E C
A B
D P
平行垂直的判定性质定理
一、线面平行
1、直线和平面平行的判定定理：
⑴平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
即 ,////a b a a b ααα??????
1、已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．求证：PC ∥平面BDE ；
2、直线和平面平行的性质定理:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
即 //l l m m β
αβ????=?
二、两平面平行———没有公共点
1、两个平面平行的判定定理:
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
即
////a b a b P a b αββααα?,?,=??//?,?
1、 如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证： 平面MNP ∥平面A 1BD .
2、两个平面平行的性质定理：
如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。 即
//,a b a b αβαγβγ//???==?
推论： ①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 即
,,,,//,//a b a b A m n m n B a m b n ααββαβ?,?=??=??//??
②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
即 ,l l αβαβ⊥⊥?//；
③平行于同一平面的两个平面平行。
//αγβγαβ//,?//
三、线面垂直 1、线面垂直判定定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面垂直。
即
,,,m n m n A l l m l n ααα??=??⊥?⊥⊥?
1、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ??=∠=∠=，点D ，E 分别在棱,PB PC
上，且//DE BC .求证：BC ⊥平面PAC ；
．
2、线面性质定理：垂直于一个平面的两条直线平行。
即 a a b b αα⊥??⊥?⊥?
四、面面垂直
1、面面垂直的判定定理： 一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直。
即
a a ααββ???⊥?⊥?
1、如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.求证：平面AEC PDB ⊥平面；
.
2、面面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
即 ,,l a a a l αβαββα⊥=??⊥??⊥?
两个平面平行的判定和性质（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面的位置关系． 2．两个平面平行的判定方法． (二)能力训练要求 1．等价转化思想在解决问题中的运用． 2．通过问题解决提高空间想象能力． (三)德育渗透目标 1．渗透问题相对论观点． 2．通过问题的证明寻求事物的统一性． ●教学重点 两个平面的位置关系；两个平面平行的判定． ●教学难点 判定定理、例题的证明． ●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程． 平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题． ●教具准备 投影片两张 第一张：(记作§9．5．1 A) 第二张：(记作§9．5．1 B)
●教学过程 Ⅰ．复习回顾 师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理． 性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题． 立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会． 下面继续研究面面位置关系． Ⅱ．讲授新课 1．两个平面的位置关系 除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系． ［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义． 定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． 如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线． 两个平面的位置关系只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． ［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β． 下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？ ［生］图(1)较直观，图(2)不直观． ［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？
命题、证明及平行线的判定定理（提高）知识讲解 【学习目标】 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】 要点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 要点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理
直线和平面垂直的性质定理 （1课时）李忠志 三维目标： 知识与技能 1、掌握直线与平面垂直的性质。 2、能运用性质定理解决一些简单问题。 3、了解垂直的判定定理与性质定理间的相互联系。 过程与方法 培养学生的直观能力，让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识，通过探索发现线面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、发散思维和类比的能力。 情感、态度与价值观 通过实物模型或学生自己制作模型进行操作演示，让学生参与到教学活动中来，激发学生的学习欲望和探究精神。 教学重点 直线与平面垂直的性质。 教学难点 性质定理的探求及证明中反证法的学习和掌握。 教学过程 一、问题引入： 问1：垂直于同一条直线的两条直线是否平行？为什么？ 问2：平行于同一条直线的两条直线是否平行？为什么？
问3：平行于同一平面的两条直线是否平行？为什么？ 问4：垂直于同一平面的两条直线是否平行？为什么？ 问5：若a α⊥，b α?，则a b ⊥吗？ 问6：若a b ∥，a α⊥，则b α⊥吗？ 问7：问5的逆命题成立吗？即 a α⊥，b α⊥，则a b ∥吗？ 二、推进新课： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条 直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行。 已知：如图，,a b αα⊥⊥ 求证：//a b 证明：（反证法）假定b 不平行于a ，则b 与a 相交或异面； （1）若a 与b 相交，设a b A = ， ∵,a b αα⊥⊥ ∴过点A 有两条直线与平面α垂直， 此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾， ∴a 与b 不相交； （2）若a 与b 异面，设b O α= ，过O 作//b a '， ∵a α⊥ ∴b α'⊥ 又∵b α⊥且b b O '= ， ∴过点O 有直线b '和b 垂直于α与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾， ∴b 与a 不异面，综上假设不成立， ∴//a b ．
线面平行的判定定理和性质定理 教学目的： 1. 掌握空间直线和平面的位置关系； 2. 直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定 掌握理实现“线线”“线面”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排： 1 课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面 平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3 节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是 这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入：
1 空间两直线的位置关系 （ 1 ）相交；（ 2 ）平行；（ 3）异面 2. 公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式： a // b,b // c a // c ． 3. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4. 等角定理的推论 : 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ,那么这两条直线 所成的锐角 (或直角 )相等 . 5. 空间两条异面直线的画法 a b b D 1 C 1 b a a A 1 B 1 D C A B 6. ．异面直线定理： 连结平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式： A , B ,l , B l AB 与 l 是异面直线 7. ．异面直线所成的角： 已知两条异面直线 a, b ，经过空间任一点 O a b ′ 作直线 a // a, b // b ， a , b 所成的角的大小与点 O 的选择无关，把 b O a , b 所成的锐角 （或直角） 叫异面直线 a, b 所成的角 （或夹角）．为 了简便，点 O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围： (0, ] 2 8. ．异面直线垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角， 则叫两条异面直线垂直． 两
七年级下册第五章 相交线与平行线的判定定理及应用 1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这 种关系的两个角，互为_____________. 2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两 边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为__________.对顶角的性质：______ _________. 3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______. 垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________. 4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________. 5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个 角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________. 6.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关 系只有________与_________两种. 7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 8.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平 行.简单说成：_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： ________________________________________.
文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 符号语言：α?a ，α?b ，且b a //α//a ?． 图形语言： 定理二（平面与平面平行的判定定理） 文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 符号语言：β?a ，β?b ，P b a = ，α//a ，α//b αβ//?． 图形语言： 定理三（直线与平面平行的性质定理） 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． 符号语言：α//a ，β?a ，且b =βα b a //?． 图形语言： 证明：因为b =βα ，所以α?b ． 又因为α//a ，所以a 与b 无公共点． 又因为β?a ，β?b ，所以b a //． 定理四（平面与平面平行的性质定理） 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言：βα//，a =γα ，b =γβ b a //?． 图形语言： α b a P βα b a a α βa b αγ a b αβ
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号语言：a c ⊥，b c ⊥，P b a = ，α?a ，α?b α//c ?． 图形语言： 定理六（平面与平面垂直的判定定理） 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号语言：α⊥a ，β?a ，αβ⊥?． 图形语言： 定理七（直线与平面垂直的性质定理） 文字语言：垂直于同一平面的两条直线平行． 符号语言：α⊥a ，α⊥b b a //?． 图形语言： 定理八（平面与平面垂直的性质定理） 文字语言：对于两个相互垂直的平面，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面． 符号语言：βα⊥，m =βα ，β?a ，m a ⊥α⊥?a ． 图形语言： c a b αP αβa αb a βa m α
《平行线的性质定理》教案 学习目标 1、理解和总结证明的一般步骤、格式和方法. 2、探索平行线的性质定理的证明，培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力. 3、结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论. 教学重难点 平行线的性质公理及定理. 教学过程 【温故知新】 (一)、知识链接：(两条直线平行的判定定理) 1、同位角相等，两直线平行 2、内错角相等，两直线平行 3、同旁内角互补，两直线平行 4．下列不能使两直线平行的是( ) A.内错角相等 B.同旁内角互补 C.对顶角相等 D.同位角相等 (二)、导学释疑： 证明：已知：如图所示，直线a∥b，直线c和直线a、b相交. 求证：∠2=∠3. 平行线的性质1定理：两直线平行，同位角相等. 【合作探究】 探究一、已知：如图所示，直线a∥b，直线c和直线a、b相交. 求证：∠1=∠2. 平行线的性质2定理：两直线平行，内错角相等. 探究二、两直线平行，同旁内角互补
(1)根据这一定理的文字叙述，你能作出相关图形吗？ (2)你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ (3)你能说说证明的思路吗？并试着写出证明过程. 平行线的性质3定理：两直线平行，同旁内角互补. 【做一做】 已知：如图所示，直线a∥b，a∥c，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角. 求证：b∥c. 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 【总结提升】 总结规律：根据本节课的学习，你能说说命题证明的一般步骤吗？ (1)根据题意画出图形；(若已给出图形，则可省略) (2)根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证； (3)经过分析，找出已知退出求证的途径，写出证明过程； (4)检查证明过程是否正确完善. 【当堂检测】 完成课本50页随堂练习.
7.3平行线的判定 【知识沙盘】 【学习目标】 1.会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来规范证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”. 2.能用平行线的判定解决一些简单的问题. 【重点】1. 能规范证明平行线的判定定理. 2.平行线判定定理的简单应用. 【难点】用数学语言和符号语言对文字命题的表述. 【学情分析】 经过前面的学习我们发现，我们得打的任何一个结论都要有依据。而我们根据这些“依据”推理、证明，从而得到结论的过程叫做证明。在“同位角相等，两直线平行”的基本事实下，我们将通过演绎推理得到“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直
线平行”，从而得到平行线的判定定理. 【教学过程】 一、导入 你能用折纸的方法折出两条平行线吗？你的依据是什么？通过前面的学习，我们知道了“同位角相等，两直线平行”的基本事实，那我们能利用它证明另外两个判定定理吗？让我们一起来探究吧！ 二、自主学习 阅读并完成学习指导书的知识储备，完成【自主学习】A级和B级. 三、交流研讨 出示答案，自主订正 四、精讲部分 （一）不讲内容： ①知识储备、归类总结 ②A级1,2 （二）略讲内容： ①B级 3 3.蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中 o = B70 = ∠.试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论. D ∠ = C A110 = ∠ ∠，o
直线平行） （同旁内角互补，两ＢＤ（等式的性质） Ｂ（已知） Ｂ，直线平行） （同旁内角互补，两（等式的性质） （已知） ，理由：ＢＤ解：C A A A DC AB D A D A C A DC A B O O //18070110//18070110////o o o o ∴=∠+∠∴=∠=∠∴=∠+∠∴=∠=∠ （三）精讲内容： ① C 级 4 4.如图，点Ｄ，Ｅ分别在AB 和AC 上，.ABC BE ∠平分 （１）若DEB DBE ∠=∠,求证：BC DE //. （２）若BC DE //，求证：BDE ?为等腰三角形. （３）在(1)的条件下，若O EBC 25=∠，求BDE ∠的度数．
, 直线与平面垂直的性质 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α B ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直 C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行 D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直 2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) , ① ?????m ∥n m ⊥α?n ⊥α； ② ? ????m ⊥αn ⊥α?M ∥n ； ③ ?????m ⊥αn ∥α?M ⊥n; ④ ?????m ∥αm ⊥n ?n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ?α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( ) A ．PE >PG >PF B ．PG >PF >PE C ．PE >PF >PG D ．PF >P E >PG 4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( ) . A ．PA ⊥BC B ．B C ⊥平面PAC C ．AC ⊥PB D ．PC ⊥BC 5．下列命题： ①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( ) ' A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 二、填空题 7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________． 8．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号) ①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 9．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________． 、
平行线的判定定理和性质定理 [一]、平行线的判定 一、填空 1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2．若a⊥c，b⊥c，则a b ． 3．如图２，写出一个能判定直线a ∥b 的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。 6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由： （1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）； （3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ） 8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ． 9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空： （1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）； 二、解答下列各题 11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥C F ． A C B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B C E D 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E 图８ E B A F D C 图９ A D C B O 图５ 图６ 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图７ 5 4 3 2 1 A D C B
E C A B D P 平行垂直的判定性质定理 一、线面平行 1、直线和平面平行的判定定理： ⑴平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 即 ,////a b a a b ααα?????? 1、已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．求证：PC ∥平面BDE ； 2、直线和平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 即 //l l m m β αβ????=?
二、两平面平行———没有公共点 1、两个平面平行的判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 即 ////a b a b P a b αββααα?,?,=??//?,? 1、 如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证： 平面MNP ∥平面A 1BD . 2、两个平面平行的性质定理： 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。 即 //,a b a b αβαγβγ//???==? 推论： ①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 即 ,,,,//,//a b a b A m n m n B a m b n ααββαβ?,?=??=??//??
②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 即 ,l l αβαβ⊥⊥?//； ③平行于同一平面的两个平面平行。 //αγβγαβ//,?// 三、线面垂直 1、线面垂直判定定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面垂直。 即 ,,,m n m n A l l m l n ααα??=??⊥?⊥⊥? 1、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ??=∠=∠=，点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC .求证：BC ⊥平面PAC ； ．
八年级上册数学《平行线的性质定理和判定定理》学案学习目标： 1.进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式 2.会根据“两直线平行，同位角相等”证明平行线的其它性质定理 3.正确区别平行线的判定和性质. 重点：平行线的性质定理和判定定理的应用. 难点：推理过程的规范化表达和灵活应用． 【预习检测】 1.如图a∥b，写出相等的同位角： . 写出相等的内错角， 写出互补的同旁内角 1.如图a∥b，∠1=68°，那么∠2的度数为 . 2.如图，∠ 1和∠ 2是直线a 、b被直线c截出的内错角，且∠ 1= ∠ 2，则a与b平行吗？你能说说理由吗？ a∥b . ∵∠1=∠2 （） ∠1=∠3 ( ) ∠2=∠3 （） ∴a∥b （） 课堂学习案
一、典例导学 模仿例1、例2的证明 试一试，证明平行线的判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（简称：同旁内角互补，两条直线平行）。二、交流与发现 命题1：同位角相等，两直线平行 命题2：两直线平行，同位角相等 观察这两个命题，你有什么发现？ 两个命题中，如果第一个命题的______是第二个命题的______，而第一个命题的______又是第二个命题的______，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题称为原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 练习题：说出下列命题的逆命题，并与同学交流： ①轴对称图形是等腰三角形； ②等角的补角相等； ③直角三角形的两个锐角互余； ④正方形的4个角都是直角. 如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的-------------------三、自主应用 1.已知：如图∠1=∠2，∠3=1000，求∠4的度数. 2.已知：如图a∥b，b∥c. 求证：a∥c.
授课人修世刚备课时间 3.26 上课时间 4.2 执教班级7.6 课题平行线的性质定理 教学课时 1 教学课型（新授、复习、 习题、实验等） 新授课 教学目标 一）教学知识点 1.平行线的性质定理的证明. 2.证明的一般步骤. （二）能力训练要求 1.经历探索平行线的性质定理的证明.培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力. 2.结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论.并能总结归纳出证明的一般步骤. （三）情感与价值观要求 通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性. 教学重点、难点(一)重点在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导． (二)难点推理过程的规范化表达． 媒体运 用 电子白板 预设过程（应包括课程导入、预习自学、展示交流、当堂练习检测等）
Ⅰ.巧设现实情境，引入新课 ［师］上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系.其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？ 这节课我们就来研究“如果两条直线平行”. Ⅱ.讲授新课 ［师］在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成： 两直线平行，同位角相等. 下面大家来分组讨论 议一议：利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？ ［生甲］利用“两条直线平行，同位角相等”可以证明：两条直线平行，内错角相等. ［生乙］还可以证明：两条直线平行，同旁内角互补. ［师］很好.下面大家来想一想： （1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？ （2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ （3）你能说说证明的思路吗？ 图1
§2.3.4平面与平面垂直的性质 教学目标： 1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定 2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理 3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认，获得对性质定理的认识 教学重、难点： 重点：理解和掌握面面垂直的性质定理和推导 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： 师：好，在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直的定义和判定。我们了解到两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 这是面面垂直的定义，假设我们把定义中的条件和结论交换，也就是说两个平面垂直，那么它们所成的二面角是直二面角这个命题是成立的。 而判定定理是：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。这是通过线面垂直得到的面面垂直，那么能否通过面面垂直得到线面垂直呢？而这一问题就是这就可要研究的： （§2.3.4平面与平面垂直的性质）
那我们来探究这样一个问题：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，能否在黑板所在的平面作一条直线与地面垂直？ 现在把这个问题数学符号化： 已知：α⊥βα∩β=CD 求证：β一直线与α垂直 在右边把这两个平面的形象图作出来： 分析：要证明一条直线与一个平面垂直，这就需要证明这条直线与平面的两条相交直线垂直，这是前面学的直线与平面垂直的判定定理，那么就需要在这个平面找两条相交直线都与这条直线垂直，那不妨在β作BE⊥CD于点B,在α过点B作AB⊥CD
证明： 在β作BE⊥CD于点B，在α过点B作AB⊥CD BE⊥CD ABE为直二面角 α⊥βα∩β=CD AB⊥BE CD⊥BE BE⊥α AB∩CD＝B 这样上面的问题就得以解决证明 像这样的，两个平面垂直，其中一个平面一条直线垂直于两个平面的交线，那么这条直线垂直与另一个平面，我们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一平面垂直。 我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直，前面所学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直，这些转化关系在以后解题中有很大的作用，所以啊在解题的时候同学们需要抓住解题的关键之处。 接下来看到书上第二个思考题 思考一：设α⊥β，点P在平面α，过点P 作β的垂线a，那么直线a与α有什么位置关系？
教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面 ”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． a α?，a A α=，//a α． a α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m l m l ααα???． 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾，
第二讲：三角形一边的平行线性质定理 一、知识要点： 1复习、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比， （2） （1） D C B A D C B A 如图（1）： ABD ADC S BD S DC = 如图（2）：若A D ∥BC,则 ADC ABC S AD S BC = 2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 如图（1），若D E ∥BC ，则 AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE AB AC = 1 ＝＝特殊地：EC AE DB AD ， 如图（2），若D E ∥BC ，则 AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DA EB DC = E D E （2） （1） C B A D C B A 3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则 AD DE AE AB BC AC == ; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则 AB BC AC AE DE AD == .
小试牛刀： 选择题 1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，所用的思想方法是（ ） A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立 B 、利用平行线性质 C 、利用三角形全等 D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比 一、填空题 1、 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC 2、 已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则 AC=____________ 3、 已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5 厘米，则AC=_______厘米。 4、 如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________. 5、 如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD 相交于点O ，则EO:OB=____________。 第1题 E D C B A 第4题 O D C B A O E D C B A 二、典型例题： 例1、 如图所示，D E ∥AB,EF ∥BC ，AF=5厘米，FB=3厘米，CD=2厘米。求BD 。 F E D C B A
面面垂直性质定理及习题《必修2》1.2.4 一、学习目标撰稿：第四组审稿：高二数学组时间：2009-9-8 1．理解面面垂直的性质定理 2．会用性质定理解决有关问题 3．线线、线面、面面之间的位置关系及相互转化 4．利用面面位置关系解决有关问题 二、学习重点 面面垂直的性质定理及应用 学习难点 “线线、线面、面面”判定及性质定理的应用 三、知识链接 1．面面垂直的判定定理 2．面面平行的判定与性质定理 3．直线与面平行、垂直的判定与性质定理 四、学习过程 1．回顾上节内容，问：如果两个平面垂直，那么一个面内的直线是否一定垂直于另一个平面？ 通过以上讨论，得平面与平面垂直的性质定理 （1）符号语言： （2）图形语言： 2．如何对定理加以证明： 性质定理体现了什么关系？ 它反映了面面垂直与线面垂直之间的密切关系，两者可以互相转化。 3．对性质定理的应用 例：P44 练习4
拓展：P43 例3 五、基础达标 1、判断下列命题是否正确，说明理由： （1）若α⊥β，α⊥γ，则α∥β （2）若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ （3）若α∥α1，β∥β1，α⊥β，则α1⊥β1。 2、如图α，β，γ，为平面，α∩β＝l,α∩γ＝a, β∩γ＝b,l⊥γ,指出图中哪个角是二面角 α-l-β的平面角，并说明理由。 3、判断下列说法是否正确： （1）若平面α内的两条相交直线分别平面β内的两条相交直线，则平面α平行与平面β；（2）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行； 4、已知平面α、β直线l,且α∥β，l?α，且l∥α,求证：l∥β。 5、（1）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直线与该平面的位置关系；
8.4平行线的判定定理 7数导—010 授课时间：2014年3月日班级：姓名： 一、学习目标 1、掌握平行线的性质定理“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补” 2、在与前一节判定定理的联系中，体会互逆的思维过程。 3、进一步理解证明的基本步骤和书写格式。 4、发展学生的初步的演绎推理能力。 二、重难点 重点：平行线的性质定理。 难点：明确推理证明每一步的理论依据，证明格式和步骤的规范性。 三、学习过程： （探究一）两直线平行的性质定理1：两直线平行，同位角相等 结合学习目标独立思考，翻看课本48—49页了解性质定理一的证明过程，由此，我们可以得到两直线平行的第一个性质定理： （探究二）两直线平行的性质定理2：两直线平行，内错角相等 （1）你能将命题“两直线平行，内错角相等”用“如果…那么…”的形式表示出来吗？请写出来。 （2）通过（1）的表示，请找出该命题中的条件和结论。 条件： 结论： （3）通过（2）的条件和结论，你能写出已知、求证吗？并根据已知画出几何图形和完成证明过程中的填空。 已知： 求证： 证明：∵a∥b（） ∴∠3=∠2 （） ∵∠1=∠3（） ∴∠1= （） 由此，我们可以得到两条直线平行的第二个性质定理： （探究三）两直线平行的性质定理3：两直线平行，同旁内角互补 独立思考，脱离课本完成下列问题： （1）、通过定理“两直线平行，内错角相等”的学习，你能结合图形直接写出命题“两直线平行，同旁内角互补”的证明过程吗？试试看。已知：如图a∥b，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的同旁内角。 求证：∠1+∠2=180° 证明： 由此，我们可以得到两条直线平行的第三个性质定理： 预习自测 1、如图a∥b，写出相等的同位角： . 写出相等的内错角：， 写出互补的同旁内角： 2、如图a∥b，∠1=68°，那么：∠2的度数为 3、如图，已知：DE∥BC，∠ABC=52°，∠BED=18° 求：∠ABE的度数 四.课堂学习 1、小组展示探究二的证明过程，进一步规范证明定理的基本步骤。 2、小组展示探究三的证明过程。你还能用其他方法求证吗？组内交流。
一、学习内容：平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理 二、学习目标： 1、熟练掌握平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理 2.能对平行线的判定、性质进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中． 三、学习重难点 重点：平行线的判定性质公理及定理. 难点：推理过程的规范化表达. 四、学习方法：教师精讲点拨与学生自主探究相结合 五、使用课时：2课时 六、学习导航 考点一 平行线的判定公理 1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角. 例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？ 当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。 例2．请将下面的空补充完整 1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（） 若∠3=∠4，则_________∥_________（） 若∠5=∠B，则_________∥_________（） 若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（） 2．如右图，∠1+∠2=180°（已知） ∠3+∠2=180°（） ∴∠1=_________ ∴AB∥CD（） 课堂练习： 1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°, 求证：AB∥C D． 2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．
求证：∠ABC +∠CDE =∠BCD ． （1） （2） 3．如图，如果AB ∥CD ，求角α、β、γ与180o之间的关系式． 4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC ， 求：∠ EDC 和 ∠BDC 的度数。 达标训练： 一．选择题 1．下列命题中，不正确的是( ) A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( ) A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CD C ．∠3=∠4 D ．∠A =∠C 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 二．填空题 5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________． α γ βE D C B A
兰高学校中学部电子备课 2015-2016 学年第一学期 学校兰高中学课题8.5 平行线的性质定理 授课人 课时 1 课 教 型 具 新授 班班通 原设计者授课时 间 3.23 7.3 第4 节7.4 第1 节 教学1、初步了解证明的基本步骤和书写格式； 目标 会根据“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，同旁内角互补”“两直线平行，内错角相等”，并能简单应用这些结论。 重点证明的步骤和书写格式必须严谨 难点证明的步骤和书写格式必须严谨 教学过程（包括课程导入、新课解析、例题精讲、课堂练习、作业设计等） 一、创设问题情境，导入新课 议一议： 利用“两直线平行，同位角相等”这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？ 一起探究：平行线的性质定理-------- 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．这一定理可以简单说成：两直线平行，内错角相等。 2、想一想：
（1））根据上述定理的文字叙述，你能指出定理的条件和结论，并画出图形吗？（2））你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ （3））你能说说你的证明思路,并写出证明过程 吗？二、自主学习，合作探究 1、已知：如图，直线 a ∥b，∠1 和∠2 是直线a，b 被直 线 c 截出的内错角， 求证：∠1=∠2 分析：由a∥b 可推出∠2=∠3，而∠1 =∠3，即可同等量代 换推出∠1=∠2， 证明:∵a∥b(已知), ∴∠2 = ∠3 (两直线平行, 同位角相等). ∵∠1 = ∠3(对顶角相等), ∴∠1 = ∠2(等量代换). 2、做一做 证明定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 这一定理可以简单说成：两直线平行，同旁内角互补。已 知：如图，直线a∥b，∠1 和∠2 是直线a，b 被直线c 截出的同旁内角。 求证：∠1 + ∠2=180 °. 请你写成证明过程。 三、交流展示，教师点拨