固体物理(严守胜编著)-课后答案--第章
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2
3 1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明
（1）电子气体的压强
()()
V p 032ξ?=，其中
0ξ为电子气体的基态能量。
（2）体弹性模量()V p V K ??-=为V
9100ξ 解：（1）
()
3
2
352225
223101101-==V N m h V m k h F πππξ
（1.1.1）
()
()
()
()()
V V N
m h V N m h V N m h V V p 035
3522235352223235222323101323231013101ξππππππξ?==???
? ??--=???
? ????=??-=---
（1.1.2） （2）
()()
()
()
V
V N m h V N m
h V V N m h V
V
V p V K 91031019103531013231013203
8
35222
383
52
22
353522
2ξππππππ==???
? ??--=???
?
????-=??-=---
（1.1.3）
1.2 He 3
原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He 3
的密度为0.081g ?cm -3。
计算费米能量F ε和费米温度F T 。He 3
原子的质量为g m 24105-?≈。
解：把 He 3
原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1.
3
2832224
1062.11062.1105081
.01m cm m Z n m ?=?=??==
--ρ
（1.2.1） (
)
19173
1
2
108279.7108279.73--?=?==m cm n k F π
（1.2.2）
()
eV
J m k F F 42327
2
9
3422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----?=?=?????=
=ηε （1.2.3）
K k T B F F 92.410381.1106.801742323=??==--ε
（1.2.4）
4 1.3低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为
1
108.2--?=K mol TmJ C e ，在自由电子
气体模型下估算钾的费米温度F T 及费米面上的态密度()F g ε。
解：()F B A F B A V A e T T k N n T T
nk N n C N C 2222ππ=???? ??==
（1.3.1）
K T
T C T k N T e B A
F 33
232
232
1073.191008.210381.1210022.62?=?????==--ππ
（1.3.2）
()3
1463
233281071.71073.1910381.1104.1232323----?=????===m J m T k n n g F B F F εε
（1.3.3）
1.4铜的密度为
3
95.8cm g m =ρ。室温下的电阻率为
cm ?Ω?=-6
1055.1ρ。计算 （1）导电电子浓度； （2）驰豫时间；
（3）费米能量F ε，费米速度F v ； （4）费米面上电子的平均自由程F l 。
（5）等离子体的振荡频率ωp. 解： （1）322231048.8546.6395
.8110022.6-?=???==cm A Z N n m A
ρ
（1.4.1）
（2）
()()()
s ne m ne m 14262
1962231
22107.2101055.110602.1101048.810110.9-----?=??????===ρστ（1.4.2）
（3）(
)(
)
110183
1222
3
1
2
1036.11036.11048.833--?=?=??==m cm n k F ππ
（1.4.3）
()
eV
J m k F F 05.71013.11011.921036.110055.121831
2
10
3422=?=?????=
=---ηε
（1.4.4）
()
s m m k v F F 6
31
10341057.11011.91036.110055.1?=????==--η
（1.4.5）
（4）
m v l F 8
1461025.4107.21057.1--?=???==τ （1.4.6） （5）等离子体的振荡频率
Hz
m ne e
p 1602
1064.1?==εω.
5 1.5考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气体，电子系统相对于等量均匀正电荷背景有一小的整体位移。证明在这一位移下系统是稳定的，并给出这一小振动问题的特征频率。
解：（仅供参考）
(
)2
1
02
201cos 2θ
k k k k k ?+?+=
（1.5.1）
E k ? 0
k 1k
偶极矩强度为：
()
()
()()()
()(
)
θ
θθθθπθ
θθπθ
θθπθ
θθπθθ?θπ
π
π
π
π
πd cos sin cos 2cos 2d cos sin d cos sin d cos sin d 4cos 2d d d sin 20
02022
020
20
2
02
1
2
2120
4
04
120
32
020
21
010??????
??
?+??+?++-=-+-=--=-=-=k k k k k k k k
ne k k
k k ne k k ne k k ne k k k ne P k k k k
（1.5.2）
取近似，忽略k ?的2阶以上无穷小量
k
nek k
nek k nek k k k ne P ?-=?=?=??-=??3020
3
3
020
3
020
02
03
43
cos 4d cos sin cos 4d cos sin cos 22πθ
πθ
θθθπθθθθππ
π
π
（1.5.3） 电极化强度为
k
ne V k nek V P
?-=?-==3034p π
（1.5.4）
位移电子受到的电场为
00
εεk
ne p
E ?=
-=
（1.5.5）
6 在此电场下，电子受力指向平衡位置，大小正比于位移。所以，电子在平衡位置作微小振动。
特征频率为
m
ne p 02
εω=
（1.5.6）
7 1.6在什么波长下，对于电磁波辐照，金属Al 是透明的？ 解：金属的等离子体的振荡频率为 当
p ωωωτ>>>,1时，金属是透明的。
2ne m στ=
（1.6.1）
16
21
210101.51
≈?==>>σστωm ne
（1.6.2）
()16
31
122
192802104.210
11.910854.810602.1101.18?=??????==>---m ne p εωω
（1.6.3）
nm m c 5.781085.72104.21032816
8
=?=??<=-ππωλ
（1.6.4）
波长小于78.5nm 时，金属Al 是透明的。
1.7对于自由电子气体，证明电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，即横向磁阻为零。
解：
()
0d d =+?+-=τp B v E e t p
ρρρρρ时
（1.7.1）
J
B J m e E ρρρρ+?=τσ0
（1.7.2） 分量式
()()()??
?
??
?
???+-=+-=+-=z x y y x z y z x x z y
x y z z y x J B J B J m e E J B J B J m e E J B J B J m e E τστστσ000 （1.7.3） []J E ρρρ=
（1.7.4）
8 []????
?
??---=1110x
y
x z
y z B B B B B B m e στρ
（1.7.5）
从上式可以看出电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，所以横向磁阻
)0()
()0(xx xx xx B ρρρ-为零。
9 1.8对于表面在z=0和z=L 之间的金属平板，假定表面相当于一无穷高的势垒， （仅供参考）
（1）证明单电子波函数比例于
()[
]y k x k i z k y x z +ex p sin
（2）证明在金属内r 处的电荷密度为 ()()[]u u j r 1031-=ρρ
其中z k u F 2=，0ρ是波函数比例于()[]z k y k x k i z y x ++ex p 时的电荷密度，1j 是一级球贝
塞尔函数。 解：（1）
022
2=+?E ΨΨm η
（1.8.1） 解得
(
)(
)()
z ik z
ik y
ik y
ik x ik x ik z z y y x x De e
Ce
e
Be e A Ψ---+++=
（1.8.2）
在x 、y 方向是自由空间，所以，0==C B 。
??
?><∞<<=L z z L z V ,000Θ
（1.8.3）
???=-=??
??=+=+∴-πn L k D De e D z L ik L ik z z
1001 （1.8.4） ()()[
]y k x k i z k A Ψy x z +'=ex p sin
（1.8.5）
其中A i A 2='
在z 方向取归一化条件
()()()1242sin 2d 2
2cos 1d sin d 2
02020
220
*='=????
?
?-
'=-'='=?
??
L A k z k L A z z k A z
z k A z ΨΨL z
z L
z L
z L
（1.8.6） 所以
L A 2=
'
（1.8.7）
10 ()()[]
y k x k i z k L Ψy x z +=
ex p sin 2
（1.8.8）
（2）()()[]
()()[]()()()()()()()()()()z k Lz z k k Lz k L k kz z k k Lz k L kz z k L k L k kz z k L k L k kz z
k L k L k k kz L
k L k k kz L
k k L k k kz L
k k z k L
k k y k x k i z k L
F F F F k F F F k F k F k F k F k k k k z k y x z F F F F F F F F F F
2sin 22cos 34d 2cos 2cos 342cos d 2234d 2sin 234d cos 2sin 2234d cos d cos 2cos 234d d sin cos 2cos 2d d sin 2d d sin cos 2cos 12d d sin sin 4d d d sin exp sin 2
32302302
303003002
3002
002002
002
220
22
πππππππππθππθθππθθθπθθπθθθπθθπ?θθρπ
ππππππ
π
-+=
???
?
??
-+=+=-=+=+=-=-==+=???????????????
??
（1.8.9）
()[]
300220
22
034d d sin 2d d d sin exp 1
F k k z y x k L
k k L k k z k y k x k i L
F F
πθθπ?θθρππ
π
==++=???
??
（1.8.10）
()()()()?
????
???? ??++=?
?
????++=??
?
???-+=
320332203233
0sin cos 312sin 83
2cos 4312sin 22cos 3434u u u u z k k z z k k z z k Lz z k k Lz k L k L F F F F F F F F F
ρρππππ
ρρ
《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级
2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ???
固体物理学第一章习题解答 1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征和性质。 答：晶态：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。其特征是原子排列具有周期性，表现为既有长程取向有序又有平移对称性。晶态的共性质：（1）长程有序；（2）自限性和晶面角守恒；（3）各向异性；（4）固定熔点。 非晶态特点：不具有长程序。具有短程序。短程序包括：（1）近邻原子的数目和种类；（2）近邻原子之间的距离（键长）；（3）近邻原子配臵的几何方位（键角）。 准晶态是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。准晶态结构的特点：（1）具有长程的取向序而没有长程的平移对称序（周期性）；（2）取向序具有周期性所不能容许的点群对称；（3）沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。 晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 2、什么是布喇菲格子？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。说明基元代表点构 成的格子是面心立方晶体，每个原胞包含几个格点。 答：布喇菲格子(或布喇菲点阵)是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。布喇菲格子是一种数学抽象，即点阵的总体，其特点是每个格点周围的情况完全相同。实际工作中，常是以具体的粒子（原子、离子等）做格点，如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由这些原子所组成的格子，称为布喇菲格子。 NaCl晶体的结点构成的布格子实际上就是面心立方格子。每个原胞中包含一个格点。
3、指出下列各种格子是简单格子还是复式格子。 （1）底心六角（在六角格子原胞底面中心存在一个原子） （2）底心立方（3）底心四方 （4）面心四方（5）侧心立方 （6）边心立方 并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种？ 答：要决定一个晶体是简单格子还是复式格子，首先要找到该晶体的基元，如果基元只包含一个原子则为简单格子。反之，则为复式格子。 （1）底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示，它具有一个垂直于底面的四度旋转轴，它的原胞形状如图所示，是简单格子，属于单斜晶系。 （2）底心立方如下图所示，它的底面原子的排列情况可看出每个原子的周围情况都是相同的，因而都是等价的，所以它的基元也由一个原子组成，是简单格子，属于四角晶系。 （3）底心四方如下图所示，每个原子的周围情况完全相同，基元中只有一个原子，属于简单格子，属于四角晶系。
2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln 2α=. 证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有 (1)1111 2[... ]234j ij r r r r r r α ±' ==-+-+∑ 前边的因子2是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 2 34 (1) (34) n x x x x x x +=-+-+ 当X=1时，有111 1 (2234) n - +-+= 2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为()m n u r r r α β =- + 求 1）平衡间距0r 2）结合能W （单个原子的） 3）体弹性模量 4）若取 02,10,0.3,4m n r nm W eV ==== ，计算,αβ值。 解 1）晶体内能()()2m n N U r r r αβ= -+ 平衡条件 0r r dU dr == 1100 0m n m n r r αβ ++-+= 1 0()n m n r m βα-= 2) 单个原子的结合能01 ()2 W u r =- 0()()m n r r u r r r αβ ==-+ 1(1)(2m n m m n W n m β αα--=- 3) 体弹性模量0 202()V U K V V ?=?? 晶体的体积3 V NAr =—— A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能()()2m n N U r r r αβ= -+ 112 1()23m n N m n r r NAr αβ++=- 22112 1[()]23m n U N r m n V V r r r NAr αβ++???=-??? 1112[1...]234α=-+-+n α∴=
第二十二章量子力学基础知识 1924年德布罗意提出物质波概念。1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程----------薛定谔方程， 玻恩对波函数统计解释。1927年海森堡提出著名的不确定关系。 海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学， 形成了完整的量子力学理论。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 教学要求： * 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义； * 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长； * 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，
会简单计算粒子的概率密度及归一化常数； * 理解不确定关系并作简单的计算； * 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程 * 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤， 学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。 教学内容： §22-1波粒二象性 §22-2 波函数 §22-3 不确定关系 §22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程） §22-5 一维无限深势阱中的粒子 §22-6 势垒隧道效应 * §22-7 谐振子 * 教学重点： 实物粒子的波粒二象性及其统计意
义； 概率密度和发现粒子的概率计算； 实物粒子波的统计意义—概率波; 波函数的物理意义及不确定关系。 作业 22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、 22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、 22-17)、22-18)、----------------------------------------------------------------------- §22-1 波粒二象性 1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多， 而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物
4．1根据k a π =± 状态简并微扰结果。求出与E +，E -对应的本征态波函数ψ+，ψ-，说 明它们都代表驻波，并比较两个电子云的分布（即2 ψ），说明能隙的来源。假设*n n V V =。 解： 简并微扰态：a a a b π πψψ ψ- =+ （1） 代入运动方程有：0*10 1()0 ()0 a a E E a V b V a E E b ππ-?-+=??+-=?? （2） *11V V =，且00 a a E E ππ -=。 方程（2）有条件为： 0* 10 10a a E E V V E ππ - -= 2 2 01_0a E E V π??-= ???， 故1a E E V π±=±。 利用归一化条件：2 2 1a b +=， 将E +代入（2）式得：a b =-= ； 将E -代入（2）式得：a b ==； 所以
00 00 ) ) a a a a ππ ππ ψψψ ψψψ + - - - =- =+ 又因为： i x a a i x a a π π π π ψ ψ - - = = 所以 sin() ) x a x a π ψ π ψ + - = = 即, ψψ +- 均表示驻波 2222 2,s i n x x co a a ππ ψψ -+ ???? ∝∝ ? ? ???? 电子云分布皆成周期性变化，二者差 2 π 位。相E a π ±零的能量相等，由于周期势场的微扰，触及间的排斥作用，能级分裂，在不同的触带之间发现带隙。 4．2 写出一维近自由电子近似，第几个能带() 1,2,3 n=简约波数 2 k a π =的0级波出数。补：一维迈自由电子近似的零级波出数可写为： ( )2 i mx ikx a k x e π ψ ?? ==? ? k为简约波矢，n为能带1 m n =- 2 k k m a π =+已知 ,0,1,2, 2 k m a π == 第一能带， ( ) 02 0,, 2 i x a x m k k a π π ψ ==== 第二能带 ( ) 3 02 23 1,, 22 i x a x m k a a a π πππ ψ- ==-=-= 第三能带 ( ) 5 2 25 1,, 22 i x a x m k a a a π πππ ψ- ==+==
第二章晶体的结合 一、 欧阳光明（2021.03.07） 二、填空体 1. 晶体的结合类型为：共价结合、离子结合、分子结合、金属结合和氢键结合。 2. 共价结合的特点方向性和饱和性。 3. 晶体中原子的相互作用力可分为两类吸引力和排斥力。 4. 一般固体的结合可概括为范德瓦耳斯结合、金属结合、离子结合和共价结合四种基本类型。 5. 金属具有延展性的微观根源是金属原子容易相对滑动。 6. 石墨晶体的结合涉及到的结合类型有共价结合、氢键结合和金属结合。 7. GaAs晶体的结合涉及到的结合类型有共价结合和离子结合。 二、基本概念 1. 电离能 始原子失去一个电子所需要的能量。 2.电子的亲和能 电子的亲和能：一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出的能量。 3.电负性 描述化合物分子中组成原子吸引电子倾向强弱的物理量。
4.共价键 原子间通过共享电子所形成的化学键。 5.离子键 两个电负性相差很大的元素结合形成晶体时，电负性小的原子失去电子形成正离子，电负性大的得到电子形成负离子，这种靠正、负离子之间库仑吸引的结合成为离子键。 6.范德瓦尔斯力 答：分子晶体的粒子间偶极矩相互作用以及瞬时偶极矩相互诱生作用力称为范德瓦耳斯力。 7.氢键 答：氢原子处于两个电负性很强的原子（如氟、氧、氮、氯等）之间时，可同时受两个原子的吸引而与它们结合，这种结合作用称为氢键。 8.金属键 答：在金属中，组成金属的原子的价电子已脱离母原子而成为自由电子，自由电子为整个晶体共有，而剩下的离子实就好像沉浸在自由电子的海洋中。自由电子与离子实间的互相吸引作用具有负的势能，使势能降低形成稳定结构。这种公有化的价电子（自由电子）与离子实间的互作用称为金属键。 三、简答题 1.共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？ 答：饱和性：当一个原子与其它原子结合时，能够形成共价键的数目有一个最大值，这个最大值决定于它所含的未配对的电子数，这
习题十七 17－1 计算电子经过V U 1001=和V U 100002=的电压加速后，它的德布罗意波长1λ和2λ分别是多少？ 分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长与该运动粒子的运动速度之间的关系。 解：电子经电压U 加速后，其动能为eU E k =，因此电子的速度为： m 2e v U = 根据德布罗意物质波关系式，电子波的波长为： )(23 .12nm U emU h m h ==v ＝λ 若V U 1001=，则12301.＝λnm ；若V U 100002=，则012302.＝λnm 。 17－2 子弹质量m =40 g, 速率m/s 100=v ,试问: (1) 与子弹相联系的物质波波长等于多少? (2) 为什么子弹的物质波性不能通过衍射效应显示出来? 分析 本题考察德布罗意波长的计算。 解：(1)子弹的动量 )s /m kg (410010403?=??==-v m p 与子弹相联系的德布罗意波长 )m (1066.14 1063.63434 --?=?==p h λ (2) 由于子弹的物质波波长的数量级为m 10 34-, 比原子核的大小(约m 1014-)还小得多, 因此不能通过衍射效应显示出来. 17－3 电子和光子各具有波长0.2nm ，它们的动量和总能量各是多少？ 分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长公式。 解：由于电子和光子具有相同的波长，所以它们的动量相同，即为： )/(1032.3102.01063.624934 s m kg h p ??=??==---λ 电子的总能量为： )(1030.81420J hc c m E e -?=+=λ 而光子的总能量为：
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。
第四章 晶格结构中的缺陷 4.1 试证明，由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为 s B k T s n Ne μ?= 其中s μ是形成一个空位所需要的能量。 证明：设由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为s n ，则其微观状态数为 !()!s ! s s N P N n n =? 由于s μ个空位的出现，熵的改变 []!ln ln ln ()ln()ln ()!! B s B B s s s s s s N S k P k k N N N n N n n n N n n Δ===????? 晶体的自由能变化为 []ln ()ln()ln s s s s B s s s F n T S n k T N N N n N n n n μμ=?Δ=?????s 要使晶体的自由能最小 B ()ln 0s s s s T n F u k T n N ?????Δ=+=??????????n 整理得 s B k T s s n e N n μ ?=? 在实际晶体中，由于, s n N <固体物理 第二章 晶体的结合
第二章晶体的结合 填空体 1. 晶体的结合类型为：共价结合、离子结合、分子结合、金属结合和氢键结合。 2. 共价结合的特点方向性和饱和性。 3. 晶体中原子的相互作用力可分为两类吸引力和排斥力。 4. 一般固体的结合可概括为范德瓦耳斯结合、金属结合、离子结合和共价结合四种基本类型。 5. 金属具有延展性的微观根源是金属原子容易相对滑动。 6. 石墨晶体的结合涉及到的结合类型有共价结合、氢键结合和金属结合。 7. GaAs晶体的结合涉及到的结合类型有共价结合和离子结合。 二、基本概念 1. 电离能 始原子失去一个电子所需要的能量。 2.电子的亲和能 电子的亲和能：一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出的能量。 3.电负性 描述化合物分子中组成原子吸引电子倾向强弱的物理量。 4.共价键 原子间通过共享电子所形成的化学键。 5.离子键 两个电负性相差很大的元素结合形成晶体时，电负性小的原子失去电子形成正离子，电负性大的得到电子形成负离子，这种靠正、负离子之间库仑吸引的结合成为离子键。 6.范德瓦尔斯力 答：分子晶体的粒子间偶极矩相互作用以及瞬时偶极矩相互诱生作用力称为范德瓦耳斯力。7.氢键 答：氢原子处于两个电负性很强的原子（如氟、氧、氮、氯等）之间时，可同时受两个原子的吸引而与它们结合，这种结合作用称为氢键。 8.金属键 答：在金属中，组成金属的原子的价电子已脱离母原子而成为自由电子，自由电子为整个晶体共有，而剩下的离子实就好像沉浸在自由电子的海洋中。自由电子与离子实间的互相吸引作用具有负的势能，使势能降低形成稳定结构。这种公有化的价电子（自由电子）与离子实间的互作用称为金属键。 三、简答题 1.共价结合为什么有“饱和性”和“方向性” 答：饱和性：当一个原子与其它原子结合时，能够形成共价键的数目有一个最大值，这个最大值决定于它所含的未配对的电子数，这个特性称为共价键的饱和性。 方向性：两个原子在以共价键结合时，必定选取尽可能使其电子云密度为最大的方位，电子云交迭得越厉害，共价键越稳固。这就是共价键具有方向性的物理本质。 2. 晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别
《固体物理学》第一二章参考答案
第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞 的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 3 4 π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
34.063r 3 38r 348a r 348x 3 3 3 33≈π=π?=π?= 1.2、试证：六方密排堆积结构中 633.1)3 8(a c 2 /1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R. 即图中NABO 构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ?=+?? ?=+?? r r r r r r r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=?Ω r r r 3 1230, ,22 (), 0,224 ,,0 2 2 a a a a a a a a a a Ω=??==r r r Q ，223,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++r r r r r r r r 213422()()4a b i j k i j k a a ππ∴=??-++=-++r r r r r r r 同理可得：232() 2() b i j k a b i j k a ππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢 相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。
第二章 量子物理学基础 思 考 题 2.1 什么是光的波粒二象性？ 2.2 有人认为微观客体的波动性表示粒子运动的轨迹是一条正弦或余弦的曲线，这种看法对吗？ 2.3 对于运动着的宏观实物粒子，德布罗意关系式也适用，为什么我们不考虑它们的波动性？ 2.4 有哪些实验证实了微观粒子的波动性？ 2.5 德布罗意波和经典波有何区别？ 2.6 汤姆孙原子模型有什么缺点？ 2.9 从经典物理看来，卢瑟福原子的核式模型遇到些什么困难？ 2.8 在玻尔的氢原子理论中，势能为负值，而且在数值上比动能大，这个结果有什么含义？ 2.9 试根据玻尔的氢原子能级公式，说明当量子数n 增大时，能级怎么变化．能级间的距离怎样变化? 2.10 若氢原于和氦离子都是从4=n 的轨道跃迁到2=n 的轨道，问两个原子发出的光的波长是否相同? 2.11 对应原理的内容是什么? 2.12 试从原子核运动引起的修正这一角度解释里德伯常数的理论值与实验值的区别。 2.13 弗兰克—赫兹实验证明了什么? 1.14 为什么说玻尔理论是半经典半量子的混合?它有什么局限性? 2.15 为什么说波函数是描述粒子的统计行为的一个物理量? 2.16 若) (t z y x ，，，ψ表示波函数，则dxdydz t z y x 2)(，，，ψ和1)(2=???dxdydz t z y x ，，，ψ各表示什么物理意义? 2.17 波函数的标准条件是什么? 2.18 波函数为什么要归一化? 2.19 薛定谔方程在量子力学中的地位怎样?试写出定态薛定谔方程． 2.20 什么是隧道效应? 2.21 描写氢原子中电子的状态需要几个量子数? 习 题 2.1 试求出质量为0.01kg 、速度为s m 10的一个小球的德布罗意波长． 2.2 一个质子从静止开始，通过lkV 的电压受到加速，试求它的德布罗意波长．(质子的质量为 kg 1067.127-?) 2.3 电子和光子的波长都是 A 2，它们的动量和总能量都相等否? 2.4 设卢瑟福散射用的α粒子动能为eV 1068.76?，散射物质是原子序数79=Z 的金箔．试求散射角尹 150=φ所对应的瞄准距离b 多大? 2.5 试计算氢原子帕邢系第二条谱线的波长． 2.6 已知氢原子莱曼系的最长波长是 A 1216，里德伯常量是多少? 2.7 用巴耳末公式计算巴耳末系中三条最长的波长． 2.8 将氢原子从1=n 激发到4=n 的能级． (1)计算氢原子所吸收的能量； (2)当它从4=n 的能级向低能级跃迁时，可能发出哪些波长的光子(17m 10097.1-?取R )?画出能级跃迁图．
（1） 共价键结合的特点？共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？ 饱和性和方向性 饱和性：由于共价键只能由为配对的电子形成，故一个原子能与其他原子形成共价键的数目是有限制的。N<4，有n 个共价键；n>=4，有（8-n ）个共价键。其中n 为电子数目。方向性：一个院子与其他原子形成的各个共价键之间有确定的相对取向。 （2） 如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征？ 电离能：使原子失去一个电子所必须的能量其中A 为第一电离能，电离能可表征原子对价电子束缚的强弱；亲和势能：中性原子获得电子成为-1价离子时放出的能量，其中B 为释放的能量，也可以表明原子束缚价电子的能力，而电负性是用来表示原子得失电子能力的物理量。故电负性可用电离能加亲和势能来表征。 （3） 引入玻恩-卡门条件的理由是什么？ 在求解原子运动方程是，将一维单原子晶格看做无限长来处理的。这样所有的原子的位置都是等价的，每个原子的振动形式都是一样的。而实际的晶体都是有限的，形成的键不是无穷长的，这样的链两头原子就不能用中间的原子的运动方程来描述。波恩—卡门条件解决上述困难。 （4） 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是一个声学波的声子数目多？ 对同一振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低的声子数目多？ 温度一定，一个声学波的声子数目多。 对于同一个振动模式，温度高的声子数目多。 （5） 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？ 不能。长声学波代表的是原胞的运动，正负离子相对位移为零。 （6）晶格比热理论中德拜（Debye ）模型在低温下与实验符合的很好，物理原因 是什么？爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？ 在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容德贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。 爱因斯坦模型过于简单，假设晶体中各原子都以相同的频率做振动，忽略了各格波对热容贡献的差异，按照爱因斯坦温度的定义可估计出爱因斯坦频率为光学支格波。在低温主要对热容贡献的是长声学支格波。 （7）试解释在晶体中的电子等效为经典粒子时，它的有效质量为什么有正、有负、无穷大值？带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？ m F m m l +=* m F m v F m v F l ?+?=??* ])()[(1 ])()[(1电子给予晶格德外力给予电子德晶格给予电子德外力给予电子德－＝＋p p m p p m m ????=?* 当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量为正； 当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，有效质量为负； 当电子从外场获得的动量等于电子传递给晶格的动量时，有效质量为无穷。 （8）为什么温度升高，费米能级反而降低？体积膨胀时，费米能级的变化？ 在温度升高时，费米面以内能量离约范围的能级上的电子被激发到之上约范围的能级。故费米球体积V 增大，又电子总数N 不变，则电子浓度减小，又，则费米半径变小，费米能级也减小。当体积膨胀时，V 增大，同理费米能级减小。 （9）什么是p 型、N 型半导体？试用能带结构解释。
7、体心立方元素晶体，［111］方向上的结晶学周期为多大？实际 周期为多大？ ［答］对于晶胞，基矢为a，b，c，格矢为c + h+ =，因此， a b R l k 体心立方元素晶体［111］方向上的结晶学周期是立方体的体对角线，其长度为a3（a为立方体的边长）；实际周期为a3／2。 8、非晶态材料的基本特点是什么？ ［答］非晶态材料的基本特点是：失去了晶体材料的长程有序性，而具有短程有序性。其短程有序性包括：近邻原子的种类、数目；近邻原子的间距以及近邻原子配置的几何方位。 9、什么是表面的弛豫与重构？ ［答］晶体表面附近垂直于表面的面间距与晶体内部的差别称为弛豫。多数弛豫只表现在表层原子与次表层原子之间距离的下降。 晶体中表层原子排列的周期与晶体内部不同的情形称为重构。多是在半导体材料中有这种现象。 11、简述晶面角守恒定律，并说明晶体的晶面角守恒的原因。
［答］同一品种的晶体，两个对应晶面（或晶棱）之间的夹角恒定不变，这就是晶面角守恒定律。 对于同一品种的晶体，尽管外界条件的变化使晶体的外形不同，但其内部结构相同，其共同性就表现为晶面夹角的守恒。 二、填空题(fill in the blanks)(并用英语表达) 1、构成阵点的具体原子、离子、分子或其集团，都是构成晶体的 基本结构单元，当晶体中含有数种原子时，这数种原子构成的基 本结构单元，称为 基元（basis ） 。 2、布喇菲格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线上而 无遗漏，这样的直线叫 晶列(crystal array ) , 晶列的取向称 为 晶向（crystal direction ）, 一组能表示晶列方向的数称 为 晶向指数（indices of crystal direction ） 。 3、布喇菲格子的格点，也可以看成分列在相互平行、间距相等的 平面上而无遗漏，这些包含格点的平面称为 晶面（crystal face ） ；而那些相互平行、间距相等、格点分布情况相同的总 体，称为 晶面族(crystal face cluster) ；同一格子可能有 无 穷多（endless ）个取向的晶面族。能够标志晶面取向的一组数， 称为 晶面指数(indices of crystal face )。 4、正格子基矢与倒格子基矢之间满足 。正格 矢与倒格矢的关系为 ( μ为整数） 。 ij j i δ=?b a πμ2=?h l K R
第十七章 量子物理基础 17–1 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度为22.8W/cm 2，则炉内的温度为 。 解：将炉壁小孔看成黑体，由斯特藩—玻耳兹曼定律()4T T M B σ=得炉内的温度为 34 8 44 10416.11067.5108.22) (?=??==-σ T M T B K 17–2 人体的温度以36.5?C 计算，如把人体看作黑体，人体辐射峰值所对应的波长为 。 解：由维恩位移定律b T =m λ得人体辐射峰值所对应的波长为 33m 10363.95.30910898.2?=?== -T b λnm 17–3 已知某金属的逸出功为A ，用频率为1ν的光照射该金属刚能产生光电效应，则该金属的红限频率0ν= ，遏止电势差U c = 。 解：由爱因斯坦光电效应方程W m h += 2 m 2 1v ν，A W =，当频率为1ν刚能产生光电效应，则02 12 m =v m 。故红限频率 h A /0=ν 遏止电势差为 ()01011ννννν-=-=-= e h e h e h e W e h U c 17–4 氢原子由定态l 跃迁到定态k 可发射一个光子，已知定态l 的电离能为0.85eV ，又已知从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为10.2eV ，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为 eV 。 解：氢原子的基态能量为6.130-=E eV ，而从基态使氢原子激发到定态k 所需能量为 E ?=10.2eV ，故定态k 的能量为 eV 4.32.106.130-=+-=?+=E E E k 又已知eV 85.0-=l E ，所以从定态l 跃迁到定态k 所发射的光子的能量为 eV 55.2=-=k l E E E 17–5 一个黑体在温度为T 1时辐射出射度为10mW/cm 2，同一黑体，当它的温度变为2T1时，其辐射出射度为[ ]。 A ．10mW/cm 2 B ．20mW/cm 2 C ．40mW/cm 2 D ．80mW/cm 2 E ．160mW/cm 2 解：由斯特藩—玻耳兹曼定律，黑体的总辐射能力和它的绝对温度的四次方成正比，即 ()4T T M B σ= 故应选（E ）。
2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln 2α=。 证：考虑到由两种一价离子组成的一维晶格的内能（相互作用能）仅与库仑势有关，可写作： 2 20 000 (1)44(1)1112(1)2ln 2234n n n n q q U nr r n α πεπεα≠≠-= =--∴=-=-?-+-+-=∑∑ 注：234 111ln(1)234 x x x x x +=- +-+。2是考虑左右离子对称。 2.2讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）。 解：（1）晶格常数 电荷加倍前： 206()()4n n e b A B U N N r r r r απε=-+=-+ 由平衡条件：0 () 0r r U r r =?=?，可得 110()n nB r A -= 。 电荷加倍后： 2' 0464()()4n n e b A B U N N r r r r απε=-+=-+ 同样由平衡条件： ' '()0r r U r r =?=?，可得 1' 10()4n nB r A -= 所以 001 1 '04r r r n ≈=-- ，即1>>n 时，晶格常数可认为不变。 （2）结合能 电荷加倍前： 20001 ()(1)4N e W U r r n απε=-=- 电荷加倍后： 22' '' 1 1' 001 0041 4()(1)4444 n n n N e N e W U r W r n r ααπεπε---=-=-== 当1>>n 时，有W 'W 4=，结合能增加为原来的4倍。 2.3若一晶体两个离子间的相互作用能可表示为 ，晶体体积为3NAr V =(A 为常数，N 为原胞数目），试求：（1）平衡间距；（2）结合能W （单个离子的）；（3）体弹性模量的表达式；（4）若取02,10,3m n r ===?,4W =eV,求,αβ值。 解： （1）平衡间距 ()=-+m n αβ U r r r
第一章、晶体的结构 习题 1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方， 6 π ; （2）体心立方, ; 8 3 π （3）面心立方，; 6 2 π（4）六角密积，; 6 2 π （5）金刚石结构，; 16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设 n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体 积，则致密度ρ= V r n3 3 4 π （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为 , , 4 33a V r a= = 面1.2 简立方晶胞 晶胞包含1个原子，所以 ρ= 6 ) ( 3 3 2 3 4π π = a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为, , 4 33a V r a= =晶胞包含2个原子，所以 ρ=π π 8 3 ) ( * 2 3 3 4 3 3 4 = a a
图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为 3,42a V r a ==，1个晶胞包含4个原子，所以 ρ= 6 2) ( *43 3 4 234ππ= a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体 晶胞的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h =2 23 2 32c r a == 晶胞体积 V = 2 22 360sin ca ca = , 一个晶胞包含两个原子，所以 ρ= ππ6 2 )(*22 2 3 3 234= ca a .