中考数学易错题精选-初中数学 旋转练习题含详细答案
一、旋转
1.在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=α(?<600α),将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
(1)如图1,直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示); (2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结DE ,若∠DEC=45°,求α的值。 【答案】(1)1
302α?-(2)见解析(3)30α=?
【解析】解:(1)1
302
α?-。
(2)△ABE 为等边三角形。证明如下:
连接AD ,CD ,ED ,
∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60?得到线段BD , ∴BC=BD ,∠DBC=60°。 又∵∠ABE=60°,
∴1
ABD 60DBE EBC 302
α∠=?-∠=∠=?-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中,∵AB=AC ,AD=AD ,BD=CD ,
∴△ABD ≌△ACD (SSS )。∴1
1BAD CAD BAC 22
α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°,∴11
BEC 180(30)15022
αα∠=?-?--?=。∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中,∵BEC BAD ∠=∠,EBC ABD ∠=∠,BC=BD , ∴△ABD ≌△EBC (AAS )。∴AB=BE 。 ∴△ABE 为等边三角形。
(3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,∴DCE 1506090∠=?-?=?。 又∵∠DEC=45°,∴△DCE 为等腰直角三角形。 ∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°,∴(180150)
EBC 152
?-?∠=
=?。 而1
EBC 30152
α∠=?-=?。∴30α=?。
(1)∵AB=AC ,∠BAC=α,∴180ABC 2
α
?-∠=
。
∵将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ,∴DBC 60∠=?。 ∴180ABD ABC DBC 603022
αα
?-∠=∠-∠=
-?=?-。 (2)由SSS 证明△ABD ≌△ACD ,由AAS 证明△ABD ≌△EBC ,即可根据有一个角等于60?的等腰三角
形是等边三角形的判定得出结论。
(3)通过证明△DCE 为等腰直角三角形得出(180150)
EBC 152
?-?∠==?,由(1)
1
EBC 302α∠=?-,从
而1
30152
α?-=?,解之即可。
2.(操作发现)
(1)如图1,△ABC 为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB 重合,再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ,在三角板斜边上取一点F ,使CF=CD ,线段AB 上取点E ,使∠DCE=30°,连接AF ,EF .
①求∠EAF 的度数;
②DE 与EF 相等吗?请说明理由; (类比探究)
(2)如图2,△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB 重合,再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°),旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ,在三角板另一直角边上取一点F ,使CF=CD ,线段AB 上取点E ,使∠DCE=45°,连接AF ,EF .请直接写出探究结果: ①∠EAF 的度数;
②线段AE ,ED ,DB 之间的数量关系.
【答案】(1)①120°②DE=EF;(2)①90°②AE2+DB2=DE2
【解析】
试题分析:(1)①由等边三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=60°,求出
∠ACF=∠BCD,证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=60°,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;
(2)①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=45°,证出∠ACF=∠BCD,由SAS证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=45°,AF=DB,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF;在Rt△AEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出结论.
试题解析:解:(1)①∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,
∠BAC=∠B=60°.∵∠DCF=60°,∴∠ACF=∠BCD.
在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),
∴∠CAF=∠B=60°,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②DE=EF.理由如下:
∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,∴∠FCE=60°﹣30°=30°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE 中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF;
(2)①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,
∠BAC=∠B=45°.∵∠DCF=90°,∴∠ACF=∠BCD.在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,
∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=45°,AF=DB,
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
②AE2+DB2=DE2,理由如下:
∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,∴∠FCE=90°﹣45°=45°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE 中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF.在Rt△AEF 中,AE2+AF2=EF2,又∵AF=DB,∴AE2+DB2=DE2.
3.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)请问EG与CG存在怎样的数量关系,并证明你的结论;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(请直接写出结果,不必写出理由)
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)结论仍然成立
【解析】
【分析】
(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG.
(2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点;再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明
△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG.
(3)结论依然成立.
【详解】
(1)CG=EG.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCF=90°.在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴CG=1
2
FD,
同理.在Rt△DEF中,EG=1
2
FD,∴CG=EG.
(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.
证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
在△DAG与△DCG中,∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△DAG≌△DCG(SAS),∴AG=CG;
在△DMG与△FNG中,∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,∴△DMG≌△FNG (ASA),∴MG=NG.
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°,∴四边形AENM是矩形,在矩形AENM中,AM=EN.在△AMG与△ENG中,∵AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,∴△AMG≌△ENG(SAS),∴AG=EG,∴EG=CG.
证法二:延长CG至M,使MG=CG,连接MF,ME,EC.在△DCG与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,∴△DCG≌△FMG,∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,∴MF∥CD∥AB,∴EF⊥MF.
在Rt△MFE与Rt△CBE中,∵MF=CB,∠MFE=∠EBC=90°,EF=BE,∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB,∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,∴△MEC为直角三角形.∵MG=CG,∴EG=1
2
MC,∴EG=CG.
(3)(1)中的结论仍然成立.理由如下:
过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N.
由于G为FD中点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM,又因为BE=EF,易证
∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°,∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°,∴△MEC是等腰直角三角形.∵G为CM中点,∴EG=CG,EG⊥CG
【点睛】
本题是四边形的综合题.(1)关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答;(2)关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答.
4.已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF⊥BD 交BC 于F,连接DF,G 为DF 中点,连接EG,CG.
(1) 求证:EG=CG;
(2) 将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转 45°,如图②所示,取DF 中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3) 将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
【答案】解:(1)CG=EG
(2)(1)中结论没有发生变化,即EG=CG.
证明:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
在△DAG与△DCG中,
∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴△DAG≌△DCG.
∴ AG=CG.
在△DMG与△FNG中,
∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG.
∴ MG=NG
在矩形AENM中,AM=EN.
在Rt△AMG 与Rt△ENG中,
∵ AM=EN, MG=NG,
∴△AMG≌△ENG.
∴ AG=EG
∴ EG=CG.
(3)(1)中的结论仍然成立.
【解析】
试题分析:(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG.
(2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点;再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明
△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG.
(3)结论依然成立.还知道EG⊥CG;
试题解析:
解:(1)证明:在Rt△FCD中,
∵G为DF的中点,
∴,
同理,在Rt△DEF中,,
∴CG=EG;
(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG;
连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点,如图所示:
在△DAG与△DCG中,
∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DC=DC,
∴△DAG≌△DCG,
∴AG=CG,
在△DMG与△FNG中,
∵∠DGM=∠FGN,DG=FG,∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG,
∴MG=NG,
在矩形AENM中,AM=EN.,
在Rt△AMG与Rt△ENG中,
∵AM=EN,MG=NG,
∴△AMG≌△ENG,
∴AG=EG,
∴EG=CG,
(3)(1)中的结论仍然成立,即EG=CG且EG⊥CG。
过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N,如图所示:
由于G为FD中点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM,
又因为BE=EF,易证∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°,
∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°,
∴△MEC是等腰直角三角形,
∵G为CM中点,
∴EG=CG,EG⊥CG。
【点睛】本题解题关键是作出辅助线,且利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质,难度较大。
5.如图:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠PCQ=45°,把∠PCQ绕点C旋转,在整个旋转过程中,过点A作AD⊥CP,垂足为D,直线AD交CQ于E.
(1)如图①,当∠PCQ在∠ACB内部时,求证:AD+BE=DE;
(2)如图②,当CQ在∠ACB外部时,则线段AD、BE与DE的关系为_____;
(3)在(1)的条件下,若CD=6,S△BCE=2S△ACD,求AE的长.
【答案】(1)见解析(2)AD=BE+DE (3)8
【解析】
试题分析:(1)延长DA到F,使DF=DE,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出∠ACF=∠BCE,然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等,根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得证;
(2)在AD上截取DF=DE,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出∠ACF=∠BCE,然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等,根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得到AD=BE+DE;
(3)根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD,然后求出AD的长,再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解.试题解析:(1)证明:如图①,延长DA到F,使DF=DE.∵CD⊥AE,∴CE=CF,
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°,∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°.又∵∠ACB=90°,∠PCQ=45°,∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°,∴∠ACF=∠BCE.在△ACF和△BCE中,
∵
CE CF
ACF BCE
AC BC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,∴△ACF≌△BCE(SAS),∴AF=BE,∴AD+BE=AD+AF=DF=DE,即
AD+BE=DE;
(2)解:如图②,在AD上截取DF=DE.∵CD⊥AE,∴CE=CF,
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°,∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°,∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°.又
∵∠ACB =90°,∴∠ACF +∠BCF =90°,∴∠ACF =∠BCE .在△ACF 和△BCE 中,
∵CE CF ACF BCE AC BC =??
∠=∠??=?
,∴△ACF ≌△BCE (SAS ),∴AF =BE ,∴AD =AF +DF =BE +DE ,即AD =BE +DE ;
故答案为:AD =BE +DE .
(3)∵∠DCE =∠DCF =∠PCQ =45°,∴∠ECF =45°+45°=90°,∴△ECF 是等腰直角三角形,∴CD =DF =DE =6.∵S △BCE =2S △ACD ,∴AF =2AD ,∴AD
=
1
12
+×6=2,∴AE =AD +DE =2+6=8.
点睛:本题考查了全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰直角三角形的性质,综合性较强,但难度不是很大,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
6.如图1,菱形ABCD ,AB 4=,ADC 120∠=o ,连接对角线AC 、BD 交于点O ,
()1如图2,将AOD V 沿DB 平移,使点D 与点O 重合,求平移后的A'BO V 与菱形ABCD
重合部分的面积.
()2如图3,将A'BO V 绕点O 逆时针旋转交AB 于点E',交BC 于点
F ,
①求证:BE'BF 2+=;
②求出四边形OE'BF 的面积.
【答案】() 13?2①证明见解析3【解析】 【分析】
(1)先判断出△ABD 是等边三角形,进而判断出△EOB 是等边三角形,即可得出结论; (2)先判断出 ≌△OBF ,再利用等式的性质即可得出结论;
(3)借助①的结论即可得出结论. 【详解】
()1Q 四边形为菱形,ADC 120∠=o ,
ADO 60∠∴=o ,
ABD ∴V 为等边三角形,
DAO 30∠∴=o ,ABO 60∠=o ,
∵AD//A′O , ∴∠A′OB=60°,
EOB ∴V 为等边三角形,边长OB 2=,
∴重合部分的面积:3434
?=,
()2①在图3中,取AB 中点E ,
由()1知,∠EOB=60°,∠E′OF=60°, ∴∠EOE′=∠BOF ,
又∵EO=BO ,∴∠OEE′=∠OBF=60°, ∴△OEE′≌△OBF , ∴EE′=BF ,
∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2;
②由①知,在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF ,
∴S △OEE′=S △OBF ,
∴S 四边形OE′BF =OEB S 3=V .
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,综合性较强,熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.
7.如图①,在
ABCD 中,AB =10cm ,BC =4cm ,∠BCD =120°,CE 平分∠BCD 交AB 于点E .
点P 从A 点出发,沿AB 方向以1cm/s 的速度运动,连接CP ,将△PCE 绕点C 逆时针旋转60°,使CE 与CB 重合,得到△QCB ,连接PQ . (1)求证:△PCQ 是等边三角形;
(2)如图②,当点P 在线段EB 上运动时,△PBQ 的周长是否存在最小值?若存在,求 出△PBQ 周长的最小值;若不存在,请说明理由;
(3)如图③,当点P在射线AM上运动时,是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形?
若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(1)(2)
(3)
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,理由见解析;(3)t为2s或者14s.
【解析】
分析:(1)根据旋转的性质,证明△PCE≌△QCB,然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可;
(2)利用平行四边形的性质证得△BCE为等边三角形,然后根据全等三角形的性质得到△PBQ的周长为4+CP,然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可;
(3)根据点的移动的距离,分类讨论求解即可.
详解:(1)∵旋转
∴△PCE≌△QCB
∴CP=CQ,∠PCE =∠QCB,
∵∠BCD=120°,CE平分∠BCD,
∴∠PCQ=60°,
∴∠PCE +∠QCE=∠QCB+∠QCE=60°,
∴△PCQ为等边三角形.
(2)存在
∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=60 ,
∵在平行四边形ABCD 中,
∴AB∥CD
∴∠ABC=180°﹣120°=60°
∴△BCE为等边三角形
∴BE=CB=4
∵旋转
∴△PCE≌△QCB
∴EP=BQ,
∴C△PBQ=PB+BQ+PQ
=PB+EP+PQ
=BE+PQ
=4+CP
∴CP⊥AB时,△PBQ周长最小
当CP⊥AB时,CP=BCsin60°=
∴△PBQ周长最小为4+
(3)①当点B与点P重合时,P,B,Q不能构成三角形
②当0≤t<6时,由旋转可知,
∠CPE=∠CQB,
∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=60°
则:∠BPQ+∠CQB=60°,
又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ=180°
∴∠CBQ=180°—60°—60°=60°
∴∠QBP=60°,∠BPQ<60°,
所以∠PQB可能为直角
由(1)知,△PCQ为等边三角形,
∴∠PBQ=60°,∠CQB=30°
∵∠CQB=∠CPB
∴∠CPB=30°
∵∠CEB=60°,
∴∠ACP=∠APC=30°
∴PA=CA=4,
所以AP=AE-EP=6-4=2
÷=s
所以t=212
③当6<t<10时,由∠PBQ=120°>90°,所以不存在
④当t>10时,由旋转得:∠PBQ=60°,由(1)得∠CPQ=60°
∴∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=60°+∠BPC,
而∠BPC>0°,
∴∠BPQ>60°
∴∠BPQ=90°,从而∠BCP=30°,
∴BP=BC=4
所以AP=14cm
所以t=14s
综上所述:t为2s或者14s时,符合题意。
点睛:此题主要考查了旋转图形变化的应用,结合平行四边形、等边三角形、全等三角形
的判定与性质,进行解答即可,注意分类讨论思想的应用,比较困难.
8.(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,连结DF、CF.
(1)如图1,当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系(不用证明);
(2)如图2,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
(3)如图3,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时,若AD=1,AC=,求此时线段CF的长(直接写出结果).
【答案】(1)相等和垂直;(2)成立,理由见试题解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF,根据
∠DFE=2∠DCF,∠BFE=2∠BCF,得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°,DF⊥BF;
(2)延长DF交BC于点G,先证明△DEF≌△GCF,得到DE=CG,DF=FG,根据AD=DE,AB=BC,得到BD=BG又因为∠ABC=90°,所以DF=CF且DF⊥BF;
(3)延长DF交BA于点H,先证明△DEF≌△HBF,得到DE=BH,DF=FH,根据旋转条件可以△ADH为直角三角形,由△ABC和△ADE是等腰直角三角形,AC=,可以求出AB的值,进而可以根据勾股定理可以求出DH,再求出DF,由DF=BF,求出得CF的值.
试题解析:(1)∵∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,∴DF=BE,CF=BE. ∴DF=CF.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.
∵BF=DF,∴∠DBF=∠BDF.
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF,∴∠DFE=2∠DBF.
同理得:∠CFE=2∠CBF,
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°.
∴DF=CF,且DF⊥CF.
(2)(1)中的结论仍然成立.证明如下:
如图,此时点D落在AC上,延长DF交BC于点G.
∵∠ADE=∠ACB=90°,∴DE∥BC.∴∠DEF=∠GBF,∠EDF=∠BGF.∵F为BE中点,∴EF=BF.∴△DEF≌△GBF.∴DE=GB,DF=GF.∵AD=DE,∴AD=GB.
∵AC=BC,∴AC-AD="BC-GB." ∴DC=GC.
∵∠ACB=90°,∴△DCG是等腰直角三角形.
∵DF=GF,∴DF=CF,DF⊥CF.
(3)如图,延长DF交BA于点H,
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∴AC=BC,AD=DE.
∴∠AED=∠ABC=45°.
∵由旋转可以得出,∠CAE=∠BAD=90°,
∵AE∥BC,∴∠AEB=∠CBE. ∴∠DEF=∠HBF.
∵F是BE的中点,∴EF="BF." ∴△DEF≌△HBF. ∴ED=HB.
∵AC=,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=4.
∵AD=1,∴ED=BH=1.∴AH=3.
在Rt△HAD中,由勾股定理,得DH=,
∴DF=,∴CF=.
∴线段CF的长为.
考点:1.等腰直角三角形的性质;2.全等三角形的判定和性质;3.勾股定理.
9.如图,△ABC是等边三角形,AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发,点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动,回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ.设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<3).
(1)当点N落在边BC上时,求t的值.
(2)当点N到点A、B的距离相等时,求t的值.
(3)当点Q沿D→B运动时,求S与t之间的函数表达式.
(4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2:3时t的值.
【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2;(4)
t=1或
【解析】
试题分析:(1)由题意知:当点N落在边BC上时,点Q与点B重合,此时DQ=3;(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,此时PD=DQ;
(3)当0≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN;当≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN.
(4)MN、MQ与边BC的有交点时,此时<t<,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后,即可求出t的值.
试题解析:(1)∵△PQN与△ABC都是等边三角形,
∴当点N落在边BC上时,点Q与点B重合.
∴DQ=3
∴2t=3.
∴t=;
(2)∵当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,
∴PD=DQ,
当0<t<时,
此时,PD=t,DQ=2t
∴t=2t
∴t=0(不合题意,舍去),
当≤t<3时,
此时,PD=t,DQ=6﹣2t
∴t=6﹣2t,
解得t=2;
综上所述,当点N到点A、B的距离相等时,t=2;(3)由题意知:此时,PD=t,DQ=2t
当点M在BC边上时,
∴MN=BQ
∵PQ=MN=3t,BQ=3﹣2t
∴3t=3﹣2t
∴解得t=
如图①,当0≤t≤时,
S△PNQ=PQ2=t2;
∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2,
如图②,当≤t≤时,
设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,
∵MN=PQ=3t,NE=BQ=3﹣2t,
∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3,
∵△EMF是等边三角形,
∴S△EMF=ME2=(5t﹣3)2
.
;
(4)MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,
此时<t<,
t=1或.
考点:几何变换综合题
10.正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD相交于点O,点E是AB边上的一个动点(点E不与点A、B重合),CE与BD相交于点F,设线段BE的长度为x.
(1)如图1,当AD=2OF时,求出x的值;
(2)如图2,把线段CE绕点E顺时针旋转90°,使点C落在点P处,连接AP,设△APE 的面积为S,试求S与x的函数关系式并求出S的最大值.
【答案】(1)x=﹣1;
(2)S=﹣(x﹣)2+(0<x<1),
当x=时,S的值最大,最大值为,.
【解析】
试题分析:(1)过O作OM∥AB交CE于点M,如图1,由平行线等分线段定理得到
CM=ME,根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到BF=BE=x,
求得OF=OM=解方程,即可得到结果;
(2)过P作PG⊥AB交AB的延长线于G,如图2,根据已知条件得到∠ECB=∠PEG,根据
全等三角形的性质得到EB=PG=x,由三角形的面积公式得到S=(1﹣x)?x,根据二次函数的性质即可得到结论.
试题解析:(1)过O作OM∥AB交CE于点M,如图1,
∵OA=OC,
∴CM=ME,
∴AE=2OM=2OF,
∴OM=OF,
∴,
∴BF=BE=x,
∴OF=OM=,
∵AB=1,
∴OB=,
∴,
∴x=﹣1;
(2)过P作PG⊥AB交AB的延长线于G,如图2,
∵∠CEP=∠EBC=90°,
∴∠ECB=∠PEG,
∵PE=EC,∠EGP=∠CBE=90°,
在△EPG与△CEB中,
,
∴△EPG≌△CEB,
∴EB=PG=x,
∴AE=1﹣x,
∴S=(1﹣x)?x=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,(0<x<1),
∵﹣<0,
∴当x=时,S的值最大,最大值为,.
考点:四边形综合题
11.如图1,是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD1E1叠放在一起.
(1)操作:固定△ABC,将△CD1E1绕点C顺时针旋转得到△CDE,连接AD、BE,如图2.探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?并请说明理由;
(2)操作:固定△ABC,若将△CD1E1绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连接AD、BE,CE 的延长线交AB于点F,在线段CF上沿着CF方向平移,(点F与点P重合即停止平移)平移后的△CDE设为△PQR,如图3.
探究:在图3中,除三角形ABC和CDE外,还有哪个三角形是等腰三角形?写出你的结论(不必说明理由);
(3)探究:如图3,在(2)的条件下,设CQ=x,用x代数式表示出GH的长.
【答案】(1)BE=CD.理由见解析;(2)△CHQ是等腰三角形;(3)2-x.
【解析】
试题分析:(1)根据等边三角形的性质可得AB=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,然后求出∠ACD=∠BCE,再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)求出∠ACF=30°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出
∠CHQ=30°,从而得到∠ACF=∠CHQ,判断出△CHQ是等腰三角形;
(3)求出∠CGP=90°,然后利用∠ACF的余弦表示出CG,再根据等腰三角形的性质表示出CH,然后根据GH=CG-CH整理即可得解.
试题解析:(1)BE=CD.
理由如下:∵△ABC与△CDE是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°.
∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE,
即∠BCE=∠ACD.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴BE=AD;
(2)∵旋转角为30°,
∴∠BCF=30°,
∴∠ACF=60°-30°=30°,
∴∠CHQ=∠RQP-∠ACF=60°-30°=30°,
∴∠ACF=∠CHQ,
∴△CHQ是等腰三角形;
(3)∠CGP=180°-∠ACF-∠RPQ=180°-30°-60°=90°,
∴CG=CP?cos30°=(x+4),
∵△CHQ是等腰三角形,
∴CH=2?CQcos30°=2x?=x,
∴GH=CG-CH=(x+4)-x=2-x.
考点:几何变换综合题.
12.在△ABC中,AB=AC,将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD,旋转角为,且,连接AD、BD.
(1)如图1,当∠BAC=100°,时,∠CBD 的大小为_________;
(2)如图2,当∠BAC=100°,时,求∠CBD的大小;
(3)已知∠BAC的大小为m(),若∠CBD 的大小与(2)中的结果相同,请直接写出的大小.
初中数学易错题 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是() A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是() A、2a B、2b b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度() A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有() A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是() A、两点确定一条直线 B、线段是直线的一部分 C、一条直线不是平角 D、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( ) A、当m≠3时,有一个交点 B、1 m时,有两个交点 ≠ ± C、当1 m时,有一个交点 D、不论m为何值,均无交点 = ± 7、如果两圆的半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且(d-r)2=R2,则
两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b (易错题精选)初中数学代数式难题汇编及答案 一、选择题 1.下列说法正确的是() A .若 A 、 B 表示两个不同的整式,则 A B 一定是分式 B .()2442a a a ÷= C .若将分式xy x y +中,x 、y 都扩大 3 倍,那么分式的值也扩大 3 倍 D .若35,34m n ==则253 2m n -= 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质解答即可. 【详解】 A. 若 A 、B 表示两个不同的整式,如果B 中含有字母,那么称 A B 是分式.故此选项错误. B. ()244844a a a a a ÷=÷=,故故此选项错误. C. 若将分式xy x y +中,x 、y 都扩大 3 倍,那么分式的值也扩大 3 倍,故此选项正确. D. 若35,34m n ==则()22253 332544 m n m n -=÷=÷=,故此选项错误. 故选:C 【点睛】 本题考查的是分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质,熟练掌握各定义、性质及运算法则是关键. 2.若2m =5,4n =3,则43n ﹣m 的值是( ) A .910 B .2725 C .2 D .4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据幂的乘方和同底数幂除法的运算法则求解. 【详解】 ∵2m =5,4n =3, ∴43n﹣m= 3 4 4 n m = 3 2 (4) (2) n m = 3 2 3 5 = 27 25 故选B. 【点睛】 本题考查幂的乘方和同底数幂除法,熟练掌握运算法则是解题关键. 3.下列各运算中,计算正确的是( ) A.2a?3a=6a B.(3a2)3=27a6 C.a4÷a2=2a D.(a+b)2=a2+ab+b2 【答案】B 【解析】 试题解析:A、2a?3a=6a2,故此选项错误; B、(3a2)3=27a6,正确; C、a4÷a2=a2,故此选项错误; D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故此选项错误; 故选B. 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识,正确化简各式是解题关键. 4.下列计算正确的是() A.a2+a3=a5B.a2?a3=a6C.(a2)3=a6D.(ab)2=ab2 【答案】C 【解析】 试题解析:A.a2与a3不是同类项,故A错误; B.原式=a5,故B错误; D.原式=a2b2,故D错误; 故选C. 考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法. 5.如果多项式4x4+ 4x2+A是一个完全平方式,那么A不可能是(). A.1 B.4 C.x6D.8x3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据完全平方式的定义,逐一判断各个选项,即可得到答案. 【详解】 ∵4x4+ 4x2+1=(2x+1)2, ∴A=1,不符合题意, ∵4x4+ 4x2+ 4不是完全平方式, 人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案 一、选择题 1.若a b +=1ab =,则33a b ab -的值为( ) A .± B . C .± D .【答案】C 【解析】 【分析】 将原式进行变形,3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-,然后利用完全平方公式的 变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值,从而求解. 【详解】 解:∵3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+- ∴33)a b b ab a =-- 又∵22()()4a b a b ab -=+- ∴22()414a b -=-?= ∴2a b -=± ∴33(2)a b ab =±=±- 故选:C . 【点睛】 本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用,掌握公式结构灵活变形是解题关键. 2.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( ). A .()x a b ax bx -=- B .()()222111x y x x y -+=-++ C .()()2111x x x -=+- D .()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答.把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 【详解】 解:A 、是整式的乘法运算,故选项错误; B 、右边不是积的形式,故选项错误; C 、x 2-1=(x+1)(x-1),正确; D 、等式不成立,故选项错误. 故选:C . 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义,明确因式分解的结果应是整式的积的形式. 初中数学 易错题专题 一、选择题(本卷带*号的题目可以不做) 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千M/小时,逆流航行时(m-6)千M/小时,则水流速度( ) A 、2千M/小时 B 、3千M/小时 C 、6千M/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,图像有一个交点 B 、1±≠m 时,肯定有两个交点 C 、当1±=m 时,只有一个交点 D 、图像可能与x 轴没有交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b A 、-1 B 、1 C 、0 D 、不存在 10、2 1的倒数的相反数是( ) A 、-2 B 、2 C 、-21 D 、2 1 11、若|x|=x ,则-x 一定是( ) A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、非正数 12、两个有理数的和除以这两个有理数的积,其商为0,则这两个有理数为( ) A 、互为相反数 B 、互为倒数 C 、互为相反数且不为0 D 、有一个为0 13、长方形的周长为x ,宽为2,则这个长方形的面积为( ) A 、2x B 、2(x-2) C 、x-4 D 、2·(x-2)/2 14、“比x 的相反数大3的数”可表示为( ) A 、-x-3 B 、-(x+3) C 、3-x D 、x+3 15、如果0 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 数学错题集 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是-----------------------------() A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是--------------------() A、2a B、2b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度-----------------() A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有---------------------------------------------------------() A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是-------------------------------------------------------------------()a b(易错题精选)初中数学代数式难题汇编及答案
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