第一节 一次方程与一次方程组
中考试题中的核心素养
1. (2019宿迁)下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种不同质量的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量是________．
第1题图
《御制数理精蕴》
2. (2019舟山)中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为( )
A. ?????4x ＋6y ＝383x ＋5y ＝48
B. ?
????4y ＋6x ＝483y ＋5x ＝38 C. ?????4x ＋6y ＝485x ＋3y ＝38 D. ?????4x ＋6y ＝483x ＋5y ＝38 《九章算术》——方程
《九章算术》大约于东汉初年(公元一世纪)成书，共九章，汇总了战国和西汉时期的数学成果，是几代人共同劳动的结晶．书中收集了246个与生产、生活实践有联系的应用问题，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．
3. (2019洛阳模拟)《九章算术》中记载：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”令欲衰偿之，问各出几何？”其大意是：牛、马、羊吃了别人的青苗，要赔偿饲料5斗，羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半，问牛、马、羊的主人各应赔多少？设羊的主人赔x 斗，根据题意，可列方程为( )
A. 4x ＋2x ＋x ＝5
B. x 2
＋x ＋2x ＝5 C. x ＋x 2＋x 4
＝5 D. x ＋2x ＋3x ＝5
数学核心素养提升
数学文化专练
《孙子算经》
4. (2019德州)《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸； 屈 绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．现设绳长x 尺，木长y 尺，则可设二元一次方程组为( )
A. ?????y －x ＝4.5y －12x ＝1
B. ?????x －y ＝4.5y －12
x ＝1 C. ?????x －y ＝4.512x －y ＝1
D. ?????
y －x ＝4.512x －y ＝1
参考答案
中考试题中的核心素养
1. 10 【解析】设△的质量为x ，□的质量为y ，根据题意有?????x ＋y ＝6x ＋2y ＝8，解得?????x ＝4y ＝2
，∴第三个天平右盘中的砝码质量是2x ＋y ＝8＋2＝10.
2. D 【解析】四匹马的价钱为4x 两，六头牛的价钱为6y 两，由“马四匹，牛六头，共价四十八两”得方程4x ＋6y ＝48；三匹马的价钱为3x 两，五头牛的价钱为5y 两，由“马三匹，牛五头，共价三十
八两”可得方程3x ＋5y ＝38，则所得方程组为?
????4x ＋6y ＝483x ＋5y ＝38. 3. A 【解析】设羊的主人赔x 斗，∵羊吃的是马的一半，∴马的主人赔2x 斗，∵马吃的是牛的一半，∴牛的主人赔4x 斗，∵一共赔偿饲料5斗，∴可列方程为4x ＋2x ＋x ＝5.
4. B 【解析】∵绳长x 尺，木长y 尺，用绳子去量木条，绳子剩余4.5尺，∴x －y ＝4.5；∵绳子对折
再量木条，木条剩1尺，∴y －12x ＝1，则所得方程组为?????x －y ＝4.5y －12
x ＝1.
中考专题复习（2）一次方程及方程组 3、当x＝＿＿＿＿时，代数式3x＋2 与6－5x 的值相等。 5、3 名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要 ＿＿＿＿场比赛，则5 名同学一共需要＿＿＿＿比赛。 6、如图，是一个正方形算法图，□里缺的数是＿＿＿＿， 并总结出规律：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7、一轮船从重庆到上海要5 昼夜，而从上海到重庆要7 昼夜，那么一个竹排从重庆顺流漂到上海要＿＿＿昼夜。 8、已知3－x＋2y＝0，则2x－4y－3 的值为（） A、－3 B、3 C、1 D、0 9、用“加减法”将方程组2x－3y＝9 2x＋4y＝－1 中的x 消去后得到的方程是（） A、y＝8 B、7y＝10 C、－7y＝8 D、－7y＝10 10、某商品因换季准备打折出售，若按定价的七五折出售将赔25 元，若按定价的九折出售将赚20 元，则这种商品的定价为（） A、280 元 B、300 元 C、320 元 D、200 元 11、小辉只带了2 元和5 元两种面额的人民币，他买了一件物品只需付27 元，如果不麻烦售货员找零钱，他有几种不同的付款方法（） A、一种 B、两种 C、三种 D、四种 12、为了防沙治沙，政府决定投入资金，鼓励农民植树种草，经测算，植树1 亩需资金200 元，种草1 亩需资金100 元，某组农民计划在一年内完成2400 亩绿化任务，在实施中由于实际情况所限，植树完成了计划的90%，但种草超额完成了计划的20%，恰好完成了计划的绿化任务，那么计划植树、种草各多少亩？若设该组农民计划植树x 亩，种草y 亩，则可列方程组为（） A、x＋y＝2400 x－90%＋y (1－20%)＝2400 B、 x＋y＝2400 (1－90%) x＋(1＋20%) y＝2400 C、x＋y＝2400 (1＋90%) x＋(1＋20%) y＝2400 D、 x＋y＝2400 90%x＋(1＋20%) y＝2400 13.解下列方程（组）： （1）、1 2 x－1＝ 1 3 (x－2)（2）、 x－3 0.2 － x＋4 0.1 ＝5 （３）、7 2 ［ 5 3 ( 6 5 x－3)－1］＝10x（4）、 x＋2 3 ＋ y－1 2 ＝3 x＋2 3 ＋ 1－y 2 ＝1 14、当x 为何值时，代数式x＋1 2 的值比 5－x 3 的值大1。
二元一次方程组的概念及解法 知识点梳理 知识点一二元一次方程组的概念 含有两个未知数，并且含有未知数的相的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组，像这样的方程组叫做二元一次方程组。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 典例分析 例1、在方程组、、、、 、中，是二元一次方程组的有个； 例2、已知二元一次方程2x－y＝1，若x＝2，则y＝;若y＝0，则x＝． 变式1：方程x＋y＝2的正整数解是__________. 变式2、在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，那 么a的值为? ? ? = = 1 3 y x
例3 方程组???=+=-5 21 y x y x 的解是（ ） A 、 ???=-=21y x B 、???-==12 y x C 、???==21y x D 、???==12y x 例4、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组 。 例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十头，下有九十四足。问鸡兔各几何。”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？使找出问题的解。 知识点二 解二元一次方程 消元解二元一次方程???代入消元法加减消元法 典例分析 例1、 把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝ ． 化成含x 的代数式表示y 的形式：y = ．
一次方程组的应用 一.本讲数学内容 列方程组解应用题 二．技能要求： 熟练掌握用二元、三元一次方程组解简单的应用题。 三．重要数学思想： 通过列方程组解应用题的训练，进一步领会方程的思想。 四．主要数学能力： 1．通过列二元或三元一次方程组解决应用问题的训练，学习把实际问题抽象成数学问题的方法，进一步培养分析问题和解次实际问题的能力。 2．通过将一些代数问题转化为方程组问题的方法的学习，培养运用转化思想去解决问题，发展思维能力。 五．列方程组解应用题的一般步骤是： ①审题：弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，题目中的数量关系，尤其是要弄清给出了哪些等量关系。 ②设未知数：一般有两种，设直接未知数（将题目中要求的未知数设为x,y），或间接未知数（与问题中要求的未知数相关的另一些未知数用x,y表示），看哪一种便于使用已知条件列出较简单的方程就选用哪一种。 ③列方程：根据已知条件中某些相等关系列出两个独立的二元一次方程而组成二元一次方程组。
④解这个方程组：根据所列方程组的特点，选择适当的方法求得方程组的解。 ⑤检验并作答：根据应用题中，所设未知数的实际意义判断方程组的解是否符合题意，最后写出答案。 六. 例题解析 第一阶梯 [例1]有10分和20分的两种邮票共16枚,总计价值2.50元,问10分和20分的邮票各多少枚？ 提示： 通过情景1和2,我们可以很容易地就解决了这个问题.在情景3中的共有两个等量关系有： 10分的张数＋20分的张数＝16张; 10分×10分的张数＋20分×20分的张数＝250分. 参考答案： 解：设10分的邮票有x枚,20分的邮票有y枚,根据题意,得 由②得：x+2y=25. （3） （3）－（1）得：y=9:
中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解 【考纲要求】 1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程； 2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组； 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想. 【知识网络】
【考点梳理】 考点一、一元一次方程 1.等式性质 （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念 （1）含有未知数的等式叫做方程. （2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程 （1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠. （3）解一元一次方程的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释： 解一元一次方程的一般．．步骤 步 骤 名 称 方 法 依 据 注 意 事 项 1 去分母 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数） 等式性质2 1、不含分母的项也要乘以最小公倍数； 2、分子是多项式的一定要先用括号括起来. 2 去括号 去括号法则（可先分配再去括号） 乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负数的括号 3 移项 把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边 等式性质1 移项一定要改变符号
二元一次方程及方程组解 法 Last revision on 21 December 2020
二元一次方程和二元一次组的解法 一、知识结构图 二、具体知识点 1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如 513,11=+=+y x y x 等，都不是二元一次方程；②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数，如xy=2不是二元一次方程。 2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解，通常用 的形式表示，在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数解。 3．二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程（即方程两边的代数式都是整式）组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，如： 等都是二元一次方程组。 4．二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。 5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解 检验方法：把一对数值分别代入方程组的(1)、(2)两个方程，如果这对未知数既满足方程(1)，又满足方程(2)，则它就是此方程组的解。 x=a y=b 2x-y=1 x+y=2 3x-y=5 x=2 x+2y=3 3x-y=1 x=2
6.11 一次方程组的应用(1) 班级 姓名 学号 【学习目标/难点重点】 1.能根据题意合理设元，找出等量关系，列出一次方程组解应用题， 2.经历和体验解决实际问题的过程，提高解决实际问题的能力. 【学习过程】 一、课前预习： 1.参观上海科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元.一天，科技馆卖出成人票、学生票共1万张，票务收入为51万元，问这两种票各卖出多少张. 分析：本题中的等量关系有： 二、新课学习 1.例题1:六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都有一些同学参加课外天文小组，（1）班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组的人数的3 1，（2）班参加天文小组的人数恰好是（1）班没有参加天文小组的人数的 4 1，问六年级（1）班、（2）班没有参加天文小组的各多少人？
2.小结——用二元一次方程组解实际问题的一般步骤： 3.例题2：某商场购进甲、乙两种服装，都加价40%后出售.春节其间商场搞优惠促销活动，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，甲、乙两种服装标价之和为210元，问甲、乙两种服装的进价和标价各是多少钱？ 三、课堂小结 1.能根据题意合理设元，找出等量关系，列出一次方程组解应用题， 2.二元一次方程组解实际问题的一般步骤. 四、课堂检测 数学习题册习题6.11 1，2，3，
课课精炼 一、填空题： 1.两数之和为20，两数之差为4，设较大数为x ，较小数为y ，则列方程组 . 2.已知甲、乙两种商品的原价之和为100元，后来甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价之和与原单价之和提高了2%，设甲商品的原单价为x 元，乙商品的原单价为y 元，则列方程组 . 二、选择题： 3.一篮子苹果分给若干个人，如果每人分6个，那么就余15个；如果每人分9个，那么就缺3个.设这篮子苹果有x 个，有y 个人分，则下列方程组中正确的有 （ ） 1）???+=-=39156y x y x 2）???-=++=3 9156156y y y x 3）?? ?=+=-y x y x 93615 4）???=+-=y x y x 93156 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 三、应用题 4.国庆长假期间，某旅行社接待一日游和三日游的游客共2200人，收旅行费200万元，其中一日游每人收费200元，三日游每人收费1500元.该旅行社接待的一日游和三日游旅客个多少人？
一次方程与方程组测试题 一、选择题 1. 方程2（x ＋1）=4x -8的解是（ ） A ． 4 5 B ．-3 C ．5 D ．-5 2．方程2-x 3 - x-1 4 = 5的解是（ ） A ． 5 B ． - 5 C ． 7 D ．- 7 3. 把方程 8 31412x x --=-去分母后，正确的结果是（ ） A ．)3(112x x --=- B ．)3(1)12(2x x --=- C ．x x --=-38)12(2 D ．)3(8)12(2x x --=- 4. 用加减法解方程组 5 1{ =+-=-y x y x 中，消x 用 法，消y 用 法（ ） A.加，加 B.加，减 C.减，加 D.减，减 5. 若方程组352 23x y m x y m +=+?? +=?的解x 与y 的和为0，则m 的值为（ ） A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4 6．若关于x 的方程2x －4=3m 和x+2=m 有相同的根，则m 的值是（ ） A ． 10 B ．－8 C ．－10 D ． 8 7．代数式 2k-13 与代数式 1 4 k +3 的值相等时，k 的值为（ ） A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10 8．由方程组43x m y m +=?? -=?， ． 可得出x 与y 的关系是（ ） A ．1x y += B ．1x y +=- C ．7x y += D ．7x y +=- 9．如果4 (1)6x y x m y +=??--=? 中的解x 、y 相同，则m 的值是（ ） A ．1 B ．－１ C ．2 D ．－2 10．足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分， 那么这个队胜了（ ） A ．3场 B ．4场 C ．5场 D ．6场 二、填空题 11．已知方程4x+5y=8，用含x 的代数式表示y 为__________________。 12． 关于x 的方程0)1(2=--a x 的解是3，则a 的值为___________。 13．如果x ＝3，y ＝2是方程326=+by x 的解，则b ＝_______。 14．若5x －5的值与2x －9的值互为相反数,则x ＝_____。15．方程组ax+by=4bx+ay=5??? 的解是x=2 y=1??? ，则a+b=______。 三、解答题 16.已知2 33+-y x b a 与2 2ab -是同类项，求x 、y 的值。 17．解方程：⑴ ()()() 3175301x x x --+=+； ⑵ 16 2 31=--+x x 。
实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案） 类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： (2.5+2)x+2.5y=36 3x+(3+2)y=36 解得：x=6，y=3.6 答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。 解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有： 20（x-y）=280 14（x+y）=280 解得：x=17，y=3 答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时， 类型二：列二元一次方程组解决——工程问题 【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 解：
类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题 【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得： ①x+y=10 ②2000x+1500y=18000 解得：x=6，y=4 答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩 类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题 【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%） 解：设2000的存款利率是X，则1000的存款利率是3.24%-X,则有: 2000*X*(1-20%)+1000*(3.24%-X)*(1-20%)=43.92 即：1600X+25.92-800X=43.92 800X=18 X=2.25% 3.24%-2.25%=0.99% 所以,2000的存款利率是2.25%,1000的存款的利息率是0.99%. 法二：也可用二元一次方程组解。 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
二元一次方程和二元一次组的解法 一、知识结构图 二、具体知识点 1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如513,11=+=+y x y x 等，都不是二元一次方程；②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数，如xy=2不是二元一次方程。 2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值 叫做二元一次方程的解，通常用 的形式表示，在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数解。 3．二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程（即方程两边的代数式都是整式）组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不 同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；③方程组中每个方程经过整理 后都是一次方程，如： 等都是二元一次方程组。 x=a 2x-y=1 3x-y=5 x+2y=3
4．二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。 5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解 检验方法：把一对数值分别代入方程组的(1)、(2)两个方程，如果这对未知数既满足方程(1)，又满足方程(2)，则它就是此方程组的解。 6．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法（2）加减消元法 三、理解解二元一次方程组的思想 四、解二元一次方程组的一般步骤 （一）、代入消元法 （1）从方程中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的未知数用另一个未知数的代数式来表示，如用表示，可写成； （2）将代入另一个方程，消去，得到一个关于的一元一次方程（3）解这个一元一次方程，求出的值； （4）把求得的的值代入中，求出的值，从而得到方程组的解．（二）、加减法 （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，也不相等时，可用适当的数乘以方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等，得
第8讲 二元一次方程组与一次函数(A) ：____________ ◆【基础知识及应用】 一、交点坐标的求法： 1 2 二、一次函数图像的平移与应用 12、与函数图像有关的图像面积计算---割补法转化，充分运用已知点的坐标求解； 三、图像理解与应用 ◆【典例精讲】 考点一、求交点坐标： 【例1】直线122y x = -与直线14y x a =-+相交于x 轴上一点，则直线1 4 y x a =-+不经过（ ） A 、第四象限 B 、第三象限 C 、第二象限 D 、第一象限 练习：若直线m x y +=与直线42+-=x y 的交点在x 轴上，则=m ； 【例2】已知点A （0，2），B （1，4），C （c ，4c +）在同一直线上，求c 的值。 考点二、一次函数与面积有关的问题： 【例3】（）梯形ABCD 的四个顶点坐标分别为A （1-，0），B （5，0），C （2，2）， D （0，2） ，直线2y kx =+
A 、－32 B 、－92 C 、－74 D 、－7 2 【例4】变式：如图所示：直线434+-=x y 与y 轴交于点A ，与直线5 4 54+=x y 交于点B ，且 直线5 4 54+=x y 与x 轴交于点C ，求ABC ?的面积； ◆目标训练1： 1、若直线13-=x y 与k x y -=的交点在第四象限，则k 的取值围是（ ） A 、31< k B 、13 1 <
第八章二元一次方程组单元知识检测题 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程2x－1 y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．二元一次方程组 323 25 x y x y -= ? ? += ? 的解是（） A． 32 17 ... 23 01 22 x x x x B C D y y y y = ?? == = ?? ?? ????==- = ?? ?? = ?? 3．关于x，y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（? ） A．k=－3 4 B．k= 3 4 C．k= 4 3 D．k=－ 4 3 4．如果方程组 1 x y ax by c += ? ? += ? 有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（） A．a=1，c=1 B．a≠b C．a=b=1，c≠1 D．a=1，c≠1 5．方程3x+y=7的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知x，y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9 7．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（） A． 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 8．若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解，则（a+b）·（a－b）的值为（） A．－35 3 B． 35 3 C．－16 D．16 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．若2x2a－5b+y a－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______． 10．若 1 2 a b = ? ? =- ? 是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－1?的值是 _________．
二元一次方程组及其实际应用 【教学重点】：掌握二元一次方程组求解方法，并学会根据实际情况巧借二元一次方程解决问题。 【教学难点】：会运用二元一次方程解决实际问题。 【教学流程】 一、注意力训练 二、趣题引入 二果问价：九百九十九文钱，甜果苦果买一千。甜果九个十一文，苦果七个四文钱。 试问甜苦果几个，又问各该几个钱。（注：文钱，也称文,古代的一种货币单位） 小结： 三、知识点回顾： 1、二元一次方程（组）的有关概念 1）二元一次方程的概念：含有___个未知数，并且未知数的项的最高次数是__，这样的整式方程叫做二元一次方程。 注：判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：整式方程、“二元”、“一次”。 2）二元一次方程的一般形式是______________________。 3）二元一次方程的解。 4）二元一次方程组的概念：有几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 5）二元一次方程组的解 2、二元一次方程组的解法：（1）___________；（2）___________。
3、 二元一次方程组的应用 4、 列二元一次方程组解应用题的步骤：（与列一元一次方程解应用题步骤类似） 1）审题：弄清已知量、待求量和题中包含的数量关系，特别注意隐含的条件； 2）考虑如何根据等量关系设出未知数（如x,y); 3）找出能表示应用题全部含义的两个等量关系，根据等量关系列出方程组； 4）解方程组，求未知数的值； 5）检验是否符合实际问题并写出答案。 四、讲练结合 考点1、用代入法解下列方程组 例1、 例 2、 小结：代入法步骤 考点2、用加减法解下列方程组 例3、 例 4、 218,3 2. a b a b +=?? =+?35,5215.x y x y -=??+=?5225,3415. x y x y +=??+=? 327,6211.x y x y +=??-=?
二元一次方程组试题及答案(模拟试题)
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3 第八章 二元一次方程组单元知识检测题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程2x －1y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y －2x=0，x 2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．二元一次方程组32325x y x y -=??+=? 的解是（ ） A ．3217 (2301) 22x x x x B C D y y y y =??===????????==-=????=?? 3．关于x ，y 的二元一次方程组59x y k x y k +=?? -=?的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k 的值是（? ） A ．k=－34 B ．k=34 C ．k=43 D ．k=－43 4．如果方程组1x y ax by c +=??+=?有唯一的一组解，那么a ，b ，c 的值应当满足（ ） A ．a=1，c=1 B ．a ≠b C ．a=b=1，c ≠1 D ．a=1，c ≠1 5．方程3x+y=7的正整数解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．已知x ，y 满足方程组45x m y m +=??-=?，则无论m 取何值，x ，y 恒有关系式是（ ） A ．x+y=1 B ．x+y=－1 C ．x+y=9 D ．x+y=9 7．如果│x+y －1│和2（2x+y －3）2互为相反数，那么x ，y 的值为（ ） A ．1 122 (22) 11x x x x B C D y y y y ==-==-????????==-=-=-???? 8、 如图1，宽为50 cm 的矩形图案，由10个全等的小长方形 拼成，其中一个小长方形的面积为（ ） A. 400 cm2 B. 500 cm2 C. 600 cm2 D. 800 cm2 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.==--y y x y x 得表示用,,06911_______，=x x y 得表示,_______。 10.如果? ??=-=+.232,12y x y x 那么=-+-+3962242y x y x _______。 11.如果1032162312=--+--b a b a y x 是一个二元一次方程，那么数a =___， b =_____
1．二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y=______． 2．在x+3y=3中，若用x表示y，则y=______，用y表示x，则x=______． 4．把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式为______． (1)方程y=2x-3的解有______； (2)方程3x+2y=1的解有______； (3)方程y=2x-3与3x+2y=1的公共解是______． 9．方程x+y=3有______组解，有______组正整数解，它们是______． 11．已知方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2．当k=______时，方程为一元一次方程；当k=______时，方程为二元一次方程． 12．对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0时，则y=______；当y=0时，则x=______． 13．方程2x+y=5的正整数解是______． 14．若(4x-3)2+|2y+1|=0，则x+2=______． 的解． 当k为______时，方程组没有解．
______． (二)选择 24．在方程2(x+y)-3(y-x)=3中，用含x的代数式表示y，则[ ] A．y=5x-3； B．y=-x-3； D．y=-5x-3． [ ] 26．与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是[ ] A．10x+2y=4； B．4x-y=7； C．20x-4y=3； D．15x-3y=6． [ ] A．m=9； B．m=6； C．m=-6； D．m=-9． 28．若5x2ym与4xn+m-1y是同类项，则m2-n的值为 [ ] A．1； B．-1； C．-3； D．以上答案都不对．
知识点1：一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的整式方程叫做一元一次方程。（如：21,314223 x x x x --=+=-） 特点：①等号两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的次数都为1. 判断方法：首先要将整式方程化简，然后再判断是否满足一元一次方程的三个特点。 知识点2：等式的基本性质 1.等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 即如果a b =，那么a c b c ±=±； 2.等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。 即如果a b =，那么ac bc =， (0)a b c c c =≠； 3.对称性：如果a b =，那么b a =； 4.传递性：如果a b =，b c =，那么a c =。 知识点3：一元一次方程的解法 1.移项法则 把方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边，叫做移项法则。 2.解一元一次方程的步骤 ①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号； ③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其它项都移到方程的另一边（移项要变号） ④合并同类项：把方程变成(0)ax b a =≠的形式 ⑤系数华为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a =。 知识点4：（1）二元一次方程的概念 含有两个未知数，且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。 如：1,323,32 m x y x y n +=-=+=都是二元一次方程。 （2）二元一次方程组的概念 由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。（如：2324x y x y +=?? -=?） 知识点5：二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 知识点6：二元一次方程组的解法 （1）用代入法求解二元一次方程组 步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；
方程组之行程问题 班级姓名 1．一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。 2.某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完 40。求火车的速度和长度。全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共s 3. 一列匀速前进的火车用15秒的时间通过了一个长300米的隧道（即从车头进入隧道到车尾离开隧道）。又知其间在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光垂直照射火车秒，（光速s =） ? m/ 38 10 1）求这列火车的长度和速度。 2）如果这列火车用25秒的时间通过了另一个隧道，求这个隧道的长 36，小明从A地骑自行车到B地，小丽从B地骑自行车到A地，，B两地相距km 两人同时出发相向而行，经过h1后两人相遇；再过h5.0，小明余下的路程是小丽余下的路程的2倍。小明和小丽骑车的速度各是多少
5.一列快车长60米，一列慢车长80米，两车同向而行时，快车从追上慢车到完全离开慢车共用时20秒；若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒。求两车每秒各行驶多少米 6.小明家和学校相距km 15。小明从家出发到学校，小明先步行到公共汽车站，步行的速度为h ，再乘公共汽车到学校，发现比步行的时间缩短了min 20，已知公共汽车的速度为h km /40，求小明从家到学校用了多长时间。 7.某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以h km /60的速度走平路，后又以h km /30的速度爬坡，共用了h 5.6;返回时汽车以h km /40的速度下坡，又以h km /50的速度走平路，共用了h 6.学校距自然保护区有多远。 课后作业 1．一架飞机在两个城市之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程
实际问题与二元一次方程组题型归纳(A) 类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。 类型二：列二元一次方程组解决——工程问题 【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题 【变式1】李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表： A B 进价（元/件）1200 1000 售价（元/件）1380 1200 （注：获利 = 售价—进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件； 类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？ 实际问题与二元一次方程组题型归纳(B)
二元一次方程组及其应用 课时8．二元一次方程组及其应用 【课前热身】 1.在方程3x- y=5中，用含x的代数式表示y，则y=_________；当x=3时，y=_____. 2．如果x=3，y=2是方程6x+by=32的解，则b=_____. 3.请写出一个适合方程3x-y=1的一组整数解：________. 4.如果和是同类项，则x、y的值是() a.x=-3，y=2 b.x=2，y=-3 c.x=-2，y=3 d.x=3，y=-2 5.若关于x，y的方程组的解是，则为() a．1b．3c．5d．2 【知识整理】 1．二元一次方程：含有________未知数(元)，并且未知数的次数都是____的整式方程. 2.二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程. 3．二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，记作. 4．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解. 5.解二元一次方程的方法步骤： 二元一次方程组___________方程. 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有_______消元法和_______消元法两种. 6．易错知识辨析： (1)二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值； (2)二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值； (3)利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.
【例题讲解】 例1解下列方程组： （1）（2） 例2某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 初一年级初二年级初三年级 捐款数额（元）4000 4200 7400 捐助贫困中学生人数（名） 2 3 捐助贫困小学生人数（名） 4 3 (1)求a、b的值； (2)初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中.(不需写出计算过程） 例3若方程组与方程组的解相同，求m、n的值. 【中考演练】 1.在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=_____；若x、y都是正整数，这个方程的解为_____． 2.若是方程组的解，则． 3.如果|x-2y+1|+|2x-y-5|=0，则x+y的值为________. 4.下列方程组中，是二元一次方程组的是() a． b．c．d． 5.关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是() a．2 b．-1 c．1 d．-2 6．某校九年级(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：
二元一次方程与二元一次方程组的区别： 含有两个未知数，并且未知数的项的指数都是1的方程，叫做二元一次方程，把两 个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 注意：1，二元一次方程中的“二元”就是指方程中有且只有两个未知数。2，含有 未知数的项的次数是一次，切不可理解成两个未知数的次数都是1.如方程2xy+2=0含 有两个未知数，且未知数的次数是1，但未知数项2xy的次数是2. 题型一：判断方程是不是二元一次方程 例1：(1）3x-2y=9 (2)2x+y=6z (3)1x+2=3y y2x2x2 (4) x-5=2 (5) x(2-x)= –(2 -y) 例2：判断下列方程组是否为二元一次方程组: (1) a+b=2 (2) x=4 (3) 3t+2s=1 (4) x=9 b+c=3 y=2 ts+9=0 3x+2y=0 注意：二元一次方程，一般都有多个解 例3：判断下列数值是否是二元一次方程3t+2s=24的解 （1） t=2 (2) t=2 (3) t=4 s=9 s=1 s=9
2?24) 例4：已知方程（a-2）-(b+5)=3是关于x,y的二元一次方 x|a|?1y(b 程，求a与b的值 x=7 例5：已知二元一次方程mx+3y=11的一个解是 y=-1 试求m的值，并求出当方程中有一个未知数为零时，方程的解是多少？ x=3 ax-2y=5 例6：如果 y=-1 是方程组 2x+by=3 的解，求a-b的值
知识点一：代入消元法 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式； ②将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x的值； ④把求得的x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得出方程组的解。知识点二：加减消元法 用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数乘方程的两边，使一个未知数的系数相等或互为相反数； ②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 ③解这个一元一次方程 ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解
第八章二元一次方程组单元测试题 一、选择题：（每题3分，共36分） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（） A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1 x +4y=6 D．4x= 2 4 y- 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． 2 2 8 423119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y += +=-=?? = ?? ????+=-==-=???? 3．二元一次方程5a－11b=21 （） A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（） A． 3333 ... 2422 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????===-=-???? 5．若│x－2│+（y+3）2=0，则 x+y 的值是（） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2 6．方程组 43 235 x y k x y -= ? ? += ? 的解，x与y的值相等，则k等于（） A．－1 B．－2 C．－3 D．1 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（） ①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1 x +y=5；④x=y； ⑤x2－y2=2 ⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x A．1 B．2 C．3 D．4 8．七年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（） A． 246246216246 ... 22222222 x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+= ???? ????=-=+=+=+???? 9.方程2x+y=9在正整数范围内的解有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 10.若是 m y x2 5与221 4- + +n m n y x同类项，则n m- 2 的值为（） A、1 B、－1 C、－3 D、以上答案都不对