!
因式分解练习题(提取公因式)
专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
1、ay ax +
2、36mx my -
3、2410a ab +
4、2155a a +
5、22x y xy -
6、22129xyz x y -
7、()()m x y n x y -+-
8、()()2
x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、23
12()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+
2、222(______)R r πππ+=
%
3、2222121211
___()22
gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=
专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2
2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、21
21
()
___()
()n n a b b a n ++-=-为自然数
9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=--
…
11、2
3
()()___()a b b a a b --=- 12、2
4
6
()()___()a b b a a b --=-
专项训练四、把下列各式分解因式。
1、nx ny -
2、2a ab +
3、3246x x -
4、282m n mn +
5、23222515x y x y -
6、22129xyz x y -
7、2336a y ay y -+
8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+
。
11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-
13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+
专项训练五：把下列各式分解因式。
1、()()x a b y a b +-+
2、5()2()x x y y x y -+-
3、6()4()q p q p p q +-+
4、()()()()m n P q m n p q ++-+-
，
5、2()()a a b a b -+-
6、2()()x x y y x y ---
7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+
9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+-
\
11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+-
15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a -----
17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2
()()a x y b y x -+-
$
19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+--
21、234()()()y x x x y y x -+--- 22、2123(23)(32)()()n n a b b a a b n +----为自然数
；
专项训练六、利用因式分解计算。
1、7.6199.8 4.3199.8 1.9199.8?+?-?
2、2.186 1.237 1.237 1.186?-?
3、212019(3)(3)63-+-+?
4、198420032003200319841984?-?
￥
专项训练七：利用因式分解证明下列各题。 1、求证：当n 为整数时，2n n +必能被2整除。
2、证明：一个三位数的百位上数字与个位上数字交换位置，则所得的三位数与原数之差能被99整除。
。
3、证明：2002200120003431037-?+?能被整除。
&
专项训练八：利用因式分解解答列各题。 1、22已知a+b=13，ab=40， 求2a b+2ab 的值。
@
2、322321
32
a b ab +==已知，，求a b+2a b +ab 的值。
因式分解习题(二) 公式法分解因式
专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 》
1、24x -
2、29y -
3、21a -
4、224x y -
5、2125b -
6、222x y z -
7、2240.019m b - 8、221
9a x - 9、2236m n -
10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q -
|
13、2422a x b y - 14、41x -
15、4416a b - 16、4
4411681
a b m -
题型(二)：把下列各式分解因式
1、22()()x p x q +-+
2、 22(32)()m n m n +--
|
3、2216()9()a b a b --+
4、229()4()x y x y --+
5、22()()a b c a b c ++-+-
6、224()a b c -+
题型(三)：把下列各式分解因式 ;
1、53x x -
2、224ax ay -
3、322ab ab -
4、316x x -
5、2433ax ay -
6、2(25)4(52)x x x -+-
7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb -
{
10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、2216()9()mx a b mx a b --+
题型(四)：利用因式分解解答下列各题
1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。
：
2、计算
⑴2
2
758258- ⑵2
2
429171- ⑶2
2
3.59 2.54?-?
]
⑷22222
11111(1)(1)(1)(1)(1)234910---???--
{
专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式
1、221x x ++
2、2441a a ++
3、 2169y y -+
4、2
14
m m ++ 5、 221x x -+ 6、2816a a -+
7、2144t t -+ 8、21449m m -+ 9、222121b b -+
~
10、21
4
y y ++ 11、2258064m m -+ 12、243681a a ++
13、2
2
42025p pq q -+ 14、2
24
x xy y ++ 15、2244x y xy +-
题型(二)：把下列各式分解因式
1、2()6()9x y x y ++++
2、222()()a a b c b c -+++
【
3、2412()9()x y x y --+-
4、22()4()4m n m m n m ++++
5、()4(1)x y x y +-+-
6、22(1)4(1)4a a a a ++++
题型(三)：把下列各式分解因式 {
1、222xy x y --
2、22344xy x y y --
3、232a a a -+-
题型(四)：把下列各式分解因式
1、221
222x xy y ++ 2、42232510x x y x y ++
】
3、2232ax a x a ++
4、22222()4x y x y +-
5、2222()(34)a ab ab b +-+
6、42()18()81x y x y +-++
￥
7、2222(1)4(1)4a a a a +-++ 8、42242()()a a b c b c -+++
9、4
2
2
4
816x x y y -+ 10、2
2
2
2
()8()16()a b a b a b +--+-
,
题型(五)：利用因式分解解答下列各题
1、已知： 2211
128,22
x y x xy y ==++，求代数式的值。
2、33223
22
a b ab +==已知，，求代数式a b+ab -2a b 的值。
3、已知：2220a b c ABC a b c ab bc ac ++---=、、为△的三边，且， `
判断三角形的形状，并说明理由。
因式分解习题(三)
十字相乘法分解因式
(1)对于二次项系数为1
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
)
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例5、分解因式：652
++x x
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即
2+3=5。
1 2
解：652
++x x =32)32(2
?+++x x 1 3
=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672
+-x x
…
解：原式=)6)(1()]6()1[(2
--+-+-+x x 1 -1
=)6)(1(--x x 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习1、分解因式
(1)24142
++x x (2)36152
+-a a (3)542
-+x x
练习2、分解因式
(1)22-+x x (2)1522
--y y (3)24102
--x x
—
（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2
条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2
=))((2211c x a c x a ++
]
例2、分解因式：101132
+-x x
分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11
解：101132
+-x x =)53)(2(--x x
练习3、分解因式：
（1）6752
-+x x （2）2732
+-x x
~
（3）317102
+-x x （4）101162
++-y y
（三）多字母的二次多项式 例3、分解因式：2
2
1288b ab a --
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b
￥
解：2
21288b ab a --=)16(8)]16(8[2
b b a b b a -?+-++
=)16)(8(b a b a -+ 练习4、分解因式
(1)2
2
23y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)2
26b ab a --
例4、22672y xy x +- 例10、232
2+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2
~
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy 练习5、分解因式：
（1）2
2
4715y xy x -+ （2）862
2+-ax x a
综合练习10、
（1）1783
6--x x （2）2
2
151112y xy x --
\
（3）10)(3)(2
-+-+y x y x （4）344)(2
+--+b a b a
（5）2
2
2
2
65x y x y x -- （6）263442
2++-+-n m n mn m
（7）3424422---++y x y xy x （8）2
222)(10)(23)(5b a b a b a ---++
>
（9）1036442
2
-++--y y x xy x （10）2
2
2
2
)(2)(11)(12y x y x y x -+-++
思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2
2
2
2
例5 分解因式：90)242)(32(2
2+-+-+x x x x ．
?
例6、已知1262
4
+++x x x 有一个因式是42
++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．
一、选择题
1．如果))((2
b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )
A ．ab
B ．a ＋b
C ．－ab
D ．－(a ＋b )
￥
2．如果305)(2
2
--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( )
A ．5
B ．－6
C ．－5
D ．6
3．多项式a x x +-32
可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )
A ．10和－2
B ．－10和2
C ．10和2
D ．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是 ( )
A ．22-+x x
B ．x x x 310322+-
C ．242
++x x D ．2
2865y xy x --
5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )
A ．20)(13)(22++-+y x y x
B ．20)(13)22(2
++-+y x y x
《
C ．20)(13)(22
++++y x y x D ．20)(9)(22
++-+y x y x
6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )
①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652
-+x x ； ④9542
--x x ； ⑤823152
+-x x ； ⑥12112
4
-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
二、填空题
7．=-+1032
x x __________．
8．=--652
m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．
…
9．=--3522
x x (x －3)(__________)．
10．+2
x ____=-2
2y (x －y )(__________)．
11．22
____)(____(_____)+=++
a m
n
a ．
12．当k ＝______时，多项式k x x -+732
有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，36
17=xy ，则代数式3
2232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题
14．把下列各式分解因式：
(1)
6
724+-x x ； (2)
36
524--x x ；
(3)4
2
2
4
16654y y x x +-；
&
(4)
6
33687b
b a a --； (5)
2
34456a
a a --；
(6)4
22
46
9374b a b a a +-．
15．把下列各式分解因式：
(1)2
2
2
4)3(x x --； (2)9)2(2
2
--x x ；
(3)2222)332()123(++-++x x x x ； (4)60)(17)(2
22++-+x x x x ；
:
(5)8)2(7)2(2
2
2
-+-+x x x x ； (6)48)2(14)2(2
++-+b a b a ．
16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，263
3
=+y x ，求a 的值．
—
%
十字相乘法分解因式
题型(一)：把下列各式分解因式
⑴256x x ++ ⑵ 256x x -+
⑶256x x +- ⑷256x x --
`
⑸2710a a -+ ⑹2820b b +-
⑺22215a b ab -- ⑻422318a b a b --
题型(二)：把下列各式分解因式
⑴2
2
43a ab b -+ ⑵2
2
310x xy y --
⑶22710a ab b -+ ⑷22820x xy y +- }
⑸22215x xy y -- ⑹2256x xy y +-
⑺2
2
421x xy y +- ⑻2
2
712x xy y ++
题型(三)：把下列各式分解因式
⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+- ⑶2
()8()20x y x y +++- ⑷2
()3()28x y x y +-+-
|
⑸2()9()14x y x y +-++ ⑹2()5()4x y x y ++++
⑺2
()6()16x y x y +++- ⑻2
()7()30x y x y +++-
题型(四)：把下列各式分解因式
⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----
⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+-
…
⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+
⑺ 223310x y xy y -- ⑻2234710a b ab b -+
]
因式分解习题(四) 分组分解因式
练习：把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.
(1)a 2－ab+3b －3a ； (2)x 2－6xy+9y 2
－1； 解
》
(3)am －an －m 2+n 2； (4)2ab －a 2－b 2+c 2
.
第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.
第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式"
继续分解因式.
第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.
第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.
把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运
用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.
这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.
二、新课
例1 把am+bm+an－cm+bn－cn分解因式.
例2 把a4b+2a3b2－a2b－2ab2分解因式.
例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.
三、课堂练习
把下列各式分解因式：
(1)a2+2ab+b2－ac－bc；(2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；
(3)4a2+4a－4a2b+b+1；(4)ax2+16ay2－a－8axy；
五、作业
1.把下列各式分解因式：
(1)x3y－xy3；(2) 4x2－y2+2x－y；
(3) a4b－ab4； (4) x4y+2x3y2－x2y-2xy2；
(5) a4+a3+a+1； (6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；
(7)x2+x－(y2+y)；(8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2). （9）7
6
2-
+x
x（10）3
2
2
22
2-
-
+
+
-y
x
y
xy
x