高三数学讲座听后感
20xx年10月16日下午14时，由王海平老师主讲《基础+思考+规范=成功》的讲座在小合班举行，年级组长朱毅佳老师主持，全体高三学生参加了这次数学指导讲座。
王海平老师是中学校长，国家数学教育最高奖项“苏步青数学教育奖”二等奖获得者，他在理论学习、师德修养、教学质量、校本培训、教育科研等方面都有一系列较为突出的成绩，形成了“注重基础、启迪思维、追求创新、教学民主”的教学风格，“夯实基础、渗透思想、内外结合、培养能力”的教学特色，并兼任数学奥林匹克一级教练员，还是《导学先锋》的编订者。
一认识数学他从数学是什么拉开了讲座的起篇，他有趣幽默又激昂的语调，使现场的笑声不断。所以数学应该是什么？是知识，是方法，是艺术，也是乐趣。他强调了数学在其他领域的运用和作用影响，提出数学是在建立一个强大社会的基石，数学史各个学科的基础。推荐了一本m克莱因的《西方文化中的'数字》，鼓励发扬数学理性探索精神。
二3个例子由浅入深哥德巴赫猜想、多元化少元一元方程系数根猜想法、他的老师的出版书《从毛估估开始》。从最简单的问题入手，做透一题胜过百题，数形结合，然后进行推广，举一反三，由小推大，以致变成了可以泛用的数学规律。
三规范是生产力告诫我们要重视审题。他告诉我们读题要读三遍，要充分理解题意，还举了一个例子向我们说明，其实题目本身并不难，难的是我们无法读懂题目，无法理解题目告诉我们的信息，这样自然也就无法做好题。而在读懂了题目之后，问题便迎刃而解了。
四接着讲座进入了最重要的环节，那就是如何提高数学成绩。我们很容易被量变产生质变所迷惑。数学成绩的提高不是仅仅量化的结果，而是不断进行总结的过程。如果你做完了一道比较难的题目，做完后如机械一般进行下一题是远远不够的，将一道题在脑中不断变化，衍生，总结得出普遍的规律才能渐渐的提高成绩。很遗憾由于时间有限，一些精彩的内容只能匆匆带过。
五最后，他向我们推荐《学习改变命运》，提出了“333工程”，即读写三遍、熟用三招、坚守三问，回归思考，简单的事做熟做细，切实解决了同学们渴望学好数学又缺乏良好学习方法的问题。
通过这次的数学讲座，我们体会到：数学不仅是一种方法，一门艺术，或是一种语言，它还是一门有着丰富内容的知识体系。它更是各个学科的基础，是一个强大社会的基石，一种理性的精神。一道简单的数学题，通过不断地思考和研究，能够发展成为世界性的难题。因此，我们在平时的学习中要充分挖掘题目，做透一题，胜过百题。同时我们也要注重规范，克服会而不对，对而不全的问题，将简单的事做熟做细，才能学会数学，学好数学。
2010届高三数学复习专题讲座 数列复习建议 江苏省睢宁高级中学北校袁保金 数列是高中数学的重点内容之一，是初等数学与高等数学的重要衔接点，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系，又有自己鲜明的特点．而且具有内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，所以数列一直是高考考查的重点和热点．纵观江苏省近几年高考数学试卷，数列都占有相当重要的地位，一般情况下都是以一道填空题和一道解答题形式出现，填空题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，具有“小、巧、活、新”的特点，解答题属于中高档难度的题目，甚至是压轴题．具有综合性强、变化多、难度较大特点，重点以等差数列和等比数列内容为主，考查数列内在的本质的知识和推理能力，运算能力以及分析问题和解决问题的能力． 一、考纲解读 2、考纲解读（1）考纲中对数列的有关概念要求为A级，也就是说只要了解数列概念的基本含义，并能解决相关的简单问题．（2）等差数列和等比数列要求都为C级，2010年数学科考试说明中共列出八个C级要求的知识点，等差数列、等比数列占了其中两个，说明这两个基本数列在高考中的地位相当重要．具体要求我们对这两个数列的定义、性质、通项公式以及前n项和公式需要有深刻的认识，能够
系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．这也说明涉及等差数列和等比数列的综合题在高考中一定出现．（3）由于数列这一章含有两个C级要求的知识点，可以命制等差数列、等比数列以及它们之间相互联系的综合题，也可以命制数列与函数、方程、不等式等知识点相融合的综合题，以及数列应用问题，着重考查思维能力、推理论证能力以及分析问题，解决实际问题的能力． 二、考题启示1、考题分布 自2004年江苏省单独命题以来，对数列知识的考查一直是命题的重 2、考题启示（1）数列在高考试卷中占的比重较大，分值约为13%左右，呈一大一小趋势，对等差数列和等比数列都有考查，纵观近几年江苏省高考试题，我们会发现江苏考题与全国卷、其他省市卷数列题有很大区别，具有十分明显的特色，对数列的考查不与其他知识综合，同时也回避了递推数列和不等式，主要揭示等差数列和等比数列内在的本质性的知识，形成江苏卷的一大特色．因此复习中在递推数列方面，特别是利用递推数列求通项，要大胆取舍，不要深挖．（2）客观题主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质，突出了“小、巧、活、新”的特点，属容易题或中档题．主观题年年都考，且以中等和难度较大的综合题出现，常放在压轴题的位置．回顾江苏省单独命题以来，对数列的考查可以称得上到了极致．如2007年、2008年在倒数第二题，2005年、2006年在最后一题，2009年数列题前移到第17题，以中等题形式出现，这一显著地变化似乎一种信号，具有一定的导向作用．
1 / 4 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2 换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解 例1 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x ) 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0 题目高中数学复习专题讲座应用性问题 高考要求 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题 高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求 重难点归纳 1 解应用题的一般思路可表示如下： 数学解答 数学问题结论 问题解决数学问题实际问题 2 解应用题的一般程序 （1）读 阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础 （2）建 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关 （3）解 求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程 （4）答 将数学结论还原给实际问题的结果 3 中学数学中常见应用问题与数学模型 （1）优化问题 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决 （2）预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决 （3）最（极）值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值 （4）等量关系问题 建立“方程模型”解决 （5）测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决 典型题例示范讲解 例1为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经 沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米， 已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反 比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时， 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的 面积忽略不计）？ B A 高三数学第二轮专题讲座复习：数列的通项公式与求和的常用方 法 高考要求 数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 重难点归纳 1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性 2 数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式 a n =???≥-=-2,1,11n S S n S n n 3 求通项常用方法 ①作新数列法 作等差数列与等比数列 ②累差叠加法 最基本形式是 a n =(a n －a n －1+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1 ③归纳、猜想法 4 数列前n 项和常用求法 ①重要公式 1+2+…+n =21n (n +1) 12+22+…+n 2=6 1n (n +1)(2n +1) 13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=4 1n 2(n +1)2 ②等差数列中S m +n =S m +S n +mnd ，等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n ③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项 等)! 1(1!1)!1(1,C C C ,ctg2ctg 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=?+-=++-n n n ααn n n n n n n n r n r n n n α ④错项相消法 ⑤并项求和法 数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 典型题例示范讲解 例1已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，求数列{a n }和{b n }的通项公式； 解 ∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2， ∴22 13)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2 换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解 例1 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求 f (x ) 的表达式 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0 芦溪中学2008年复课备考《导数》（文科）专题讲座 一、基础训练： 1． 曲线313y x x = +在点4 (1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ．29 C ．13 D ．23 解：曲线32 112,3y x x y x k '=+?=+?=在点4(1,)3 处的切线方程是42(1)3y x -=-，它与坐标轴的 交点是(31 ，0)，(0，－32)，围成的三角形面积为19 ，选A 。 2．设32:()21p f x x x mx =+++在()-∞+∞， 内单调递增，4 :3 q m ≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 解：()f x 在()-∞+∞， 内单调递增，则()f x '在()-∞+∞，上恒成立。 23400x x m ?++≥?≤?从而43m ≥；反之，4 :3 q m ?≥()0f x '≥， ()f x ∴在()-∞+∞，内单调递增，选C 。 3．曲线32 242y x x x =--+在点(1，一3)处的切线方程是___________ 解：点(1，-3)在曲线32242y x x x =--+上，故切线的() '2 11|344|5x x k y x x ====--=- ∴切线方程为()351y x +=--，即520x y +-= 4．已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= . 解：令123)('2 -=x x f ＝0，得1x ＝2，2x ＝－2，)3(-f ＝17，f （3）＝－1， f （－2）＝24， f （2）＝－8，所以，M －m ＝24－（－8）＝32。 二、例题精讲： 例1．设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[0,3]x ∈，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。 解：（1）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即 66302 41230a b a b ++ =?? ++=?，． 解得3a =-，4b =． 1 / 4 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：函数的连续及其应用 高考要求 函数的连续性是新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系 重难点归纳 1 深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念 等式lim 0 x x →f (x )=f (x 0)的涵义是 (1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在； (2)lim 0 x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义； (3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0 x x →f (x )=f (x 0) 函数f (x )在x 0处连续， 反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的 2 函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的 其情形 (1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0 x x →f (x )≠f (x 0); (2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0 x x →f (x )不存在 3 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法 如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0 x x →f (x )=f (x 0) 典型题例示范讲解 例1已知函数f (x )=2 42+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象； (2)求f (x )的不连续点x 0; (3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数 命题意图 函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映 因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法 知识依托 本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象 错解分析第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解 应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式 技巧与方法 对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答 解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2 因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=2 42+-x x =x － 2, 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：等差数列、等比数列性质的灵活运用 高考要求 等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申 应 用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视 高考中也一直重点 考查这部分内容 重难点归纳 1 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用 2 在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 3 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法” 并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 典型题例示范讲解 例1已知函数f (x )= 4 12 -x (x <－2) (1)求f (x )的反函数f -－1(x ); (2)设a 1=1, 1 1+n a =－f －-1(a n )(n ∈N *),求a n ; (3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25 m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由 命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，考查学生的逻辑分析能力 知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数 单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题 错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点， (2)问以数列{ 2 1n a }为桥梁求a n ,不易突破 技巧与方法 (2)问由式子 4112 1 += +n n a a 得 2 2 1 11n n a a - +=4,构造等差数列{ 2 1n a },从而 求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想 解 (1)设y = 4 12-x ,∵x <－2,∴x =－214y + ,即y =f －-1 (x )=－2 14y + (x >0) (2)∵ 411,1412 2 1 2 1 =- ∴+ =++n n n n a a a a ，∴{2 1n a }是公差为4的等差数列， 高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算 高考要求 极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 重难点归纳 1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限 学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限 2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限 3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如 )1|(|0lim ,0)1(lim <==-∞→∞→a a n n n n n ???? ? ????><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 0 1 1 10110 典型题例示范讲解 例1已知lim ∞ →x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值 命题意图 在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律， 既有章可循，有法可依 因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能力 知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法 错解分析 本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错 技巧与方法 有理化处理 解 b ax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞ →∞ →1)()1(lim )1(lim 2 2 22 b ax x x b x ab x a x +++--++--=∞ →1) 1()21()1(lim 2 222 要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时， 1 / 5 1 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：运用向量法解题 高考要求 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题 重难点归纳 1 解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识 二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想 2 向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题 3 用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考 (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？ (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ 典型题例示范讲解 例1如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD (1)求证 C 1C ⊥BD (2)当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明 命题意图 本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力 知识依托 解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单 错解分析 本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系 技巧与方法 利用a ⊥b ?a ·b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可 (1)证明 设CB =a , CD =b ,1CC c =,依题意，|a |=|b |，CD 、CB 1CC 中两 两所成夹角为θ，于是 DB =a －b ， 1CC BD =c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0, 1 / 5 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：数列的通项公式与求和的常用方 法 高考要求 数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 重难点归纳 1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性 2 数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式 a n =???≥-=-2 ,1,11n S S n S n n 3 求通项常用方法 ①作新数列法 作等差数列与等比数列 ②累差叠加法 最基本形式是 a n =(a n －a n －1+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1 ③归纳、猜想法 4 数列前n 项和常用求法 ①重要公式 1+2+…+n = 21n (n +1) 12+22+…+n 2=6 1n (n +1)(2n +1) 13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)2 ②等差数列中S m +n =S m +S n +mnd ，等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n ③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项 等)! 1(1!1)!1(1,C C C ,ctg2ctg 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=?+-=++-n n n ααn n n n n n n n r n r n n n α ④错项相消法 ⑤并项求和法 数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 典型题例示范讲解 例1已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，求数列{a n }和{b n }的通项公式； 解 ∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2， 哈五中高三数学第二轮复习专题讲座（教师版） 直线、平面、简单几何体 第五课时 题型六求空间距离 【典例５】（２00４福建卷）在三棱锥S—ABC中,△ABC是 边长为４的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=２3,M、 N分别为AB、SB的中点. （Ⅰ）证明：AC⊥SB； （Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小； （Ⅲ）求点B到平面CMN的距离. 分析：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、二面角、点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 若按常规方法解，（１）需作辅助线再构造一平面，可得线面垂直结论，即可证得线先垂直；（２）由三垂线定理作出二面角的平面角，再由直角三角形知识即可求解；（３）由等体积转换ＶＢ—ＣＭＮ=ＶＮ—ＣＭＢ即可求解. 但解此题用下面的空间向量知识解更简捷. 解析：本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到 平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理 能力.满分１２分. 解法一：（Ⅰ）取AC中点D,连结SD、DB.∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SD且AC⊥BD, ∴AC⊥平面SDB,又SB 平面SDB,A M F E D C N B S ∴AC ⊥SB . （Ⅱ）∵AC ⊥平面SDB ,AC ?平面ABC , ∴平面SDB ⊥平面ABC . 过N 作NE ⊥BD 于E ,NE ⊥平面ABC , 过E 作EF ⊥CM 于F ,连结NF , 则NF ⊥CM . ∴∠NFE 为二面角N —CM —B 的平面角. ∵平面SAC ⊥平面ABC ,SD ⊥AC ,∴SD ⊥平面ABC . 又∵NE ⊥平面ABC ,∴NE ∥SD . ∵SN =NB ,∴NE = 21SD =2 122AD SA -= 2 1 412-=2,且ED =EB . 在正△ABC 中,由平几知识可求得EF =41MB =2 1, 在Rt △NEF 中,tan ∠NFE = EF EN =２2, ∴二面角N —CM —B 的大小是arctan ２2. （Ⅲ）在Rt △NEF 中,NF =22EN EF +=2 3, ∴S △CMN = 21CM ·NF =2 33,S △CMB = 2 1 BM ·CM =２3. 设点B 到平面CMN 的距离为h , ∵V B —CMN =V N —CMB ,NE ⊥平面CMB ,∴31S △CMN ·h =3 1 S △CMB ·NE , ∴h = CMN CMB S NE S ?=324.即点B 到平面CMN 的距离为32 4. 解法二：（Ⅰ）取AC 中点O ,连结OS 、OB . ∵SA =SC ,AB =BC , ∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO . 数列单元易错题分析 1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？ 2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？ ① 基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想； ②利用等差（等比）数列性质）. [问题]：在等差数列{}n a 中，369181716-==++a a a a ，其前n S n 项的和为，()求1n S 的最小值；()n n a a a T +++= 212求 3、解决一些等比数列的前n 项和问题，你注意到要对公比1=q 及1≠q 两种情况进行讨论了吗？ 4、在“已知n S ，求n a ”的问题中,你在利用公式1--=n n n S S a 时注意到2≥n 了吗？(1=n 时，应有11S a =) 5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题） [问题]：已知:.,32,111n n n n a a a a 求+==- 6、你知道n n q ∞ →lim 存在的条件吗？（)11≤<-q ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？ 你知道无穷数列}{n a 的前n 项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？ 7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法) *8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳 假设”吗？ 1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论. 2、.(1)、（2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论. 例题选讲 1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题： 例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝n 3－2； 【错解】由公式a n =s n －s n －1得：（1）a n =10n －2; （2）123n n a -=? 【分析】应该先求出a 1，再利用公式a n =s n －s n －1()2n ≥求解. 【正解】（1）a n =10n －2; （2）1 1 (1)23 (2)n n n a n -=?=??≥? 关于高考备考复习培训心得体会 本次参加了山西省太原市2018届高考数学备考教学研讨会培训，是幸运的，也是必需的。这次培训收获颇多，也让我从心底里对新课标下的高考有了更深层次的理解。我仅数学学科谈一点自己对于备考的体会: 一．研究考纲考题，把握命题方向 本次学习主要是针对高中教师的自身提高，了解命题人的心思，出发点，以及如何根据课标进行命题。 首先专家以去年的北京考题的解析几何题为原型，分析了它所考查的知识点，如何降低难度，如何根据课标转化题型，以及给了同一道题的不同的突破点和思路。 然而对于我们这些新教师，刚上高三，不知道如何有效高效的复习，不能很好的掌握重点难点以及命题深度，应该从哪些方面来复习，时间上应该怎么来把握？ 对于这点专家觉得现在应该抓住这么几点，第一，应该回归教材，回归课本。紧扣考试说明，根据考试说明能力各方面的要求系统的把教材再过一遍。第二点，可以把近年高考试题做一遍或者是看一遍，因为这是最好的资料。不要再翻那些乱七八糟的复习资料了，抓住这两点，实际上抓住了高考的最根本点。高考教材的内容会占到80％左右。第三点，要调整好心理状态，因为他自己的观点，在春节的时候，能考上一流还是二流，这个成绩 已经基本定型了。现在主要打的还是心理战，一定要把心态放平衡。这样你才能在高考当中取得最后的胜利。 二．提高复习效率 现在复习的重点，一方面回归课本，另一方面要回归到我们高考数学大纲当中，从中间把握一些重点。因为确实考试当中，大部分是基础方面的题型。所以抓住基础，就可以达到大部分的分值。另一方面专家提到了要回归试卷。还有我们最重要的还是要摆正心态，因为心态是决定这场战役成败的非常重要的点了。 另外专家还给我们讲了关于数学高考复习的重点，根据恢复高考20多年来数学命题的情况，他认为，高考命题的重点大约是这么几个方面。第一，函数。中学数学是以函数为纲的，在高考中，函数所占的比重大约是35％左右，所以大家一定要把函数方面的内容复习得非常好。特别是应用问题，这些都是用函数去处理。比如数列、三角函数这些都是函数。第二个重点是立体几何。现在咱们大部分用的是新编教材，这个新教材的特点是知识面广，但是要求的浅了。所以，新加了很多内容。比如向量，向量是高一第五章，向量在高考里，也体现得比较多。特别是在立体几何这个地方。 三．反思自己的教学 根据专家们命题趋势的分析可知，让学生全面掌握和准确理解学科主干知识是分析解决问题的前提。没有坚实的基础知识储备，根本无法取得理想的高考成绩！针对我校学生，更不能忽略主干基 关于2018年高考备考复习培训心得体会 本次参加了山西省太原市2018届高考数学备考教学研讨会培训，是幸运的，也是必需的。这次培训收获颇多，也让我从心底里对新课标下的高考有了更深层次的理解。我仅数学学科谈一点自己对于备考的体会: 一．研究考纲考题，把握命题方向 本次学习主要是针对高中教师的自身提高，了解命题人的心思，出发点，以及如何根据课标进行命题。 首先专家以去年的北京考题的解析几何题为原型，分析了它所考查的知识点，如何降低难度，如何根据课标转化题型，以及给了同一道题的不同的突破点和思路。 然而对于我们这些新教师，刚上高三，不知道如何有效高效的复习，不能很好的掌握重点难点以及命题深度，应该从哪些方面来复习，时间上应该怎么来把握？ 对于这点专家觉得现在应该抓住这么几点，第一，应该回归教材，回归课本。紧扣考试说明，根据考试说明能力各方面的要求系统的把教材再过一遍。第二点，可以把近年高考试题做一遍或者是看一遍，因为这是最好的资料。不要再翻那些乱七八糟的复习资料了，抓住这两点，实际上抓住了高考的最根本点。高考教材的内容会占到80％左右。第三点，要调整好心理状态，因为他自己的观点，在春节的时候，能考上一流还是二流，这个成绩已经基本定型了。现在主要打的 还是心理战，一定要把心态放平衡。这样你才能在高考当中取得最后的胜利。 二．提高复习效率 现在复习的重点，一方面回归课本，另一方面要回归到我们高考数学大纲当中，从中间把握一些重点。因为确实考试当中，大部分是基础方面的题型。所以抓住基础，就可以达到大部分的分值。另一方面专家提到了要回归试卷。还有我们最重要的还是要摆正心态，因为心态是决定这场战役成败的非常重要的点了。 另外专家还给我们讲了关于数学高考复习的重点，根据恢复高考20多年来数学命题的情况，他认为，高考命题的重点大约是这么几个方面。第一，函数。中学数学是以函数为纲的，在高考中，函数所占的比重大约是35％左右，所以大家一定要把函数方面的内容复习得非常好。特别是应用问题，这些都是用函数去处理。比如数列、三角函数这些都是函数。第二个重点是立体几何。现在咱们大部分用的是新编教材，这个新教材的特点是知识面广，但是要求的浅了。所以，新加了很多内容。比如向量，向量是高一第五章，向量在高考里，也体现得比较多。特别是在立体几何这个地方。 三．反思自己的教学 根据专家们命题趋势的分析可知，让学生全面掌握和准确理解学科主干知识是分析解决问题的前提。没有坚实的基础知识储备，根本无法取得理想的高考成绩！针对我校学生，更不能忽略主干基础知识，求深求难。对于文科来说，死记硬背行不通，不记不背也不行。弄通 第1讲选择题的解题方法与技巧 解法特点概述 选择题是高考数学试卷的三大解法之一．选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是： (1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本解法之一． (2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力．目前，高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件． 解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段． 直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解． 解法一直接对照法 例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)2f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于( ) . 2018年11月14日高中数学作业 温馨提示：（每题4分满分100分时间90分钟）姓名________________ 一、单选题 1．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( ) A．360种B．432种C．456种D．480种 2．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（） A．种B．种C．种D．种 3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种 A．19B．26C．7D．12 4．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（）A．B．C．D． 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A．300种B．150种C．120种D．90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A．105B．95C．85D．75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（） A．种B．种C．种D．种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A．168种B．156种C．172种D．180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（） A．14400B．28800C．38880D．43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（） A．240种B．188种C．156种D．120种 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 排列组合高中数学复习专题讲座(第42讲)应用性问题
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