第5章 假设检验与方差分析

x 抽取简单随机样本n=100袋，测得其平均重量 袋 抽取简单随机样本
为 =149.8克，样本标准差s=0.872克。问该 克 样本标准差 克 生产线的装袋净重的期望值是否为150克（即 克 生产线的装袋净重的期望值是否为 问生产线是否处于控制状态） 问生产线是否处于控制状态）?
6-4
所谓假设检验， 所谓假设检验，就是事先对总体的参数或 总体分布形式做出一个假设， 总体分布形式做出一个假设，然后利用抽取 的样本信息来判断这个假设（原假设）是否 的样本信息来判断这个假设（原假设） 合理， 合理，即判断总体的真实情况与原假设是否 存在显著的系统性差异， 存在显著的系统性差异，所以假设检验又被 称为显著性检验。 称为显著性检验。
6-11
至于小概率的标准是多大？ 至于小概率的标准是多大？这要根据实际问 题而定。假设检验中， 题而定。假设检验中，称这一标准为显著性 水平，用来表示 ，在应用中，通常取α=0.01， 水平，用来表示α，在应用中，通常取 ， α=0.05。一般来说，犯第一类错误可能造成 。一般来说， 的损失越大， 的取值应当越小 的取值应当越小。 的损失越大，α的取值应当越小。 对假设检验问题做出判断可依据两种规则： 对假设检验问题做出判断可依据两种规则： 一是P-值规则；二是临界值规则。 一是 值规则；二是临界值规则。 值规则
z= 149.8 −150 0.872 100
2
= −2.29
6-10
四、显著性水平、P-值与临界值 显著性水平、 值与临界值
小概率事件在单独一次的试验中基本上不会 发生，可以不予考虑。 发生，可以不予考虑。 在假设检验中， 在假设检验中，我们做出判断时所依据的逻 辑是：如果在原假设正确的前提下， 辑是：如果在原假设正确的前提下，检验统 计量的样本观测值的出现属于小概率事件， 计量的样本观测值的出现属于小概率事件， 那么可以认为原假设不可信，从而否定它， 那么可以认为原假设不可信，从而否定它， 转而接受备择假设。 转而接受备择假设。
6-20
六、假设检验的两类错误
显著性检验中的第二类错误是指： 显著性检验中的第二类错误是指：原假设 第二类错误是指 事实上不正确， 事实上不正确，而检验统计量的观测值却落入 了不能拒绝域， 了不能拒绝域，因而没有否定本来不正确的原 假设，这是取伪的错误。 假设，这是取伪的错误。发生第二类错误的概 率 β 是把来自 θ＝ θ 1(θ1≠θ0)的总体的样本 的总体的样本 值代入检验统计量所得结果落入接受域的概 率。
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 50-60 70-80
35% 30% 25% 20%
`
15% 10% 5% 0% 90-100
统计学导论
曾五一 肖红叶 主编
第六章 假设检验与方差分析
第一节 假设检验的基本原理 第二节 总体均值的假设检验 第三节 总体比例的假设检验 第四节 单因子方差分析 第五节 双因子方差分析 第六节 Excel在假设检验与方差分析 在假设检验与方差分析 中的应用
6-2
第一节 假设检验的基本原理
一、什么是假设检验 二、原假设与备择假设 三、检验统计量 四、显著性水平、P-值与临界值 显著性水平、 值与临界值 五、双侧检验和单侧检验 六、假设检验的两类错误 七、关于假设检验结论的理解
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一、什么是假设检验
【例6-1】假定咖啡的分袋包装生产线的装袋 】 重量服从正态分布N（ ）。生产线按每袋 重量服从正态分布 （µ,σ2）。生产线按每袋 净重150克的技术标准控制操作。现从生产线 克的技术标准控制操作。 净重 克的技术标准控制操作
6-6
二、原假设与备择假设
原假设一般用H 表示， 原假设一般用 0表示，通常是设定总体参数等于某 或服从某个分布函数等； 值，或服从某个分布函数等；备择假设是与原假设 互相排斥的假设， 互相排斥的假设，原假设与备择假设不可能同时成 所谓假设检验问题实质上就是要判断H 立。所谓假设检验问题实质上就是要判断 0是否正 若拒绝原假设H 则意味着接受备择假设H 确，若拒绝原假设 0 ，则意味着接受备择假设 1 。 如在例6-1中 我们可以提出两个假设： 如在例 中，我们可以提出两个假设：假设平均袋 装咖啡重量与所要控制的标准没有显著差异， 装咖啡重量与所要控制的标准没有显著差异，记 为 H0 : µ = 150 ；假设平均袋装咖啡重量与所要控制 的标准有显著差异， 的标准有显著差异，记为
双侧 左单侧 右单侧
H0:θ＝θ0 ＝ H0:θ≥θ0 H0:θ≤θ0
H1:θ≠θ0 H1:θ<θ0 H1:θ>θ0
6-19
六、假设检验的两类错误
显著性检验中的第一类错误是指： 显著性检验中的第一类错误是指： 第一类错误是指 原假设事实 上正确，可是检验统计量的观测值却落入拒绝域， 上正确，可是检验统计量的观测值却落入拒绝域， 因而否定了本来正确的假设。 这是弃真的错误。 因而否定了本来正确的假设。 这是弃真的错误。 发 生第一类错误的概率 α 在双侧检验时是两个尾部 的拒绝域面积之和； 在单侧检验时是单侧拒绝域的 的拒绝域面积之和； 面积。 面积。
H1 : µ ≠ 150 。
6-7
三、检验统计量
所谓检验统计量， 所谓检验统计量，就是根据所抽取的样本计 算的用于检验原假设是否成立的随机变量。 算的用于检验原假设是否成立的随机变量。 检验统计量中应当含有所要检验的总体参数， 检验统计量中应当含有所要检验的总体参数， 以便在“总体参数等于某数值” 以便在“总体参数等于某数值”的假定下研 究样本统计量的观测结果。 究样本统计量的观测结果。 检验统计量还应该在“ 成立” 检验统计量还应该在“H0成立”的前提下有 已知的分布， 已知的分布，从而便于计算出现某种特定的 观测结果的概率。 观测结果的概率。
6-5
一个不整的假设检验过程， 一个不整的假设检验过程，包括以下几个步 骤： （1）提出假设； ）提出假设； （2）构造适当的检验统计量，并根据样本计 ）构造适当的检验统计量， 算统计量的具体数值； 算统计量的具体数值； （3）规定显著性水平，建立检验规则； ）规定显著性水平，建立检验规则； （4）做出判断。 ）做出判断。
6-15
显然， 值规则和临界值规则是等价的 值规则和临界值规则是等价的。 显然，P-值规则和临界值规则是等价的。在 做检验的时候，只用其中一个规则即可。 做检验的时候，只用其中一个规则即可。 P-值规则较之临界值规则具有更明显的优点。 值规则较之临界值规则具有更明显的优点。 值规则较之临界值规则具有更明显的优点 这主要是：第一，它更加简捷；第二， 这主要是：第一，它更加简捷；第二，在值 规则的检验结论中， 规则的检验结论中，对于犯第一类错误的概 率的表述更加精确。 率的表述更加精确。 推荐使用P-值规则。 推荐使用 值规则。 值规则
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（一）P-值规则 值规则 所谓P-值 实际上是检验统计量超过 大 所谓 值，实际上是检验统计量超过(大 于或小于)具体样本观测值的概率。如果 于或小于 具体样本观测值的概率。如果P-值 具体样本观测值的概率 小于所给定的显著性水平，则认为原假设不 小于所给定的显著性水平， 太可能成立；如果 值大于所给定的标准 值大于所给定的标准， 太可能成立；如果P-值大于所给定的标准， 则认为没有充分的证据否定原假设。 则认为没有充分的证据否定原假设。
Z= x − E(x) ~ N(0 , 1) V(x)
（ 6.1） ）
µ =150，在原假设为真时，式（ 6.1）可以写作 ，在原假设为真时， ）
Z= x −150 ~ N(0 , 1) V (x)
由第五章可知， 由第五章可知 ， Ｅ （ x ） = µ 。 由于原假设是
（6.2）
6-9
Hale Waihona Puke 仍然由第五章可知， （ 仍然由第五章可知， V（ x ） =σ 2/n，以及 ，
（二）临界值规则
假设检验中，还有另外一种做出结论的方法： 假设检验中，还有另外一种做出结论的方法： 根据所提出的显著性水平标准（ 根据所提出的显著性水平标准（它是概率密度曲线的 尾部面积）查表得到相应的检验统计量的数值， 尾部面积）查表得到相应的检验统计量的数值，称 作临界值，直接用检验统计量的观测值与临界值作 临界值， 比较，观测值落在临界值所划定的尾部（ 比较，观测值落在临界值所划定的尾部（称之为拒 绝域）内，便拒绝原假设；观测值落在临界值所划 绝域） 便拒绝原假设； 定的尾部之外（称之为不能拒绝域）的范围内， 定的尾部之外（称之为不能拒绝域）的范围内，则 认为拒绝原假设的证据不足。 认为拒绝原假设的证据不足。这种做出检验结论的 方法，我们称之为临界值规则。 方法，我们称之为临界值规则。
6-21
六、假设检验的两类错误
根据不同的检验问题， 对于 α 和 β 大小 根据不同的检验问题， 的选择有不同的考虑。例如， 的选择有不同的考虑 。例如，在例 6-1 中 ， 如果检验者站在卖方的立场上， 如果检验者站在卖方的立场上 ， 他较为关心 的是不要犯第一类错误， 的是不要犯第一类错误 ， 即不要发生产品本 α 来合格却被错误地拒收这样的事情， 这时， 来合格却被错误地拒收这样的事情， 这时 ， 要较小。反之， 要较小 。 反之 ，如果检验者站在买者的立场 上 ， 他关心的是不要把本来不合格的产品误 当作合格品收下，也就是说， 当作合格品收下， 也就是说， 最好不要犯第 二类错误，因此， 要较小。 二类错误， 因此 ， β 要较小 。 6-22
6-8
的检验统计量， 【例 6-2】 造例 6-1 的检验统计量，并计算相应的 】 构 样本观测值。 样本观测值。 解：
H0 : µ = 150 ， H1 : µ ≠ 150 。
由于咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从正态 分布， 分布 ， 所以其简单随机样本的均值 x 也服从正态分 布。我们把 x 标准化成为标准正态变量
6-16
的结果， 【例6-4】假定，根据例 的结果，用临界值规则做 】假定，根据例6-2的结果 出判断。 出判断。 解：查表得到，临界值z0.025= –1.96。由于 查表得到，临界值 。 z= –2.29< –1.96，即，检验统计量的观测值落在临界 ， 值所划定的左侧（即落在拒绝域），因而拒绝 ＝ 值所划定的左侧（即落在拒绝域），因而拒绝µ＝ ），因而拒绝 150克的原假设。上面的检验结果意味着，由样本数 克的原假设。上面的检验结果意味着， 克的原假设 据得到的观测值的差异提醒我们： 据得到的观测值的差异提醒我们：装袋生产线的生 产过程已经偏离了控制状态， 产过程已经偏离了控制状态，正在向装袋重量低于 技术标准的状态倾斜。 技术标准的状态倾斜。