辅导教案
18、已知实数x ，y 满足x 2+y 2－4x －2y+5=0，则32x y y x +-的值为________ 19、计算：（318+ 151504)322-÷= 20、如果 ，则=_______. 21、若 互为相反数，则_______。 22、将 根号外的a 移到根号内，得 __________ 23、在实数范围内分解因式 （1） ； （2） 24、 的整数部分是_________，小数部分是________。 25、 若 =3，则x 的取值范围是______ 26、 观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证： .
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4 4 15 的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程. 27、已知，则a_________ 28、已知，则a______ 29、二次根式、、的大小关系是______ 30、当0 35、如果xy= ，x －y=5－1，那么（x+1）（x －1）的值为________。 36、若m 为正实数，且13m m - =，221m m -则= 37、若a<－2， 的化简结果是________ 38、已知x=2+1，求（ 22121x x x x x x +---+）÷1x 的值． 39、对于题目“化简求值：1a +2212a a +-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同． 甲的解答是：1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +1a －a=2495 a a -= 乙的解答是： 1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？ 40、已知x =12，x=________ 41、化简 = 42、已知三个数x ，y ，z 满足xy x y +＝－2，yz y z +＝43，zx z x +＝－43 ．则xyz xy yz zx ++的值为 . 分式练习题 1. （2013年天津市3分）若x=－1，y=2，则 222x 1x 64y x 8y ---的值等于【 】 A ．117- B ．117 C ．116 D ．115 2. （2013年内蒙古包头3分）函数1y x 1=+中，自变量x 的取值范围是【 】 A ．x ＞﹣1 B ．x ＜﹣1 C ．x ≠﹣1 D ．x ≠0 3. （2013年广东深圳3分）分式2x 4x 2 -+的值为0，则【 】 A.x=－2 B. x=±2 C. x=2 D. x=0 4. （2013年湖南娄底3分）有意义的x 的取值范围是【 】 A ．1x 2≥-且x≠1 B ．x≠1 C ．1x 2 ≥- D ．1x>2-且x≠1 5. （2013年湖北襄阳3分）有意义的x 的取值范围是 ． 6. （2013年重庆市B10分）先化简，再求值：2x 2x 1x 4x x 2x 4x 4+--??-÷ ?--+??，其中x 是不等式3x 71>+的负整数解。 7. （2013年贵州贵阳6分）先化简，再求值：22312x x x 1x x 2x 1 -??-÷ ?+++??，其中x=1． 8 （2013年黑龙江牡丹江农垦5分）先化简：24x 4x 4x x x ++??-÷ ?? ?，若﹣2≤x≤2，请你选择一个恰当的x 值（x 是整数）代入求值． 二次根式练习题 1.（2013年上海市4分）下列式子中，属于最简二次根式的是【】 （A）（B（C）（D 2.（2013年广东珠海3分）实数4的算术平方根是【】 A．－2 B．2 C．±2 D．±4 3.（2013年广西贺州3分）1的值在【】 A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间 4.（2013年广西崇左3分）下列根式中，与是同类二次根式的是【】 A B C D 5.（2013年湖北武汉3分）x的取值范围是【】A．x<1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x<－1 6.（2013年湖北荆州3分）计算】 A B C D 7.（2013年海南省3分）】 A B．C．D．2 8.（2013年山东临沂3分）】 A．B C．D 9. （2013年湖南常德3分）】 A．﹣1 B．1 C．4-D．7 10.（2013年湖北襄阳3分）有意义的x的取值范围是． 11.（2013年江苏宿迁3分）+的值是． 12.（2013年内蒙古包头3分）=． 分式和二次根式专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式有意义。 ２、当＿＿＿＿时，有意义。 ３、计算：－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2 －xy)÷＝＿＿＿＿。 ５、分式 ，，的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：2＿＿＿＿3。 ７、已知 ＝，则的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式和是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照2＝·＝＝的做法，化简3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，－＝＿＿＿＿。 11、若的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝＋＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、 B 、 C 、x ＋ D 、 ２、对于分式 总有（ ） A 、＝ B 、＝ C 、＝ D 、＝ ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ４、可以与合并的二次根式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 x 2x －3 a －2a 2 a －1 x －y xy b 2a 24a 3b c a 5c 2 32x ＋2y 2y 5 2x ＋y y x ＋1y 30.5220.54×0.521 3 (2－x)2(x －3)2 31－x x －1x －y 22x ＋y 12x 2 1 x －1 1x －1x －1(x －1)21x －1x ＋1x 2－11x －112 (x －1)21x －11 1－x 27x 2＋11 2 a 2 b 182761 3 8y y ５、如果分式 中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、()3÷()0×(－)－2 ２、(＋)÷ ３、－＋ ４、(3－2)2 四、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、－＋ ２、÷(x ＋ 1)· ３、－· ４、4b ＋－3ab (＋) 五、解答题：（每题 8 分，共 32 分） １、某人在环形跑道上跑步，共跑两圈，第一圈的速度是 x 米/分钟，第二圈的速度是 米/分钟（x ＞），则他平均一分钟跑的路程是多少？ 2x x ＋y x 2b 2a 22b 23a b a x 2x －242－x x ＋2 2x 84 2 1223x x ＋y y y －x 2xy x 2－y 2x 2－1x 2＋4x ＋4x 2＋3x ＋2 x －1 20＋55 1312a b 2a a 5b 31 ab 4ab y y y 第二讲 整式、分式 一、课标下复习指南 (一)代数式 1．代数式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或表示数的字母也叫做代数式． 2．求代数式的值 用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出结果，叫做求代数式的值． 3．代数式的分类 (二)整式 1．整式的有关概念 (1)单项式及有关概念 由数字和字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数和单独的一个字母也叫单项式． 单项式的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数． (2)多项式及有关概念 几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数． (3)同类项的概念 多项式中，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．两个常数项也是同类项． 2．整式的运算 (1)整式的加减 ①合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项． ②添(去)括号法则 如果括号前面是正号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号． ③整式的加减 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项． (2)整数指数幂及其运算性质 ①整数指数幂 正整数指数幂：?? ???≥????==),2(),1(为正整数个n n a a a a n a a n n 零指数幂：10=a (a ≠0)． 负整数指数幂：n n a a 1= -(a ≠0，n 为正整数)． ②整数指数幂的运算性质(以下四式中m ，n 都是整数) a m ·a n ＝a m ＋n ： (a m )n ＝a mn ； (ab )m ＝a m ·b m ． a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0)． (3)整式的乘法 ①单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含的字母，连同它的指数作为积的一个因式． ②单项式乘以多项式，根据分配律用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． ③多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． ④乘法公式： (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2； 常用的几个乘法公式的变形： a 2＋ b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ； (a －b )2 ＝(a ＋b )2 －4ab ． (4)整式的除法(结果为整式的) ①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式． ②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 3．因式分解的概念 (1)因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意： ①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解． ②因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时，每个因式的首项不含负号． ③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形． (2)因式分解的方法 ①提公因式法： ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )． ②运用公式法： a 2 －b 2＝(a ＋b )(a －b )； a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2： *③十字相乘法： x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )． ④用一元二次方程求根公式分解二次三项式的方法： 中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算错误！未找到引用源。±错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 页脚内容1 整式的乘法与因式分解 一、选择题： 1.下列计算中正确的是 ( ) A ．842a a a =? B ．22a a a =÷ C ．5322a b a =+ D ．632)(a a -=- 2.下列运算中，正确的是 ( ) A. 632x x x =? B. 623)(x x =- C.2523a a a =+ D. 333)(b a b a =+ 3.化简23)()(x x -?-的结果正确的是 ( ) A.6x - B.6x C.5x D.5x - 4.下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有 ( ) ①5236)2(3x x x -=-?；②ab b a b a 2)2(423-=-÷③523)(a a = ； ④2 3)()(a a a -=-÷- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.如果)(m x +与)3(+x 的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为 ( ) A ．－3 B ．3 C ．0 D ．1 6.若153=x ,53=y 则y x -3等于 ( ) A ．5 B ．3 C ．15 D ．10 页脚内容2 7.))((22a ax x a x ++-的计算结果是 ( )． A ．3232a ax x -+ B ．33a x - C.3232a x a x ++ D ．322322a a ax x -++ 8.计算232x x ÷的结果是（ ） A ．x B ．x 2 C ．52x D ．62x 9.下列各式是完全平方式的是 ( )． A ．4 12+-x x B ．21x + C ．1++xy x D ．122-+x x 10. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于 ( ) A. 3 B. -5 C. 7 D. 7或-1 11.把多项式a ax ax 22--分解因式，下列结果正确的是 ( ) A ．)1)(2(+-x x a B ．)1)(2(-+x x a C ．2)1(-x a D ．)1)(2(+-ax ax 12.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. 22)(b a -+ B. mn m 2052- C. 22y x -- D.92+-x 二、填空题： 13.计算：23)(y x -= 532)(x x ÷ = 14.计算：)3 2)(32(n m n m --+-＝__________. 1.整式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数 表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313 -．一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整 体”代入． 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号． 整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如： 知识点大全 2. 代数式（分类） 2.1. 整式（包含题目总数：15） 001020； 001030； 001040； 001050； 001070； 001110； 001130； 001140； 001150； 001160； 001170； 001180； 001200； 001220； 001230； 2.1.1. 整式的有关概念 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如： b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 23 13-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的 项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 知识点大全 注意： (1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入． (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入． 2.1.2. 同类项、合并同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意： (1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 2.1. 3. 去括号法则 去括号法则1：括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 1、整式的概念和指数： 与 统称为整式。 单项式包括： 、 、 ； 一个单项式中所有字母的 叫做这个单项式的次数。 多项式：几个单项式的代数和多项式。 单项式中次数最 的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义： 一般地，形如式子B A ，且 B ≠0叫做分式。 （1）、分式有意义的条件： （2）、分式无意义的条件： （3）、分式为0的条件： （4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时 （一个不等于0）的整式，分式的值不变。 （5）、约分： （6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。 （7）、通分： （8）、最简公分母： （9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义： （1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 （2）、二次根式有意义的条件： 二次根式无意义的条件： （3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0); a 2=a =?????<-=>)0()0(0)0(a a a a a a b =a b ? (a ≥0, b ≥0); ④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。 （4）、最简二次根式： 中不含二次根式； 被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 （5）、 同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。 知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项： （2）、合并同类项法则： （3）、去括号法则： （4）、整式的加减的实质就是合并同类项。 （二）、整式的乘除 （1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加. （2）、幂的乘方与积的乘方：(a m )n = ，底数不变，指数相乘； （3）、(ab)n = ，积的乘方等于各因式乘方的积. （4）、单项式的乘法：系数相乘，相同字母 ，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里. （5）、单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)= ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 中考总复习：分式与二次根式 【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零， 否则分式没有意义. 2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）. 3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等； 第五章整式、分式、二次根式的知识梳理 1、整式的概念和指数： 与统称为整式。 单项式包括：、、； 一个单项式中所有字母的叫做这个单项式的次数。多项式：几个单项式的代数和多项式。 单项式中次数最的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义： A，且B≠0叫做分式。 一般地，形如式子 B （1）、分式有意义的条件： （2）、分式无意义的条件： （3）、分式为0的条件： （4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时（一个不等于0）的整式，分式的值不变。 （5）、约分： （6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。 （7）、通分： （8）、最简公分母： （9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义： （1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 （2）、二次根式有意义的条件： 二次根式无意义的条件： （3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0); a 2=a =?? ???<-=>)0()0(0)0(a a a a a ab =a b ? (a ≥0, b ≥0); ④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。 （4）、最简二次根式： 中不含二次根式； 被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 （5）、 同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。 知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项： （2）、合并同类项法则： （3）、去括号法则： （4）、整式的加减的实质就是合并同类项。 （二）、整式的乘除 （1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加. 分式和二次根式 (三) （分式和二次根式） 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式x 2 x －3 有意义。 ２、当＿＿＿＿时，a －2有意义。 ３、运算：a 2 a －1 －a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2－xy)÷x －y xy ＝＿＿＿＿。 ５、分式b 2a 2，4a 3bc ，a 5c 2的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：23＿＿＿＿32。 ７、已知x ＋2y 2y ＝ 5 2，则x ＋y y 的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式x ＋1和y 3是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照20.5＝22·0.5＝4×0.5＝2的做法，化简3 1 3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，(2－x)2－(x －3)2 ＝＿＿＿＿。 11、若3的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝1－x ＋x －1＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、x －y 2 B 、2 x ＋y C 、12x ＋ D 、x 2 ２、关于分式1 x －1总有（ ） A 、1 x －1＝x －1(x －1)2 B 、1x －1＝x ＋1x 2－1 C 、1x －1＝12(x －1)2 D 、1x －1＝11－x ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、27 B 、x 2＋1 C 、1 2 D 、a 2b ４、能够与18合并的二次根式是（ ） A 、27 B 、6 C 、1 3 D 、8 ５、假如分式 2x x ＋y 中的 x 和 都扩大为原先的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜x 2－x ｜等于（ ） y y y 《数与式》 轻松过关 专题 第二讲:整式、分式及二次根式 知识回顾 (一)代数式 代数式,求代数式的值,代数式的分类 (二)整式 整式的有关概念,整式的运算,因式分解的概念, （三）分式 (四)二次根式 二次根式,最简二次根式,二次根式的运算, 自主学习 1．下列运算中,计算结果正确的个数是( )． (1)a 4·a 3＝a 12； (2)a 6÷a 3＝a 2； (3)a 5＋a 5＝a 10； (4)(a 3)2＝a 9； (5)(－ab 2)2＝ab 4； (6)?=-2 2212x x A ．无 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．如果关于x ,y 的单项式2ax m y 与5bx 2m －3y 是同类项, (1)求(9m －28)2009的值； (2)若2ax m y ＋5bx 2m －3y ＝0,并且xy ≠0,求(2a ＋5b )2009的值． 3．计算:(1)(3xy 3－9x 4y 2)÷3xy －(x 2－2xy )·4x 2． (2)(a ＋b －1)(a －b ＋1)－a 2＋(b ＋2)2． 4．把下列各式分解因式: (1)6(a －b )2＋8a (b －a )； (2)16x 2－(x 2＋4)2； 5．(1)当x 取何值时,分式6 532+--x x x 无意义? (2)当x 取何值时,分式12 922---x x x 有意义?值为零? 6．已知12-=a ,化简求值:?+-÷++--+-2 4)44122(22a a a a a a a a 7．已知321=+x x ,求441x x +的值． 8．当x 为何值时,下列代数式有意义? .1)2(;3 22)1(232x x x x x -+---- 3 整式与分解因式 【知识梳理】 1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数） ；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a a 1 = -（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法: (1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. (3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式. (5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即2 2))((b a b a b a -=-+； (6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2 222)(b ab a b a +±=± 3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 4.分解因式的方法： ⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=± 5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区： ⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等 【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ） A. a ＋2a=3a 2 B. 3a －2a=a C. a 2?a 3=a 6 D.6a 2÷2a 2=3a 2 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的 结果是（ ） A ．m B ．m C ．m +1 D ．m -1 【例3】若2 320a a --=，则2 526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( ) A ．2 2 ()()x y x y x y -=+- B ．22 69(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+ D ．2 2 2 ()x y x y +=+ 【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一 2006年中考数学第一轮复习专题训练 (三) （分式和二次根式） 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式x 2x －3有意义。 ２、当＿＿＿＿时，a －2有意义。 ３、计算：a 2a －1－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2－xy)÷x －y xy ＝＿＿＿＿。 ５、分式b 2a 2，4a 3bc ，a 5c 2的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：23＿＿＿＿32。 ７、已知x ＋2y 2y ＝ 5 2，则x ＋y y 的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式x ＋1和y 3是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照20.5＝22·0.5＝4×0.5＝2的做法，化简313＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，(2－x)2－(x －3)2＝＿＿＿＿。 11、若3的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝1－x ＋x －1＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、x －y 2 B 、2x ＋y C 、12x ＋ D 、x 2 ２、对于分式1x －1总有（ ） A 、1x －1＝x －1(x －1)2 B 、1x －1＝x ＋1x 2－1 C 、1x －1＝12(x －1)2 D 、1x －1＝11－x ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、27 B 、x 2＋1 C 、12 D 、a 2b ４、可以与18合并的二次根式是（ ） A 、27 B 、6 C 、13 D 、8 ５、如果分式2x x ＋y 中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜x 2－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） y y y … … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … 封 … … … … … … … … 装 … … … … … … … … 订 … … … … … … …学校：＿＿＿＿＿＿ 班级：＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 座号：＿＿＿＿ 2019届中考总复习：分式与二次根式—知识讲解 【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则 分式没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可 不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 分式和二次根式知识总结 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ? 分式与二次根式—知识讲解 【知识网络】 知识点一、分式的有关概念及性质?1．分式?设Ａ、Ｂ表示两个整式.如果B中含有字母，式子就叫做分式.注意分母Ｂ的值不能为零，否则分式没有意义.?2.分式的基本性质? (M为不等于零的整式).?3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释: 分式的概念需注意的问题：? (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号,还含有括号的作用； （2）分式中，A和Ｂ均为整式,A可含字母,也可不含字母，但B中必须含有字母且不为０;?(３） 判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断.?（4）分式有无意 义的条件:在分式中, ①当B≠0时,分式有意义;当分式有意义时,B≠0.?②当B=０时，分式无意义；当分式无意义时,B=0．?③当B≠0且A = ０时，分式的值为零. 知识点二、分式的运算?1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1)加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． ； 异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. (2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母． (3)除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. (４)乘方运算（分式乘方) 分式的乘方,把分子分母分别乘方．?２．零指数．?3.负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的. 第三讲 分式和二次根式 一、考点链接： 1．形如 的式子，叫做分式，其中A 叫做 ，B 叫做 。 2．分式的基本性质：分式的分子、分母都 的整式，分式的值 。 3．分式的值为零的条件是 ，分式有意义的条件是 。 4．若实数a≠0，则有0a = ,n a -= (n 为正整数) 5.分式的乘方：n b a ?? ? ??= （n 为正整数） 6．约分的定义： 7．通分的定义： 8．最简分式的定义：分式的分子与分母中 9. 异分母分式相加减，先 ，再相加减 10．分式的混合运算：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算是先算 ，再算 ，最后算 ， 遇到括号，先算括号内的 11.形如 的代数式叫做二次根式.（即一个 的算术平方根叫做二次根式）强调：二次 根式被开方数不小于0 12.二次根式的性质：双重非负性 =2)a ( （a≥0）， =2 a =???<≥0)（a 0）(a =a b （a≥0，b≥0） =b a （a≥0，b ＞0） 13.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 ab b a =?（a≥0，b≥0） ab b a =（a≥0，b ＞0） 二次根式的加减：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并. 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如22222b 2ab a )b a (;b a b)-b)(a (a +±=±-=+）仍然适用. 二、归类探究： 1.识别分式的概念 例1：如果分式 32x -+2|x|-1x 的值为零,那么x 等于( ) A.-1 B.1 C.-1或1 D.1或2 2.分式的基本性质的识别 例2：（1）下列各式与x y x y -+相等的是( ) A. ()5()5x y x y -+++; B. 22x y x y -+; C. 222()()x y x y x y -≠- D. 22 22x y x y -+ （2）（11·珠海）若分式2a a ＋b 中的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（ ） A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍 C ．是原来的110 D ．不变 3. 二次根式相关概念。 例3：⑴、在函数y =x 的取值范围是 。 x 的取值范围是 。 4. 二次根式的主要性质。 例4： ，2= = ，()0a ≤。 5. 二次根式的运算。 例5：（1）（2011山东济宁，4，3分）下列各式计算正确的是（ ） A = B ．2= C ．= D = （2） 。 （312-+2︱－03sin30。 分式方程与二次根式方程 〖知识点〗 分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根 〖大纲要求〗 了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。 内容分析 1．分式方程的解法 (1)去分母法 用去分母法解分式方程的一般步骤是： （i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； (ii)解这个整式方程； (iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去. 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母. (2)换元法 用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数． 2．二次根式方程的解法 (1)两边平方法 用两边平方法解无理方程的—般步骤是： (i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程； (ii)解这个有理方程； (iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去． 在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行． (2)换元法 用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数． 〖考查重点与常见题型〗 考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。 考题类型 1．（1）用换元法解分式方程 3x x2－1 ＋ x2－1 3x ＝3时，设 3x x2－1 ＝y，原方程变形为（） （A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝0 2．用换元法解方程x2＋8x＋x2＋8x－11 ＝23，若设y＝x2＋8x－11 ，则原方程可化为（） （A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=0分式与二次根式练习题
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