对称性 一、有关对称性的常用结论
（一）函数图象自身的对称关系（加法） 1、轴对称
(1))(x f -=)(x f ?函数)(x f y =图象关于y 轴对称；
(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+?()(2)f x f a x =-
?()(2)f x f a x -=+；
（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的
图象关于直线对称。
2、中心对称
（1）)(x f -=－)(x f ?函数)(x f y =图象关于原点对称；.
（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称?)()(x a f x a f --=+?()(2)f x f a x =--
?)2()(x a f x f +=-；
（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称?b x a f x a f 2)()(=++-
?b x f x a f 2)()2(=+-
（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），
则函数)(x f y =的图象关于点
对称。
（二）两个函数图象之间的对称关系（减法）
1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线
对称。
推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。 推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点
对称。
推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2
(a
b -对称。
2
a b x -=
)2
,2(
c
a b -2
b
a x +=
)2
,2(c
b a +
类型一：双对称问题
1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，
x x f 2
1
)(-=，则=)6.8(f ___________
解：因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以)(0x f y x ==是的对称轴；又因为
(1)(1)f x f x +=-，所以1x =也是()y f x =的对称轴，故)(x f y =是以2为周期的周期
函数，所以3.0)6.0()6.0()6.08()6.8(=-==+=f f f f 。
2.（2005年广东卷I ）设函数)2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，
)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f 。
（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； 非奇非偶函数
（2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。
802 310,110+=+=m a n a m n
3.设
是定义在R 上的奇函数，且
的图象关于直线
对称，则：
_____________
解：函数
的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，
图像关
于
对
称，所
以
，
所以
类型二：对称轴和对称中心的判断
1. 函数)1(+=x f y 为偶函数，则函数)(x f 的图像的对称轴方程为 1=x
2. 函数)2(-=x f y 为奇函数，则函数)(x f y =的图像的对称中心为
（-2，0）
3.函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于 __________对称
解：由命题1知，两函数图象关于31
12
x -==, 即关于直线x=1对称。 4.函数()121x
f x x
-=
+，该函数图象的对称中心是 . 【分析】本例的函数是等次分式函数，自然想到分离法，化归为反比例函数变换所得. 【解法】函数()321f x x =-++，该函数可由反比例函数3
y x
=向左平移1个单位，再向下平移2个单位所得.
因为反比例函数3
y x =的对称中心是()0,0,O 自然也进行相应地平移， 所以函数()121x
f x x
-=+图象的对称中心是()1,2.--
类型三：求值
1.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1
，若f (a )＝2
3，则f (－a )＝________.
2.设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x
x 2＋1
的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．
解析：f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1.设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (－x )＝－2x －sin x
x 2＋1
＝
－g (x )，
所以g (x )是R 上的奇函数．所以若g (x )的最大值是W ，则g (x )的最小值是－W .所以函数f (x )的最大值是1＋W ，最小值是1－W ，即M ＝1＋W ，m ＝1－W ，所以M ＋m ＝2.
答案：2 3.()()311f x x =-+，则()()()()()43056f f f f f -+-+
++++= ．
解析 ()()3
11f x x =-+是由3y x =平移得到的， 由于3y x =是奇函数，图象关于原点对称， 因此()f x 的对称中心为()1,1，()()22f x f x +-=，
所以()()()()()43056f f f f f -+-+
++
++
()()()()()()()4635021f f f f f f f =?-+?+?-+?++?+?+??????
52111=?+=，
故答案为11
三次函数的图形都是对称图形
对于任意三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，它的图像有唯一的对称中心
(,())33b b f a a
-
-
(2012年四川)设函数
()c o s 2x x
f x -=，{}n a 是公差为
8
π
的等差数列，()()()1255,a a a f f f π++
+=则()2
313a a a f -????=
A.0
B.
2116π C.218
π D.213
16π 解析
()cos 2sin ,22
2x x x x f x πππ???
?-=-+-+ ? ??
?
?
?
=
把奇函数()sin 2x x h x +=的图象向右平移
2
π
个单位，再向上平移π个单位就是()
x f 的图象了，所以
()cos 2sin 22
2x x x x f x πππ???
?-=-+-+ ? ??
?
?
?
=的图象关于
,2ππ??
???
对称. 又因为{}n a 是公差为8
π
的等差数列，所以2a 和4a 、1a 和5a 都关于直线3x a =对称， 所以()()22,a f a 与()()44,a f a 、()()11,a f a 与()()55,a f a 都关于,2ππ??
???
对称.
又因为已知条件()()()1255,a a a f f f π+++=
所以32a π=，()3f a π=，13284a a ππ=-?=，533284
a a ππ
=+?=.
所以()()
2
2
2
231333153132cos cos .24416a a a a a a a f πππππ?
?---=--?=?? ?????
=
函数 对称性与周期性关系 【知识梳理】 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。 如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即 点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，
函数对称性的解题方法归纳 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究 设函数 )2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f （1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； （2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。 分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+ 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。
抽象函数的对称性 关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。 一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b = +2的对称点为()A a b m n '+-，。 []∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--== ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2 的对称点为()A b a m n '--，。 ∵f b b a m f a m n [()]()---=+= ∴点A'在y f b x =-()的图象上 反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2 的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。
易知，函数y f x a b =++? ? ???2与y f x a b =-++?? ?? ?2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--?? ???++?? ????=+22()的图象，由y f x a b =-++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---?? ???++????? ?=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 三、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x c f b x ()()+=--2，则函数y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称。 证明：设点() A m n ，是y f x =()图象上任一点，则f m n ()=，点A 关于点a b c +?? ?? ?2，的对称点为()A a b m c n '+--，2。 []∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222 ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称 说明：（1）当a b c ===0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。 四、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -?? ?? ?2，对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于点b a c -?? ?? ?2，的对称点为()A b a m c n '---，2
函数的对称性与周期性 一、相关结论 1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同） ① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 ④ 若) (1 )(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 3．自对称性（内反） ①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。 ②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2 ( b a +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。 ③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2 ,2(c b a +对称。 4．互对称性 ①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a b x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2 (a b -对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5． 对称性与周期性的关系 ①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 ②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函 数，||4a b -为一个周期。
函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。 1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到； 2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。 二、举例分析 例1． 设()f x 是定义在R 上的函数， （1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称； （2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析： （1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上，()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????，即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。
高中数学函数的对称性与周期性讲义 一、引例：若)(x f 是定义在R 上的函数，对于满足下例条件中，)(,x f r x ∈?某一个，那么对于每个条件下的)(x f ，各具有哪些特殊性质？ (1),)1()1(x f x f -=+ (4),)1()1(x f x f --=+ (7),)1()1(-=+x f x f (2),)2()(x f x f -= (5),)2()(x f x f --+ (8),)()2(x f x f =+ (3),)3()1(x f x f -=+- (6),)2(4)(x f x f --= (9),)()1(x f x f -=+ 二、 函数的对称性 1、轴对称 )()()() 2()() ()()(] 0[x f x f y x f x a f x f x a f x a f a x x f a =-?-=?-=+?=?=轴对称关于对称关于 2、点对称 0 )()()()()00()(] 0[) ()()2()()0,()(] 0[2)()()2(2)(),()(=-+?--=?=-=+?--=?==-++?--=?x f x f x f x f x f a x a f x a f x a f x f a x f b b x a f x a f x a f b x f b a x f 对称，关于对称关于对称关于 3、本质特征： 【自变量】 为常数） （定义域）且a a x x D x x (2212,1=+∈? 【函数值】 a x x x x x f x f =→+=→→=对称轴对称轴轴对称性2 )()(2121 ),)22,2(2)()(2121b a b x x b x f x f 对称中心（对称中心中心对称 →+→→=+ 模型：对称关于2 )()()(,b a x x f x b f x a f D x +=?-=+∈? 对称关于)0,2 ()()()(,b a x f x b f x a f D x +?--=+∈? 三，函数的周期性 定义：设定义在D 上的函数,),(D x x f ∈?对于都存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+则函数)(x f 为周期函数,T 为)(x f 的一个周期， 【自变量】 D x x ∈?21,（定义域）且T x x =-21（T 为非零常数）
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y - 换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 ()(())()g x f x f x -=--= 3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y - ∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。 注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y - ∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称. 注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y --
高中数学函数对称性和周期性小结 一、函数对称性： 1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称 2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称 3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称 4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称 5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称 6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称 7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称 8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称 例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。 【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。 证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)] ∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 . 例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。 证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m)– b] ∴2t - b =a ，==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为x=(a + b)/2 . 二、函数的周期性 令a , b 均不为零，若： 1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x+a) ==> 函数最小正周期T=|a| 2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a| 3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a| 4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==>函数最小正周期T=|2a| 5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==>函数最小正周期T=|4a| 这里只对第2~5点进行解析。 第2点解析： 令X=x+a ，f[a +(x –a)] = f[b +(x – a)] ∴f(x) = f(x + b – a) ==> T=b – a
函数的对称性与周期性 【知识梳理】 1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期； 2. 周期函数的其它形式 ()()f x a f x b +=+? ；()()f x a f x +=-? ；()()1f x a f x +=? ； ()()1f x a f x +=-? ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+? ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+? )()()2(x f a x f a x f -+=+? 1 )(1)(+-=+x f a x f ? ， 3. 函数图像的对称性 1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性 1）函数()()0ax b f x c cx d +=≠+的图像关于点 对称； 2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】 题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331 x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称； 4. 函数()3sin 23f x x π??=- ?? ?的图像关于直线 对称；关于点 对称； 题型二 平移变换后，函数图像的对称性 1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( ) 2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称； 3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式
一:有关周期性的讨论 在已知条件()()f a x f b x +=-或 ()()f x a f x b +=-中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2 b a x +=。 (2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。 设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 (1))()(a x f a x f +=- a T 2=? (1))()(x a f x a f -=+ a x =? (2))()(a x f x f += a T =? (2))()(x b f x a f -=+ 2 b a x += ? (3))()(x f a x f -=+ a T 2=? (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=? (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=? (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2 (b a +? (5))(1)(x f a x f - =+ a T 2=? (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ? (6)1 )(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=? (7) 1()()1() f x f x a f x -+=+ a T 2=? (8) 1()()1()f x f x a f x -+=- + a T 4=? (9) ) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=? (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=?
函数对称性 一知识点精讲： I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线a b x +=的对称点为 (Q a b +∴点Q 推论1推论2推论32、f ((Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -= 的对称点为00(,)Q b a x y --，Q 000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2 b a x -= 的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点( ,0)2 b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2 b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，Q 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2 b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 11x (log 2f 解析：)(x f -(log f 234 5 解析：的，故6、设y )2(x f =解析：)2(x f 是由2 1=x ，=x 7个实根之和为解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，故五个实根，有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为15 8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中， ①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称； ②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称， 其中正确命题序号为_______。 解析：①错)2(+=x f y 关于直线2-=x 对称，②对③错若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④对正确答案为②④
对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。
函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b| 3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x += -++= 对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 ( c b a +对称 推论1、 b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 例题分析： 1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则 )5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 3．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1 (2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___
高中数学函数学生常见问题以及函数常见题型、解法指导 一、学生常见问题： （一）、认知层面的问题： 这个问题是在高一学习函数时就一直在困扰学生的问题。我们要了解高一学生在学习数学时产生困难的原因，首先要了解学生的数学认知结构。即学生在对数学对象、数学知识和数学经验感知和理解的基础上形成的一种心理结构。通俗地说：数学认知结构就是人们按照自己的经验与理解，根据自己的感知、记忆、思维的特点，把数学知识在大脑中组合而成的具有内部规律的整体结构。数学认知结构受个体认知特点的制约，具有浓厚的认知主体性与鲜明的个性色彩。高一新生在学习数学时的困难正是由于数学认知结构的特点所决定。高一新生在学习高中数学时，碰到的困难比如无法理解函数的概念，无法建立对应的观念，对集合的概念理解不够透彻等问题，导致高中数学的学习存在很大的困难。 （二）、基础知识层面的问题： 在进行高三复习的时候，同学们普遍的反映都不太好。原因在于，同学们感觉学校老师复习得很快。学校老师的讲课思路是先大致的把知识点串讲一遍，接着在课上做一些例题，课后给同学发一些卷子以做为练习，这些练习在做完之后老师也不一定会仔细的讲解，知识点的落实也不太扎实。因此同学感觉老师的复习很快。（因此这里学生会出现的问题就是基础知识不扎实）那么我们在具体的操作中，首先应该了解学生复习的程度。在总复习的过程中侧重于整体性，所以可以先了解一下学生是否有一个整体的框架。（框架的作用是帮助PEC检查学生的知识体系是否完善） 函数被分成了两块：横轴和纵轴。（参见策略库函数基本概念第一部分）
接下来，就是要求学生能够对这个表格里的每个点都比较了解。（框架完善了，就要看基础知识点是否真的落实）
实用文档 文案大全函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导 单调性： 设函数y＝f(x)定义域为A，区间M?A，任取区间M中的两个值x1，x2，改变量Δx＝ x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称f(x)在区间M上是增函数，当Δy=f(x2)－f(x1)＜0时，就称f(x)在区间M上是减函数． 如果y＝f(x)在某个区间M上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M叫做y=f(x)的单调区间． 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x1，x2，当x1＜x2时判断相应的函数值f(x1)与f(x2)的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的． 对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=φ(x)，然后分别根据u=φ(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律． 此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述． 奇偶性： (1)设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)=－f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数． 函数的奇偶性有如下重要性质： f(x)奇函数?f(x)的图象关于原点对称． f(x)为偶函数?f(x)的图象关于y轴对称． 此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点．
高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上