2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义
一、选择题
1．若|a |＝2，|b |＝14，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.32 B.34 C.14 D.24
[答案] C
[解析] a ·b ＝|a ||b |cos60°＝2×14×12＝14.
2．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝23，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
[答案] A
[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝
a ·
b |a ||b |＝231×4
＝32.又0≤θ≤π，∴θ＝π6.
3．设a 、b 、c 是三个向量，有下列命题：
①若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c ；
②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；
③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.
其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
[答案] A
[解析] ①中，a ·b －a ·c ＝a ·(b －c )＝0，
又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b －c )，即①不正确；
②中，a ·b ＝0?a ⊥b 或a ＝0或b ＝0，即②不正确；
③中，左边＝9a 2－6a ·b ＋6b ·a －4b 2＝9|a |2－4|b |2＝右边，即④正确．
4．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →
＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )
A ．－32
B ．3 C.32 D ．3
[答案] A
[解析] a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋
1×1×cos120°＝－32.
5．P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →
，则P 是△ABC 的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
[答案] D
[解析] 由P A →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →
＝0，∴PB ⊥CA .
同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心．
6．如右图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )
A.P 1P 2→·P 1P 3→
B.P 1P 2→·P 1P 4→
C.P 1P 2→·P 1P 5→
D.P 1P 2→·P 1P 6→
[答案] A
[分析] 先搞清所涉及的两个向量的夹角，再用数量积的概念进行计算，最后比较大小．
[解析] 设正六边形的边长是1，则P 1P 2→·P 1P 3→
＝1×3×cos30°
＝32；P 1P 2→·P 1P 4→
＝1×2×cos60°＝1；P 1P 2→·P 1P 5→＝1×3×cos90°＝0；P 1P 2→·P 1P 6→＝1×1×cos120°＝－12.
7．已知△ABC 中，若AB 2→＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →
，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
[答案] C
[解析] 由AB 2→－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →
，
得AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →
)，
即AB →·CB →＝BC →·BC →，∴AB →·BC →＋BC →·BC →
＝0，
∴BC →·(AB →＋BC →)＝0，则BC →·AC →＝0，即BC →⊥AC →
，
所以△ABC 是直角三角形，故选C.
二、填空题
8．已知|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为60°，则向量a 在向量b 方向上的投影是________．
[答案] 2
[解析] 向量a 在向量b 方向上的投影是|a |cos60°＝4×12＝2.
9．已知平面上三点A 、B 、C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →
|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →
的值等于________．
[答案] －25
[解析] 由条件知∠ABC ＝90°，∴原式＝0＋4×5cos(180°－C )
＋5×3cos(180°－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－16－
9＝－25.
[点评] 注意AB →与BC →
的夹角不是角B ，应是π－B .
10．(2011～2012·北京东城高三第一学期期末)已知向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________；|2a －b |＝________.
[解析] 由于a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －1＝2，
则a ·b ＝3.
设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝
a ·
b |a ||b |＝12， 又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.
因为|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝28，
所以|2a －b |＝27.
11．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，试问：当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？
[分析] 可利用两个非零向量垂直的等价条件即数量积为零进行求解．
[解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )，
∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0，
即k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，
即k ×52＋(2k －1)×5×4×cos60°－2×42＝0，
∴k ＝1415.∴当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．
＝－29×12－536×12＋718×12×12＝－2.