微积分课件完整版 微积分课件完整版 微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 词目释义
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿。 （1）运动中速度与距离的互求问题
求物体在任意时刻的速度和加速度； 反过来，已知物体的加速度表为以时间为 变量的函数公式，求速度和距离。这类问 题是研究运动时直接出现的，困难在于， 所研究的速度和加速度是每时每刻都在变 化的。比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能像计算平均速度那样，用移动 的距离去除运动的时间，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是 是无意义的。但是，根据物理，每个 运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。已知速度公式求移动距离 的问题，也遇到同样的困难。因为速度每 时每刻都在变化，所以不能用运动的时间
乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。 （2）求曲线的切线问题 这个问题本身是纯几何的，而且对于 科学应用有巨大的重要性。由于研究天文 的需要，光学是十七世纪的一门较重要的 科学研究，透镜的设计者要研究光线通过 透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角 度以便应用反射定律，这里重要的是光线 与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于 切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现 于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹 上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。
华南理工大学版微积分下课件19
第六节高斯公式和斯托克斯公式 一、高斯公式 定理1：设空间闭区域?Skip Record If...?是由分片光滑的闭曲面 ?Skip Record If...?所围成，函数 ?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上具有一阶连续偏导数，则有 ?Skip Record If...? 或 ?Skip Record If...? 这里?Skip Record If...?是?Skip Record If...?的整个边界曲面的外侧，?Skip Record If...?是?Skip Record If...?上 点?Skip Record If...?出的法向量的方向余弦。 证明：我们只需证明三个等式 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 证明等式最重要的是处理好积分区域！ 证明?Skip Record If...?（如图1） 例1：计算?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为椭球面 ?Skip Record If...?的内侧。 解：利用高斯公式 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...?
?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 例2:计算曲面积分?Skip Record If...?，其中积分曲面?Skip Record If...? 为?Skip Record If...?，并取下侧。（00华） 解：做辅助曲面?Skip Record If...?并取上侧，利用高斯公式 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 点评：高斯公式可以用来简化第二类曲面积分的计算，首先 利用高斯公式时一定要注意积分曲面必须是封闭的，否则要 做辅助曲面，如例2；其次要注意积分曲面所选定的侧，如 例1中的负号就是因为积分曲面选定的内侧； 例3：设函数?Skip Record If...?，?Skip Record If...?在闭区域?Skip Record If...?具有一阶及二 阶连续的偏导数，证明： ?Skip Record If...? 其中?Skip Record If...?为闭区域?Skip Record If...?的整个边界曲面，?Skip Record If...?为函数?Skip Record If...?沿?Skip Record If...? 的外法向量的方向导数，符号?Skip Record If...?。
华南理工大学版微积分下课件33
第三节幂级数 一、函数项级数的概念 函数列：（这些函数定义区间为?Skip Record If...?） ?Skip Record If...? 我们称?Skip Record If...?为函数项级数。对 于?Skip Record If...?，如果?Skip Record If...?收敛，则称?Skip Record If...?为级数?Skip Record If...?的收敛 点，部分和为?Skip Record If...?，在收敛域内有?Skip Record If...?；余项 ?Skip Record If...? 二、幂级数及其收敛性 级数?Skip Record If...?称为幂级数，记为?Skip Record If...?。 例14：?Skip Record If...? 例15：判别幂级数?Skip Record If...?的收敛性。 定理1：如果幂级数?Skip Record If...?当?Skip Record If...??Skip Record If...?时收敛，则适 合不等式?Skip Record If...?的一切?Skip Record If...?都收敛；反之如果级数?Skip Record If...?当 ?Skip Record If...?时发散，则适合不等式?Skip Record If...?的一切?Skip Record If...?使幂级数发散。
证明：1）因为?Skip Record If...?收敛，根据必要条件有?Skip Record If...?，数 列?Skip Record If...?有界，即存在常数?Skip Record If...?使得 ?Skip Record If...?恒成立。 ?Skip Record If...? 因为?Skip Record If...?，所以级数?Skip Record If...?收敛，由比较判别法?Skip Record If...?绝 对收敛。 2）反证法。 推论：如果幂级数?Skip Record If...?不是仅在零点收敛也不是在整个实 数轴上收敛，则一定存在一个正实数?Skip Record If...?，当?Skip Record If...?时级数 ?Skip Record If...?收敛；当?Skip Record If...?时级数?Skip Record If...?发散。 我们称?Skip Record If...?为级数?Skip Record If...?的收敛半径。称开区间?Skip Record If...?为级 数?Skip Record If...?的收敛区间，如果再判断端点的收敛情况得到的收 敛点集为级数?Skip Record If...?的收敛域。 定理2：如果?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?是幂级数?Skip Record If...?相邻