普通高考数学科一轮复习精品学案
第3讲 函数的基本性质
一．课标要求
1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； 2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；
二．命题走向
从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。 预测高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。
预测明年的对本讲的考察是： （1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题； （2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。
三．要点精讲
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：
○
1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○
2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
○
1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○
2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○
3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；
②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性
（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1
注意：
○
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1 （3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集： ①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数； ②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。 （4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1 2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。 （5）简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。 3．最值 （1）定义： 最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。 最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。 注意： ○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。 （2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： ○ 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○ 2 利用图象求函数的最大（小）值； ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )； 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )； 4．周期性 （1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数； （2）性质：①f (x+T )= f (x )常常写作),2 ()2(T x f T x f -=+ 若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为 | |ωT 。 四．典例解析 题型一：判断函数的奇偶性 例1．讨论下述函数的奇偶性： ); 111(1)()3(; )0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;2 2 116)()1(222+-+-=? ? ? ??<-+-=>++=++= x x og x f x x x n x x x x n x f x f x x x );0(||)()4(2 2≠-+-=a a a x x a x f 常数 解：（1）函数定义域为R ， )(2 211614161211161222116)(x f x f x x x x x x x x x x x =++=++?=++=++=----， ∴f (x )为偶函数； （另解）先化简：14414 1 16)(++=++=-x x x x x f ，显然)(x f 为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。 （2）须要分两段讨论： ①设 ); ()1(111 1)1(1)(, 0,0x f x x n x x n x x n x f x x -=-+-=-+=++=-∴<-∴> ②设 ) ()1(111 1)1(1)(, 0,0x f x x n x x n x x n x f x x -=-+--=-+-=--+-=-∴>-∴< ③当x =0时f (x )=0，也满足f (－x )=－f (x )； 由①、②、③知，对x ∈R 有f (－x ) =－f (x )， ∴f (x )为奇函数； （3）10 10 1222 =??????≥-≥-x x x ，∴函数的定义域为1±=x ， ∴f (x )=log 21=0(x =±1) ，即f (x )的图象由两个点 A （－1，0）与B （1，0）组成，这两点 既关于y 轴对称，又关于原点对称，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数； （4）∵x 2≤a 2, ∴要分a >0与a <0两类讨论， ①当a >0时，)],,0()0,[(||a a a a x a x a -??? ?≠+≤≤-函数的定义域为 x x a x f a x 2 2)(,0||-=∴>+∴，∴当a >0时，f (x )为奇函数； ,2 ,2,2)(,0||2122a x a x a x x a x f a x -==---=∴<+称的两点取定义域内关于原点对 )(,0,03 3 53)2()2(x f a a f a f 时当<∴≠±=-± 既不是奇函数，也不是偶函数. 点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定 义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。 例2．设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y =－|f （x ）|；②y =xf （x 2）；③y =－f （－x ）；④y =f （x ）－f （－x ）。 必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号） 答案：②④；解析：y =（－x ）f ［（－x ）2］=－xf （x 2）=－y ；y =f （－x ）－f （x ）=－y 。 点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。 题型二：奇偶性的应用 例3．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ _。 答案：－1；解：因为x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），又f （x ）为奇函数，所以f （－x ）=－f （x ），设x ＜0，所以f （x ）=－f （－x ）=－f （1－x ），所以f （－2）=－lo g 33=－1。 点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。 例4．已知定义在R 上的函数y = f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，求x ∈[－4，0]时f (x )的表达式。 解：由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑： ①若x ∈[－2，0]，－x ∈[0，2]， ∵f (x )为偶函数， ∴当x ∈[－2，0]时，f (x )= f (－x )=－2x －1, ②若x ∈[－4，－2)， ∴4+ x ∈[0，2)， ∵f (2+x )+ f (2－x )， ∴f (x )= f (4－x )， ∴f (x )= f (－x )= f [4－（－x ）]= f (4+x )=2（x +4）－1=2x +7； 综上，.) 02(1 2) 24(72)(?? ?≤<---≤=≤-+=x x x x x f 点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。 题型三：判断证明函数的单调性 例5．设0a >，()x x e a f x a e = +是R 上的偶函数。 （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数。 解：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x x x x e a ae ae a e += +。 ∴11()()x x a e a e -- 0=对一切x R ∈成立，则 1 0a a -=，∴1a =±， ∵0a >，∴1a =。 （2）（定义法）设120x x <<，则1212 1211()()x x x x f x f x e e e e -=-+- 21 21 121 12 2111()( 1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e e e e +-++-=--=-， 由12210,0,0x x x x >>->，得21 120,10x x x x e -+>->，2110x x e +-<， ∴12()()0f x f x -<， 即12()()f x f x <，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数。 （导数法）∵1a =，(0,)x ∈+∞ ∴211()1()()0x x x x x x e f x e e e e e -''=+=-= > ∴()f x 在(0,)+∞上为增函数 点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。 例6．已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+) (1 x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论。 解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。 在R 上任取x 1、x 2，设x 1 ], ) ()(1 1)][()([]) (1 )([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+ =- ∵f (x )是R 上的增函数，且f (10)=1， ∴当x <10时0< f (x )<1, 而当x >10时f (x )>1; ① 若x 1 ()(1 121x f x f - <0, ∴F (x 2)< F (x 1)； ②若x 2 >x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1 , ∴f (x 1)f (x 2)>1, ∴)()(1121x f x f ->0, ∴ F (x 2)> F (x 1)； 综上，F (x )在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数。 点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。 题型四：函数的单调区间 例7．设函数f （x ）＝b x a x ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性。 .解：在定义域内任取x 1＜x 2， ∴f （x 1）－f （x 2）＝ ) )(() )(())((2121212221b x b x a x b x b x a x b x a x b x a x ++++-++= ++-++ ) )(())((2121b x b x x x a b ++--= ， ∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，x 1－x 2＜0， 只有当x 1＜x 2＜－b 或－b ＜x 1＜x 2时函数才单调． 当x 1＜x 2＜－b 或－b ＜x 1＜x 2时f （x 1）－f （x 2）＞0． ∴f （x ）在（－b ，＋∞）上是单调减函数，在（－∞，－b ）上是单调减函数． 点评：本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。 例8．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间； （2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性。 解：（1）函数的定义域为),2()1,(+∞?-∞， 分解基本函数为t y 7.0log =、232 +-=x x t 显然t y 7.0log =在),0(+∞上是单调递减的，而232 +-=x x t 在),2(),1,(+∞-∞上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则： 所以函数20.7log (32)y x x =-+在),2(),1,(+∞-∞上分别单调递增、单调递减。 （2）解法一：函数的定义域为R ， 分解基本函数为82)(2++-==x t t f g 和2 2t t -=。 显然82)(2++-==x t t f g 在),1(+∞上是单调递减的，)1,(-∞上单调递增； 而2 2x t -=在),0(),0,(+∞-∞上分别是单调递增和单调递减的。且 1122±=?=-x x ， 根据复合函数的单调性的规则： 所以函数的单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-。 解法二：222 ()82(2)(2)g x x x =+---4 2 28x x =-++， 3()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<， 令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-。 点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。 题型五：单调性的应用 例9．已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0，解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0。 解：∵f (2)=0,∴原不等式可化为f ［log 2(x 2+5x +4)］≥f (2)。 又∵f (x )为偶函数，且f (x )在(0，+∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞,0)上为减函数且f (－2)=f (2)=0。 ∴不等式可化为 log 2(x 2+5x +4)≥2 ① 或 log 2(x 2+5x +4)≤－2 ② 由①得x 2+5x +4≥4，∴x ≤－5或x ≥0 ③ 由②得0＜x 2+5x +4≤ 4 1 得 2105--≤x ＜－4或－1＜x ≤210 5+- ④ 由③④得原不等式的解集为 {x |x ≤－5或 2105--≤x ≤－4或－1＜x ≤2 10 5+-或x ≥0}。 例10．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m ，使f (c os2θ－3)+f (4m －2mc os θ)>f (0)对所有θ∈［0,2 π ］都成立？若存在，求出符合条件的所有 实数m 的范围，若不存在，说明理由。 解：∵f (x )是R 上的奇函数，且在［0，+∞］上是增函数， ∴f (x )是R 上的增函数，于是不等式可等价地转化为f (c os2θ－3)>f (2mc os θ－4m )， 即c os2θ－3>2mc os θ－4m ,即c os 2θ－mc os θ+2m －2>0。 设t =c os θ,则问题等价地转化为函数 g (t ) =t 2 －mt +2m －2=(t －2 m )2－42 m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g (t ) 在［0，1］上的最小值为正。 ∴当 2 m <0,即m <0时，g (0)=2m －2>0?m >1与m <0不符； 当0≤2 m ≤1时，即0≤m ≤2时，g (m )=－42m +2m －2>0?4－22 ∴4－22 2 m >1,即m >2时，g (1)=m －1>0?m >1。 ∴m >2 综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m >4－22。 另法(仅限当m 能够解出的情况)： c os 2θ－mc os θ+2m －2>0对于θ∈［0,2 π ］恒成立，等 价于m >(2－c os 2θ)/(2－c os θ) 对于θ∈［0,2 π ］恒成立 ∵当θ∈［0, 2 π ］时，(2－c os 2θ)/(2－c os θ) ≤4－22，∴m >4－22。 点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。 题型六：最值问题 例11．设a 为实数，函数f （x ）=x 2+|x －a |+1，x ∈R 。 （1）讨论f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）的最小值。 解：（1）当a =0时，函数f （－x ）=（－x ）2+|－x |+1=f （x ），此时f （x ）为偶函数。 当a ≠0时，f （a ）=a 2+1，f （－a ）=a 2+2|a |+1，f （－a ）≠f （a ），f （－a ）≠－f （a ）。 此时函数f （x ）既不是奇函数，也不是偶函数。 （2）①当x ≤a 时，函数f （x ）=x 2－x +a +1=（x － 21）2+a +4 3 。 若a ≤ 2 1 ，则函数f （x ）在（－∞，a ）上单调递减，从而，函数f （x ）在（－∞，a ）上的最小值为f （a ）=a 2+1。 若a ＞21，则函数f （x ）在（－∞，a ]上的最小值为f （21）=43+a ，且f （2 1）≤ f （a ）。 ②当x ≥a 时，函数f （x ）=x 2+x －a +1=（x + 21）2－a +4 3 。 若a ≤－21，则函数f （x ）在［a ，+∞)上的最小值为f （－21）=43－a ，且f （－2 1 ）≤f （a ）。 若a ＞－2 1 ，则函数f （x ）在［a ，+∞］上单调递增，从而，函数f （x ）在［a ，+∞］上 的最小值为f （a ）=a 2+1。 综上，当a ≤－ 21时，函数f （x ）的最小值是4 3 －a 。 当－ 21＜a ≤21 时，函数f （x ）的最小值是a 2+1。 当a ＞ 21时，函数f （x ）的最小值是a +4 3。 点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解 此题会有较大帮助.因为x ∈R ，f （0）=|a |+1≠0，由此排除f （x ）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a =0时，f （x ）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。 例12．设m 是实数，记M ={m |m >1}，f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m + 1 1 -m )。 （1）证明：当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M ； （2）当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值； （3）求证：对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1。 （1）证明：先将f (x )变形：f (x )=log 3［(x －2m )2+m + 1 1 -m ］, 当m ∈M 时，m >1,∴(x －m )2+m +1 1 -m >0恒成立， 故f (x )的定义域为R 。 反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +1 1 -m >0。 令Δ＜0，即16m 2－4(4m 2+m + 1 1 -m )＜0，解得m >1，故m ∈M 。 （2）解析：设u =x 2－4mx +4m 2+m +1 1 -m ， ∵y =log 3u 是增函数， ∴当u 最小时，f (x )最小。 而u =(x －2m )2+m + 1 1 -m ， 显然，当x =m 时，u 取最小值为m +1 1 -m ， 此时f (2m )=log 3(m + 1 1 -m )为最小值。 （3）证明：当m ∈M 时，m +11-m =(m －1)+ 1 1 -m +1≥3， 当且仅当m =2时等号成立。 ∴log 3(m + 1 1 -m )≥log 33=1。 点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理。 题型七：周期问题 例13．若y =f (2x )的图像关于直线2a x =和)(2 a b b x >=对称，则f (x )的一个周期为（ ） A ． 2b a + B ．)(2a b - C ．2 a b - D ．)(4a b - 解：因为y =f (2x )关于2 a x =对称，所以f (a +2x )=f (a －2x )。 所以f (2a －2x )=f [a +(a －2x )]=f [a －(a －2x )]=f (2x )。 同理，f (b +2x ) =f (b －2x )， 所以f (2b －2x )=f (2x )， 所以f (2b －2a +2x )=f [2b －(2a －2x )]=f (2a －2x )=f (2x )。 所以f (2x )的一个周期为2b －2a ， 故知f (x )的一个周期为4(b －a )。选项为D 。 点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数y =f (x )的图像关于直线x =a 和x =b 对称（a ≠b ），则这个函数是周期函数，其周期为2（b －a ）。 例14．已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数 ()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知 ()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数， 且在2x =时函数取得最小值5-。 ①证明：(1)(4)0f f +=； ②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式； ③求()y f x =在[4,9]上的解析式。 解：∵()f x 是以5为周期的周期函数， ∴(4)(45)(1)f f f =-=-， 又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数， ∴(1)(1)(4)f f f =--=-， ∴(1)(4)0f f +=。 ②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->， 由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =， ∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤。 ③∵( )(11)y f x x =-≤≤是奇函数， ∴(0)0f =， 又知()y f x =在[0,1]上是一次函数， ∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而2 (1)2(12)53f =--=-， ∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-， 从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-。 ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤， ∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+。 当69x <≤时，154x <-≤， ∴2 2 ()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=-- ∴2 315, 46()2(7)5, 69 x x f x x x -+≤≤?=? --<≤?。 点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。 五．思维总结 1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(-x)= ±f(x) f(-x) +f(x)=0； 2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映； 3．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件； 4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。 5．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。 6．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。 第16章《16.1.2 分式的基本性质（3）》学案 学习目标 1、理解并掌握分式的基本性质；2、能运用分式基本性质进行分式的约分. 学习重点 找到分子分母中的公因式，并利用分式的基本性质约分. 学习难点 分子、分母是多项式的分式的约分 一、自学导读 1.分式的基本性质为：__________________________________________________． 用字母表示为：______________________． 2.下列说法中，错误是的 （ ） A ． 2421a b a 与通分后为22442a b a a 与 B ．y x z xy 223131与通分后为z y x yz z y x x 222233与 C ．n m n m -+11与 的最简公分母为22n m - D ．()()x y b y x a --11与的最简公分母为()()x y y x ab -- 二、合作探究 1．把下列分数化为最简分数：812=_____； 12545 =______； 2613=______． 2.根据分数的约分，把下列分式化为最简分式： a a 1282=_____c a b b c a 23245125=_______，()()b a b a ++13262=__________，221326b a b a -+=________。 3.类比分数的约分，我们利用分式的基本性质，约去a a 1282 的分子、分母中的公因式4a 不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的_____？其中约去的4a 叫做________？同理分式()()b a b a ++451252 中的公因式是__________，因此约分的步骤为：________________. 4.什么叫公因式，若分子分母都是单项式时，如何找公因式？当分子分母都是多项式时，又如何找公因式？ 5.分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的依据是什么？ 6.找出下列分式中分子分母的公因式: ⑴ac bc 128 ⑵233123ac c b a ⑶ ()2xy y y x + ⑷ ()22y x xy x ++ ⑸() 222y x y x -- 三、课堂反馈 1、分式434y x a +，2411 x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、21?11x x x -=+-，1 11?2+-=-x x x 则？处应填上_________，其中条件是__________． 2019-2020学年高中数学 1.3对数函数及其性质学案2 新人教A 版必修 1 1. 能利用对数函数的图像和性质解决问题。 2. 能判断对数函数的单调性及求解单调区间。会利用对数函数的单调性来解不等式及求未 知字母的取值范围。 3. 解决与对数函数相关的综合性问题； 1、 已知函数)1(log )(>=a x x f a ，判断它与下列函数图像之间的关系： (1) )2 (log )(-=x x f a (2) 1log )(+=x x f a (3) x x f a 1log )(= (4) ||log )(x x f a = (5) |log |)(x x f a = 2、函数3 222 )(++-=x x x f 的增区间是____________,减区间是_____________. 3、 ?>>)1()()(a a a x g x f ?<<>)10()() (a a a x g x f 4、若函数x a x f =)(对于任意的),0(,21+∞∈x x ，试比较：2 ) ()()2(2121x f x f x x f ++与 考点一：对数型函数的图像与应用 1. 已知函数()log (21)(0,1)x a f x b a a =+->≠且的图像如下图所示，则a b ， 满足 的关系是( ) A.1 01a b -<<< B. 101b a -<<< C. 1 01b a -<<< D. 1101a b --<<< 2．函数f (x )＝log a ()(0,1)x b c a a ++>≠且的图像恒过定点(3,2)，则实数b,c 的值 分别为____________ 3. 函数0.5()2log 1x f x x =-的对应的方程解的个数为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若不等式2 log 0a x x -<在1 (0,)2 内恒成立，则a 的取值范围是__________ 考点二：对数型复合函数的单调性问题 1.若函数 x x f lg )(=对于任意的),0(,21+∞∈x x ，试比较： 2) ()()2( 2121x f x f x x f ++与 2.求函数2 ()lg(23)f x x x =-++的单调区间. 变式：已知函数212()log (23)f x x ax =-+在∞(-,1]上是增函数，求实数a 的取值范围. 复 习 引 入 交 流 探 究 分式的基本性质(1) 学习目标 ? 1、 经历从现实情景中抽象出分式概念的过程，体会分式是一种刻画现实世界中数量关系的数学形式，发展学生的符号意识。 ? 2、了解分式的概念，明确分式与整式的区别，会求分式的值。 ? 3、了解分式有意义的条件，会求一些简单分式中字母的取值范围，会确定分式的值为零的条件。 4、小组合作，展示质疑，激情参与，全力以赴，体验学习的快乐。 重点难点 分式有（无）意义的条件，分式值为零的条件 课前延伸案 1、填空： (1)矩形宽a ，长比宽多2，则周长为__ ____，面积为_ _____。 (2)圆的半径为r ，则半圆的面积为___ ___ ，半圆的周长为____ _____ 。 (3)钢笔每支a 元，圆珠笔每支b 元，买1支钢笔2枝圆珠笔共用 ____元，用一张5 元面值的人民币购买，应找回_____ 元。 （4）客船在静水中航行速度为x ，水流速度为y ，顺流速度是 ，逆流速度是 2．下列代数式中哪些是单项式？（把正确划对号） abc ，-2x 3 ，x+y ，-m ，3x 2 +4x-2，xy-a ，x 4 +x 2 y 2 +y 4 ，a 2 -ab+b 2 ，πR 2 ，3ab 3、当x =－2，y = 3 1 时，求下列代数式的值： （1）3y －x (2)︱3y ＋x ︱ 4、当a = 32，b = 3 ，c = 2 时，求代数式a b c 322 的值． 5、解方程 (1)2x+3=5 (2) 课内探究案 探究一 分式的定义 例1 （1） 比较上面列出的算式 12 600，8s ，20600+v ，20-v s ，哪些是整式？哪些不是？为什么？ （2） 你能说出代数式20600+v ，20 -v s 的共同点吗？（这也就是分式的特点） 跟踪练习1 1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（把序号填在横线上） （5） 1 -πx （6） x x 2 是整式， 是分式。 探究二 求分式的值 例2 在“情景导航”问题（3）中，顺流而下速度是 20600+v 千米/时，逆流而上速度是 20 -v s 千米/时，如果v=30，s=600，分别求出客船顺流而下与逆流而上所需航行的时间。 跟踪练习2 求下列分式的值： .3 2)4(;2)3(;2)2(;1)1(y x y x xy x x -+; 5,323)1(=+-x x x 其中.2,4,3) 2(-=-=-+y x x y y x 其中 §2.2.2对数函数及其性质学案 一．学习目标 1．知识技能 ①了解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 2．过程与方法 通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观 ①培养数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养严谨的科学态度. 二．学习重点、难点 1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质. 2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 三．学法指导 1．复习指数式与对数式的转化各个字母的取值范围和对数运算法则. 2．动手画图并观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 3．做题时要注意数形结合的思想方法的应用. 四．复习回顾 1.指数式a b =N 中各个字母名称及其取值范围是： a 叫 取值范围是： , b 叫 取值范围是 , N 叫 取值范围是 将指数式a b =N 改写成对数式为 ,其中各个字母名称及其取值范围是： a 叫 取值范围是： , b 叫 取值范围是 , N 叫 取值范围是 2.log 1a = l o g a a = l o g n a M = 2(1)log 1= 12 (7)log 1= 2(2)log 2= 12 (8)log 2= 2(3)log 4= 12(9)log 4= 2(4)log 8= 12(10)log 8= 2(5)log 16= 12(11)log 16= 2(6)log 0.5= 12(12)l o g 0. 5= 五、课前预习 1.定义： 叫对数函数 (1)对数函数的自变量是 ； (2)对数函数的定义域是 ； (3)对数函数的值域是 ； (4)对数函数的定义中应注意什么？ 2.用描点法画出2y log x =和12 y log x =的图象 两图象间的关系 3. 同一个坐标系中画出4log y x =，3log y x =，13 log y x =和14 log y x =的图象 函数及其性质 一、填空题 （2016·12）已知函数()() f x x∈R满足()2() f x f x -=-，若函数 1 x y x + =与() y f x =图像的交点为 11 (,) x y，22 (,) x y，…，(,) m m x y，则 1 () m i i i x y = += ∑（） A．0 B．m C．2m D．4m （2015·5）设函数2 1 1log(2)(1) () 2(1) x x x f x x - +-< ? =? ≥ ? ，则 2 (2)(l og12) f f -+=（）A．3 B．6 C．9 D．12 （2015·10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（） A．B．C．D． （2013·8）设 3 log6 a=， 5 log10 b=， 7 log14 c=，则（） A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >> （2013·10）已知函数32 () f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（） A. 00 ,()0 x f x ?∈= R B.函数() y f x =的图像是中心对称图形 C.若 x是() f x的极小值点，则() f x在区间 (,) x -∞单调递减 D.若 x是() f x的极值点，则 ()0 f x'= （2012·10）已知函数 x x x f - + = )1 ln( 1 ) (，则) (x f y=的图像大致为（） A. B. C. D. （2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞ （0，）单调递增的函数是（） A．3 y x =B．||1 y x =+C．21 y x =-+D．|| 2x y- = （2011·12）函数 1 1 y x = - 的图像与函数2sin,(24) y x x π =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（） 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o 分式的基本性质教学设计 教学设计思想 通过类比分数的基本性质及分数的约分、通分，推测出分式的基本性质、约分和通分，通过例题、练习来巩固这些知识点。 教学目标 知识与技能 1．总结分式的基本性质； 2．利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形； 3．说出分式通分、约分的步骤和依据，总结分式通分、约分的方法； 4．说出最简分式的意义，能将分式化为最简分式。 过程与方法 经历与他人合作探究分式的基本性质及应用的过程，通过类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质。 情感态度价值观 体会知识点之间的联系，在已有数学经验的基础上，提高学数学的乐趣。 教学重点、难点 重点：1．分式的基本性质；2．利用分式的基本性质约分、通分；3．将一个分式化简为最简分式、将分式通分。 难点：分子、分母是多项式的分式的约分和通分。 教学方法 启发引导，讲练结合 教学媒体 课件 课时安排 1课时 教学设计过程 （一）复习引入 1．分式的定义； 2．分数的基本性质？有什么用途？ 通过回顾我们可以得出： 一般地，对于任意一个分数a b 有 a a c a a c ,(c 0) b b c b b c ?÷==≠?÷，其中a ，b ，c 是数。 （二）讲授新课 活动1 思考： 1．类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？ 2．怎样用式子表示分式的基本性质？ 通过类比分数的基本性质，我们可以推想出分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。 用式子表示为： A A C A A C ,(C 0)A B C B B C B B C ?÷==≠?÷其中、、是整式。 活动2 例2 填空 222222a b ()2a b ()(1) ,;ab a b a a b x +xy x y x ()(2),x ()x 2x x 2+-==+==-- 仔细分析，看分母如何变化，是“多”还是“少”？想分子如何变化；看分子如何变化，是“多”了还是“少”了，想分母如何变化。 解答见教科书7～8页。 活动3 思考 1．类比分数的基本性质的用途（通分和约分），思考分式的基本性质会有什么用途呢？ 2．有上例你能想出如何对分式进行通分和约分吗？ 学生自主学习教科书8～9页中有关通分与约分的定义，类比分数的通分与约分，思考怎样对分式进行通分与约分。 老师启发引导，学生小组讨论，总结出分式应如何进行约分与通分。 2.2.2 对数函数及其性质(二) 自主学习 1．理解对数函数的性质． 2．掌握对数函数的单调性及其应用． 基础自测 1．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 2．函数y ＝log 2x －2的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．[4，＋∞) 3．下列不等式成立的是( ) A ．log 32 对数函数最值问题 【例2】 已知集合A ＝{x |2≤x ≤π}，定义在集合A 上的函数y ＝log a x 的最大值比最小值大1，求a 的值． 规律方法 利用函数单调性求最值时，关键看底数a 是否大于1，当底数未明确范围时，应进行讨论． 变式迁移2 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 ( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 利用图象求参数范围 【例3】 若不等式2x －log a x <0，当x ∈??? ?0，12时恒成立，求实数a 的取值范围． 第3讲 三角恒等变换与解三角形(大题) 热点一 三角形基本量的求解 求解三角形中的边和角等基本量，需要根据正弦、余弦定理，结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果. 例1 (2019·湖北、山东部分重点中学联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对 的边，已知a cos A ＝R ，其中R 为△ABC 外接圆的半径，a 2＋c 2－b 2＝433 S ，其中S 为△ABC 的面积. (1)求sin C ； (2)若a －b ＝2－3，求△ABC 的周长. 解 (1)由正弦定理得a cos A ＝a 2sin A ， ∴sin 2A ＝1，又0<2A <π， ∴2A ＝π2，则A ＝π4 . 又a 2＋c 2－b 2＝433·12 ac sin B ， 由余弦定理可得2ac cos B ＝ 233 ac sin B ， ∴tan B ＝3， 又0八年级数学下册《16.1.2分式的基本性质》学案(3)(无答案)新人教版.docx
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专题一 第3讲 三角恒等变换与解三角形(大题)