第二十一讲 广义特征值与极小极大原理 一、 广义特征值问题 1、定义：设A 、B 为n 阶方阵，若存在数λ，使得方程Ax Bx =λ存在非零解，则称λ为A 相对于B 的广义特征值，x 为A 相对于B 的属于广义特征值λ的特征向量。 ● 是标准特征值问题的推广，当B ＝I （单位矩阵）时，广义特征值问题退化为标准特征值问题。 ● 特征向量是非零的 ● 广义特征值的求解 ()A B x 0-λ= 或者 ()B A x 0λ-= → 特征方程 ()det A B 0-λ= 求得λ后代回原方程Ax Bx =λ可求出x 本课程进一步考虑A 、B 厄米且为正定矩阵的情况。 2、等价表述 （1） B 正定，1B -存在 →1 B A x x -=λ，广义特征值问题化为了标准 特征值问题，但一般来说，1B A -一般不再是厄米矩阵。 （2） B 正定，存在Cholesky 分解，H B G G =，G 满秩 H A x G G x =λ 令H G x y = 则 () 1 1 H G A G y y --=λ 也成为标准特征值问题。 ( ) 1 1 H G A G --为厄米矩阵，广义特征值是实数，可以按大小顺序 排列12n λ≤λ≤≤λ ，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在 12n y ,y ,y 满足
() 1 1 H i i G A G y y --=λ H i j ij 1i j y y 0 i j =?=δ=?≠? 还原为()1 H i i x G y -= (i=1,2, ,n)，则 ()() H H H H i j i j i j ij 1 i j y y x G G x x Bx 0 i j =?===δ=? ≠? （带权正交） 二、 瑞利商 A 、 B 为n 阶厄米矩阵，且B 正定，称()()H H x A x R x x 0x Bx =≠为A 相对于B 的瑞利商。 12n x ,x ,x 线性无关，所以，n x C ?∈，存在12n a ,a ,a C ∈ ，使 得 n i i i 1 x a x == ∑ H n n n n 2 H H i i i j j j i j i i 1j 1i ,j 1 i 1 x Bx a x B a x a a x Bx a ====???? == = ? ????? ∑∑∑ ∑ n n n 2 H H H i i j i j j i i j i i i ,j 1 i ,j 1 i 1 x A x a a x A x a a x Bx a ==== = λ= λ∑ ∑ ∑ ∴ ()n 2 i i i 1n 2 i i 1 a R x a ==λ= ∑ ∑ ●()1x 0 min R x ≠=λ ()n x 0 max R x ≠=λ 证明：()()()() () H H H H kx A kx x A x R x x Bx kx B kx = = k 为非零常数 可取1k x =， kx 1=
极小值原理的一个实例 背 景 最优控制主要用于对各种控制系统的优化。例如，导弹系统的最优控制，能保证用最少燃料完成飞行任务,用最短时间达到目标;再如飞机、船舶、电力系统等的最优控制，化工、冶金等工厂的最佳工况的控制。计算机接口装置不断完善和优化方法的进一步发展，还为计算机在线生产控制创造了有利条件。最优控制的对象也将从对机械、电气、化工等硬系统的控制转向对生态、环境以至社会经济系统的控制。 随着社会的进步和发展，特别是运输行业的大力发展，各种汽车数量不断增加，汽车拥有率已成为衡量人民生活水平的重要标志。近30年来，国内汽车销售量以超过年均15%的速度增长，汽车需求量已占有50% 上的全球份额。 在人们的生活中，汽车已经成为必不可少的部分，所以研究汽车的行驶，成为最优控制理论研究的必然要求。本文通过一道例题，来说明最优控制理论在汽车行驶中的作用。 最短时间问题 一般情况下，汽车从开始运行，到停止要经过加速、匀速和减速的过程，在这个过程中，速度从零开始先增加，然后保持不变，最后再减速到零。我们把汽车看成质点，且汽车的重量忽略不计。记汽车的位移为1x ，速度为2x ，汽车受到的力是u 。为了使问题简单化，我们假设电梯开始的位置是()100x =，开始的速度()202x =，通过控制电梯受到的力u ，且()1u t ≤。求电梯在最短时间T 内达到零态，即()()120,0x T x T ==。下面把这个问题转化为最优控制问题。 根据电梯的运动，得到其运动方程为 122 x x x u =??=? 初始条件为 ()() 1200 02x x =??? =?? 控制函数为()u t ，在约束条件()1u t ≤下，使系统以最短时间从给定初始状态转移到零态，即()()120,0x T x T ==。