第十八届华罗庚金杯少年邀请赛
决赛试题B （小学高年级组）
一、填空题（每小题 10分, 共80分）
1．计算: 19×0.125+281×81+12.5=________. 解析：原式=（19+281+100）×0.125 =400×0.125 =50 2．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天
是一九的第一天
. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的2月10日是________九的第________天. 解析：31-21+1+31+10=52,52÷9=5…7，2013年的元旦是六九的第7天.
3．某些整数分别被131********，，，除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是112927252，，，, 则满足条件且大于1的最小整数是________.
解析：设整数为A, 分别被131********，，，除后, 所得的商分别为A A A A 11
139117957，，，; )1(11
1311211113)1(911921911)1(7972179)1(5752157?++=?++=?++=?++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[5，7，9，3]的时候满足题意。所以A-1=3465，A=3466。
4．如图所示, P, Q 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线 AC 上的点, 且PD:AP =4:1, QC: AQ =2:3, 如果正方形ABCD 的面积为25, 那么三角形PBQ 的面积是 .
解析：连接QD,做QE ⊥BC 于E, QF ⊥AD 于F, QG ⊥CD 于G, 正方形ABCD 的面
积为25,所以AD=EF=5， QC: AQ =2:3,根据正方形对称性，所以QE=QG=2，
QF=3, PD:AP =4:1, AP=1，PD=4。 S △PQB=S 正- S △CQB-S △DQC-S △PQD-S △PAB =25-2×5÷2×2-4×3÷2-1×5÷2
=25-10-6-2.5
=6.5
5．有一筐苹果, 甲班分, 每人3个还剩10个; 乙班分, 每人4个还剩11个; 丙班分, 每人5个还剩12个. 那么这筐苹果至少有________个.
解析：10≡1（mod3）=1；11≡3（mod4）=3；12≡5（mod5）=2，苹果数除以3余1，除以4少1，除以5多2。满足除以3余1，除以4少1的数最小是7，7刚好除以5余2，又因为苹果数大于12，[3，4，5]=60，那么这筐苹果至少有7+60=67个.
6．两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中, 小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点．如果大积木的棱长为4, 则这个立体图形的表面积为
________.
解析：如图所示，四个三角形面积都是1×3÷2=1.5，
所以小积木一个面的面积是42-1.5×4=10。
这个立体图形的表面积为大积木的表面积加上小积木四个面的面积。
所以面积为6×42+4×10=136。
E G F
7．甲、乙两车分别从A, B 两地同时出发相向而行, 甲车每小时行40千米, 乙车每小时行60千米. 两车分别到达B 地和A 地后, 立即返回. 返回时, 甲车的速度增加二分之一, 乙车的速度不变. 已知两车两次相遇处的距离是50千米, 则A, B 两地的距离为_______千米.
解析：V 甲：V 乙=40:60=2:3，相遇时两车时间相等，S 甲：S 乙=2:3，设全程为“1”，第一次相遇时相遇点距离A 地全程5
2的地方。 当甲车到达B 地时，乙车已到达A 地，又走了
23-1=2
1个全程。此时甲车速度为40+40÷2=60km/h ，两车速度相同，一起走完剩下的21，两车各走41，所以第二次相遇距离A 地全程21+41=4
3的地方。 所以全程为:50÷(43-52)=71000km 。 8．用“学”和“习”代表两个不同的数字, 四位数“学学学学”与“习习习习”的积是一个七位数, 且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同, 那么“学习”所能代表的两位数共有 个.
解析：乘积七位数个位和百万位数字为学，所以习为1，
学学学学=学×1111，学学学学×习习习习=学×11112=学×1234321，又因为乘积百万位数字为学，所以学只能为2，3,4；那么“学习”所能代表的两位数共有3个.
二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）
9．右图中, 不含“*”的长方形有多少个?
解析：所有长方形个数减去包含“*”的长方形个数等于不含“*”的长方形个数。 所有长方形个数：（1+2+3+4+5+6）×（1+2+3+4）=210个
包含一个“*”的长方形个数：（1+2+2+2+2+1）×（1+2+2+1）×2=120个
包含两个“*”的长方形个数：（1+2+1）×（1+2+1）=16个
不含“*”的长方形个数：210-120+16=106个
提醒：包含“*”的长方形的长与宽必须经过含“*”基本长方形的边。
10． 如右图, 三角形ABC 中, AD = 2BD, AD = EC, BC = 18, 三角形AFC 的面积和四边形DBEF 的面积相等, 那么AB 的长度是多少?
解析：设三角形ABC 面积为“1”，AD = 2BD,所以S △DCB=3
1, 三角形AFC 的面积和四边形DBEF 的面积相等,都加上三角形EFC ，面积也应该相等，
所以S △AEC=31,所以, EC=31BC=31×18=6，AD = EC, AD=32AB ，所以AB=6÷3
2=9 11． 若干人完成了植树2013棵的任务, 每人植树的棵数相同. 如果有5人不参加植树, 其余的人每人多植2棵不能完成任务, 而每人多植3棵可以超额完成任务. 问：共有多少人参加了植树?
解析：2013=3×11×61=1×2013=3×671=11×183=33×61
快速检验（2013-5）×（1+2）>2013
（671-5）×（3+2）>2013
（11-5）×（183+2）<2013; （11-5）×（183+3）<2013
（11+2）×（183-5）>2013; （11+3）×（183-5）>2013
（33+2）×（61-5）<2013; （33+3）×（61-5）>2013
（33-5）×（61+2）<2013; （33-5）×（61+3）<2013
只有56×35=1960<2013, 56×36=2016>2013,所以答案为61人
解法二：原有x 人植树，每人植y 棵。
xy=2013，
（x-5）（y+2）<2013；（x-5）（y+3）>2013
xy-5y+2x-10<2013；xy-5y+3x-15>2013
即5y-2x+10>0 3x-5y-15>0,x,y 成对，有以下几种情况（1,2013），（3,671），（11,183），（33,61），y 与x 可以交换，
代入检验的（33,61）可以，且人数为61。
12．由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体, 则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是________.
解析：将黑点数转化为1,2,3,4,5,6，根据图可知，2与4,6,3,1相邻，则2与5相对，4与6,1相邻，则4与3相对，1与6相对。
最左边的正方体左右两个面上是1和6，可以重叠6；
最右边的正方体重叠6；
最上面的正方体重叠5；
正中间左右两个面一起重叠7，上面重叠1。
所以正方体重叠面上的黑点最多是7+6+5+6+1=25，
立体的表面上所有黑点的总数至少是4×7×3—25=59。
三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）
13．用八个右图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形. 若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同, 则认为两个拼成的正方形相同. 问: 可以拼成几种两条对角线都是其对称轴的正方形图形?
解析：用 代替
所以答案为4种。 14．对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子, 有三种分类方法: 对于每种颜色, 将该颜色的球数目相同的盒子归为一类. 若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数, 那么, 1) 三种分类的类数之和是多少?
2) 说明, 可以找到三个盒子, 其中至少有两种颜色的球, 它们的数目分别相同.
解析：记第一种、第二种和第三种分类分别分了i , j , k 类, 每类的盒子数目分别为
a 1，a 2，a 3，…，a i ；
b 1，b 2，b 3，…，b j ；
c 1，c 2，c 3，…，c k 。
令n=i+j+k
1) 因为 a 1，a 2，a 3，…，a i ；b 1，b 2，b 3，…，b j ；c 1，c 2，c 3，…，c k 包含了1到30的所有整数, 所以n ≥30，另一方面,
3×155=a 1+a 2+a 3+…+a i +b 1+b 2+b 3+…+b j +c 1+c 2+c 3+…+c k
≥1+2+3+…+30=2
3130 =465=3×155 所以n=i+j+k=30 , 三种分类各自分类的类数之和是30.
2) 不妨设a 1=30, 记这30个盒子的类为A 类. 因为i+j+k =30, 必有j ≤14或k ≤14, 不妨设j ≤14. A 类的30个盒子分到这不超过14个类中去, 必有一类至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.
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