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理科数学 2013年高三试卷
理科数学
单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____
分。）
1．若复数是纯虚数，其中是实数，则= （）
A.
B.
C.
D.
2．已知，则的值为（）
A.
B.
C.
D.
3．公比不为等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则（）
A.
B.
C.
D.
4．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为（）
A.
B.
C.
D.
5．变量与相对应的一组样本数据为，，，，由上述样本数据得到与的线性回归分析，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则= （）
A.
B.
C. 1
D. 3
6．已知a是实数，则函数的图象可能是（）
A.
B.
C.
D.
7．某班有24名男生和26名女生，数据，，┅，是该班50名学生在一次数学学业
水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均分：A，男生平均分：M，
女生平均分：W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数．那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8．若曲线与曲线在交点处有公切线，则
（）
A.
B.
C. 1
D. 2
9．已知函数，若，则实数的取值范围是（）
A. 或
B.
C. 或
D.
10．已知数列满足()，, ，记，则下列结论正确的是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
11．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上
的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（）
A.
B.
C.
D.
12．设函数满足且当时，，又函数，则函数在上的零点个数为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____
分。）
13．变量，满足条件，求的最大值为_________
14．已知是双曲线的右焦点，若双曲线的渐近线
与圆相切，则双曲线的离心率为____________．
15．已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投
影是____________．
16．已知、、、四点在半径为的球面上，且，，则三棱锥的体积是____________．
简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____
分。）
17．在△ABC中，角，，的对边分别为，，，若．（Ⅰ）求证：、、成等差数列；
（Ⅱ）若，，求的面积．
18．气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：
由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．
某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t (单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；
（Ⅲ）在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．
19．如图，在四棱锥中，为平行四边形，且平面，，为的中点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值。
20．已知平面内与两定点，连线的斜率之积等于的点的轨迹为曲线，椭圆以坐标原点为中心，焦点在轴上，离心率为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若曲线与交于、、、四点，当四边形面积最大时，求椭圆的方程及此四边形的最大面积。
21．设（且）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，证明：时，成立。
选考题：请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．选修4—1：几何证明选讲
如图，已知与圆相切于点，直径，连接交于点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：。
23．选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是（为参数）与直线的参数方程是（为参数）有一个公共点在轴上．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系．
（Ⅰ）求曲线普通方程；
（Ⅱ）若点在曲线上，求
的值。
24．选修：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）当时，已知，求的取值范围；
（Ⅱ）若的解集为，求的值。
答案
单选题
1. A
2. B
3. A
4. D
5. C
6. C
7. D
8. C
9. D 10. A 11. B 12. C
填空题
13.
14.
15.
16.
8
简答题
17.
18.
19.
20.
21.
22.
