导数与函数的单调性、极值 一、高考要求
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.
2.熟记基本导数公式(c ，n
x (n 为有理数)，x
e ，
x a ，ln x ，log a x ，sin x ，cos x 的导数)；
掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
3.理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的充要条件； 会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 二、核心考点
1.利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)求
'()f x ；
(2)确定'()f x 在(),a b 内的符号；
(3)若
'()0f x >在(),a b 上恒成立，则()f x 在
(),a b 上单调递增；
若
'()0f x <在(),a b 上恒成立，则()f x 在
(),a b 上单调递减.
2.用导数求函数单调区间的一般步骤： (1)求'()f x ；
(2)
'()0f x >的解集对应的区间为增区间；
'()0f x <的解集对应的区间为减区间.
2.极大值与极小值 极小值定义：设函数
()f x 在开区间(),a b 内有
定义，0x 是(),a b 内的一个点，如果存在正数
0δ>，对任意()00,x x x δδ∈-+，且
0x x ≠，均有0()()f x f x >，则称0()f x 是
函数()f x 的极小值，称0x 是函数的极小值
点.
极大值定义：设函数
()f x 在开区间(),a b 内有
定义，0x 是(),a b 内的一个点，如果存在正数
0δ>，对任意()00,x x x δδ∈-+，且
0x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是
函数()f x 的极大值，称0x 是函数的极大值
点.
函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点. 注意：
(1)连续函数的极大值、极小值交替出现； (2)极值是局部区域上的最大值或最小值； (3)在间断点或端点处不考虑极值. 3.极值的判定 若0x 满足
'()0f x =，且在0x 的两侧'()f x 异
号，则0x 是()f x 的极值点，0()f x 是极值，
并且如果'()f x 在0x 两侧满足“左正右负”
，则0x 是()f x 的极大值点，0()f x 是极大值；
如果'()f x 在0x 两侧满足“左负右正”
，则0x 是
()f x 的极小值点，0()f x 是极小值.如果左
右不改变符号(即都为正或都为负)，则()f x 在
0x 处无极值.
定义：使导数为零的点(即方程
'()0f x =的实
数根)叫做函数
()f x 的驻点.
注意：可导函数
()f x 的极值点必定是它的驻
点，函数的驻点不一定是极值点. 例如，()3
f x x =，()'
00f
=，但0x =不是
极值点. 4.极值的性质定理：设
()f x 在点0x 处存在导数，且在0x 处
取得极值，那么必有'0()f x =0.
5.求函数
()f x 极值的步骤：
(1)求函数的定义区间；
(2)求出函数的所有驻点及不可导点；(3)上述点将()f x 的定义区间分成单调区间；
(4)写出结论.
6.函数的最大值和最小值(1)在闭区间
[],a b 上连续的函数()f x 必有
最大值与最小值.
(2)函数的最值是比较定义域内的函数值得出的. (3)函数
()f x 在闭区间[],a b 上连续，是()
f x
在闭区间
[],a b 上有最大值与最小值的
充分不必要条件. 例如，
(4)函数在定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 7.求函数最值的步骤(1)求()f x 在开区间(,)a b 内的极值；
(2)将
()f x 的各极值与()f a 和()f b 比较得
出函数
()f x 在[],a b 上的最值.
8.极值与最值
(1)极值是个局部(全局或局部)概念，最值是个全局(全局或局部)概念.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小.
(2)函数的极值不是(是或不是)唯一的.即一个
函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个，也可以没有一个.
(3)极大值与极小值之间无(有或无)确定的大
小关系.一个函数的极大值未必大于极小值.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能(能或不能)成为极值点.而使函
数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
二、能力形成
1.函数f(x)＝(4－x)e x的单调递减区间是() A．(－∞，4)B．(－∞，3)
C．(4，＋∞)D．(3，＋∞)
【答案】D
【解析】
f′(x)＝－e x＋(4－x)·e x
＝e x(3－x)，
令f′(x)<0，又e x>0，
∴3－x<0，
∴x>3.
∴函数f(x)的单调递减区间是(3，＋∞)，故选D.
2.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)
＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有
f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集
为()
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【答案】A
【解析】
f(x)<2x＋1，即f(x)－2x－1<0，
令g(x)＝f(x)－2x－1，
∴g′(x)＝f′(x)－2<0，
∴g(x)在R上为减函数，
且g(1)＝f(1)－2－1＝0.
f(x)－2x－1<0，即g(x)
成立，若x1 e x f(x2)与2e x f(x1)的大小关系为() A．1 e x f(x2)>2e x f(x1) B．1 e x f(x2)<2e x f(x1) C．1 e x f(x2)＝2e x f(x1) D．1 e x f(x2)与2e x f(x1)的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 设g(x)＝f(x) e x，则 g′(x)＝f′(x)e x－f(x)e x (e x)2 ＝f′(x)－f(x) e x， 由题意得g ′(x )>0， 所以g (x )在R 上单调递增， 当x 1 e e x x f x f x <， 所以1e x f (x 2)>2e x f (x 1). 4.若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 【答案】D 【解析】 由f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2，得 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b . ∵函数f (x )在x ＝1处有极值， ∴f ′(1)＝0. ∴12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6. 又a >0，b >0， 由基本不等式，得a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤????a ＋b 22＝????622＝9， 当a ＝b ＝3时，等号成立， 故ab 的最大值是9. 5.若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间(12，3) 上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，5 2) B ．[2，5 2) C ．(2， 103 ) D ．[2， 103 ) 【答案】C 【解析】 若函数f (x )在区间(1 2，3)上无极值点， 则当x ∈(1 2，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0 或f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立. 当x ∈(1 2，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0， 即a ≤x ＋1 x 恒成立， 易知x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，10 3) ∴a ≤2； 当x ∈(1 2，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0， 即a ≥x ＋1x 恒成立，∴a ≥10 3 . 因此要使函数f (x )在(1 2，3)上有极值点， 实数a 的取值范围应是(2， 103 ). 另法：变量分离，变号交点 6.y ＝x 2e x 的单调递增区间是____. 【答案】(－∞，－2)和(0，＋∞) 【解析】 ∵y ＝x 2e x ， ∴y ′＝2xe x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0， ∴x <－2或x >0. ∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞). 7.已知函数f (x )＝ 3x a －2x 2＋lnx (a >0).若函数f (x )在[1，2]上为单调函数，则a 的取值范围是____. 【答案】(0，2 5]∪[1，＋∞) 【解析】 由f (x )＝ 3x a －2x 2＋lnx ，得 f ′(x )＝3a －4x ＋1 x ， 若函数f (x )在[1，2]上为单调函数， 即f ′(x )＝3a －4x ＋1 x ≥0 或f ′(x )＝3a －4x ＋1 x ≤0 在[1，2]上恒成立， 即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1 x 在[1，2]上恒成立. 令h (x )＝4x －1 x ，易知h (x )在[1，2]上单调递 增， 所以3a ≥h (2)或3 a ≤h (1)， 即3a ≥152或3 a ≤3， 又a >0， 解得0 5 或a ≥1. 8.已知函数f (x )＝－1 2 x 2＋4x －3lnx 在区间[t ， t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____. 【答案】(0，1)∪(2，3) 【解析】 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3 x ＝－ (x －1)(x －3) x ， 由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1 9.若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－4 3. (1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的极大值. 【答案】 【解析】 解：(1)由f (x )＝ax 3－bx ＋4，可知 f ′(x )＝3ax 2－b . 于是????? f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43 解得????? a ＝13 b ＝4. 故所求的函数解析式为 f (x )＝1 3x 3－4x ＋4. (2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4 ＝(x －2)(x ＋2). 由f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2; 由f ′(x )>0，得x <－2，或x >2， ∴f (x )在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增； 由f ′(x )<0，得－2 283 . 10.已知函数f (x )＝2ax －a 2＋1 x 2＋1(x ∈R ).当a <0 时，求函数f (x )的单调区间与极值. 【答案】 【解析】 解：由f (x )＝2ax －a 2＋1 x 2＋1，得 f ′(x )＝2a (x 2＋1)－2x (2ax －a 2＋1)(x 2＋1)2 ＝ －2(ax ＋1)(x －a ) (x 2＋1)2 ，a <0， 由f ′(x )＝0，得x ＝a ，x ＝－1 a . 由f ′(x )>0，得x －1 a ， ∴f (x )在(－∞，a )和????－1 a ，＋∞ 上单调递增； 由f ′(x )<0，得－1 a ∴f (x )在????a ，－1 a 上单调递减. 函数f (x )在x ＝a 处取得极大值 f (a )＝1； 函数f (x )在x ＝－1 a 处取得极小值 f ??? ?－1 a ＝－a 2. 11.设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数. (1)当a ＝4 3 时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 【答案】 【解析】 解：对f (x )＝e x 1＋ax 2求导，得 f ′(x )＝e x (1＋ax 2－2ax )(1＋ax 2)2. (1)当a ＝4 3 时， 由f ′(x )＝0，得4x 2－8x ＋3＝0， 解得x ＝12，x ＝3 2 ； 由f ′(x )>0，得x <12，或x >3 2， ∴f (x )在????－∞，12和????3 2，＋∞ 上单调递增； 由f ′(x )<0，得12 2， ∴f (x )在???? 12，32上单调递减. 所以，x ＝12是极大值点，x ＝3 2是极小值点. (2)若f (x )为R 上的单调函数， 则f ′(x )在R 上不变号， 结合f ′(x )＝e x (1＋ax 2－2ax ) (1＋ax 2)2与条件a >0知 ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 解得0≤a ≤1， 又a >0， 所以0 故a 的取值范围是(0，1]. 三、自我尝试 12.函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ≥13 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ≤0 【答案】D 【解析】 由y ＝ax 3－x ，得 y ′＝3ax 2－1， 函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数， 所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立， 即3ax 2≤1恒成立. 当x ＝0时，0≤1恒成立，此时a ∈R ； 当x ≠0时， 若3a ≤1 x 2恒成立，则a ≤0. 综上可得a ≤0. 13.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则a 的取值范围为____. 【答案】(－∞，－1) 【解析】 由y ＝e x ＋ax ，得 y ′＝e x ＋a ， 由y ′＝0得x ＝ln (－a ). 由题意知ln (－a )>0， ∴a <－1. 另法：由y ′(0)＝1＋a <0，得a <－1. 14.f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )<0，对任意正数a ，b ，若a f (x ) x (x >0)， 则F ′(x )＝????f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x ) x 2. 因为x >0，xf ′(x )－f (x )<0， 所以F ′(x )<0， 故函数F(x)在(0，＋∞)上为减函数. 又0 所以F(a)>F(b)，即f(a) a> f(b) b， 则bf(a)>af(b). 故应选A． 15.已知f(x)＝xe x，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若?x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a 的取值范围是____. 【答案】[－1 e，＋∞) 【解析】 ∵?x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，∴f(x)min≤g(x)max. ∵f(x)＝xe x， ∴f′(x)＝e x＋xe x ＝(1＋x)e x， ∴当x>－1时，f′(x)>0，即 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数， 当x<－1时，f′(x)<0，即 f(x)在(－∞，－1)上为减函数， ∴f(x)min＝f(－1) ＝－1·e－1＝－1 e. ∵g(x)＝－(x＋1)2＋a，∴g(x)max＝g(－1)＝a， 依题意可知a≥－1 e. 16.f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋x·f′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式 xf (x )>0的解集为( ) A ．(－4，0)∪(4，＋∞) B ．(－4，0)∪(0，4) C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D ．(－∞，－4)∪(0，4) 【答案】D 【解析】 设g (x )＝xf (x )，则 g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0(x <0)， ∴g (x )在区间(－∞，0)上是减函数， ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴g (x )＝xf (x )是R 上的奇函数， ∴函数g (x )在区间(0，＋∞)上是减函数， ∵f (－4)＝0， ∴f (4)＝0， 即g (4)＝0，g (－4)＝0， ∴xf (x )>0，即g (x )>0， 当x >0时，不等式为g (x )>g (4)， ∴0 当x <0时，不等式为g (x )>g (－4)， ∴x <－4， 故所求的解集为(－∞，－4)∪(0，4)， 故选D ． 17.已知函数11 ()()ln f x m x x m x =++-， (1)当2m =时，求 ()f x 的极大值； (2)当0m >时，讨论()f x 在区间(0,1)上 的单调性. 【答案】 【解析】 解： (1)当2m =时， 51()ln 2f x x x x =+-251 ()1 2f x x x '=--222522x x x -+-= 22 2522x x x -+=- 2 (2)(21) 2x x x --=- (0x >) 由()0f x '=，得1 2x =或2x =时； 由()0f x '<，得1 02x <<或2x >时； 由()0f x '>，得1 22x <<； ∴()f x 在1 (0,)2 和(2,)+∞上单调递减， 在1 (,2)2 上单调递增； 故()f x 的极大值为53 (2)ln 222 f =-. (2)由11 ()()ln f x m x x m x =++-，得 2 1 1()1m m f x x x + '=-- 221 ()1 x m x m x -++=- 2 1 ()() x m x m x --=- (01,0x m <<>) 由 ()=0f x '，得x ＝m 或x ＝ 1m ， ()()111m m m m m -+- =. ①当01m <<时，1 1m m <<， 当(0, )x m ∈时，()0f x '<， ()f x 在(0,)m 上单调递减； 当(, 1)x m ∈时，()0f x '>， ()f x 在(,1)m 上单调递增； ②当1m =时， 1 1m m ==， 当(0,1)x ∈时，2 2 (1)()0x f x x -'=-<， ()f x 在(0,1)上单调递减； ③当1m >时，1 01m m <<<， 当1 (0, )x m ∈时，()0f x '<；()f x 在1 (0,)m 上单调递减， 当1 (,1)x m ∈时，()0f x '>， ()f x 在1 (,1)m 上单调递增. 综上， 当01m <<时， ()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,1)m 上单 调递增； 当1m =时，()f x 在(0,1)上单调递减； 当1m >时， ()f x 在1 (0, )m 上单调递减，()f x 在1 ( ,1)m 上单调递增. 导数的应用—单调性与极值的习题课 【复习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的 单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三 次的多项式函数的极大值、极小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；④利用导数证明函数的单调性； ⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题； 【基础过关】1． 函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则) (x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ； ② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区 间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称 )(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '； ② 求方程)(x f '＝0的 ； ③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负， 那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函 数y ＝)(x f 在这个根处取得 . 【基础训练】 例1．如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数, ()y f x =的图像可能是（ ） 例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( ) 导数与单调性极值最基础值习题 评卷人得分 一.选择题(共14小题) 1.可导函数ｙ=ｆ（x）在某一点的导数值为０是该函数在这点取极值的() A．充分条件B．必要条件 C.充要条件?Ｄ．必要非充分条件 2.函数y＝1＋3ｘ﹣x3有( ) A．极小值﹣1，极大值3?B．极小值﹣2,极大值３ C.极小值﹣1，极大值１ D.极小值﹣2，极大值2 ３.函数f（x）＝ｘ3+ax2﹣３ｘ﹣9，已知f（ｘ)的两个极值点为x1，x２,则x1?ｘ2＝（） Ａ.9 B．﹣９C．1 Ｄ．﹣1 4．函数的最大值为（） A．?Ｂ．e２C．e D．ｅ﹣1 5.已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点，则ａ=（) Ａ．﹣4 B．﹣2 Ｃ．4 Ｄ.2 6．已知函数y=x３﹣3x+c的图象与ｘ轴恰有两个公共点，则c=（) A.﹣2或2? B.﹣9或3 C.﹣１或1 D．﹣3或1 7．设函数f(ｘ）＝xeｘ,则() A.x＝１为f（x)的极大值点 B.ｘ＝１为f(x）的极小值点 C．x=﹣1为f（x)的极大值点?D．x=﹣１为f(x）的极小值点 8.函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值,则实数a的取值范围是（) A.(0，3）?Ｂ.(0，)?C.(0，+∞）?D．（﹣∞,3) ９.已知函数ｆ(x）＝x3+ax２+bx+ａ2在x=1处有极值１0,则f（2)等于（) Ａ.11或18?B．１1 C.1８?D．17或18 １０．设三次函数f(ｘ）的导函数为f′(x)，函数y=x?ｆ′(x)的图象的一部分如图所 示，则正确的是（） A.f（x）的极大值为，极小值为 B．ｆ(x）的极大值为,极小值为 C.f（ｘ)的极大值为f（﹣3),极小值为f(3） D．f（x）的极大值为f（3）,极小值为f(﹣3） 1１．若ｆ（x)=ｘ3+２ax2+3（a+２）x+１有极大值和极小值,则ａ的取值范围是( ）A．﹣a §1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1． 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =． 6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=． 二、讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A 导数的应用（单调性与极值） 一、求函数单调区间 3－3x的单调递减区间是________________ x1、函数y＝ x的单调递增区间是_______________ －3)e(x)＝(x2、函数f 3、函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为() 11A．(0，) B．(，＋∞) aa1B．C．(－∞，) D．(－∞，a) a 4、函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调增区间为________． 2x x5、求函数f(x)＝x(e－1)－的单调区间． 2 a6、已知函数f(x)＝＋x＋(a－1)ln x＋15a，其中a<0，且a≠－1.讨论函数f(x)的x单调性． 二、导函数图像与原函数图像关系 1 导函数正负决定原函数递增递减导函数大小等于原函数上点切线的斜率 导函数大小决定原函数陡峭平缓 1、若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a， b]上的图象可能是() 2、若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是() 2x cos x)·，则函数y＝g(g在其任一点＋1(x，y)处切线斜率为(x)＝3、设曲线yx) (的部分图象可以为 ) 的图象，如图所示，则(xx)的导函数f′()f4、函数 ( 0是极小值点B．x＝x＝1是最小值点 (1,2)上单增在xf D 是极小值点＝．C x2 ．函数()三、恒成立问题2 123+bx+cxf(x)=x-b-∞，+∞）上是增函数，求.若f(x)1、已知函数在（2; 的取值范围 1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性 教学过程 一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？ 【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函 数．相应地' v t h t ()()0 =<， 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与 1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间； 《函数的单调性与极值》教学案设计 教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学难点：利用导数判断函数单调性 教学过程： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 二轮复习导数 （一） 2015. 02. 07 一、 运用导数研究函数的单调性 单调区间： （1） 求单调区间 （2）已知单调区间 （3）在某区间上不单调 运用导数求函数单调区间的思维流程图： 答题步骤： 第一步：求定义域； 第二步：求)(x 'f ； 第三步：令)(x 'f ＝０，求相应的导函数零点值；（是一次型还是二次型？是否有解？有几个解） 第四步：列表分析函数的单调性， （列表实际上就是画数轴，也可以认为是穿根解不等式，首先要做的是比较根的大小以及根于定义域边界的大小） 第五步：由表格写结论。 例1：（2012西城一模）已知函数()e (1)ax a f x a x =?++，其中1-≥a . 求)(x f 的单调区间. 解：2 (1)[(1)1] ()e ax x a x f x a x ++-'=，0x ≠．……………6分 ①当1-=a 时，令()0f x '=，解得1x =-． )(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．……8分 当1a ≠-时，令()0f x '=，解得1x =-，或1 1 x a = +． ②当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1 ( ,)1 a +∞+； 单调递增区间为(1,0)-，1 (0, )1 a +．………10分 ③当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间．…………11分 ④当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1 (0, )1 a +； 单调递增区间为(,1)-∞-，1 ( ,)1 a +∞+．…………13分 1）分类讨论的特点：二次项系数不确定 ，一元二次方程根的大小确定 。 例2：（2012-2013朝阳第一学期期末）已知函数1 ()()2ln ()f x a x x a x =--∈R ．求函数()f x 的单调区间. 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．222 122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-= （1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立， 则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………4分 （2）当0a >时，244a ?=-， （ⅰ）若01a <<， 由()0f x '>，即()0h x >，得1x a <或1x a +>；………………5分 由()0f x '<，即()0h x 《函数的单调性与导数》教学设计 教材分析 1、内容分析 导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础. 由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性. 2、学情分析 在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识. 用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣. 教学目标 依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标： 1、知识与技能目标： 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识. 2、过程与方法目标： 会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间. 3、情感、态度与价值观目标： 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。 教学重点、难点 教学重点：1、利用导数判断函数的单调性. 2、会求不超过三次的多项式的单调区间。 教学难点：1、函数的单调性与导数的关系 2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力. 教学重难点的解决方法 通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题；通过几何画板的动态演示，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解. 教法设计： 1、自主探究法：让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力. 2、比较法：对同一个问题，采用不同的方法，从中体会导数法的优越性. 教学媒体 根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下 1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉; 2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣. 课型：新授课 教学过程 教学过程设计意图 专题一：导数与函数的单调性 题型一：求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为（ ） A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()y f x =的图象是（ ） A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区 2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三：已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数，求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数，求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少？ 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数，求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围。 导数的单调性及极值 1．已知函数()cos x f x xe =（e 为自然对数的底数），当[],x ππ∈-时， ()y f x =的图象大致是（） A. B. C. D. 2．函数x y xe -=，[0,4]x ∈的最小值为（ ） A ．0 B ．1e C.44e D ．22 e 3．已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数'()y f x =的图象如图所示， 则该函数的图象是（ ） A ． B ． C. D ． 4．函数32()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数222log ()33 c y x bx =++的单调递减区间为（ ） A.(,2]-∞- B.[3,)+∞ C.[2,3]-- D.1[,2+∞） 5．函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数'()f x 在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个 6．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足10'() x f x -≤，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +> B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +< D ．(0)(2)2(1)f f f +≥ 7．已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式() ()2230x x f x '-->的解集为 A ．() (),21,-∞-+∞ B ．()(),21,2-∞- C ．()()(),11,13,-∞--+∞ D ．()()(),11,02,-∞--+∞ 8．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 A ．21<<-a B ．63<<-a C ．3-a D ．1-a 9．若函数12 3)(23++-=x x a x x f 在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围为 A.)310,25( B.),310(+∞ C.),3 10[+∞ D.),2[+∞ 10．已知函数()321f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．(),3,?-∞+∞? B ． (() ,3,-∞+∞ C ．?? D ．( 11．设3 21()252 f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 A.7m > B.15727m > C.157727m << D.7m < 12．已知函数()33f x x x =-，若对于区间[]3,2-上任意的12,x x 都有()()12f x f x t -≤，则实数t 的最 小值是（ ） A ．0 B ．10 C ．18 D ．20 13．已知()f x 是定义在()0+∞， 上的可导函数，其导函数为()'f x ，且当0x >时，恒有()()'l n 0f x x x f x +<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()01， B ．()1+∞， C ．()()011+∞，， D ．? 14．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，当0>x 时，有0)()(2>-'x x f x f x 成立，则不等 式0)(>?x f x 的解集是（ ） （A ）),1()1,(+∞?--∞ （B ）)1,0()0,1(?- （C ）),1(+∞ （D ）),1()0,1(+∞?- 15．已知函数 小题快练 1．(2013全国Ⅰ卷理)设曲线1 1 x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．1 2 - D ．2- 2．(2013全国Ⅰ卷改编)设函数2 )1()(x e x x f x --=，则函数()f x 的单调递增区间 为 ,单调递减区间为 . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表: 右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. 3.(2013湖北理)若f(x)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（C ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1） 4.已知函数x bx ax x f 3)(2 3 -+=在1±=x 处取得极值. （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数f (x )的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线y= f (x )的切线，求此切线方程. （1）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即 ?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(2 3 -+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ，则0)(>'x f ，故 f (x )在)1,(--∞上是增函数， f (x )在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故f (x )在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值. （2）解：曲线方程为x x y 33 -=，点)16,0(A 不在曲线上. 设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03 003x x y -=. 因)1(3)(2 00-='x x f ，故切线的方程为))(1(3020 0x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有 )0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得83 0-=x ，解得20-=x . 所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x . 《函数的单调性与导数》-教学设计 《函数的单调性与导数》教学设计 一、设计理念 基于新课标提出的教学要面向全体学生、提倡探究性学习，我倡导“主动参与，乐于探究，交流合作与联系实际”的教学理念，借助多媒体的简洁性、直观性和交互性，注重与现实生活的紧密性，充分调动每位学生的学习热情，建立以“学为主体、教为主导、疑为主轴、动为主线”的教学模式。 二、教学分析 （一）教学内容分析 《函数的单调性与导数》是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章《导数及其应用》的内容.本节课主要学习函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.本节的教学内容属于导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. （二）教学对象分析 学生在高一时已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义、图像的方法解决函数单调性问题。高二的学生对高中的数学体系已经有了一定的认识，具有了较强的分析问题、解决问题的能力. （三）教学环境分析 针对学生面临的问题和本课的重难点，我决定运用文字、视频、几何画板等多媒体资源进行辅助教学，多媒体教学具有信息量大、直 观性强的特点，能提高教学效率,取得更好的教学效果，因此在多媒体教室授课. 三、教学目标 根据新课标要求和对教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标： （一）知识与技能 1．探索函数的单调性与导数的关系； 2．会利用导数判断函数的单调性并会求函数的单调区间； 3．探索三次函数的单调性与系数之间的关系. （二）过程与方法 1．通过对函数单调性与导数关系的探究，让学生经历从具体到抽象，从感性到理性，从特殊到一般的认知过程； 2．培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力和语言的表达能力，领会由特殊到一般，一般到特殊的数学方法，渗透数形结合思想和化归的思想. (三)情感态度价值观 1．通过创设情境，激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度； 2．通过在教学过程中让学生多动手、细观察、勤思考、善总结，培养学生的探究精神. 四、教学重难点 对于函数的单调性与导数的关系，学生的认知困难主要体现在： 导数与函数的单调性 【考纲要求】 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值. 预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）原函数与其导函数的图像问题 例1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）. 【答案】 D C. 【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ． 【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥?在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤?在(,)a b 上为减函数．且 导函数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸. 【变式1】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '， 若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负， 结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项. 导数练习（三）导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 2 1 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） 13．已知函数 2 3 2()4()3 f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围． 14.已知函数d ax bx x x f +++=2 3 )(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。 15．已知函数f (x )＝2x －b (x －1) 2，求导函数f ′(x )，并确定f (x )的单调区间． 强化提高题： 16．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a 导数的应用—单调性与极值的习题课
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