1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=
（5）) f= r t ) (sin (t （7）) t = (k f kε ( 2 ) （10）) f kε k = (k + - ( ( ] )1 ) 1[
1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8） )]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5） )2()2()(t t r t f -=ε （8） )]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε
信号与系统 （第四章） 龙沪强 Email:hq1956@https://www.doczj.com/doc/6e11802860.html, u2 第4章：连续时间系统的频域分析 ?线性非时变系统的频率响应 ?线性系统对激励信号的响应 ?线性系统的信号失真 ?理想低通滤波器 ?连续时间频率选择性滤波器 ?巴特沃兹滤波器与切比雪滤波器 ?调制与解调 u1 本章基本要求 ?利用傅立叶变换求解系统在非周期信号作用下的零状态响应 ?利用傅立叶级数求解系统在周期信号作用下的稳态响应 ?系统无失真传输与线性失真 ?理想低通、高通和带通滤波器的传输特性 ?调幅信号通过带通系统
幻灯片 2 u2 具体内容包括： 频域系统函数及其求法，非周期信号激励下系统零状态响应的求解，系统无失真传输及其条件，理想 低通滤波器及其响应特性，理想全通、高通、带通、带阻滤波器的单位冲激响应，调制与解调系统， 系统的正弦稳态响应及其求解，非正弦信号激励下的稳态响应及秋季，抽样信号与抽样定理。 user, 2010-10-23 幻灯片 3 u1 如何运用傅立叶变换的方法来求解各种不同的系统（ 信号传输系统、信号处理系统、滤波系统、调制系统、解调系统、抽样系统等），在各种不同激励信号的作用下的零状态响应以及信号在传输过程中 不产生失真（幅度失真和相位失真）的条件。 user, 2010-10-23
本章的重点 ?利用频域方法来求解系统的零状态响应 ?信号在系统中的传输 频域系统函数 利用傅立叶变换的时域卷积定理，可表示为： ) () ()(ωωωj F j y j H f =H (j ω)称为频域函数
频域系统函数的物理意义 ?H （j ω）是系统单位冲激响应h （t ）的傅立叶变换： dt e t h j H t j ∫+∞∞??=ωω)()(? 系统的零状态响应（稳态响应和强迫响应）y f (t )是激励信号e jωt 乘以加 权函数H (j ω)。该加权函数即为频域系统函数H (j ω)。 零状态系统的时域及频域模型 激励信号为f (t ),系统的单位冲激响应h (t )系统的零状态响应y f (t )F (j ω) H (j ω) Y F (j ω) 傅里叶变换LTI 系统的频率响应 统称为系统的频率特性，也称为系统的频率响应（频响） 值得注意的是：系统的频率特性用于描述系统的特 性，而信号的频谱函数是用于描述信号特性 模频特性是ω偶函数，相频特性是ω奇函数
第四章 连续时间系统的复频域分析 一、试写出几个常用信号的拉式变换 二、求下列函数（1）（2）的单边拉式变换（3）（4）的反变换。 1）t e t t f 21)1()(-+==2)2(3++s s 2）t e t t f 222)(-==3)2(2 +s 3）3524)(23+++=s s s s F 4）5 2)(24++=s s s s F 三、已知函数)4()()(--=t A t A t f εε，求)22(-t f 的拉式变换。 四、求图中各信号的拉式变换 五、已知某系统的输入-输出关系，其系统方程为 )(3)(')(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++各激励)()(t t f ε=，初始状态1)0(=-y ， 2)0('=-y ，试求系统的响应)(t y 。
六、图a 所示的电路，激励为)(t u s ，求零状态响应)(t u c 。设（1） )(5)(3t e t u t s ε-=， （2）)(2cos 5)(t t t u s ε=。 七、)(t f 如图中所示，试求： 1）)(t f 的拉式变换； 2）利用拉式变换性质，求的拉式变换和)12()12 1(--t f t f 八、已知如图所示零状态电路，求电压)(t u 。 图a RC 电路
九、已知系统函数1216732)(23++++= s s s s s H 试画出系统的并联模拟框图和级联模拟框图。 十、若描述LTI 系统的微分方程为)()(')('2)(''t f t f t y t y +=+，并已知1)0(=y ，2)0('=y ，激励信号)(t f 如图所示，试求系统的响应)(t y
《机械工程测试技术》
第四章 信号调理、处理和记录
主讲：王建军
山东理工大学?机械工 程学院?测控系
机械工程测试技术基础
第四章 信号的调理与记录
本章学习要求：
1.掌握电桥的工作原理及特性 # 2.掌握信号调制与解调的原理
3.掌握滤波器的分类及其参数
4.了解模拟信号放大电路原理
5. 了解测试信号的显示与记录
第四章
信号调理与记录
★ 信号调理的目的
信号调理的的目的是便于信号的传输、处理与记录。 1. 传感器输出的电信号很微弱，大多数不能 直接输送到显示、记录或分析仪器中去，需 要进一步放大，有的还要进行阻抗变换。 2.有些传感器输出的是电信号中混杂有干扰噪 声，需要去掉噪声，提高信噪比。 3.某些场合，为便于信号的远距离传输，需要 对传感器测量信进行调制解调处理。
第四章
信号调理与记录
信号调理装置按工作原理有 1°转换器：将传感器输出信号转换成便于传输、 放大、处理的装置。 例如：电桥：可将R、C、L→u或i； D/A：数字量→模拟量 A/D：模拟量→数字量 调制器：对信号进行调制； 解调器：对已调信号进行鉴别并还原。 2°放大器：将信号进行放大。 例如：电压（直流、交流）放大器； 电荷放大器
第四章
信号调理与记录
3°运算器：将信号进行相应的运算，获取所 需信号。 例如：加法器、乘法器、积分器、微分器 4°滤波器：对信号进行滤波处理。 例如：低通滤波器、高通滤波器 5°整流器：对信号进行整流检波处理。 例如：相敏整流器
可见，信号调理环节很多，其功能也很丰富，而这些环节 前期课程已作过详细介绍。所以，本章仅从测试的角度 讨论电桥、调制与解调、滤波器、放大器的基本概念。
例4-1 求下列函数的拉氏变换 拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以 表示 单边拉氏变换,以 表示 双边拉氏变换.若文字中未作说明,则 指单边拉氏变换.单边拉氏变换只研究 的时间函数,因此,它和傅里叶变换 之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面.本例只讨论时移 定理.请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。 例4-2 求三角脉冲函数 如图4-2（a ）所示的象函数 和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求解。 方法一：按定义式求解 方法二：利用线性叠加和时移性质求解 方法三：利用微分性质求解 方法四：利用卷积性质求解 方法一：按定义式求解 ()() 1-=t tu t f ()s F ()t f ()s F B ()t f 0≥t ()()[]()()()[]s e s s t u t u t L t tu L s F -??? ??+=-+--=-=1111112()t f ()?????<<-<<=其它 02t 1 21t 0 t t t f ()() ( ) () 2 22222221101010102 1011 1 2221112112s s s s s s s st st st st st st st e s e s e s e s e s s e s e s dt te dt e dt e s e s t dt e t dt te dt e t f s F -------------∞--=-++-+--=-++??? ??-=-+==? ??? ?? --- --
信号与系统期末复习作业4及详细答案
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第四章 答案 4-1．拉氏变换法和算子符号法在求解微分方程时的区别和联系？ 解：拉氏变换法和算子符号法都能求解微分方程。拉氏变换法可以把初始条件 的作用计入，这就避免了算子法分析过程中的一些禁忌，便于把微分方程转为代数方程，简化求解过程。但拉氏变换法得到的系统函数可能丢失零输入响应的极点故无法用来求零输入响应，而算子符号法得到的传输算子则能反映出所有零输入响应极点。 4-2．判断下列说法的正误。 （1）非周期信号的拉氏变换一定存在； 错 （2）有界周期信号的收敛域为整个右半平面； 对 （3）能量信号的收敛域为整个s 平面； 错 （4）信号2 t e 的拉氏变换不存在。 错 4-3．求如下信号的拉氏变换。 （1）)sinh(at ；（2）)cosh(at ；（3）t t ωcos ；（4）t t ωsin 。 解：（1）22 111sinh()22at at e e a at s a s a s a --??=?-= ? -+-?? （2）22 111cosh()22at at e e s at s a s a s a -+??=?+= ? -+-?? （3）22 22222 cos () d s s t t ds s s ωωωω-???-=??++?? （4）22222 2sin () d s t t ds s s ωωωωω???-=??++?? 4-4．求图示信号)(t f 的拉氏变换)(s F 。标明其零点和极点。 解：22242(2)()()(2)()(2)t t t t f t e u t e u t e u t e e u t ------=--=-- ) (t f
第四章 信号的调理与记录 4-1 以阻值R =120Ω、灵敏度S g =2的电阻丝应变片与阻值为120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为3V ，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为2με和2000με时，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。 解：这是一个等臂电桥，可以利用等比电桥和差特性表达式求解。 o 1234e 1 ()4U R R R R U R = ?-?+?-? ε=2με时： 单臂输出电压：66o e e 11 22103310V 3μV 44g R U U S U R ε--?= ==????=?= 双臂输出电压：66o e e 11 22103610V 6μV 22 g R U U S U R ε--?===????=?= ε=2000με时： 单臂输出电压：63o e e 11 22000103310V 3mV 44g R U U S U R ε--?= ==????=?= 双臂输出电压：63o e e 11 22000103610V 6mV 22 g R U U S U R ε--?===????=?= 双臂电桥较单臂电桥灵敏度提高1倍。 4-2 有人在使用电阻应变仪时，发现灵敏度不够，于是试图在工作电桥上增加电阻应变片数以提高灵敏度。试问，在下列情况下，是否可提高灵敏度？说明为什么？ 1）半桥双臂各串联一片； 2）半桥双臂各并联一片。 解答：电桥的电压灵敏度为o /U S R R = ?，即电桥的输出电压o R U S R ?=和电阻的相对变化 成正比。由此可知： 1）半桥双臂各串联一片，虽然桥臂上的电阻变化增加1倍，但桥臂总电阻也增加1倍，其电阻的相对变化没有增加，所以输出电压没有增加，故此法不能提高灵敏度； 2）半桥双臂各并联一片，桥臂上的等效电阻变化和等效总电阻都降低了一半，电阻的相对变化也没有增加，故此法也不能提高灵敏度。 4-3 为什么在动态应变仪上除了设有电阻平衡旋钮外，还设有电容平衡旋钮 解答：动态电阻应变仪采用高频交流电给电桥供电，电桥工作在交流状态，电桥的平衡条件为 Z 1Z 3=Z 2Z 4→|Z 1||Z 3|=|Z 2||Z 4|，?1?3=?2?4 由于导线分布、各种寄生电容、电感等的存在，光有电阻平衡是不能实现阻抗模和阻抗角同时达到平衡，只有使用电阻、电容两套平衡装置反复调节才能实现电桥阻抗模和阻抗角同时达到平衡。 4-4 用电阻应变片接成全桥，测量某一构件的应变，已知其变化规律为 ε(t )=A cos10t +B cos100t 如果电桥激励电压u 0=E sin10000t ，试求此电桥的输出信号频谱。 解：接成等臂全桥，设应变片的灵敏度为S g ，根据等臂电桥加减特性得到
第四章 信号的调理与记录 4-4 用电阻应变片接成全桥，测量某一构件的应变，已知其变化规律为 ε(t )=A cos10t +B cos100t 如果电桥激励电压u 0=E sin10000t ，试求此电桥的输出信号频谱。 解：接成等臂全桥，设应变片的灵敏度为S g ，根据等臂电桥加减特性得到 [][]()()()(cos10cos100)sin100001sin(1010000)sin(1010000)21sin(10010000)sin(10010000)2sin10010sin 9990sin10100sin 990022 o e g e g g g g g R u u S t u S A t B t E t R S EA t t S EB t t S EA S EB t t t t ε?= ==+=+--++--=+++ 幅频图为 4-5 已知调幅波x a (t )=(100+30cos Ωt +20cos3Ωt )cos ωc t ，其中f c =10kHz ，f Ω=500Hz 。试求： 1）x a (t )所包含的各分量的频率及幅值； 2）绘出调制信号与调幅波的频谱。 解：1）x a (t )=100cos ωc t +15cos(ωc -Ω)t +15cos(ωc +Ω)t +10cos(ωc -3Ω)t +10cos(ωc +3Ω)t 各频率分量的频率/幅值分别为：10000Hz/100，9500Hz/15，10500Hz/15，8500Hz/10，11500Hz/10。 2）调制信号x (t )=100+30cos Ωt +20cos3Ωt ，各分量频率/幅值分别为：0Hz/100，500Hz/30，1500Hz/20。 调制信号与调幅波的频谱如图所示。 4-6 调幅波是否可以看作是载波与调制信号的迭加？为什么？ 解答：不可以。因为调幅波是载波幅值随调制信号大小成正比变化，只有相乘才能实现。 4-7 试从调幅原理说明，为什么某动态应变仪的电桥激励电压频率为10kHz ，而工作频率为A 调制信号频谱 A n 调幅波频谱 A n (f
第四章 信号调理和记录 教学重点：① 电桥的工作原理 ② 滤波器的分析计算方法 ③ 信号的放大及测试信号的显示与记录 §4－1 电桥 电桥是将电阻、电感、电容等参量的变化转换为电压或电流输出的一种测量电路 电桥按其所采用的激励电源的类型可分为直流电桥与交流电桥；按其工作原理可分为偏值法和归零法两种 一、直流电桥 1 、直流电桥平衡条件： 2、在测试中常用的电桥连接形式有：单臂电桥连接、半桥连接与全桥连接 4231R R R R
二、交流电桥 三、带感应耦合臂的电桥：将感应耦合的两个绕组作为桥臂而组成的电桥 §4－2 调制与解调 调制：使一个信号的某些参数，在另一个信号的控制下，而发生变化的过程 载波：前一个信号称为载波，一般为较高频率的交变信号 调制信号：后一信号，一般为缓变的被测信号 已调制信号：最后输出的信号，它一般便于放大和传输 信号的解调：最终从已调制信号中恢复出调制信号的过程 一、幅值调制与解调 1.调幅：将一个高频正弦信号（或称载波）与测试信号相乘，使载波信号幅值随测试信号的变化而变化． 2.调幅信号的频域分析
一个函数与单位脉冲函数卷积的结果是：将这个函数的波形由坐标原点平移至该脉冲函数处。 3.调幅信号的解调方法
（1）同步解调 若把调幅波再次与原载波信号相乘，则频域的频谱图形将再一 次进行“搬家”，结果是使原信号的频谱图形平移到0和±2f 0的频率处。 （2）包络检波 （3）相敏检波 相敏检波是利用二极管的单向导通作用将电路输出极性互换。其特点是可以鉴别调制信号的极性，所以采用相敏检波时，对调 制信号不必再直流偏置。
第四章习题答案 收集自网络 4.1 由于复指数函数是LTI 系统的特征函数，因此傅里叶分析法在连续时间LTI 系统分析 中具有重要价值。在正文已经指出：尽管某些LTI 系统可能有另外的特征函数，但复指数函数是唯一．．能够成为一切．．LTI 系统特征函数的信号。 在本题中，我们将验证这一结论。 (a) 对单位冲激响应()()h t t δ=的LTI 系统，指出其特征函数，并确定相应的特征值。 (b) 如果一个LTI 系统的单位冲激响应为()()h t t T δ=-，找出一个信号，该信号不具有st e 的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为1。再找出另外两个特征函数，它们的特征值分别为1/2和2，但不是复指数函数。 提示：可以找出满足这些要求的冲激串。 (c) 如果一个稳定的LTI 系统的冲激响应()h t 是实、偶函数，证明cos t Ω和sin t Ω实该系统的特征函数。 (d) 对冲激响应为()()h t u t =的LTI 系统，假如()t φ是它的特征函数，其特征值为λ，确定()t φ应满足的微分方程，并解出()t φ。 此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。 解：(a) ()()h t t δ=的LTI 系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值 为1。 (b) ()()h t t T δ=-，∴()()x t x t T →-。如果()x t 是系统的特征函数，且特征值为 1，则应有()()x t x t T =-。满足这一要求的冲激序列为()()k x t t kT δ∞ =-∞ = -∑。 若要找出特征值为1/2或2的这种特征函数，则可得： 1 ()()()2 k k x t t kT δ∞ =-∞=-∑， 特征值为1/2。 ()2()k k x t t kT δ∞ =-∞ = -∑， 特征值为2。 (c) 1cos ()2 j t j t t e e ΩΩ-Ω= +
第四章 信号调理 （一）填空题 1、 电桥的作用是把电感、电阻、电容的变化转化为 电压或电流 输出的装置。 2、 在桥式测量电路中，按照 激励电压 的性质，电桥可分为直流和交流电桥。 3、 在桥式测量电路中，根据工作时阻抗参与变化的 桥臂数 可将其分为半桥与全桥测量电路。 4、 调幅是指一个高频的正（余）弦信号与被测信号 相乘 ，使高频信号的幅值随被测信号的 变化 而变化。信号调幅波可以看作是载波与调制波的 相乘 。 5、 调频波的解调又称为 鉴频 。 6、 调频是利用信号电压的 幅值 控制一个振荡器，使其输出为等幅波，而 频率 与信号电压成正比。 7、 常用滤波器的上、下截止频率1c f 、2c f 的定义为 幅频特性曲线降为最大值的1/倍是对应的频率为截止频率 ，其带宽B ＝ 21c c f f - ，若为倍频程滤波器1c f 与2c f 的关系为 21c f 。 8、 RC 低通滤波器中RC 值愈 大 ，则上截止频率愈低。 （二）选择题 1、 设有一电路，1R 是工作桥臂，2R ，3R ，4R 是固定电阻，且4321R R R R ===。工作时1112R R R ?+→，则电桥输出电压≈y e （ 2 ）。0e 为电桥的电源电压。 （1）0114e R R ? （2）0112e R R ? （3）011e R R ? （4）01 12e R R ? 2、 调幅过程相当于在时域中将调制信号与载波信号 1 。 （1）相乘 （2）相除 （3）相加 （4）相减 3、 电路中鉴频器的作用是 3 。 （1）使高频电压转变成直流电压 （2）使电感量转变为电压量 （3）使频率变化转变为电压变化 （4）使频率转变为电流
一 填空（20） 1. 已知的频谱在)(1t f ),(11ωω?的区间内不为0，的频谱函数在)2(2f ),(22ωω?区 间内不为0，且12ωω>现对信号进行理想取样，则奈亏斯特取样率为 )(*)(21t f t f 3. 非周期连续信号的频谱是 的。 2. 已知一信号x(t)的频谱)(ωj X 的带宽为1ω，则的频谱的带宽为 )2(2t x 4. 求付氏变换1? 8．设为一带限信号，其截至频率)(t f rad/s 8=m ω。现对取样，则不发生混叠时的最大间隔 )4(t f =max T 5 求付氏变换 ?)(,t δ 9. 设为一带限信号，最高频率是100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率 )(t f )3(t f ?t 06. 求付氏变换cos ω 10设为一带限信号，最高频率是100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率 )(t f )(2t f ?t 07. 求付氏变换sin ω 12设为一带限信号，最高频率是100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率 )(t f )()(2t f t f + 13从信号频谱的连续性和离散性来考虑，周期信号的频谱是 。 14．连续周期信号)6cos(3)2cos()(t t t f ππ+=的傅立叶级数 =n a =n b 11设为一带限信号，最高频率是100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率 )(t f )2(*)(t f t f 二 选择题 1．对信号f (t ) = cos (πt +30°) +2sin(4πt +45°)，当取样间隔 T 至多为何值时，f (t )就能唯一地由均匀取样样本f (kT ) (k = 0，1，2，···)确定。 (A) 0.25 s (B) 0.5s (C) 1s (D) 2s
第四章习题 4.6求下列周期信号的基波角频率Q和周期T。 (1 ) e j100t( 2) cos^td)] (3) cos(2t) sin( 4t) ( 4) cos(2p cos(3二t) cos(5「：t) (5) cos^-t) sinqt) ( 6) cos^t) cos^t) cos铸t) 解(l)角频率为0=100 rad/s,周期丁=三=亍2 s 0 100 o ⑵角频率为Q =今rad/s T周期T = -^ = 4 s (3) 角频率为Q = 2rad豊，周期T =—=沢s (4) 角频率为Q = Jr rad/s,周期T = ^ = 2 s 12 (5) 角频率为Q =耳rad/s*周期T = = 8 s 4 ￡2 ⑹角频率为C =盒rad/s,周期T = yy = 60 S 4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数(三角形式或指数形式)。 图4-15
9 ft 1啓 料十 b n = -= /(r)sin(nOr)dt =万 /(f)sin(-^-)dj =￡ I stn 年Q = = 1,2"? 2 J-L 2 (2)周期丁 = 2』=年=兀，则有 :sin(rtz), 心0, 由此可得 1 ft ^ i ri ^ i ri . 帀 T )e _ r ^' dr = — /(r )e _：rlfir dr —可 sin( n-f )e _ df J J —-Jr —『=| 2 J 0 1上厂檢 2iz( 1 — ?i 2) 所含有的频率分量 mkvv _T _f i 7 f 2 2 1 NT ； VN ~T/^ i J.it / 子/ "T k /I 'r ( h > (1)周期 T = 4/ =2囂=h —亍— 戈円则有 由此可得 a n = -^= f T T /(t )cos (riflt )dz = /(Z)cos( J J —苗 乙 J — 2 ] ■ j] T / = —sin 2 ?j;r 2 >dr J??r 2J-j 4.10利用奇偶性判断图 4-18示各周期信号的傅里叶系数中 ? = 0, ± 1, + 2 …
4-1. 根据拉氏变换定义，求下列函数的拉普拉斯变换。 ()()()()()()t at t e t t e t δεδε---+---21 2(2) 3 213 解：(1) ()s F s s -=+ +2121 e (2) ()332s F s s a e -=-+ 4-3. 利用拉变的基本性质，求下列函数的拉氏变换。 ()())()()()()()[()()]()()()() t t t t t t t t t t t t t t δ -----++---+-+- 2121 (2 3 [12e ] 5 e 2 7 e e 12εεεεεε解： () ()()()()()()()()()32 2212221121 3 11e e 115 7 e 11 21 s s s F s F s s s s s s F s F s s s s s -+--=+=+-++=-= ++++++ 4-4. 求图示信号的拉氏变换式。 解： ()();22 22112a e e s s F s s s s --=-- ()()()235e 2e e e s s s F s s ---=+- △4-5. 解：()(),();()(),(). f f f f =∞==∞=201030005 4-6. 求下列函数的拉氏反变换。 ()()() ()() s se s s s s s s s -++++++++2 222226191542 4 6 43144 解：()()()()1542 1e 3 t f t t -=-ε. ()()()()()()[]();t t t t f t t t ------=-+--32234e e 3e e 2εε ()()[()]().262e 4e t t f t t t ε --=+-
第四章 典型例题 【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier 级数。 A T 0 -T 0 t ) (~t x ? ??? ??2 /τO 2/τ- 周期矩形信号 分析： 周期矩形信号)(~t x 是实信号，其在一个周期[T 0/2，T 0/2]的定义为 ???>≤=2/ 02/ )(~ττt t A t x 满足Dirichlet 条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier 级数表示。 解： 根据Fourier 级数系数C n 的计算公式，有 t t x T C t n T T n d e )(~ 1000j 2/2/0ω--?=== --? t A T t n d e 10j 2/2 /0ωττ 2/2/j 000e )j (ττωω=-=--t t t n n T A 2/)2/sin(00τωτωτTn n A =)2 (Sa 00τωτn T A = 故周期矩形信号)(~t x 的指数形式Fourier 级数表示式为 t n n t n n n n T A C t x 00j 00j e )2(Sa )(e )(~ωωτωτ∑∑∞ -∞ =∞-∞=== 利用欧拉公式 2 e e )cos(00j j 0t n t n t n ωωω-+= 可由指数形式Fourier 级数写出三角形式的Fourier 级数，其为 ()t n n T A T A t x n 0001 0cos )2(Sa )2()(~ωτωττ∑ ∞ =+= 结论： 实偶对称的周期矩形信号)(~t x 中只含有余弦信号分量。 【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier 级数。 A -A 1 0.5 -1 t ) (~t x ? ??? ??-0.5 -2 2 周期三角波信号 分析： 周期矩形信号)(~ t x 是实信号，其在一个周期 [1/2，3/2]的表达式为
1-1 试分别指出以下波形是属于哪种信号 题图1-1 1-2 试写出题1-1图中信号的函数表达式。 1-3 已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并 加以标注。 题图1-3 ⑴ )2(1-t x ⑵ )1(1t x - ⑶ )22(1+t x ⑷ )3(2+t x ⑸ )22 (2-t x ⑹ )21(2t x - ⑺ )(1t x )(2t x - ⑻ )1(1t x -)1(2-t x ⑼ )2 2(1t x -)4(2+t x 1-4 已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以 标注。 题图1-4 ⑴ )12(1+n x ⑵ )4(1n x - ⑶ )2 (1n x ⑷ )2(2n x - ⑸ )2(2+n x ⑹ )1()2(22--++n x n x ⑺)2(1+n x )21(2n x - ⑻ )1(1n x -)4(2+n x ⑼ )1(1-n x )3(2-n x 1-5 已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。 题图1-5 1-6 试画出下列信号的波形图： ⑴ )8sin()sin()(t t t x ΩΩ= ⑵ )8sin()]sin(2 1 1[)(t t t x ΩΩ+ =
⑶ )8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+= ⑷ )2sin(1)(t t t x = 1-7 试画出下列信号的波形图： ⑴ )(1)(t u e t x t -+= ⑵ )]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π ⑶ )()2()(t u e t x t --= ⑷ )()() 1(t u e t x t --= ⑸ )9()(2 -=t u t x ⑹ )4()(2 -=t t x δ 1-8试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图。 ⑴ )1(1)(2Ω-Ω= Ωj e j X ⑵ )(1 )(Ω-Ω-Ω =Ωj j e e j X ⑶ Ω -Ω---=Ωj j e e j X 11)(4 ⑷ 21 )(+Ω=Ωj j X 1-9 已知信号)]()([sin )(π--=t u t u t t x ，求出下列信号，并画出它们的波形图。 ⑴ )() ()(221t x dt t x d t x += ⑵ ττd x t x t ?∞-=)()(2 1-10 试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。 题图1-10 1-11 试求下列积分： ⑴ ?∞ ∞--dt t t t x )()(0δ ⑵ ? ∞ ∞ ---dt t t u t t )2()(00δ ⑶ ? ∞ ∞---dt t t t e t j )]()([0δδω ⑷ ?∞ ∞--dt t t )2(sin π δ ⑸ ? ∞ ∞ --++dt t t t )1()2(3δ ⑹ ? --11 2)4(dt t δ 1-12试求下列积分： ⑴ ? ∞ -'-=t d t x ττδτ)()1()(1 ⑵ ?∞ --=t d t x ττδτ)()1()(2 ⑶ ? ∞ ---= t d u u t x ττττ)]1()([)(3
信号与线形系统重要公式 第一章：信号与系统 1.1单位阶跃函数ε(t) 单位冲激函数δ(t ) 1.2冲激函数的性质： '''''() () () ()()(0)() ()()(0) ()()(0)()(0)() ()()(0)()()(1) (0) n n n f t t f t f t t dt f f t t f t f t f t t dt f f t t dt f δδδδδδδδ ∞ -∞ ∞-∞∞ -∞ ===-=-=-??? 1111111' ' ' 11111''11()()()() ()()()()() ()()()()()() ()()() f t t t f t t t f t t t dt f t t t dt f t f t t t f t t t f t t t f t t t dt f t δδδδδδδδ∞ ∞ -∞ -∞ ∞-∞ -=--=-=-=----=-??? '' ()() () 1()()11()()11()()n n n at t a at t a a at t a a δδδδδδ== = ()()() () ()()()()n n n n t t n t t n δδδδ-=-=-为偶数为奇数 1.3线形系统的性质： 齐次性 可加性 [()]()T af af ?=? 1212[()()][()][()]T f f T f T f ?+?=?+? 11221122[()()][()][()]T a f a f a T f a T f ?+?=?+? 零输入响应，零状态响应，全响应 ()[{(0)},{0}]x y T x ?= ()[{0}, {()f y T f ?=? ()()()x f y y y ?=?+? 第二章 连续系统的时域分析法 全解=齐次解（自由响应）()h y t +特解（强迫响应）()p y t 全响应=零输入响应()x y t +零状态响应()f y t ()()()h p y t y t y t =+= ()()x f y t y t + 零输入响应是指激励为零，仅由系统的初始状态所引起的响应，用 ()x y t 表示。 零状态响应是指初始状态为零，仅由激励所 引起的响应，用()f y t 表示。
第四章 随机信号与线性系统 4.１ 引言 确定系统、系统输入、系统输出三者之间的关系是信号与系统分析的中心任务。如果线性系统的输入是随机信号，其输出也是随机信号。此时，对系统输出的测量结果只是随机信号的一次实现，并且随机信号的傅氏变换（如果存在）也是随机信号。因此，随机信号与线性定常系统之间的关系通常是用输入、输出的一、二阶统计特性和系统的特性来表示。 线性系统（因果的）对确定信号的响应分为稳态响应和暂态响应（过渡过程）。类似地，线性系统（因果的）对随机信号的响应可分为平稳情况和非平稳情况。 １．随机信号的渐近平稳性 定义：假设随机信号)(t Y 的一、二阶矩存在（二阶矩过程），若极限 {}==∞→∞ →)()(lim lim t Y E t t y t μ 常数 (4-1) lim ∞ →t {})()()(),(lim τττy t y R t Y t Y E t t R =+=+∞ → (4-2) 成立，则称该随机信号是渐近平稳的。 换句话说，对于渐近平稳的随机信号)(t Y ，存在充分大的T ，在T t >以后，)(t Y 是平稳 的。 2．线性系统响应的渐近平稳性 根据系统理论，线性系统的响应)(t Y 为系统单位冲激响应)(t g 和输入)(t X 的卷积，即 )()()()()(t X t g d t X g t Y *=-=?∞ ∞ -τττ (4-3) 【对于因果系统: )()()()()()()(0 t X t g d t X g d t X g t Y t *=-=-= ?? ∞ ∞ -ττττττ 对于连续单输入－单输出线性系统，如果输入信号)(t X 是随机的，则输出信号)(t Y 也是随机信号，)(t Y 的每一个样本)(t y 由)(t X 的样本)(t x 与所给定系统的冲激响应)(t g 的卷积求得，即 )()()()()(t x t g d t x g t y *=-=?∞ ∞ -τττ (4-3) 】 将式(4-3)两边求数学期望值，得 {}{}??∞ ∞ -∞∞ -*=-=-==)()()()()()()()(t t g d t g d t X E g t Y E t x x y μττμττττμ 由此可见，系统输出)(t Y 的期望值)(t y μ等于输入)(t X 的期望值)(t x μ与系统单位冲激响应 )(t g 的卷积，即 )()()(t t g t x y μμ*= (4-4) 系统输出)(t Y 的自相关函数),(τ+t t R y 为 {})()(),(ττ+=+t Y t Y E t t R y {}))()(())()((ττ+*+?*=t X t g t X t g E { } ))()(())()((222111??∞ ∞ -∞∞ --+?-=τττττττd t X g d t X g E
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=
（5）) f= r t ) (sin (t （7）) t = (k f kε ( 2 ) （10）) f kε k = (k + - ( ( ] )1 ) 1[
1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （ 12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε