菱形专题复习
一. 填空题
1.．若菱形两条对角线长分别为6 cm和8 cm,则它的周长是________,面积是_________.
2. 菱形的一个内角为120°,平分这个内角的一条对角线长为12 cm,则菱形的周长为
_________.
3. 菱形有_______条对称轴,对称轴之间具有___________的位置关系.
4. 已只菱形周长是24cm,一个内角为60°，则面积为 cm２
5. 若菱形两邻角的比为1:2,周长为24 cm,则较短对角线的长为______________.
6. 若从菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半,则菱形两相邻内角的度数分别是
_______.
7. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°,那么菱形的各角的度数为_____________.
8. 菱形的一个角是60°,边长是8 cm,那么菱形的两条对角线的长分别是____________.
9、如图，已知菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，∠ABC=°。
二、选择题
1. 菱形具有而一般四边形不具有的性质是 ( )
A. 两组对边分别平行
B. 两组对边分别相等
C. 一组邻边相等
D. 对角线相互平分
2. 菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24cm2,则AE=6cm,则菱形ABCD的边长为 ( )
A. 4 cm
B. 5 cm
C. 6 cm
D. 7 cm
3. 在菱形ABCD中,AE⊥BC, AF⊥CD,且BE=EC, CF=FD,则∠AEF等于 ( )
A. 120°
B. 45°
C. 60°
D. 150°
4. 已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为 ( )
A. 45°, 135°
B. 60°, 120°
C. 90°, 90°
D. 30°, 150°
5. 在菱形ABCD中,若∠ADC=120°,则BD:AC等于 ( )
A. 3:2
B. 3:3
C. 1:2
D. 3:1
6．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）．
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC=CD=DA
C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
8．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ）
A 、一组临边相等的四边形是菱形
B 、四边相等的四边形是菱形
C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D 、每条对角线平分一组对
角的平行四边形是菱形
9、如图．若要使平行四边形ABCD 成为菱形．则需要添加的条件是（ ）
A.AB ＝CD
B.AD ＝BC
C.AB ＝BC
D. AC ＝BD 10、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC
上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为
A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是 ( )
A. DE 是△ABC 的中位线
B. AA '是BC 边上的中线
C. AA '是BC 边上的高
D. AA '是△ABC 的角平分线
第10题图 第11题图 第12题图
11、如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）
A ． 32
B ． 33
C ． 34
D ． 3
12、如图，在?ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于
则∠FPC ＝( )
A ．35°
B ．45°
C ．50°
D ．55°
14. 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，5
4A cos =
，则下列结论中正确 的个数为（ ）
①DE
=3cm ； ②EB =1cm ； ③2ABCD 15S cm =菱形．个
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0 A
C D
E A
F A
D
E
B C 第8题图
第9题图
C
第13题图第14题图
三、判断题，对的画“√”错的画“×”
1.对角线互相垂直的四边形是菱形（）
2.一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（）
3.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（）
4.对角线相等的四边形是菱形（）
四、解答题
1、已知菱形ABCD的周长为20 cm,面积为20 cm2,求对角线AC,BD的长.
2、□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？
3、、如图在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D点，过D作DE∥AC交AB于E点, 过D作DF∥AB 交AC于F点. 求证：（1）四边形AEDF是平行四边形；（2）∠2﹦∠3 ；（3）四边形AEDF是菱形。
4、如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作D E∥AB，DE与AC、AE 分别交于点O、点E，连接EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．
5、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
6、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若A B∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，
并说明理由．
矩形专题复习
一、填空题
1、矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。
2、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。
3、矩形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,∠AOB=60°,若BD=10 cm,则AD=_________.
4、矩形的两条对角线的夹角为60，一条对角线与短边的和为15厘米，则短边长为_______________。
5、已知矩形ABCD 的一条对角线AC=12cm ，则另一条对角线BD=____ ____ 。
6、一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为_______________。
7、在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90?, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为____________。
8、若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于
9、矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD,BC 分别交于E,F,则四边形AFCE 是___________。
10、矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________
11、如图，已知矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，记点C 的对应点为C ′，
若∠ADC ′＝20°，则∠BDC 的度数为________．
二、选择题
1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）
A 、对边相等
B 、对角相等
C 、对角线相等
D 、对边平行
2、下列叙述错误的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分。
B.平行四边形的四个内角相等。
C.矩形的对角线相等。
D.有一个角时90o的平行四边形是矩形
3、矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ?的周长比AOB ?的周长大10cm ，则AD 的长是（ ）
A 、5cm
B 、7.5cm
C 、10cm
D 、12.5cm
4、下列命题中正确的是（ ）
A ．对角线相等的四边形是矩形
B ．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C ．有一个角是直角的四边形是矩形
D ．内角都相等的四边形是矩形
5、下列条件中，能判断一个四边形是矩形的是( )
A. 对角相等
B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相垂直且相等
D. 对角线互相平分且相等
6、四边形ABCD 的对角线交于点O ，在下列条件中，不能说明它是矩形的是
（ ） A. AB=CD ，AD=BC ，∠BAD =90° B.∠BAD=∠ABC =90°,∠BAD+∠ADC=180°
C 、∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD
7、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ）
A ．测量两条对角线，是否相等
B ．测量两条对角线，是否互相平分
C ．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角
D ．用曲尺测量对角线，是否互相垂直
8. 过矩形ABCD 的顶点D,作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E,则△DEB 是 ( )
A. 不等边三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
9. 矩形ABCD 中,AB=2BC,E 为CD 上一点,且AE=AB,则∠BEC= ( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
10. 矩形的边长为10和15,其中一个内角平分线分长边为两部分,这两部分的长度分别为( )
A. 6和9
B. 5和10
C. 4和11
D. 7和8
11、如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，
过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ）
A ．5cm
B ．8cm
C ．9cm
D ．10cm 三、判断题：
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）四个角都相等的四边形是矩形；（ ）
（3）对角线相等的四边形是矩形；（ ） （4） 对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）
(5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ）（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
四、解答题
1、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，?=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。
2、如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，BD AE ⊥求AEO ?的面积。
3、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O AFCE 是矩形
4、. 如图：在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，
D
AB=4cm ,AD=34cm
(1) 判定△AOB 的形状
(2) 计算△BOC 的面积
5、如图，在等边三角形ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边三角形ADE.
(1)求∠CAE 的度数；
(2)取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE
是矩形．
6、如图所示，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延
长线上一点，过点A 作BE 的平行线与线段ED 的延长线交于
点F ，连结AE 、CF.
(1)求证：AF ＝CE ；
(2)若AC ＝EF ，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，
并证明你的结论．
7、如图，△ABC 中，点O 是AC 上一个动点，过点O 作直线
MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ，
(1)求证：OE=OF ；
(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形，并证明你的结论。
正方形专题复习
一. 填空题
1. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形,叫做正方形.
2. 正方形的对角线__________且___________,每条对角线平分___________.
3. 已知正方形ABCD 中,AC,BD 交于点O,OE ⊥BC 于E,若OE=2,则正方形的面积为_______.
4、如图，四边形ABCD 是正方形，两条对角线相交于点O ．
（1）一条对角线把它分成_______个全等的________ 三角形；
（2）两条对角线把它分成_______个全等的________三角形；图中一共
有________个等腰直角三角形；（3）∠AOB ＝_____度，∠OAB ＝_____度．
（4）AB: AO: AC=________．
5、正方形ABCD 的边长为1，它的两条对角线相交于点O ，则△ABO 的周长为_____；面积为_______
6、在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 把正方形分成两部分，且:1:5ABE AECD S S ?=梯形， AB=6, 则AE=________
7、如图，E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点，EC=AC ，AE 交CD 于F ，则∠AFC=____
8、如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AE=2, EF= 点E 在AB 上，点F 在AD 上，则CF=_____
9、如图，以正方形ABCD 的对角线BD 为边作正三角形BDE,过E 作EF ⊥AD,交DA 的延长线于F,
则∠AEF=_____；若正三角形BDE
的周长是，正方形面积为_______
10、如图，在正方形ABCD 中，P 是AD 上任一点，PE ⊥AC,PF ⊥BD,点E 、F 分别是垂足，BD+AC=14，则PE+PF=______
第7题图 第8题图 第9题图 第10题
二、选择题
1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A 、四个角相等
B 、对角线互相垂直平分.
C 、对角互补
D 、对角线相等.
2、正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A 、四条边相等.
B 、对角线互相垂直平分.
C 、对角线平分一组对角.
D 、对角线相等.
3、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A ．AC=BD ，A
B ∥CD ，AB=CD B. AD ∥B
C ，∠A=∠C
C. AO=BO=CO=DO ，AC ⊥BD
D. AO=CO ，BO=DO ，AB=BC
4、矩形的各角平分线若相交围成的四边形是（ ）
A 平行四边形
B 菱形
C 矩形
D 正方形
5、正方形一边上任一点到这个正方形两条对角线的距离之和等于对角线的（ ） A 31 B 21 C 4
1 D 2倍 6、E 为正方形ABCD 的BC 延长线上的点，且CE ＝AC ，AE 交CD 于F ，则∠ACE ＝（ ）
A 132.5°
B 125°
C 135°
D 150°
7、正方形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A 1条
B 2条
C 4条
D 无数条
8、边长为a 的正方形的面积与对角线为b 的正方形的面积相等，则a 、b 的大小关系是（ ）
A a>b
B a=b
C a D a ≥b 9．如图4－3－25，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延 长MD 至点E ，使ME ＝MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上， 则DG 的长为( ) A. 3－1 B ．3－ 5 C.5＋1 D. 5－1 10、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D A D E P B C F A B C D E 11、如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边作等边三角形CDE ，BE 与AC 相交于点M ，则∠AMD 的度数是（ ） 三、判别题： 1．四边相等的四边形是正方形。（ ） 2．四个内角相等的四边形是正方形。（ ） 3．邻边相等的平行四边形是正方形。（ ）4．有一个角为直角的平行四边形是正方形。（ ） 5．对角线相等的平行四边形是正方形。（ ）6．正方形既是菱形又是矩形。（ ） 7．对角线垂直且相等的四边形是正方形。（ ）8．正方形具有平行四边形的一切性质。（ ） 四、解答题 1、如图，在正方形ABCD 中，OE=OF. AE=BF 吗？为什么。 2、如图，在正方形ABCD 中，E 是DB 延长线上的一点，且∠ECB=15°.试说明EC=BD 3、已知：如图所示，在正方形ABCD 和正方形AEFG 有一具公共顶点A ，试说明：DG ＝BE 。 4、如图所示，在等腰直角三角形ΔABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，试说明四边形CEDF 为正方形。 5.如图，正方形ABCD 中对角线AC 、BD 相交于O ，E 为AC 上一点，AG ⊥EB 交EB 于G ，AG 交BD 于F 。证明OE=OF 6．（2019?扬州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在边 AB 上，连接CD ，将△BC D 绕点C 顺时针旋转90°至△AC E 位置。 （1）求证：AB ⊥AE ； （2）若BC 2=AD ?AB ，求证：四边形ADCE 为正方形． 特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示： 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组 邻边相等； ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形 专题一：特殊四边形的判定 【知识点】 1.平行四边形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________ 2.矩形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 3.菱形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 4.正方形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 5.等腰梯形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 【练一练】 一．选择题 1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形; D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（） A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（） A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B、AD∥BC，∠A＝∠C C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒． （1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）； （2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值； （3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由． 【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）． （2）S的最大值为，此时x=2． （3）x=，或x=，或x=． 【解析】 试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求； ②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标． （2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式． （3）本题要分类讨论： ①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值； ②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值． ③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值． 试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q， 有题意可得：PQ∥AB， 平行四边形中考专题 A. 53 B. 35 C. 37 D. 45 【答案】B ． 【解析】 试题解析：∵矩形ABCD 沿对角线AC 对折，使△ABC 落在△ACE 的位置， ∴AE =AB ，∠E =∠B =90°， 又∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB =CD ， ∴AE =DC ， 而∠AFE =∠DFC ， ∵在△AEF 与△CDF 中， ， ∴△AEF ≌△CDF （AAS ）， ∴EF =DF ； ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=6，CD=AB=4， ∵Rt△AEF≌Rt△CDF， ∴FC=FA， 设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x， 在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=13 3， 则FD=6﹣x=5 3． 故选B． 考点：1.矩形的性质；2.折叠问题. 14.（2017四川宜宾第7题）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（） A．3 B．24 5 C．5 D． 89 16 【答案】C. 【解析】 试题解析：∵矩形ABCD， ∴∠BAD=90°， 由折叠可得△BEF≌△BAE， ∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF， 在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8， 根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4， 设EF=AE=x，则有ED=8﹣x， 根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2， 解得：x=3（负值舍去）， 则DE=8﹣3=5， 故选C. 考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质． 38.（2017湖南株洲第9题）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（） A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形 专题24 特殊平行四边形的存在性 破解策略 在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形 因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题． 例题讲解 例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2 －2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．经过点A 的直线l ：y ＝ax ＋a 与抛物线的另一交点为C ，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，那么以点A ，C ，P ，Q 为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P 的坐标;若不能，请说明理由． 解：以点A ，C ，P ，Q 为都顶点的四边形能成为矩形． 令ax 2 －2a －3a ＝ax ＋a ．解得x 1＝－1，x 2＝4， 所以点A 的坐标为（－1，0），C 的坐标为（4，5a ）． 因为y ＝ax 2 －2ax －3a ，所以抛物线的对称轴为x ＝1．则x P ＝1． ①若AC 是矩形的一条边，如图， 则x A ＋x P ＝x C ＋x Q ，可得x Q ＝－4，从而点Q 坐标为（－4，21a ）． 同样y A ＋y P ＝y C ＋y Q ，可得y P ＝26a ，从而点P 坐标为（1，26a ）． 因为AC ＝PQ ，所以有22＋（26a ）2＝82＋（16a ）2 ， 解得)(77,7721舍去=- =a a ，此时点P 的坐标为（1，7 726-） ②若AC 是矩形的一条对角线，如图． 则x A ＋x C ＝x P ＋x Q ，可得x Q ＝2，从而点Q 坐标为（2，－3a ）． 同样y A ＋y C ＝y P ＋y Q ，可得y P ＝8a ，从而点P 坐标为（1，8a ）． 因为AC ＝PQ ，所以有52＋（5a ）2＝12＋（11a ）2 ， 算得)(2 1 ,2143舍=- =a a ，所以此时点P 的坐标为（1，－4） 综上可得，以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，7 7 26- ）或（1，－4）． 例2：如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的中心与原点重合，C ，D 两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒． （1）菱形ABCD 的边长是_____，面积是_____，高BE 的长是_____; （2）若点P 的速度为每秒1个单位．点Q 的速度为每秒k 个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形，并求出k 的值． 解：（1）5，24，4．8． 2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案 一、平行四边形 1．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F． 探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数． 归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论； 猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论． 【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析. 【解析】 试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG 度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设 ∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可． 试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣ 30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下： 《平行四边形》中考复习试题及答案 一、选择题 1. (2018·宜宾)在ABCD中，若BAD ∠的平分线交于点E， ∠与CDA 则AED ∠的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 2. (2018·黔西南州)如图，在ABCD中，4 ?的周长 AC=cm.若ACD 为13 cm，则ABCD的周长为( ) A. 26 cm B. 24 cm C. 20 cm D. 18 cm 3. (2018·海南)如图ABCD的周长为36，对角线, AC BD相交于点O， ?的周长为( ) BD=，则DOE E是CD的中点，12 B. 18 C. 21 D. 24 4. ( 2018·台州)如图，在ABCD中，2,3 AB BC ==.以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点,P Q 为圆心，大于1 2 PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是( ) A. 1 2 B. 1 C. 6 5 D. 3 2 5. (2018·东营)如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE 并延长，交AB的延长线于点F，AB BF =.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下列四个条件中可选择的是( ) A. AD BC = B. CD BF = C. A C ∠=∠ D. F CDF ∠=∠ 6. (2018·安徽)在ABCD中，,E F是对角线BD上不同的两点.下列 条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( ) A. BE DF = B. AE CF = C. // AF CE D. BAE DCF ∠=∠ 7. (2018·玉林)在四边形ABCD中:①// AB CD;②// AD BC;③AB CD =; ④AD BC =，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的 B C O A 第7题图 平行四边形、矩形、菱形检测题 一、选择题 1、下列命题中不成立．．． 的是（ ） A ．矩形的对角线相等 B ．三边对应相等的两个三角形全等 D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 2.如图，要使ABCD 成为矩形，需添加的条件是（ ） A ．A B B C = B ．AC B D ⊥ C ．90ABC ∠=° D ．12∠=∠ 3.如图， ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC=6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）． A ．3 B ．6 C ．12 D ．24 4.如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ．210cm B ．220cm C ．240cm D ．2 80cm 5.如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ． 34 C ．2 3 D ．2 6. 在矩形ABCD 中，1AB AD AF ==，平分D A B ∠，过C 点作C E B D ⊥于E ，延长AF EC 、交于点H ， 下列结论中：A F F H =①；BO BF =②；CA CH =③；④3BE ED =，正确的是（ ） A ．②③ B．③④ C．①②④ D．②③④ 7.如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA OB OC ==，70ABC ADC ∠=∠=°，则DAO DCO ∠+∠的大小是（ ） A ．70° B ．110° C ．140° D ．150° D 第3题图 1 2 B C D A O 第2题图 第4题图 A B C D A ′ G D B C A 第5题图 D A B C O E F H 第6题图 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．问题发现： （1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长． 问题探究： （2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度． 问题解决： （3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点 (1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，353）(0,0)E ，(5,5)F ． 【解析】 试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分． （2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分． （3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长． 试题解析：（1）作图如下： （2）∵(6,7)P ，(4,3)O '， ∴设:6PO y kx =+'， 67{43k b k b +=+=，2{5 k b ==-， ∴25y x =-， 交x 轴于5,02N ?? ??? ， 交BC 于11,62M ?? ???， 2 211563522MN ??=+-= ???． （3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长． ∵(1052,102)P --在直线y x =上， ∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ， 设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ， 82{28k b k +=+=，1{10 k b =-=， ∴直线:10BC y x =-+， 联立10{y x y x =-+=，得55x y =??=? ， ∴(0,0)E ，(5,5)F ． 1.如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；： (2)①当t为______s时，四边形ACFE是菱形； ②当t为______s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形． 2.在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明． 3.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB 边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形． （第4题） 4.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 6.如图，已知菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD 上的一个动点P （不与 B 、D 重合）分别向直线AB 、AD 作垂线，垂足分别为E 、F ． （1）BD 的长是______； （2）连接PC ，当PE+PF+PC 取得最小值时，此时PB 的长是______． 8.如图，已知矩形ABCD ，AD=4，CD=10，P 是AB 上一动点，M 、N 、E 分别是PD 、 PC 、CD 的中点． （1）求证：四边形PMEN 是平行四边形； （2）请直接写出当AP 为何值时，四边形PMEN 是菱形； （3）四边形PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说 明理由． 5.如图所示，在?ABCD 中，AC ⊥BC ，AC=BC=2，动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 移动，过点P 分别作PM ∥AB ，PN ∥AD ，连结AM ，设AP=x ，△AMP 的面积为y ． （1）四边形PMCN 是不是菱形，请说明理由． （2）写出y 与x 之间的函数关系式． 7.如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q 。 （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）。设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形。 （第7题） （第8题） 平行四边形中考真题精选 一、选择题 1．(2010江苏苏州)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC ，AB=2，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）． A ．11 B ．12 C ．13 D ．10 【答案】B 2．（2010台湾）图(十)为一个平行四边形ABCD ，其中H 、G 两点分别在BC 、 CD 上，AH ⊥BC ，AG ⊥CD ，且AH 、AC 、AG 将∠BAD 分成 ∠1、∠2、∠3、∠4四个角。若AH =5，AG =6，则下列关系何者正确？（ ） (A) ∠1=∠2 (B) ∠3=∠4 (C) BH =GD (D) HC =CG 。 【答案】A 3．（2010重庆綦江县）如图，在 ABCD Y 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ， 延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连结CG 、CF ，则以下四个结论一定正确的是（ ） ①△CDF ≌△EBC ②∠CDF ＝∠EAF ③△ECF 是等边三角形 ④CG ⊥AE G F E D C B A A B C D G H 1 2 3 4 图(十) A ．只有①② B ．只有①②③ C ．只有③④ D ．①②③④ 【答案】B 4．（2010山东临沂）如图，在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是边BC 的中点，4AB ，则OE 的长是（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）1 （D ）1 2 【答案】A 5．（2010湖南衡阳）如图，在□ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的 延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=24，则ΔCEF 的周长为（ ） A.8 B.9.5 C.10 D.11.5 【答案】A 6．（2010 河北）如图 ，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15 【答案】C A B C D 第6题 E O D C B A （第5题图） 中考数学平行四边形综合练习题含答案 一、平行四边形 1．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且 AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明； （2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG； （3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数． 【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3） ∠BHO=45°． 【解析】 试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC， ∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断 AG⊥BE； （2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立； （3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M， ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO 平分∠BHG，即∠BHO=45°． 试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形， ∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°， 在△ADG和△CDG中 ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG=∠DCG； ②AG⊥BE．理由如下： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°， 历年中考数学平行四边形题合集精编W O R D 版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】 A E B C F D 1.在□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接AF 、CE ．(1)求证：△BEC ≌△DFA ；(2)连接AC ，当CA ＝CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ． （1）求证：BE = DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接 EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 3.已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与 点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么 数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． A D B E F O C M A D G C B F E 4.已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD 上一点，延长BC到E，使CE CG =，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：BCG DCE △≌△；（2）将DCE △绕点D顺时针旋转90得到DAE' △，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由． 5.（2014枣庄）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=1/2AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形请证明你的结论． 6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB=2，且AC：BD=2：3．（1）求AC的长；（2）求△AOD的面积． 7.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数． 8.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1) A B C D E F G 平行四边形及特殊平行四边形知识点总结 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 平行四边形矩形菱形正方形图形 性质1．对边 且； 2．对角； 邻角； 3．对角线 ； 1．对边 且； 2．对角 且四个角都是 ； 3．对角线 ； 1．对边且四条 边都； 2．对角； 3．对角线 且每 条对角线 ； 1．对边且四条 边都； 2．对角且四个角 都是； 3．对角线 且每条对角 线； 面积 2. 判定方法小结： (1) 判定平行四边形的方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (2) 判定矩形的方法： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 (3) 判定菱形的方法： ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四边都相等的四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 (4) 判定正方形的方法： ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； ③有一组邻边相等的矩形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形； ⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形； ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 请按照下图中的序号回答每一种判定需要满足的条件： 3.基础达标训练： （1）两条对角线的四边形是平行四边形； （2）两条对角线的四边形是矩形； （3）两条对角线的四边形是菱形； （4）两条对角线的四边形是正方形； （5）两条对角线的平行四边形是矩形； （6）两条对角线的平行四边形是菱形； （7）两条对角线的平行四边形是正方形； （8）两条对角线的矩形是正方形； （9）两条对角线的菱形是正方形。 一、选择题（每题3分，共30分） 1．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（） A．4个B．3个C．2个D．1个2．若平行四边形的一边长为10cm，则它的两条对角线的长度可以是（） A．5cm和7cm B．18cm和28cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm 欢迎阅读 平行四边形经典 考点1 特殊的平行四边形的性质与判定 1．矩形的定义、性质与判定 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）矩形的性质：矩形的对角线_________；矩形的四个角都是________角。矩形具有________的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。 （3 2 （1 （2 菱形的 （3 （4 _______ 3．正方形的性质及判定方法 （1）正方形的性质：正方形的四个角都是_____________，四条边都_____________； 正方形的两条对角线____________，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 （2）正方形的判定方法：有一组邻边相等的__ __是正方形；对角线互相____的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线________的菱形是正方形。 温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行 四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。 考点2 梯形的概念及判定方法 1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 （1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。在初中阶段重点研究等腰梯形。 2．等腰梯形的性质与判定 性质：（1）等腰梯形中，同一底上的两个角相等；（2）等腰梯形的对角线相等； 判定：（1）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）对角线相等的梯形是等腰梯形；（3）有两个腰相等的梯形是等腰梯形。 则△AEF 的周长为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．3 例2：如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF ∠=（ ） A ．110° B ．115° C ．120° D ．130° 一、选择题（每题3分，共30分） 1．(09年河北)如图，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD =?120°，则对角线AC 等于（ ） B A C D 第1题 图 例1题图 例2题图 2020-2021全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总含答案 一、平行四边形 1．（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一． 例如：张老师给小聪提出这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？ 小聪的计算思路是： 根据题意得：S△ABC=1 2 BC?AD= 1 2 AB?CE． 从而得2AD=CE，∴ 1 2 AD CE 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题： （1）（类比探究） 如图2，在?ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF， 求证：BO平分角AOC． （2）（探究延伸） 如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA?PB=2AB． （3）（迁移应用） 如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B， AB=34，BC=2，AC=26，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求 △DEM与△CEN的周长之和． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34 【解析】 分析：(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等，过点B作OG⊥AF于 G，OH⊥CE于H，从而得出AF=CE，然后证明△BOG和△BOH全等，从而得出 ∠BOG=∠BOH，即角平分线；(2)、过点P作PG⊥n于G，交m于F，根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等，延长BP交AC于E，证明△CPE和△DPB全等，根据等积法得出 AB=AP×PB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x，根据Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和． 同理：EM+EN=AB 详解：证明：（1）如图2，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ABF=S?ABCD，S△BCE=S?ABCD，∴S△ABF=S△BCE， 过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH， ∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH，∵AF=CE，∴BG=BH， 在Rt△BOG和Rt△BOH中，，∴Rt△BOG≌Rt△BOH，∴∠BOG=∠BOH， ∴OB平分∠AOC， （2）如图3，过点P作PG⊥n于G，交m于F，∵m∥n，∴PF⊥AC， ∴∠CFP=∠BGP=90°，∵点P是CD中点， 在△CPF和△DPG中，，∴△CPF≌△DPG，∴PF=PG=FG=2， 延长BP交AC于E，∵m∥n，∴∠ECP=∠BDP，∴CP=DP， 在△CPE和△DPB中，，∴△CPE≌△DPB，∴PE=PB， ∵∠APB=90°，∴AE=AB，∴S△APE=S△APB， ∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB， ∴AB=AP×PB，即：PA?PB=2AB； （3）如图4，延长AD，BC交于点G，∵∠BAD=∠B， ∴AG=BG，过点A作AF⊥BC于F， 设CF=x（x＞0），∴BF=BC+CF=x+2，在Rt△ABF中，AB=， 根据勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2，在Rt△ACF中，AC=， 根据勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2， ∴34﹣（x+2）2=26﹣x2，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴AF==5， 连接EG，∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE）， 菱形专题复习 一. 填空题 1.．若菱形两条对角线长分别为6 cm和8 cm,则它的周长是________,面积是_________. 2. 菱形的一个内角为120°,平分这个内角的一条对角线长为12 cm,则菱形的周长为 _________. 3. 菱形有_______条对称轴,对称轴之间具有___________的位置关系. 4. 已只菱形周长是24cm,一个内角为60°，则面积为 cm２ 5. 若菱形两邻角的比为1:2,周长为24 cm,则较短对角线的长为______________. 6. 若从菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半,则菱形两相邻内角的度数分别是 _______. 7. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°,那么菱形的各角的度数为_____________. 8. 菱形的一个角是60°,边长是8 cm,那么菱形的两条对角线的长分别是____________. 9、如图，已知菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，∠ABC=°。 二、选择题 1. 菱形具有而一般四边形不具有的性质是 ( ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 一组邻边相等 D. 对角线相互平分 2. 菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24cm2,则AE=6cm,则菱形ABCD的边长为 ( ) A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm 3. 在菱形ABCD中,AE⊥BC, AF⊥CD,且BE=EC, CF=FD,则∠AEF等于 ( ) A. 120° B. 45° C. 60° D. 150° 4. 已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为 ( ) A. 45°, 135° B. 60°, 120° C. 90°, 90° D. 30°, 150° 5. 在菱形ABCD中,若∠ADC=120°,则BD:AC等于 ( ) A. 3:2 B. 3:3 C. 1:2 D. 3:1 6．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）． A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC=CD=DA C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD 2017-2018学年中考数学复习专题 --《平行四边形》 一．选择题（每小题3分，共计36分） 1．一个n边形共有20条对角线，则n的值为（） A．5 B．6 C．8 D．10 2．如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（） A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（） A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 4．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是（） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 5．如图，△ABC中，AB=AC=15，D在BC边上，DE∥BA于点E，DF∥CA交AB于点F， 那么四边形AFDE的周长是（） A．30 B．25 C．20 D．15 6．如图，已知在?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF 为平行四边形的是（） A．BE=DF B．AF⊥BD，CE⊥BD C．∠BAE=∠DCF D．AF=CE 第5题图第6题图第7题图 7．在?ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有（） A．4个B．5个C．8个D．9个 8．如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论： （1）四边形ABDC是平行四边形；（2）BE=DF；（3）S ABDC=S BDFE；（4）BD=CE． 其中正确的有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 9．如图，在?ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE， 若△CED的周长为6，则?ABCD的周长为（） A．6 B．12 C．18 D．24 第8题图第9题图第10题图 10．如图，在?ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（） A．2 B．1 C．D． 11．如图，在?ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE． A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④ 第11题图第12题图 12．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE 的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF； ④S△ABE=S△CDE；⑤S△ABE=S△CEF．其中正确的是（） A．①②③B．①②④C．①②⑤D．①③④ 全国中考数学平行四边形的综合中考真题分类汇总及答案 一、平行四边形 1．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且 AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明； （2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG； （3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数． 【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3） ∠BHO=45°． 【解析】 试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC， ∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断 AG⊥BE； （2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立； （3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M， ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO 平分∠BHG，即∠BHO=45°． 试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形， ∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°， 在△ADG和△CDG中 ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG=∠DCG； ②AG⊥BE．理由如下： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，特殊的平行四边形专题(题型详细分类)精编版
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