开卷教育联盟2020届全国高三模拟考试（三）
数学（文科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题黑处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{}{}1,0,1,2,11A B x x =-=-≤，则A B ?=（ ）
A.{}0
B.{}0,1
C.{}1,0,1-
D.{}0,1,2
2.已知复数()()23z i i =+-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知()2ln33,33ln3,ln3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A.c b a <<
B.c a b <<
C.a c b <<
D.a b c <<
4.如果昨天是明天就好了，那今天就是星期天了！请问：今天到底是那一天？（ ）
A.星期一
B.星期二
C.星期五
D.星期六
5.平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，则AE BF +=u u u r u u u r （ ）
A.1122AB AD +u u u r u u u r
B.1322AB AD +u u u r u u
u r
C.3122AB AD +u u u r u u u r
D.3322AB AD +u u u
r u u u r
6.菱形ABCD 中，3A π
∠=，在菱形中任取一点，则该点取自其内切圆内的概率是（
）
7.已知函数()()sin f x A x ω=+?的图像如图，则()f x 的解析式为（ ）
A.()2sin 23f x x π?
?=+ ??? B.2()2sin 23f x x π??=+ ??
? C.()2sin 6f x x π?
?=- ??? D.2()2sin 3f x x π??=- ???
8.在数列{}n a 中，110,sin 2
n n n a a a +π=-=，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S =（ ） A.0 B.1010 C.2020 D.3030
9.如图，记图中正方形介于两平行线x y a +=与1x y a +=+之间的部分的面积为()S S a =，则()S a 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
10.已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ?是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
11.已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 是11A B 的中点，则AD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ）
A.5
B.5
C.10
D.10
12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =，且()f x 的导函数'()f x 满足'()1f x >，则不等式()()ln ln f x ex <的解集为（ ）
A.()0,1
B.()1,e
C. ()0,e
D.(),e +∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若,x y 满足约束条件220100x y x y x y --≤??++≥??-≤?
，则2z x y =+的最小值为________.
14.记(){},1D x y x y =+≤，命题():,,22p x y D x y ?∈-≤，命题()22:,,1q x y D x y ?∈+≤，下面给出四个命题：①p q ∨，②p q ?∨，③p q ∧?，④p q ?∧?，其中真命题的个数是_________.
15.等比数列{}n a 中，56,a a 是方程2420x x -+=的两根，则2122210log log ...log a a a +++=_________.
16.已知抛物线()2:20C y px p =>，圆心C 在上的圆过原点且与抛物线C
的准线相切，若该圆截直线0x -=
所得弦长为，则C 的方程为___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos a c B b C -=.
（1）求B ；
（2）若2b =，求锐角ABC ?的周长的取值范围.
18.已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，且1,2AB BC ==，60ABC PD ∠=?,⊥平面ABCD .
（1）求证：平面PAC ⊥平面PCD ；
（2
）若PD =，求点A 到平面PBC 的距离.
19.《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.
（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；
（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：
由表中数据分析，x 与y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.
参考公式：()1221n
i i i n i i x y nx y b x n x
==-?=-∑∑$，$a
y bx =-$ 20.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，定义椭圆C 的“相关圆E ”的方程为22
2222a b x y a b
+=+，若抛物线24y x =的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.
（1）求椭圆C 的方程和“相关圆E ”的方程；
（2）若直线l 与圆E 相切，且与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点.
①求证：OA OB ⊥；
②求AB 的最大值.
21.已知函数2()1ln ,f x ax x a R =
++∈.
（
1）当1a =-时，求函数()f x 的极值；
（2）若()0f x <恒成立，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程是212
x a y ?=+????=+??（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2cos 4cos 0ρθθρ+-=.
（1）若0a =，求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，且3PA PB =，求实数a 的值.
23.【选修4-5：不等式选讲】
已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：
（1）22213a b c ++≥
； （2）1119a b c
++≥.
开卷教育联盟2020届全国高三模拟考试（三）
参考答案 数学（文科）
1.D
2.D 2
677z i i i z i =-+=+∴=- 3.B 3329,3e e e <∴< ()22ln339ln 33324 c a ??∴<=< 又3 ln32 3363333ln 3,a b <=<=+<+∴< 4.C 由题意可知，明天是星期六，故今天是星期五. 5.B 12AE AB BE AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 12BF BC CF AD AB =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1322 AE BF AB AD ∴+=+u u u r u u u r u u u r u u u r 6.C 如图，不妨设r =2OD = OA ∴= =22S ∴??菱形 又2==3 8S P ππ∴==圆， 7.B 代点检验排除法 8.B 可逐项推出0,1,1,0,0,1,1,0n a =，可知{}n a 是周期为4的周期数列. 9.D 赋值描点：令111,,0,,1 (22) a =--，可得大致图象. 10.A 如图，易知该直角三角形三边可设为6，8，10. ①若26c =，则21082a =-=，得3c e a = =； ②若28c =，则21064a =-=，得422 c e a ===； ③若210c =，则2862a =-=，得5c e a ==.故选A 11.D 如图，取AB 中点E ，作EF BC ⊥于F 连接11,B E B F ，则1EB F ∠即为AD 与平面11BCC B 所成角. 不妨设棱长为4，则1,2BF BE == 1EF B E ∴= 1sin 10 EB F ∴∠== 12.A '()1f x >Q '()10f x ∴-> 即[]()'0f x x -> 令()()g x f x x =- 则()g x 在R 上单调递增， 又(ln )ln()f x ex < (ln )1ln f x x ?<+ (ln )ln 1(0)0f x x f ?-<=- (ln )(0)g x g ?< ln 001x x ? 14.2 易知p 真q 真，∴真命题有①② 15.5 原式()()212102562log ...log 5log 25a a a a a ==== 16. 28y x = 如图，设圆心为P ，则PO PE = 4p P ?∴ ?，且34p r = P ∴ 到0x = 的距离4d == 由l = 4p =?= 17.（1）()2cos cos a c B b C -=Q ()2sin sin cos sin sin A C B B C ∴-= ()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A ∴=+=+= sin 0A ≠Q 1cos ,23 B B π∴=∴= （2）由（1）知，23 A C π+= 2,32662C A A A πππππ??∴=-?∈ ??? )sin sin sin sin 2sin sin b A b C a b c b A C B B ∴++= ++=++ 23sin sin 2sin cos 223322A A A A ??π???=+-+=++? ?????????? 4sin 26A π??=++ ?? ? 2,,,62632A A πππππ????∈∴+∈ ? ??? ??Q sin 6A ?π??∴+∈? ????? ( 2,6a b c ?∴++∈? 18.（1） 证明：由已知2222cos60AC AB BC AB BC =+-???? 1142122 =+-??? 3= 222314AC AB BC ∴+=+== ,BA AC AC CD ∴⊥∴⊥ PD ⊥Q 又平面,ABCD PD AC ∴⊥ CD PD D ?=Q AC ∴⊥平面PCD ，又AC ?平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面PCD （2）连接BD ，则易知120BCD ∠=? 2222cos120BD BC CD BC CD ∴=+-???? 14122172??=+-???-= ??? 2223710,PB PD BD PB ∴=+=+=∴= 又2PC == PBC ∴?是等腰三角形 取PB 中点E ，连接EC ，则EC PB ⊥. EC ∴=== 11 2222 PBC S PB EC ?∴=??== 11 122ABC S AB AC ?=??=?= 设点A 到平面PBC 的距离为d ， 由-PBC P ABC V V -=三棱锥A 三棱锥，得1 11333 PBC PBC ABC S d S d S PD ?????=??=? 11 33d d ?==19.（1）设污损的数字为x ，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得 7879828180737778868055 x +++++++++> 6x ?<即0,1,2,3,4,5x = 63105 P ∴= = （2）()120304050354 x =+++= ()13 3.5 3.54 3.54y =+++= 4490x y ∴= 又41 20330 3.540 3.5504505i i i x y ==?+?+?+?=∑ 42 22221203040505400i i x ==+++=∑ 2 5054900.035400435b -∴==-?$ $ 3.50.0335 2.45a ∴=-?= $0.03 2.45y x ∴=+ 60x ∴=时$ 4.25y = 答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时. 20.（1）易知抛物线焦点为()1,0 又由C 得一个短轴端点与两焦点构成直角三角形， 可得 1.b c a ==∴= ∴椭圆C 的方程为2 212 x y += 相关圆E 的方程为2223 x y += （2）①（i ）l 斜率不存在时，可得l 的方程为x =， 联立223312 x y x y ?=±???=±??+=?? 即,A B ???? 或,A B ?? ???? 03333OA OB ??∴?=?+?-= ? ??? u u u r u u u r OA OB ∴⊥ （ii ）斜率存在时，可设l 的方程为y kx m =+，联立()()2222212421012 y kx m k x kmx m x y =+???+++-=?+=?? () 12221224122112km x x k m x x k -?+=?+?∴?-?=?+? 由圆E 与l ()()2222213213k m k m +=?=+?= ()()11221212,,OA OB x y x y x x y y ∴?=?=+u u u r u u u r ()()()()22121212121x x kx m kx m k x x km x x m =+++=++++ ()() ()2222 221141212k m km km m k k +-?-=++++ () 2222223213301212m k m m k k -+-===++ ∴由（i ）（ii ）知，OA OB ⊥恒成立 ②l 斜率不存在时，由①可得3 AB = l 斜率存在时，由①可得 AB = = 212k ==+ 令212k t +=，则(]1 1,0,1t t ≥∴∈ AB ∴===≤ （当且仅当1 12 t =时取= ） max AB <∴=Q 21.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞ 当1a =-时，2()1ln f x x x =-++ 2 112'()2x f x x x x -∴=-+= 令'()0f x = 得2 x = 当x ?∈ ?? 时，'()0,()f x f x >∴单调递增； 当x ?∈+∞???? 时，'()0,()f x f x <∴单调递减 . 21ln 2()1ln 2222f x f ???-∴==-++= ? ? ???? 最大值 （2）由()0f x <，得221ln 1ln 0x ax x a x +++ - 令21ln ()x g x x +=- 则()()()()() 222321ln '1ln '2ln 1'()x x x x x g x x x +?--+?-+==- 令'()0g x = 得x = 且当x ? ∈ ?时，'()0,()g x g x <单调递减； 当x ?∈+∞?? 时，'()0,()g x g x >单调递增 . min ()()=g 2e g x g x ∴===--最小值 2e a ∴<-，所以a 的取值范围为,2e ??-∞- ?? ? 22.（1 ）12::1012 x t C C x y y t ?=???-+=??=+?? 22:cos 4cos 0C ρθθρ+-= 222cos 4cos 0ρθρθρ?+-= 224cos sin ρθρθ?= 22:4C y x ?= （2 ）将12x a t y ?=+????=+?? 代入24y x = 得，2280t a -+-= (()24283200a a a ?=--?-=>?> 则121228t t t t t +==- 又1213316PA PB t t a =?=?= 或1a = 23.证明：（1）() 22222233a b c a b c ++++= ()()()() 2222222223a b c a b b c c a ++++++++= 2222223 a b c ab bc ca +++++≥ ()213 3a b c ++==（当且仅当13a b c ===时取等号） （2）111a b c ++ a b c a b c a b c a b c ++++++=++ 3b a c a c b a b a c b c ??????=++++++ ? ? ??????? 39≥=（当且仅当13 a b c ===时取等号）
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