考点1、平行线的判定与性质
知识框架
???????????????????????????????????????????????
同位角、内错角、同旁内角的概念平行线的概念平行线的判定平行线的性质平移及其性质平行线间距离与面积问题折叠问题中角的计算识别同位角、内错角和同旁内角推理证明证平行线的技巧
平行线的性质构造辅助线之添加平行线平行线基础知识点重难点题型的压轴题
网络平移 基础知识点
知识点1-1 同位角、内错角、同旁内角的概念
1）同位角概念：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角。
注：如下图，位置相同指：①两个角都在第三条直线c 的同一侧；②且两个角都在两条直线a 、b 的上方（或下方）。例：∠1与∠5都在c 的右侧，且都在a 、b 的上方，则∠1与∠5为同位角
2）内错角的概念：两直线被第三条直线所截，在两条直线之内，并且分别在第三条直线两侧的一对角（位置完全错开的角）
注：如下图，位置完全错开指：①两个角在第三条直线c 的不同侧；②且两个角在两条直线a 、b 的上下不同位置（即都在两条直线的内侧）。例：∠2与∠8分别在c 的左右两侧，且∠2在a 的下方，∠8在b 的上方（即∠2、∠8在a 、b 内侧），则∠2与∠8为内错角
3）同旁内角：两直线被第三条直线所截，在第三条直线同侧，并且在两条直线之内的一对角。 注：如下图，同旁内角指：①两个角在第三条直线c 的同一侧；②且两个角在a 、b 两条直线的内侧 例：∠2与∠5，两个角都在直线c 的右侧，且都在a 、b 两条直线的内侧，则∠2与∠5为同旁内角。 注：同位角、内错角和同旁内角是3条直线直角的位置关系，且无角度间大小关系。
1．（2020·江苏盐城市·七年级期中）如图，直线a b ，被直线c 所截，则下列说法中不正确的是（ ）
A ．3∠与2∠是邻补角
B ．1∠与3∠是对顶角
C ．1∠与4∠是内错角
D ．2∠与4∠是同位角
【答案】C
【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角的定义分别分析即可．
【详解】解：A 、∠3与∠2是邻补角，故原题说法正确；B 、∠1与∠3是对顶角，故原题说法正确； C 、∠1与∠4不是内错角，故原题说法错误；D 、∠2与∠4是同位角，故原题说法正确；故选：C ．
【点睛】此题主要考查了对顶角、邻补角、内错角和同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形．
2．（2020·江苏常州市·七年级期中）如图所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角．．．
的是（ ）
A ．②③
B ．①②③
C ．①②④
D ．①④
【答案】C 【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．
【详解】解：图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2是同位角，图③中的∠1与∠2不是同位角，
图④中的∠1与∠2是同位角，所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．．．
．故选：C ． 【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．
3．（2020·江苏盐城市·七年级期中）如图所示，直线a,b 被直线c 所截，则1∠与2∠是（ ）
A ．同位角
B ．内错角
C ．同旁内角
D ．对顶角
【答案】C 【分析】根据同旁内角的定义可判断．
【详解】∵∠1和∠2都在直线c 的下侧，且∠1和∠2在直线a 、b 之内
∴∠1和∠2是同旁内角的关系故选：C ．
【点睛】本题考查同旁内角的理解，紧抓定义来判断．
4．（2020·江苏盐城市·汇文实验初中七年级月考）如图，下列说法正确的是（ ）
A ．∠2和∠4是同位角
B ．∠2和∠4是内错角
C ．∠1和∠A 是内错角
D ．∠3和∠4是同旁内角
【答案】D
【分析】由题意根据同位角和内错角以及同旁内角的定义，结合图形进行判断即可．
【解析】解：A 、∠2和∠4不是同位角，故本选项错误；B 、∠2和∠4不是内错角，故本选项错误； C 、∠1和∠A 不是内错角，故本选项错误；D 、∠3和∠4是同旁内角，故本选项正确；故选：D ．
【点睛】本题考查对平面几何中概念的理解，熟练掌握同位角和内错角以及同旁内角的定义是解题的关键. 5．（2020·江苏扬州市·扬州教育学院附中七年级期中）如图，下列结论中错误的是（ ）
A ．1∠与2∠是同旁内角
B ．1∠与6∠是内错角
C ．2∠与5∠是内错角
D ．3∠与5∠是同位角
【答案】C
【分析】利用同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可.
【详解】解；A ．1∠与2∠是同旁内角，所以此选项正确；B ．1∠与6∠是内错角，所以此选项正确；
C ．∠2、∠5既不是同位角、不是内错角，也不是同旁内角，所以此选项错误；
D ．3∠与5∠是同位角，所以此选项正确，故选：C ．
【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
6．（2020·海安市白甸镇初级中学七年级月考）观察图中角的位置关系，∠1和∠4是_______角，∠3和∠4是_____角，∠3和∠5是______角．
【答案】同位， 内错， 同旁内．
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义即可得出答案．
【详解】解：∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠3和∠5是同旁内角；
故答案为：同位，内错，同旁内．
【点睛】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的知识，属于基础题，掌握定义是关键．
7．（2020·南通市启秀中学七年级期末）复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．
（1）如图1，直线1l ，2l 被直线3l 所截，在这个基本图形中，形成了______对同旁内角．
（2）如图2，平面内三条直线1l ，2l ，3l 两两相交，交点分别为A 、B 、C ，图中一共有______对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成______对同旁内角．
（4）平面内n 条直线两两相交，最多可以形成______对同旁内角．
【答案】（1）2；（2）6；（3）24；（4）()()12n n n --
【分析】（1）根据同旁内角的概念找出所有的同旁内角，即可得出答案；
（2）根据同旁内角的概念找出所有的同旁内角，即可得出答案；
（3）画出四条直线两两相交的图形，然后根据同旁内角的概念找出所有的同旁内角，即可得出答案； （4）根据同旁内角的概念结合前3问的答案找出规律即可得出答案．
【解析】（1）如图
其中同旁内角有CAB ∠与EBA ∠，DAB ∠与ABF ∠，共2对
（2）如图
其中同旁内角有BAC ∠与BCA ∠，BAC ∠与ABC ∠，ABC ∠与BCA ∠，DAB ∠与ABE ∠，FBC ∠与BCI ∠，ACJ ∠与CAK ∠，共6对，6321=??
（3）如图
其中的同位角有BAC ∠与BCA ∠，与，与，与，与
，与，
与，与，与，与，与，与，与，与，与，BAC ∠ABC ∠ABC ∠BCA ∠CAF ∠AFE ∠CAF ∠ACE ∠AFE ∠CEF ∠ACE ∠CEF ∠CED ∠CDE ∠CDE ∠CDE ∠DCE ∠CED ∠IBC ∠BCD ∠BCD ∠CDJ ∠KDE ∠DEP ∠PEF ∠EFM ∠AFN ∠FAG ∠BAG
∠
与， 与，与，与，与，
与，与，与，与共24对，
（4）根据以上规律，平面内条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角
【点睛】本题主要结合同旁内角探索规律，掌握同旁内角的概念并找出规律是解题的关键．
8．（2021·河南周口市·七年级期末）如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角．
【答案】同位角有∠4与∠8、∠4与∠7、∠2与∠3；内错角有∠1与∠3、∠7与∠6、∠6与∠8；同旁内角有∠1与∠4、∠3与∠8，∠1与∠7．
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,则这样一对角叫做内错角；
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同旁内角,结合图形进行分析即可．
【详解】同位角有∠4与∠8、∠4与∠7、∠2与∠3；内错角有∠1与∠3、∠7与∠6、∠6与∠8； 同旁内角有∠1与∠4、∠3与∠8，∠1与∠7．
【点睛】本题主要考查了三线八角,解题关键是掌握同位角的边构成“”形,内错角的边构成“”形,同旁内角的边构成“”形．
知识点1-2平行线的概念
1）同一平面两条直线间的关系：①平行；②相交
2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线
注：①平行的概念，必须加前提条件“在同一平面内”；②必须是两条直线间的关系（非“射线”、“线段”）
3）平行公理：经过线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行
注：与垂线性质比较相似，但也存在不同的地方。相同点：过一点都有且仅能作一条线与已知直线平行（垂
ABH ∠BFE ∠FBE ∠FBE ∠BEF ∠DAF ∠ADF ∠AFD ∠ADF ∠IBE ∠JEB ∠MFD ∠FDK ∠HBM ∠BFN ∠IAD ∠ADJ ∠24432=??n (1)(2)n n n -
-F Z U
直）；不同点：垂直性质中，这个点可以在直线外，也可以在直线上，但在平行公理中，这个点必须在直线外。
1．（2020·嘉峪关市第六中学初一月考）同一平面内，两条直线的位置关系有（）
A．相交、垂直B．相交、平行C．垂直、平行D．相交、垂直、平行
【答案】B
【分析】根据同一平面内的直线有相交与平行两种位置关系即可解答．
【解析】解：同一平面内的两直线只有相交与平行两种位置关系．故选：B．
【点睛】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方．2．（2020·河南焦作·初一期末）下列说法中正确的个数有（）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④两条直线相交，对顶角相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据垂线的性质，平行公里，对顶角的性质一一判断即可；
【解析】解：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误，应该是同一平面内；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；
④两条直线相交，对顶角相等，正确；故选：C．
【点睛】本题考查垂线的性质，平行公里，对顶角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．（2020·北京市第五中学分校初一期中）下列命题是真命题的是（）
A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．互补的角是邻补角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】根据垂线段、邻补角和平行线的性质与判定判断即可．
【解析】解：A 、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题；
B 、互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题；
C 、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题；
D 、在同一平面上，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；故选：A ．
【点睛】此题主要考查命题的真假，解题的关键是熟知垂线段、邻补角和平行线的性质与判定定理． 4．（2020·潮州市潮安区雅博学校初一月考）下列说法中，正确的是（ ）
A ．不相交的两条直线是平行线
B ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C ．从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离
D ．在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直．
【答案】D
【分析】运用平行线，垂线的定义，点到直线的距离及平行公理及推论判定即可．
【解析】A 、不相交的两条直线是平行线，要在同一平面内的前提条件下，故A 选项错误；
B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B 选项错误；
C 、从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离，应为垂线段的长度，故C 选项错误；
D 、在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直，故D 选项正确．故选：D ．
【点睛】本题主要考查了平行线，垂线的定义，点到直线的距离及平行公理及推论，解题的关键是熟记定义与性质．
5．（2020·辽宁铁东·初一期中）若直线//a b ，//a c ，则直线b 与c 的位置关系是__________．
【答案】平行
【分析】根据平行公理的推论解答.
【解析】∵直线//a b ，//a c ，∴直线b 与c 的位置关系是平行，故答案为：平行.
【点睛】此题考查平行公理的推论：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线也互相平行. 6．（2020·广东番禺·初一期末）如图，直线CD 与直线AB 相交于C ，解答下列问题.
（1）过点P 画PQ ∥CD ，交AB 于点Q ；
（2）过点P 画PR ⊥CD ，垂足为R ，连接PC ，判断PC 与PR 的大小，并说明理由
【答案】（1）见解析；（2）作图见解析；PC ＞PR ；垂线段最短
【分析】（1）用直尺和三角板，根据平行线的画法画图即可；
（2）利用三角板的两条直角边作图，然后根据垂线段最短即可判断PC 与PR 的大小．
【解析】解：（1）如图，PQ ∥CD ，交AB 于点Q ；
（2）如图PR ⊥CD ，PC 与PR 的大小为：PC ＞PR ，理由是：垂线段最短．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、垂线、垂线段最短、平行线的性质，解决本题的关键是掌握垂线段最短的性质．
7．（2020·福建南平·初一期中）如图，点,A B 为定点，直线//,l AB P 是直线l 上一动点．对于下列各值：①线段AB 的长；②APB 的度数；③PAB △的周长；④PAB △的面积．其中不会随点P 的移动而变化的是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
【答案】B 【分析】由A 、B 为定点可得AB 长为定值，进而可判断①；当P 点移动时，∠APB 的度数发生变化，P A +PB 的长也发生变化，于是可判断②、③；由直线l ∥AB 可得P 到AB 的距离为定值，于是可判断④，从而可得答案．
【解析】解：∵A 、B 为定点，∴AB 长为定值，∴①线段AB 的长不会随点P 的移动而变化；
当P 点移动时，∠APB 的度数发生变化，∴②∠APB 的度数会随点P 的移动而变化；
当P 点移动时，P A +PB 的长发生变化，∴③△P AB 的周长会随点P 的移动而变化；
∵点A ，B 为定点，直线l ∥AB ，∴P 到AB 的距离为定值，∴④△APB 的面积不会随点P 的移动而变化； 综上，不会随点P 的移动而变化的是①④．故选：B ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、同底等高的三角形的面积相等以及平行线间的距离等知识，熟练掌握
上述基本知识是解题的关键．
8．（2020·湖南岳阳·初一期末）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线a，与b之间的距离为5，b与c之间的距离是2，则a与c之间的距离是______．
【答案】3或7
【分析】分类讨论：当直线c在a、b之间或c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解；【解析】当直线c在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行线，
=-=，
而a与b的距离是5，b与c的距离是2，∴a与c的距离523
当直线c不在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行线，
=+=，
而a与b的距离是5，b与c的距离是2，∴a与c之间的距离527
综上所述，a与c的距离为3或7．故答案是3或7．
【点睛】本题主要考查了平行线间的距离，准确计算是解题的关键．
知识点1-3 平行线的判定
1）判定方法一：同位角相等，两直线平行
2）判定方法二：内错角相等，两直线平行
3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行
4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）
1．（2020·江苏无锡市·七年级期中）在下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定判断即可．
【详解】A、根据∠1=∠2能推出AB∥CD，故本选项符合题意；
B、根据∠1=∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
C、根据∠1=∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
D、根据∠1=∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；故选A．
【点睛】考查了平行线的判定，能灵活运用定理进行推理解此题的关键．
2．（2020·江苏盐城市·七年级月考）如图，能判断AB//CE 的条件是 （ ）
A ．∠B=∠ACE
B ．∠A=∠ECD
C ．∠B=∠ACB
D ．∠A=∠ACE
【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法：内错角相等两直线平行，即可判断AB ∥CE ．
【详解】解：∵∠A ＝∠ACE ，∴AB ∥CE ．故选：D ．
【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．
3．（2020·江苏扬州市·七年级期中）如图，下列条件：
13241804523623∠=∠∠+∠=∠=∠∠=∠∠=∠+∠①，②，③，④，⑤中能判断直线1
2l l 的有
( )
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】解：①∵∠1=∠3，∴l 1∥l 2，故本小题正确；②∵∠2+∠4=180°，∴l 1∥l 2，故本小题正确； ③∵∠4=∠5，∴l 1∥l 2，故本小题正确；④∠2=∠3不能判定l 1∥l 2，故本小题错误；
⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l 1∥l 2，故本小题正确．故选B ．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
4．（2018·江苏苏州市·七年级月考）如图，在四边形ABCD 中，要得到AB CD ∥，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A ．13∠=∠
B ．24∠∠=
C ．B
D ∠=∠ D ．12180B ∠+∠+∠=?
【答案】B 【解析】A 不可以；∵∠1=∠3，∴AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)，
不能得出AB ∥CD ，∴A 不可以；B 可以；
∵∠2=∠4，∴AB ∥CD(内错角相等,两直线平行)；∴B 可以；
C 、
D 不可以；∵∠B=∠D,不能得出AB ∥CD ；∵∠1+∠2+∠B=180°，
∴AD ∥BC(同旁内角互补,两直线平行)，不能得出AB ∥BC ；∴C 、D 不可以；故选B.
5．（2020·江阴市敔山湾实验学校七年级期中）如图，下列条件：①12∠=∠；②45∠=∠；③25180+=?∠∠；13∠=∠;⑤64180∠+∠=?；其中能判断直线12l l //的有（ ）
A ．②③④
B ．②③⑤
C ．②④⑤
D ．②④
【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法，对每一项进行分析判断即可解决.
【详解】根据同为角相等两直线平行可以判断②45∠=∠，④13∠=∠正确；
①12∠=∠非同位角非内错角无法判断直线平行，错误
③25180+=?∠∠，⑤非同旁内角，无法判断两直线平行.故选D.
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键：正确理解题意能够从图形中找到同位角、同旁内角、内错角，熟练掌握平行线的判定方法.
6．（2020·江苏徐州市·七年级期末）如图，给出下列条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠B ；④AD ∥BE ，且∠D =∠B ．其中能说明AB ∥DC 的条件有（ ）
64180∠+∠=?
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 【答案】B
【详解】解：,①正确；,②不正确；
,③正确；
,④正确； 综上所述，①、③、④正确，故选B ．
7．（2020·江苏扬州市·七年级期末）如图，下列条件不能判定AB ∥CD 的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【分析】结合图形，根据平行线的判定方法对选项逐一进行分析即可得.
【详解】A. ∠l=∠2，根据内错角相等，两直线平行，可得AB//CD ，故不符合题意；
B. ∠2=∠E ，根据同位角相等，两直线平行，可得AD//BE ，故符合题意；
C. ∠B+∠E= 180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得AB//CD ，故不符合题意；
D. ∠BAF=∠C ，根据同位角相等，两直线平行，可得AB//CD ，故不符合题意，故选B.
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键.
8．（2020·江苏无锡市·七年级期中）如图，要得到AB ∥CD ，只需要添加一个条件，这个条件不可以．．．
是（ ）
A ．∠1＝∠3
B ．∠B ＋∠BCD ＝180°
C ．∠2＝∠4
D ．∠D ＋∠BAD ＝180°
【答案】A
【分析】根据B 、D 中条件结合“同旁内角互补，两直线平行”可以得出AB ∥CD ，根据C 中条件结合“
内错
34∠∠=//AB CD ∴12∠=∠//AD BC ∴5B ∠=∠//AB CD ∴//AD BE 5D ∴∠=∠B D ∠=∠5B ∴∠=∠//AB CD
∴12∠∠=2E ∠∠=B E 180∠∠+=BAF C ∠∠
=
角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，而根据A中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AD∥BC．由此即可得出结论．
【详解】解：A．∵∠1=∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
B．∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；
C．∠2=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
D．∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．故选A．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据四个选项给定的条件结合平行线的性质找出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等或互补的角找出平行的两直线是关键．
知识点1-4平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等;
2）两直线平行，内错角相等;
3）两直线平行，同旁内角互补
注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系。
②3类角若有大小关系，也可用于证明两条直线平行。
4）同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段长度，叫作这两条平行线间的距离。
注：a.只有平行线间才存在距离这一说法。（重叠，距离为0）；b.平行线间的距离，处处相等；c.垂直于一条直线，一定垂直于另一条平行线（易证）
1．（2020·无锡市玉祁初级中学七年级月考）一条船在灯塔的北偏东30°方向，那么灯塔在船的什么方向（）A．南偏西30°B．西偏南40°C．南偏西60°D．北偏东30°
【答案】A
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，根据平行线的性质即可求解．
【详解】
解：如图，由题意可知∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠2＝30°．
由方位角的概念可知灯塔在船的南偏西30°．故选：A ．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，正确画出方位角，找准中心并能应用平行线的性质求出角度是解答这类题的关键．
2．（2020·山西定襄·初一期末）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东75?方向到李村，从李村沿北偏西25?方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）．
A ．100?
B ．80?
C ．75?
D ．50?
【答案】B
【分析】根据平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，即可完成求解．
【解析】∵王村沿北偏东75?方向到李村∴175∠=
∵从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，且从李村沿北偏西25?方向到张村
∴()()2180125180752580∠=-∠+=-+=
∴张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为80?故选：B ．
【点睛】本题考查了方位角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，从而完成求解．
3．（2020·东台市三仓中学七年级月考）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知//AB CD ，87BAE ∠=?，121DCE ∠=?，则E ∠的度数是（ ）
A ．28?
B ．34?
C ．46?
D ．56?
【答案】B 【分析】延长DC 交AE 于F ，依据//AB CD ，87BAE ∠=?，可得87CFE ∠=?，再根据三角形外角性质，即可得到E DCE CFE ∠=∠-∠．
【详解】解：如图，
延长DC 交AE 于F ，//AB CD ，87BAE ∠=?，87CFE ∴∠=?，
又121DCE ∠=?，1218734E DCE CFE ∴∠=∠-∠=?-?=?，故选B ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
4．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校九年级一模）一副直角三角板如图放置，其中C DFE 90∠=∠=，45A ∠=?，60E ∠=?，点F 在CB 的延长线上若//DE CF ，则BDF ∠等于（ ）
A ．35°
B ．25°
C ．30°
D ．15°
【答案】D 【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°，
∵DE ∥CB ，∴∠BDE=∠ABC=45°，∴∠BDF=45°-30°=15°．故选D ．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE 的度数是解题关键．
5．（2020·苏州新草桥中学九年级二模）将一副三角板(30)A ∠=?按如图所示方式摆放，若//AB EF ，则1∠等于（ ）．
A ．75?
B ．90?
C ．105?
D ．115?
【答案】C 【分析】利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：由题意可知：∠B=60°，∠E=45°
∵//AB EF ，∴∠E=∠EDB=45°，∴∠1=∠EDB+∠B=45°+60°=105°，故选：C ．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2020·江苏盐城市·九年级二模）如图，已知AB ，CD ，EF 互相平行，且∠ABE ＝70°，∠ECD ＝150°，则∠BEC ＝________°.
【答案】40
【解析】根据平行线的性质，先求出∠BEF 和∠CEF 的度数，再求出它们的差就可以了．
解：∵AB ∥EF ，∴∠BEF=∠ABE=70°；
又∵EF ∥CD ，∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，∴∠BEC=∠BEF -∠CEF=40°；故应填40． “点睛”本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等进行解题．
7．（2020·江苏连云港·初三二模）将一副三角板（含30°、45°、60°、90°角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为_____度．
【答案】75
【分析】如图，根据平角的定义可求出∠2得度数，根据平行线的性质即可求出∠1的度数．
【解析】如图，∵∠2+60°+45°＝180°，∴∠2＝75°．
∵直尺的上下两边平行，∴∠1＝∠2＝75°．故答案为：75
【点睛】本题主要考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
8．（2020·江苏镇江·初一期末）镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP 上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是．
【答案】6秒或19.5秒
【分析】设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45?12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【解析】解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），
∴t≤45﹣12，即t≤33．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．故答案为：6秒或19.5秒．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
知识点1-5平移及其性质
1）平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离
2）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置
3）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行
4）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离
5）平移作图步骤：
①找出能代表图形的关键点
①将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来
①过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置
①连接关键点，还原图形
1．（2020杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）下列图中的“笑脸”，由如图平移得到的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
【详解】解：A、B、C都是由旋转得到的，D是由平移得到的．故选：D．
【点睛】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
2．（2020·上海松江区·七年级期末）如图，ABC 沿射线BC 方向平移到DEF （点E 在线段BC 上），如果8cm BC =，5cm EC =，那么平移距离为（ ）
A ．3cm
B ．5cm
C ．8cm
D ．13cm
【答案】A 【分析】观察图象，发现平移前后，B 、E 对应，C 、F 对应，根据平移的性质，易得平移的距离=BE ，进而可得答案．
【详解】解：根据平移的性质，易得平移的距离=BE=8-5=3cm ，故选：A ．
【点睛】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点．
3．（2020·山西七年级月考）在下列方格中，将图中的图形N 平移到如图所示位置，下列关于图形N 的平移方法叙述正确的是（ ）
A ．向右移动3格，再向上移动3格
B ．向右移动3格，再向下移动3格
C ．向左移动3格，再向上移动3格
D ．向左移动3格，再向下移动3格
【答案】B
【分析】根据平移的性质判断即可； 【详解】根据图形可知，向右移动3格，再向下移动3格即可得到图形；故选：B ．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，准确判断是解题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要______米．
平行线的判定和性质 一、选择题 1.如图，下列条件：①∠1=∠3，②∠2+∠4=180°，③∠4=∠5， ④∠2=∠3，⑤∠6=∠2+∠3中能判断直线l1∥l2的有（） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2.如图，已知∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是（） A. B. C. D. 3.下列条件中，能说明AD∥BC的条件有（）个 ①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠1+∠2=∠3+∠4 ④∠A+∠C=180°⑤∠A+∠ABC=180°⑥∠A+∠ADC=180 °． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（） A. ∠ ∠ B. ∠ ∠ C. ∠ ∠ D. ∠ ∠ 5.将一直角三角板与两边平行的纸 条如图放置．若∠1=60°，则∠2的 度数为（） A. B. C. D. 6.如图，直线a∥b，若∠1=50°，∠3=95°，则∠2的度数为（） A. B. C. D.
7.如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（） A. B. C. D. 8.如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（） A. B. C. D. 9.如图，已知∠1=∠2，∠3=30°，则∠B的度数是( ) A. B. C. D. 10.如图，已知AB//CD//EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A 的度数是（） A. B. C. D. 11.如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°， 则∠4等于（） A. B. C. D. 12.已知直线m//n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如 图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直 线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（） A. B. C. D. 13.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且 a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（） A. B. C. D.
易达彼思教育学科教师辅导讲义 知识回顾 写出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角
用该符号语言表示：如图， 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
两直线平行的判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单地说: 同旁内角互补 ,两直线平行. 例4. 如图所示，回答下列问题，并说明理由． （1）由∠C＝∠2，可判定哪两条直线平行？ （2）由∠2＝∠3，可判定哪两条直线平行？ （3）由∠C＋∠D＝180°，可判定哪两条直线平行？ 注：（1）要掌握直线平行的判定方法，首先要掌握同位角、内错角、同旁内角的定义； （2）判定方法是从角的关系得到两直线平行的。 知识点4：平行线的判定方法的推论 （一）两条平行线间的距离 1、定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。 如图所示，a//b，A是直线上任意一点，，垂足为B，则线段AB的长即是两平行线、间的距离。若在直线上任找一点，过作，垂足为D，则线段CD的长也是两平行线、间的距离。由此可见： 2、平行线间的距离处处相等。 例4.如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1=∠2. （1）请说明AB∥CD的理由 （2）试问BM与DN是否平行？为什么？ 二、平行线的性质 知识点1：平行线的性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等. 如图所示，AB∥CD，有∠1=∠2. 格式：∵AB∥CD（已知）.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 例1.如图，已知a∥b,∠1=65°,则∠2的度数为（） A.65° B.125° C.115° D.25° 知识点2：平行线的性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 格式：如图所示，AB∥CD，有∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）. 说明：∵AB∥CD（已知）.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） ∵∠1=∠3，∴∠2=∠3 例2.如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C=50°， ∠BDE=60°，则∠CDB的度数等于（） A.70° B.100° C.110° D.120° 知识点3：平行线的性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 格式：如图所示，∵AB∥CD（已知）. ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） 例3.如图，若AB∥DE，BC∥FE，则∠E+∠B= . 注：同位角相等、同旁内角互补；内错角相等，都是平行线特有的性质，且不可忽略前提条件“两直线平行”，不要看到同位角或内错角，就认为是相等的。 三、平行线的性质和判定方法的综合应用 平行线的判定和性质的区别和联系：
平行线的判定和性质经典题 一．选择题（共18小题） 1．如图所示，同位角共有（） 3．下列说法中正确的个数为（） ①不相交的两条直线叫做平行线 ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③平行于同一条直线的两条直线互相平行 4．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5… 6．如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（）
8．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（） 11．如图所示，BE∥DF，DE∥BC，图中相等的角共有（） 13．如图所示，DE∥BC，DC∥FG，则图中相等的同位角共有（） 14．如图所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（） 15．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角
16．把直线a 沿水平方向平移4cm ，平移后的像为直线b ，则直线a 与直线b 之间的距离为 17． （2009?宁德）在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是 18．（2004?烟台） 4根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移火柴棒后，原图形变成的象形文字是（ ） 二．填空题（共12小题） 19．已知∠α和∠β的两边互相平行，且∠α=60°，则∠β= _________ ． 20．（2004?西宁）如图，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有 _________ 个；若∠1=50°，则∠AHG= _________ 度． 第20题 第21题 第22题 21．（2009?永州）如图，直线a 、b 分别被直线c 、b 所截，如果∠1=∠2，那么∠3+∠4= _________ 度．直线a 、b 分别被直线c 、b 所截． 22．（2010?抚顺）如图所示，已知a∥b，∠1=28°，∠2=25°，则∠3= _________ 度． 23．如图，已知BO 平分∠CBA，CO 平分∠ACB，MN∥BC，且过点O ，若AB=12，AC=14，则△AMN 的周长是 _________ ．
87 65 4 3 21 B C D E 易达彼思教育学科教师辅导讲义 学员姓名： 年 级：七年级 课时数： 辅导科目：数学 授课时间： 学科教师： 学科组长签名 及日期 教务长签名及日期 课 题 平行线及其判定及性质 教学目标 1.理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的两种位置关系； 2.掌握平行公理及其推论，会按要求画平行线； 3.掌握平行线的判定方法，并会运用这些方法进行简单的推理证明； 教学内容 知识回顾 写出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角 同位角： 内错角： 同旁内角： 新课知识 一、平行线的判定 知识点1：平行线的判定1 用该符号语言表示：如图， ∵∠1=∠2， ∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） 两直线平行的判定方法1：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单地说: 同位角相等 ,两直线平行. 例1.如图，直线a,b都与直线c相交，若∠1=120°，,2=60°，则a∥b.在下列括号中填写推理理由. ∵∠1=120°（）. ∴∠3=60°（）. 又∵∠2=60°（）. ∴∠2=∠3（）. ∴a∥b 知识点2：平行线的判定2 思考：下图中，如果∠1=∠7，能得出AB∥CD吗?写出你的推理过程. 解：∵∠1=∠7 ( ) ∠1=∠3( ) ∴∠7=∠3( ) ∴ AB∥CD( ) 用该符号语言表示：如图， ∵∠2=∠3（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 两直线平行的判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单地说: 内错角相等 ,两直线平行. 知识点3：平行线的判定3 下图中，如果∠4+∠7=180°，能得出AB∥CD? 解: ∵∠4+∠7=180 °（） ∠4+∠3=180°（） ∴∠7=∠3（） ∴ AB∥CD（） 用该符号语言表示：如图， ∵∠2+∠4=180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
平行线的判定与性质 4.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°，那么另一角是 度． 9.如图，已知∠l+∠2=１８0°，∠3＝∠B,试判断∠AED 与∠ＡCB 的大小关系，并对结论进行证明． 1３．如图，已知21//l l ，AB ⊥1l ，∠ABC=1３0°，则∠α= ． 14.如图,直线AB ∥CD ，∠E ＦＡ=30°，∠ＦＧH=90°,∠HM Ｎ＝３0°,∠CNP ＝ ５0°，则∠G ＨM 的大小是 ． 1６．如图,若AB ∥ＣD ，则( ). A ．∠１＝∠2+∠3 Ｂ.∠1=∠３一∠2 Ｃ．∠1+∠２+∠3=１8０° ∠l 一∠2十∠3=18０° １7．如图，AB ∥ＣＤ∥EF,ＥＨ⊥CD 于Ｈ,则∠BA Ｃ＋∠ACE ＋∠ＣEH 等于( )． A ．１80° B ．270° C ． 360° Ｄ． 45０ 例２ 如图,某人从A 点出发,每前进１0米,就向右转18°，再前进10米,又向右转１8°,这样下去,他第一次回到 出发地Ａ点时，一共走了________米． 变式训练： １. 如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过， 如果第一次拐的角∠A 是1２0°,第二次拐的角∠B 是１50°, 第三次拐的角是∠C ，这时恰好和第一次拐弯之前的道路 A C A A 1 A 2 18o 18o
平行，则∠C= . 2２．如图，已知射线CB∥OA，∠Ｃ=∠ＯAB=100°，E、Ｆ在CB上，且满足∠FOB=∠ＡOB,OE平分∠COF． （1）求∠EＯB的度数. (2)若平行移动AB，那么∠ＯBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化,找出变 化规律；若不变,求出这个比值. （３)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OＢＡ?若存在，求出其度数;若不存在,说明理由． 2．一学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是( ). (A）第一次向左拐30°,第二次向右拐3０° (B)第一次向右拐50°,第二次向左拐1３0° （C)第一次向右拐５0°，第二次向右拐１３0° (Ｄ）第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 例3 如图，将纸片△ＡBC沿ＤE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=１0０°， 求∠Ａ的度数． 变式训练:1.如图, 已知:∠1=∠2,∠3＝∠4,∠5＝∠6. 求证: ＡD∥ＢC． 2．已知CD⊥ＡＢ于Ｄ，EF⊥AB于Ｆ, ∠DGC=１05°,∠ＢCG＝７５°,求∠1+∠2的度数. A D B C 1 2 A E A B C D E F 2 3 1 4 5 6 B C A E G 2 1
（第1题） O A B C D E （第2题） C D （第3题） D E D 平行线的判定与性质培优经典题（1） 知识要点： ① 对顶角、邻补角的概念、性质； ② “三线八角”的相关概念，垂线、平行线的相关概念；相关几何语言的运用； ③ 平行线的判定方法 、平行线的性质； ④ 构造平行线，构造截线与平行线相交. 基础训练： 1. 如图，AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC =220°， OE 平分∠BOD . 求∠COE . 2. 如图，AB 、CD 相交于点O . 求∠BOD . 3. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， 则∠1+∠2+∠3 =＿＿＿＿＿＿ . 4. 如图，直线AB 、CD 交于点O . （1）若∠1+∠2 =70°，则∠4 =＿＿＿＿＿＿ ;
（第5题） E D （第7题）O A B C D F E （第6题） O A B C D E F B D A （2）若∠3 -∠2 =70°，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ ; （3）若∠4 :∠2 =7:3，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ . 5. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠1比∠2的3倍 大10°，∠AOD =110°. 求∠AOE . 6. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB , OF ⊥CD .若∠EOD =3∠BOD . 求∠EOF . 7. 如图，已知直线AB 、CD 交于点O , OE ⊥AB ， 垂足为O ,OF 平分∠AOC ，∠AOF :∠AOD =2:5. 求∠EOC .
C B 8. 如图,已知AD ⊥BD ,BC ⊥CD ，AB =3cm ,BC =1cm . 则BD 的取值范围是 . 经典题型： 1. （1） O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1,l 2,l 3,…,l 2005,则可形成＿＿＿＿＿＿对以 O 为顶点的对顶角. (山东省聊城市竞赛题) （2） 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有＿＿＿＿＿＿对同旁内角. （第17届江苏省竞赛题） 2. 如图，已知AD ∥EG ∥BC ,AC ∥EF ,则图中 与∠1相等的角有（ ）对. A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 （西 宁市中 考题） 3. 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED , CE 是∠ACB 的平分线. 求证：∠EDF =∠BDF . (天津市竞赛题)
平行线的判定和性质的综合应用 2. 如图，AD ⊥BC 于点D ，EF ⊥BC 于点F ，EF 交AB 于点G ，交CA 的延长线于点E ，且∠1=∠2．AD 平分∠BAC 吗？说说你的理由． C E 1 2 A B C D F G E
3. 如图，若AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E =∠F ，为什么？ 4、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°， 求 ∠A 的度数． 5、如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连结P A ，PB ，构成∠P AC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．） （1）当动点P 落在第①部分时，试说明：∠APB =∠P AC +∠PBD ． （2）当动点P 落在第②部分时，∠APB =∠P AC +∠PBD 是否成立？ （3）当动点P 落在第③部分时，请全面探究∠P AC ，∠APB ， ∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论， 选择其中一种结论加以说明． 1 2 A B C D E F A D B C 1 2 A E
一、能力提升 1. 如图，已知∠ABC +∠ACB =110°，BO 、CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，EF 过O 与BC 平行，则∠BOC = ． 2. 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°， 则∠AED ′的度数为 ． 3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠= ． 4.如图,已知∠1+∠2=180°,∠A=∠C,AD 平分∠BDF.求证:BC 平分∠DBE. B 1 2 F D E C A 5、如图，已知∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°． 求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°． 6、如图，已知AB ∥CD ，∠BAE =30°，∠DCE =60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． （1）求∠AEF 的度数； （2）求证：EF ∥AB ． E G D C F A B 1 2 3 E D B C′ F C D ′ A 第1题图 第2题图 第3题图 C 1 2 3 A B D F E
学习资料 仅供学习与参考 平行线的判定和性质拔高训练题 1．如图1，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在'D ，' C 的位置．若 ∠EFB =65°，则'AED 等于__________． 2. 如图2，AD ∥EF ，EF ∥BC ，且EG ∥AC ．那么图中与∠1相等的角(不包括∠1)的个 数是__________． 3. 如图3，AB ∥CD ，直线AB ，CD 与直线l 相交于点E ，F ，EG 平分∠AEF ，FH 平分 ∠EFD ，则GE 与FH 的位置关系为__________． （1） （2） （3） 4．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°， 那么这两个角分别是( ) A ．30°和150° B ．42°和138° C ．都等于10° D ．42°和138°或都等于10° 5．如图4，点E 在CA 延长线上，DE 、AB 交于点F ，且∠BDE =∠AEF ，∠B =∠C ， ∠EFA 比∠FDC 的余角小10°，P 为线段DC 上一动点，Q 为PC 上一点，且满足∠FQP = ∠QFP ，FM 为∠EFP 的平分线．则下列结论：①AB ∥CD ，②FQ 平分∠AFP ，③∠B ＋∠E =140°，④∠QFM 的角度为定值．其中正确的结论有( )个数 A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4 （4） （5） 6．如图5，AB ∥EF ，EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B ＋∠BED ＋∠D =192°， ∠B －∠D =24°，求∠GEF. 7. 已知：如图6，AD ⊥BC 于点D ，EG ⊥BC 于点G ，∠E ＝∠3． 求证：AD 平分∠BAC ． （6)
平行线的判定及性质（一） 【知识要点】 一.余角和补角: 1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ+= 90o ∴αβ与互为余 2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ+= 180o ∴αβ与互为补角 二.余角和补角的性质: 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质: 对角相等. 四.“三线八角” ：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线平行. 2、内错角相等, 两直线平行. 3、同旁内角互补, 两直线平行. 4、同平行于一条条直线平行. 5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1. 两直线平行,同位角相等； 2. 两直线平行, 内错角相等； 3. 两直线平行, 同旁内角互补. 【典型例题】 一、余角和补角 例1. 如图所示， 互余角有_________________________________； 互补角有_________________________________； 变式训练：1. 一个角的余角比它的的 1 3 还少20o，则这个角为_____________。 2. 如图所示，已知∠AOB 与∠COB 为补角，OD 是∠AOB 的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BO=1 2 ∠EOC, ∠DOE=72o, 求∠EOC 的度数。 二、“三线八角” 例2 （1） 如图，哪些是同位角？内错角？同旁内角？ E D C B A O A B C D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3
（2） 如图，下列说法错误的是（ ） A. ∠1和∠3是同位角 B. ∠1∠5是同角 C. ∠1和∠2是内角 D. ∠5和∠6是内错角 （3）如图，⊿ABC 中，DE 分别交B 、A 于D 和E,则图中共有 同位角 对，内错角 对，同旁内角 。 三、平行线的判定 例3如右图 ① ∵ ∠1＝∠2 ∴ _____∥_____， （ ） ② ∵ ∠2＝_____ ∴ ____∥____， (同位角相等，两直线平行) ③ ∵∠3＋∠4＝180o ∴ ____∥_____， （ ） ∴ AC ∥FG ， （ ） 变式训练：1.如图, ∵ ∠1=∠B ∴ ∥_____， （ ） ∵ ∠1/∠2 ∴ _____∥_____， ( ) ∵ ∠B ＋_____＝180o， ∴ AB ∥EF ( ) 例4. 如图，已知AE 、CE 分别平分∠BAC 和∠ACD, ∠1和∠2互余，求AB ∥CD , A B C D G 1 3 2 C A B E D 1 A B C D E F 1 2 3 1 2 3 4 5 7 6
1 D F C B A 2 E 平行线的判定与性质的综合运用 专题 一、推理填空题 1．已知：如图，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，将说明∠1＝∠2成立的理由填写完整. 解：∵ DE ∥BC （ ） ∴∠ADE ＝_______（ ） ∵∠ADE ＝∠EFC （ ） ∴_______＝_______ （ ） ∴DB ∥EF （ ） ∴∠1＝∠2（ ） 2.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A ＝∠ 3.求证：AC ∥DE 证明：∵∠1＝∠2（ ） ∴AB ∥＿＿＿＿( ) ∴∠A ＝∠4( ) 又∵∠A ＝∠3（ ） ∴∠3=＿＿＿＿（ ） ∴AC ∥DE （ ） 3.已知：如图，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ．且∠1＝∠3．求证：AB ∥DC ． 证明：∵∠ABC ＝∠ADC ， .2 1 21ADC ABC ∠=∠∴( ) 又∵BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ， .2 1 2,211ADC ABC ∠=∠∠= ∠∴ ( ) ∴∠______＝∠______．( ) ∵∠1＝∠3，( ) ∴∠2＝∠______．(等量代换) 43 21 A B C E
∴______∥______．( ) 二、证明题 4.如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37o，求∠D 的度数． 5.如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，求∠α的度数。 6．如图，CD AB //，AE 平分BAD ∠，CD 与AE 相交于F ,E CFE ∠=∠。求证：BC AD //。 7.如图，CD ∥AB ，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与AB 有怎 样的位置关系，为什么 A B C D E α21 F E D C B A 2 1 F E D C B A F E D C B A
平行线的判定定理和性质定理 [一]、平行线的判定 一、填空 1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2．若a⊥c，b⊥c，则a b ． 3．如图２，写出一个能判定直线l 1∥l 2的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。 6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由： （1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）； （3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ） 8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ． 9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空： （1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）； 二、解答下列各题 11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：E D∥CF． A C B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B C E D 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E 图８ E B A F D C 图９ A D C B O 图５ 图６ 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图７ 5 4 3 2 1 A D C B
平行线的判定与性质练习 2013.3 一、选择题 1．下列命题中，不正确的是____ [ ] A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．如图，可以得到DE∥BC的条件是______ [ ] （2题）（3题）（5题） A．∠ACB=∠BAC B．∠ABC+∠BAE=180° C．∠ACB+∠BAD=180° D．∠ACB=∠BAD 3．如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件: (1)∠1=∠2， (2)∠3=∠6， (3)∠4+∠7=180°， (4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a∥b的条件是_________[ ] A．(1)(3) B．(2)(4) C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4) 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是________[ ] A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 5．如图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是_________．[ ] A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠3=∠4 D．∠A=∠C
6．如图，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 (6题) (8题) (9题) 7．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定 8．如图，AB∥CD，那么（） A．∠1=∠4 B．∠1=∠3 C．∠2=∠3 D．∠1=∠5 9．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（） A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180° 10．如图，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（） A．30° B．60° C．90° D．120° （10题）（ 11题） 二、填空题 11．如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据． (1)∠1=∠2，________________________．(2)∠A=∠3，________________________．(3)∠ABC+∠C=180°，________________________． 12．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________． 13．同垂直于一条直线的两条直线________．
平行线的判定和性质测试题 一、填空题：l 1、如右图，直线 a 、b被直线l所截， a ∥b， 170 ，2 则 2a . 1 2、两条直线被第三条直线所截，总有()b A 、同位角相等 B 、内错角相等C、同旁内角互补D、以上都不对 3、如图 1，下列说法正确的是 () A 、若 A B ∥ CD，则∠ 1=∠ 2 C、若∠ 1=∠2，则 AB ∥CD B、若 AD ∥ BC，则∠ 3=∠ 4 D、若∠ 1=∠ 2，则 AD ∥ BC （ 1）（2）（3）（4） 4、如图 2，能使 AB ∥ CD 的条件是 () A 、∠ 1=∠ B B、∠ 3=∠ A C、∠ 1+∠ 2+∠ B=180 °D、∠ 1=∠A 5、如图 3,AD ∥ BC,BD 平分∠ ABC ，若∠ A ＝ 100°，则∠ DBC 的度数等于 () A 、100°B、 85°C、 40°D、 50° 6、如图 4 所示， AC⊥ BC ， DE ⊥ BC， CD⊥ AB, ∠ ACD ＝ 40°，则∠ BDE 等于 () A 、 40° B 、 50°C、 60°D、不能确定 7、如图 5 所示，直线L 1∥ L 2， L 3⊥ L 4，有三个命题：①∠1+∠3=90°，②∠ 2+∠3=90°，③∠ 2=∠ 4．下列说法中，正确的是() A 、只有①正确B、只有②正确C、①和③正确D、①②③都正确 A E D B1C F （ 5） （ 6） 8、如图 6，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若 1 50°，则AEF = () A 、 110° B 、115°C、 120°D、 130° 二、解答题 A D E A 1、如图，AD∥BC , A C ,说明AB∥ DC . 2、如图，已知DE ∥BC， 1 2 ，CD AB 于点D，说明： FG AB D1E F B C
授课主题平行线 教学目的1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论； 2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理 3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论； 教学重点平行线的判定及性质 教学容 【知识梳理】 要点一、平行线 1．定义：在同一平面，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 要点诠释： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点二、直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵∠3＝∠2 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴AB∥CD（错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵∠4＋∠2＝180° ∴AB∥CD（同旁角互补，两直线平行） 要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 要点三、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，错角相等； 性质3：两直线平行，同旁角互补.
一、学习内容：平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理 二、学习目标： 1、熟练掌握平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理 2.能对平行线的判定、性质进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中． 三、学习重难点 重点：平行线的判定性质公理及定理. 难点：推理过程的规范化表达. 四、学习方法：教师精讲点拨与学生自主探究相结合 五、使用课时：2课时 六、学习导航 考点一 平行线的判定公理 1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角. 例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？ 当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。 例2．请将下面的空补充完整 1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（） 若∠3=∠4，则_________∥_________（） 若∠5=∠B，则_________∥_________（） 若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（） 2．如右图，∠1+∠2=180°（已知） ∠3+∠2=180°（） ∴∠1=_________ ∴AB∥CD（） 课堂练习： 1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°, 求证：AB∥C D． 2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．
求证：∠ABC +∠CDE =∠BCD ． （1） （2） 3．如图，如果AB ∥CD ，求角α、β、γ与180o之间的关系式． 4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC ， 求：∠ EDC 和 ∠BDC 的度数。 达标训练： 一．选择题 1．下列命题中，不正确的是( ) A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( ) A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CD C ．∠3=∠4 D ．∠A =∠C 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 二．填空题 5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________． α γ βE D C B A
平行线的判定与性质 4．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是度． 9．如图，已知∠l+∠2＝180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并对结论进行证明． 13．如图，已知 2 1 //l l，AB⊥ 1 l，∠ABC=130°，则∠α= ． 14．如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN＝30°，∠CNP= 50°，则∠GHM 的大小是． 16．如图，若AB∥CD，则( )． A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝∠3一∠2 C．∠1+∠2+∠3＝180°∠l一∠2十∠3＝180° 17．如图，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于( )． A．180° B．270° C． 360° D． 450 例2 如图，某人从A点出发，每前进10米，就向右转18°， 再前进10米，又向右转18°，这样下去，他第一次回到 出发地A点时，一共走了________米． 变式训练： 1. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过， 如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°， 第三次拐的角是∠C，这时恰好和第一次拐弯之前的道路 平行，则∠C= ． A C A A 1A 2 18o 18o
22．如图，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB ＝∠AOB，OE平分∠COF． (1)求∠EOB的度数． (2)若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化，找出变 化规律；若不变，求出这个比值． (3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由． 2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）． （A）第一次向左拐30°，第二次向右拐30° （B）第一次向右拐50°，第二次向左拐130° （C）第一次向右拐50°，第二次向右拐130° （D）第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 例3 如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°， 求∠A的度数． 变式训练：1.如图, 已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6. 求证: AD∥BC. 2．已知CD⊥AB于D，EF⊥AB于F， ∠DGC=105°，∠BCG=75°，求∠1+∠2的度数． A D B C 1 2 A E A B C D E F 2 3 1 4 5 6 B C A D E F G 2 1
平行线的判定和性质的综合应用 一、选择题 B C D F
3. 如图，若AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E =∠F ，为什么？ 4、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°， 求 ∠A 的度数． 5、如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连结PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．） （1）当动点P 落在第①部分时，试说明：∠APB =∠PAC +∠PBD ． （2）当动点P 落在第②部分时，∠APB =∠PAC +∠PBD 是否成立？ （3）当动点P 落在第③部分时，请全面探究∠PAC ，∠APB ， ∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论， 选择其中一种结论加以说明． 1 2 A B C D E F A D B C 1 2 A E
一、能力提升 1. 如图，已知∠ABC +∠ACB =110°，BO 、CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，EF 过O 与BC 平行， 则∠BOC = ． 2. 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°， 则∠AED ′的度数为 ． 3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠= ． 4.如图,已知∠1+∠2=180°,∠A=∠C,AD 平分∠BDF.求证:BC 平分∠DBE. 5、如图，已知∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°． 求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°． 1 2 3 E D B C′ F C D ′ A 第1题图 第2题图 第3题图 C 1 2 3 A B D F E
平行线的判定和性质测试题 一、选择题 1．下列命题中，不正确的是____ ( ) A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．如图，可以得到DE∥BC的条件是______ ( ) A．∠ACB=∠BAC B．∠ABC+∠BAE=180° C．∠ACB+∠BAD=180° D．∠ACB=∠BAD （2题）（3题）（5题） 3．如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件: (1)∠1=∠2， (2)∠3=∠6， (3)∠4+∠7=180°， (4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a∥b的条件是_________( ) A．(1)(3) B．(2)(4) C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4) 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是________( ) A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 5．如图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是_________．( ) A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠3=∠4 D．∠A=∠C 6．如图，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
87 654 321 A B C D E 教师辅导讲义 学员姓名： 年 级：七年级 课时数： 辅导科目：数学 授课时间： 课 题 平行线及其判定及性质 教学目标 1.理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的两种位置关系； 2.掌握平行公理及其推论，会按要求画平行线； 3.掌握平行线的判定方法，并会运用这些方法进行简单的推理证明； 教学内容 知识回顾 写出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角 同位角： 内错角： 同旁内角： 新课知识 一、平行线的判定 知识点1：平行线的判定1
用该符号语言表示：如图， ∵∠1=∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 两直线平行的判定方法1： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单地说: 同位角相等,两直线平行. 例1.如图，直线a,b都与直线c相交，若∠1=120°，,2=60°，则a∥b.在下列括号中填写推理理由. ∵∠1=120°（）. ∴∠3=60°（）. 又∵∠2=60°（）. ∴∠2=∠3（）. ∴a∥b 知识点2：平行线的判定2 思考：下图中，如果∠1=∠7，能得出AB∥CD吗?写出你的推理过程. 解：∵∠1=∠7 ( ) ∠1=∠3( ) ∴∠7=∠3( )
∴AB∥CD( ) 用该符号语言表示：如图， ∵∠2=∠3（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 两直线平行的判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单地说: 内错角相等,两直线平行. 知识点3：平行线的判定3 下图中，如果∠4+∠7=180°，能得出AB∥CD? 解: ∵∠4+∠7=180 °（） ∠4+∠3=180°（） ∴∠7=∠3（） ∴AB∥CD（） 用该符号语言表示：如图， ∵∠2+∠4=180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 两直线平行的判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单地说: 同旁内角互补,两直线平行.