中考数学每日一练：等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年综合题版答案答案答案
2020年中考数学：图形的性质_三角形_等边三角形的判定与性质练习题
~~第1题~~
(2020郑州.中考模拟) 在△ABC 中，AB=AC≠BC ，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD=BC ，∠BAC=α，∠DBC=β，且α
+β=120°，连接AD ，求∠ADB 的度数．（不必解答）
（1） 小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB 为对称轴构造△ABD 的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC 的形状是三角形；∠ADB 的度数为．（2） 在原问题中，当∠DBC ＜∠ABC （如图1）时，请计算∠ADB 的度数；
（3） 在原问题中，过点A 作直线AE ⊥BD ，交直线BD 于E ，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段BE 的长为．
考点： 等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;~~第2题~~
(2020长春.中考模拟) 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C 作⊙O
的切线交AB 的延长线于点D 。
（1） 求证：CD=CB 。
（2） 如果⊙O 的半径为2，求AC 的长。
考点： 等边三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质;~~第3题~~
(2019宁江.中考模拟)
（1） 如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD.
①求证：四边形BFDE 是菱形；
②直接写出∠EBF 的度数；
（2） 把（1）中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；
（3） 把（1）中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接D E 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.考点： 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;勾股定理;菱形的判定与性质;
答案答案~~第4题~~
(2019云南.中考模拟) 已知△ABC 是边长为4的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA ＝6，点D 是射线OM 上的动点，当点
D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BC
E ， 连接DE ．
（1） 如图1，求证：△CDE 是等边三角形．
（2） 设OD ＝t ，
①当6＜t ＜10时，△BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE 周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t 为何值时，△DEB 是直角三角形（直接写出结果即可）．
考点： 垂线段最短;直角三角形的性质;等边三角形的判定与性质;旋转的性质;~~第5题~~
(2019绍兴.中考模拟) 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC
上的动点（不与点B 、点C 重合），连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 顺时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ ．
（1） 如图1，当点P 在线段BC 上时，请直接写出线段BQ 与CP 的数量关系．
（2） 如图2，当点P 在CB 延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3） 如图3，当点P 在BC 延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ 的长．
考点：
全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;勾股定理;2020年中考数学：图形的性质_三角形_等边三角形的判定与性质练习题答案
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等边三角形的判定和性质 (参考用时:30分钟) 1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A ) (A)3个(B)2个(C)1个(D)0个 2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B ) (A)4 (B)6 (C)4(D)8 第2题图 3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°. 第3题图 4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且 PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .
第4题图 5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度. 第5题图 6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE. 证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°, AB=AC, 所以∠BAE=∠ACD=120°. 因为AE=CD, 所以△ABE≌△CAD. 所以AD=BE. 7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.
证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E. 在△MDF与△CEF中, 因为∠MFD=∠CFE, FD=FE,∠MDF=∠E, 所以△MDF≌△CEF, 所以DM=CE. 因为△ABC为等边三角形, 所以∠A=∠B=60°. 因为DM∥BE, 所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°, 所以△ADM为等边三角形, 所以DM=AD, 所以AD=CE. 8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c. 证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直
全等三角形的性质及判定（讲义） ? 课前预习 1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合 吗，为什么？ ①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形； ③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图． ? 知识点睛 1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做 三角形．三角形可用符号“________”表示． 2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号 “_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________． ? 精讲精练 1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对 应角∠B =∠DEF ，_________，__________． F E D C B A A C B 1 2 O 第1题图 第2题图 2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________， 对应角∠1=∠2，____________，____________． 3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． 4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． E D C B A
13．3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 1．掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．(重点) 2．能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 观察下面图形： 师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？ 生：等边三角形． 师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题． 二、合作探究 探究点一：等边三角形的性质 【类型一】利用等边三角形的性质求角度 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE ＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．
解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°.∵BE ＝DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠D ＝40°. 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握． 【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等 如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ， 垂足为M ，求证：BM ＝EM . 解析：要证BM ＝EM ，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE 为等腰三角形即可． 证明：连接BD ，∵在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝1 2 ×60°＝30°，∠ ACB ＝60°.∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠E .∵∠ACB ＝∠CDE ＋∠E ，∴∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°， ∴BD ＝ED ，△BDE 为等腰三角形．又∵DM ⊥BC ，∴BM ＝EM . 方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法． 【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用 △ABC 为正三角形，点M 是BC 边上任意一点，点N 是CA 边上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠BQM 等于多少度？ 解析：先根据已知条件利用SAS 判定△ABM ≌△BCN ，再根据全等三角形的性质求得∠BQM ＝∠ABC ＝60°. 解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC .在△AMB 和△BNC 中，
相似三角形的定义、判定及性质（习题） ?例题示范 例1：如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点 F 在边CD 上，且CF=3FD，△ABE 与△DEF 相似吗？为什么？ 解：△ABE 与△DEF 相似．理由如下： 在正方形ABCD 中， ∠A=∠D=90°，AB=AD=CD 设AB=AD=CD=4a ∵E 为边AD 的中点，CF=3FD ∴AE=DE=2a，DF=a ∴ AB = 4a = 2 ， AE =2a = 2 DE 2a ∴ AB = AE DF a DE DF 又∵∠A=∠D ∴△ABE∽△DEF ?巩固练习 1.在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x= ， y= ，m= ，n= ．
2.如图，△ADE∽△ABC，AD=BC，BD=4，DE=9，则AD= ， AE = ． EC 3.如图，在△ABC 中，AC=8，BC=10，AB=12，D，E 分别是 △ABC 的边AB，AC 上的动点，且始终满足△ABC∽△AED．当 AE=AC 时，BD= ；当AE=BD 时，AE= ，DE =；BC 在D，E 移动的变化过程中，AD:DE:AE= ． 4.如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个条件： ①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2 =AP ?AB ； ④ AB ?CP =AP ?CB ．其中能判定△ABC∽△ACP 相似的是 ． 第4 题图第5 题图 5.如图，在正三角形ABC 中，D，E 分别在AC，AB 上，且AD = 1 ，AC 3 AE=BE，则有（） A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD
相似三角形的判定和性质 知识讲解 1. 比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等， 即a c b d =（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项． 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项． 比例的性质 （1）基本性质 ①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c （2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： （4）合比性质： （5）等比性质： b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( 黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= AB 0．618AB c b b a =?a c b =?2 d b c a =?= d c b a a c b d =a b c d =c d a b d c b a =?=d d c b b a d c b a ±=±?=2 1 5- ≈
如图，若AB PB PA ?=2 ，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 2. 平行线分线段成比例定理： ① 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3． AB BC =DE EF ;AB AC =DE DF ; BC AC =EF DF . ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 4. 相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形． 5. 相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边的比相等； （2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方． 6. 相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似． 7. 相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
等腰三角形： 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 性质： 1.等腰三角形的两条腰相等； 2.等腰三角形的两个底角相等； 3.等腰三角形是轴对称图形； 4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 判定： 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 等边三角形： 定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。 性质： 1.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，任意边的垂直平分线都是它的对称轴； 2.等边三角形的三个角都相等，每个角都是60°。 判定： 1.三条边都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 3.有两个角是60°的三角形是等边三角形。 直角三角形： 定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。其中，构成直角的两边叫做直角边，直角边所对的边叫做斜边。 性质：1.直角三角形的两个余角互余； 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半； 4.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 判定： 1．有一个角是直角的三角形是直角三角形； 2..有两个角互余的三角形是直角三角形； 3.如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半，那么这个三角形是直角三角形； 4.如果三角形的三边长a、b、c满足于 a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。 角平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边 的距离相等 逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 中垂线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 1 定理三角形两边的和大于第三边 2 推论三角形两边的差小于第三边 5外角2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 3 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°4外角1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和 全等的判定： 6边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两 个三角形全等 7角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等 的两个三角形全等 8推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的 两个三角形全等
第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练） 一．选择题（共8小题） 1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A． 180°B． 220°C． 240°D． 300° 2．下列说法正确的是（） A．等腰三角形的两条高相等C．有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形 B．等腰三角形一定是锐角三角形D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC 为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（） A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25° B． 30°C．45°D． 60° 5．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、A C上的点， 且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（） A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFE C．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF 6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A． 30°B． 45°C． 120°D． 15° 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm 第1 题第4题第5题第7题8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（） A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题（共10小题） 9．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A=_________度． 10．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，则BC=_________cm． 11．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_________三角形． 12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是_________ 13．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN= _________．
相似三角形专讲 【知识要点】 1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2．相似三角形的判定： ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 ②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 ③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 3．相似三角形具有下述性质： ①相似三角形对应角相等、对应边成比例； ②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4．熟悉如图中形如“A ”型，“X ”型，“子母型”等相似三角形。 5.射影定理 AC 2=AD ·BD BC 2=BD ·BA CD 2=AD ·BD 6.位似：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做 位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比. 【典型例题】 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36o，BD 平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD 相似 三角形是（ ）。 A ．△ABC B ．△DAB C ．△ADE D ．△BDC 2．如图2，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 3．如图3，已知在△ABC ，P 为AB 上一点，连结CP ，以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是（ ）。 A ．∠ACP ＝∠ B B ．∠AP C ＝∠ACB C ． AC AP ＝AB AC D ． AC AB ＝CP BC
在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。 在同一三角形中，有两个底角（底角指三角形最下面的两个角）相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。 在同一三角形中，三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的三角形是等腰三角形。（简称：三线合一）。 主要特点 1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（三线合一”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
1、定义 2、三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。 2、性质 1.等边三角形的内角都相等，且均为60度。 2.等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。 3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 4.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 3、判定 ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 ⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 ⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
三角形性质和判定定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
等腰三角形： 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 性质： 1.等腰三角形的两条腰相等； 2.等腰三角形的两个底角相等； 3.等腰三角形是轴对称图形； 4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 判定： 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 等边三角形： 定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。 性质： 1.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，任意边的垂直平分线都是它的对称轴； 2.等边三角形的三个角都相等，每个角都是60°。 判定： 1.三条边都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 3.有两个角是60°的三角形是等边三角形。 直角三角形： 定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。其中，构成直角的两边叫做直角边，直角边所对的边叫做斜边。性质： 1.直角三角形的两个余角互余； 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半； 4.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 判定： 1．有一个角是直角的三角形是直角三角形； 2..有两个角互余的三角形是直角三角形； 3.如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半，那么这个三角形是直角三角形； 4.如果三角形的三边长a、b、c满足于 a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。 角平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边 的距离相等 逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 中垂线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 1 定理三角形两边的和大于第三边 2 推论三角形两边的差小于第三边 5外角2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 3 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°4外角1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和 全等的判定： 6边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两 个三角形全等 7角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等 的两个三角形全等 8推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的 两个三角形全等 9边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形 全等
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．
三角形基本概念与性质 一、考点梳理 1、 三角形的边、角关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. （2）三角形的内角和等于180°，外角和等于360°. （3）三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和. 2、三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线. （1）内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （2）外心： 三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离 相等. （3）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 3、等腰三角形 性质：（1）两底角相等(等边对等角). (2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一) (2)等边三角形的各角都相等，且都等于60°. 判定：（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边). (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 4、多边形的内角和等于()01802?-n ，多边形的外角和等于360° 二、课堂精讲 5、（2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）. A ． 5 B ． 6 C ．11 D ． 16 6、（2012湖南郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）. A ．1cm ，2cm ，4cm B ．4cm ，6cm ，8cm C ．5cm ，6cm ，12cm D ．2cm ，3cm ，5cm 7、（2012滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）. A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 8、（2007广东）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）. A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条边的垂直平分线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、（2008广东）如图1，在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点， 且∠A +∠B=120°，则∠AN M= ° 10、（2008广东）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是___________ 11、（2010广东）正八边形的每个内角为（ ） A ．120o B ．135o C ．140o D ．144o 12、（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．16或20 A M N B C 图1
卓尔教育教师教学辅导教案编号： 授课教师日期时间 学生年级科目 课题全等三角形的性质和判定 教学目标1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 教学重难点 三角形判定的应用 课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□ 建议：___________________________________________________ 教学过程 【要点梳理】 要点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 要点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F 是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 要点四、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【典型例题】 类型一、全等形和全等三角形的概念 1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（） A．B． C．D． 举一反三： 【变式】如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________. 类型二、全等三角形的对应边，对应角 2、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角. 【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三： 【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角. 类型三、全等三角形性质 3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B 逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.
特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式 平行四边形 1.平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，不是轴对称图形。（关于对称性的） （2）平行四边形的对角相等；（关于角的） （3）平行四边形的邻角互补；（关于角的） （4）平行四边形的对边相等；（推论：夹在两条平行线间的平行线段。）（关于边的） （5）平行四边形的对边平行；（关于边的） （6）平行四边形的对角线互相平分。（关于对角线的） （7）连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（关于中点四边形的） 3.平行四边形的判定方法： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（定义判定法） （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角相等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4. 相关计算公式： 平行四边形的面积公式： 底×高；如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则S=ah 平行四边形周长： 2×（底1+底2）；如用“a"表示底1，“b”表示底2，“c“表示平行四边形周长，则C=2（a+b）5.平行四边形中常用辅助线的添法： （1）连结对角线或平移对角线； （2）过顶点作对边的垂线构成直角三角形； （3）连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线； （4）连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形； （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。 矩形 1.矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.矩形的性质： （1）矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，对称轴共有两条；（关于对称性的） （2）矩形的对角相等；（关于角的） （3）矩形的邻角互补；（关于角的） （4）矩形的对边相等；（关于边的） （5）矩形的对边平行；（关于边的） （6）矩形的对角线互相平分；（关于对角线的） （7）矩形的四个角都是直角；（关于角的） （8）矩形的对角线相等。（关于对角线的） （9）矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 3.矩形的判定方法： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（定义判定法）
相似三角形的判定与性质以及应用 考点一：相似三角形的判定与性质 1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC． 2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值． 3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO． （1）已知BD=，求正方形ABCD的边长； （2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
4．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E． （1）求证：△ABD∽△CBE； （2）若BD=3，BE=2，求AC的值．
6．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC 于点G、E． （1）求证：BE2=EG?EA； （2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC． 动点问题： 1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t （秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
全等三角形的性质及判定 1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等． （2）全等三角形的对应边上的高相等， 对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等． （3）全等三角形的周长、面积相等． 3、全等三角形判定方法： （1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ） （2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ） 专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等 例题1：下列说法，正确的是（ ） A.全等图形的面积相等 B.面积相等的两个图形是全等形 C.形状相同的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠=. 【仿练1】如图2，已知ABC ADE ???，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是. 【仿练2】如图 3，ABC ADE ???，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= . 、 图4 E D C B A 图2 图3 M D N B C 图1
三角形全等的判定一（SSS ） 相关几何语言考点 ∵AE=CF ∵CM 是△的中线 ∴_____________( ) ∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF ∴____________________ ∴__________（） AB=AB （ ） 在△ABC 和△DEF 中 ∵?? ? ??___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） 例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？ 例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ． 求证△ACD ≌△CBE ． B F E C A F E D C B A C M B A B A
专题1 相似三角形判定与性质（10.23） 专题知识回顾 1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 2．三角形相似的判定方法: （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4．相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 专题典型训练题
一、选择题 1.（2019年广西玉林市）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（） A．3对B．5对C．6对D．8对 2.（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB ＝6，AC＝4，则AE的长是（） A．1B．2C．3D．4 3.（2019·广西贺州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE△BC，若 AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（） A．5B．6C．7D．8 4.（2019?广西贵港）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD ＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（） A．2B．3C．2D．5 5.（2019?黑龙江哈尔滨）如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，
A C B 直角三角形的性质与判定 学习目标： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法. 3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用. 学习重点及难点 1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 学习过程 一 、预习与交流 1、什么叫直角三角形？ 2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、合作与探究 （1）研究直角三角形性质定理一 如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？ 归纳：定理1： （2）猜一猜 量一量 证一证 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？ 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线. 求证：CD=2 1AB A C B D
C A B D 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 三。知识应用： 例：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。 四：巩固练习 （1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为 ； （2）在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ； （3）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有 ，与∠A 互余的角有 ，与∠B 相等的角有 ，∠A 相等的角有 . 4、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 五：作业.93页A 组1题 六：学习反思： A C B D
相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案） 1．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD． （1）求证：=； （2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°． 2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足． （1）求证：AC2=AF?AD； （2）联结EF，求证：AE?DB=AD?EF． 3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC． （1）求证：△APC∽△ACB； （2）若AP=2，PC=6，求AC的长． 4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD； （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长． 5．已知：如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC． 求证：AB?BC=AC?CD． 6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF?BE=2S 的理由． 7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P． （1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数； ②若AE=2，试求AP?AF的值； （2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长． 8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=． 9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG?DF=DB?EF． 10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H 两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？