 4.设（X ，Y ）的联合概率密度函数为???≤≤≤≤=其他， y x y x y x f 01 0,10,6),(2,则下列结 论中错误的是（B ）.第三章__多维随机变量及其分布总结
第三章-多维随机变量及其分布--习题
二维随机变量及其分布题目
第三章-多维随机变量及其分布测试题答案
多维随机变量及其分布
多维随机变量-(试题)+
多维随机变量题库
概率论与数理统计教程习题(第三章多维随机变量及其分布)
(学生)第三章 多维随机变量及其分布
第三章_多维随机变量及其分布_习题)
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