圆锥曲线的轨迹方程的求法
高考要求
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点
重难点归纳
一、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法
(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程
(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求
(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程
(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 二、跟踪应用
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；如已知动点P 到定点F(1,0)
和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（答：2
12(4)(34)y x x =--≤≤或
24(03)y x x =≤<）；
②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：2
2y x =）；
③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P 向圆22
1x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600
，
则动点P 的轨迹方程为
（答：22
4x y +=）；（2）点M 与点F(4,0)
的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ （答：2
16y x =）；(3) 一动圆与两圆⊙M ：12
2
=+y x 和⊙N ：01282
2=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P 是抛物线122
+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分?→
?PA 所成的比
为2，则M 的轨迹方程为__________（答：3
1
62-=x y ）；
⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，
使||||OP MN =，求点P 的轨迹。（答：2
2
||x y a y +=）；（2）若点),(11y x P 在圆1
2
2=+y x
上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____（答：2
121(||)2
y x x =+≤）；（3）过抛物线y x 42
=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________（答：2
22x y =-）；
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴
子”转化。如已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分
别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.
2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足
.0||,022≠=?TF TF （1）设x 为点P 的横坐标，证明
x a
c
a F +=||1；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2
b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若
不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）222
x y a +=；（3）当2b a c >时不存在；当2b a c
≤时存在，此时∠F 1MF 2＝2）
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
例2设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线
命题意图本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 知识依托直线与抛物线的位置关系
错解分析当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论 技巧与方法 将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系
解法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ) (x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a
由OM ⊥AB ，得m =－y
x
由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －4pa =0
所以y 1y 2=－4pa , x 1x 2=22
122
()(4)y y a p =
所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2 =－y 1y 2 所以2
44a pa a p =?= 故x =my +4p ,用m =－
y
x
代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，
N
A
M B
o
y
x
去掉坐标原点
解法二 设OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(
,)p p A k k
则OB 的方程为1
y x k =-
，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk - ∴AB 的方程为2
(2)1k
y x p k =--，过定点(2,0)N p ，
由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外） 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点
解法三 设M (x ,y ) (x ≠0)，OA 的方程为y kx =，
代入y 2=4px 得222(,)p p A k k
则OB 的方程为1
y x k
=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -
由OM ⊥AB ，得
M 既在以OA 为直径的圆 22
2220p p x y x y k k
+-
-=……①上， 又在以OB 为直径的圆 22
2
220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外），
①2
k ?+②得 x 2+y 2－4px =0(x ≠0)
故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点
6 双曲线22
22b
y a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q
⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程 解设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ) ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0)
由条件?????-=±≠-=???
????-=-?--=+?+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 2
2000000
0)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2
即b 2(－x 2)－a 2(
y
a x 22-)2=a 2
b 2
化简得Q 点的轨迹方程为 a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a )
例2．（2001上海，3）设P 为双曲线-4
2x y 2
＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段
OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 。
解析：（1）答案：x 2－4y 2＝1 设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）
∴2,20
0y y x x == ∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴4
42
x －4y 2＝1?x 2－4y 2＝1
点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。
题型1：求轨迹方程
例1．（1）一动圆与圆2
2
650x y x +++=外切，同时与圆2
2
6910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
（2）双曲线2
219
x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ?的重心M 的轨迹方程。
解析：（1）（法一）设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ，
将圆方程分别配方得：2
2
(3)4x y ++=，2
2
(3)100x y -+=， 当M 与1O 相切时，有1||2O M R =+ ①
当M 与2O 相切时，有2||10O M R =-
②
将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=，
即2222(3)(3)12x y x y +++-+= ③
移项再两边分别平方得：
222(3)12x y x ++=+ ④
两边再平方得：2
2
341080x y +-=，
整理得
22
13627
x y +=， 所以，动圆圆心的轨迹方程是
22
13627
x y +=，轨迹是椭圆。 （法二）由解法一可得方程2222
(3)(3)12x y x y +++-+=，
由以上方程知，动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为1(3,0)O -、2(3,0)O ，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，
∴26c =，212a =，∴3c =，6a =，
∴2
36927b =-=，
∴圆心轨迹方程为
22
13627
x y +=。 x
y
1O
2O
P
（2）如图，设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ，∴在已知双曲线方程中3,1a b ==，
∴c =
=
∴已知双曲线两焦点为12(F F ， ∵12PF F ?存在，∴10y ≠
由三角形重心坐标公式有100
3x y y ?=???++?=??
，即1133x x y y =??=? 。
∵10y ≠，∴0y ≠。
已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有2
2(3)(3)1(0)9
x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2
2
91(0)x y y -=≠。
点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。
例3．（1）设AB 是过椭圆x a y b
a b 222210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为
F c 10()-，，则△F 1AB 的面积最大为（ ）
A. bc
B. ab
C. ac
D. 2
b
（2）已知双曲线x a y b
a b 222
2100-=>>()，的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲
线的右支上，且||||PF PF 124=，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A.
4
3
B.
53
C. 2
D.
72
（3）已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆
x y 22
259
1+=上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ ） A. 10
B. 105-
C. 105+
D. 1025+
解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半。又||OF c 1=，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值是b ，所以△F 1OB 的面积最大值为
1
2
cb 。所以△F 1AB 的面积最大值为cb 。
点评：抓住△F 1AB 中||OF c 1=为定值，以及椭圆是中心对称图形。 （2）解析：由双曲线的定义， 得：||||PF PF a 122-=，
又||||PF PF 124=，所以322||PF a =，从而||PF a 223
=
由双曲线的第二定义可得
||PF x a
c
c
a 22
-
=， 所以x a c =532。又x a a c a ≥≥，即
532，从而e c a =≤5
3
。故选B 。 点评：“点P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532
a c
a ≥成立的条件。利用这个结论得出关于a 、c 的不等式，从而得出e 的取值范围。
（3）解析：易知A （3，2）在椭圆内，B （－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F （4，0）。连PB ，PF 。由椭圆的定义知：
||||PB PF +=10，
所以||||||||||||(||||)PB PF PA PB PA PF PA PF =-+=+-=+-101010，所以。 由平面几何知识，
||||||||PA PF AF -≤，即(||||)||min PA PB AF +=+10，
而||()()AF =
-+-=3420522，
所以(||||)min PA PB +=+105。
点评：由△PAF 成立的条件||||||||PA PF AF -<，再延伸到特殊情形P 、A 、F 共线，从而得出||||||||PA PF AF -≤这一关键结论。
例4．（1）（06全国1文，21）设P 是椭圆()22
211x y a a
+=>短轴的一个端点，Q 为椭
圆上的一个动点，求PQ 的最大值。
（2）（06上海文，21）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，
左焦点为(3,0)F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ??
???
.
①求该椭圆的标准方程；
②若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；
③过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ?面积的最大值。
（3）（06山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l 。
(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程。
解析：（1）依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ，又因为Q 在椭圆上， 所以，x 2=a 2(1－y 2)， |PQ|2= a 2(1－y 2)+y 2－2y+1=(1－a 2)y 2－2y+1+a 2， =(1－a 2)(y －
11－a 2 )2－1
1－a
2+1+a 2 。 因为|y|≤1,a>1, 若a ≥2, 则|11－a 2|≤1, 当y=1
1－a 2时, |PQ|取最大值a 2a 2－1a 2－1 ，
若1 （2）①由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1， 又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为14 22 =+y x 。 ②设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0)， 由 x=2 10+x 得 x 0= 2x －1 y= 2 210+ y y 0=2y － 2 1 由,点P 在椭圆上,得 1)2 1 2(4)12(22=-+-y x ， ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)4 1(4)2 1 (2 2 =-+-y x 。 ③当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积S △ABC =1。 当直线BC 不垂直于x 轴时,说该直线方程为y=kx,代入14 22 =+y x , 解得B( 1 422 +k , 1 422 +k k ),C (－ 1 422 +k ,－ 1 422 +k k )， 则2 24114 k k BC ++=,又点A 到直线BC 的距离d= 2 12 1k k +- ， ∴△ABC 的面积S △ABC = 2411221 k k d AB +-= ?。 于是S △ABC =1 44114144222+- =++-k k k k k 。 由 1 442+k k ≥－1,得S △ABC ≤ 2,其中,当k=－21 时,等号成立。 ∴S △ABC 的最大值是2。 （3）解：设椭圆方程为22 221()x y a b c a b +=>> （Ⅰ）由已知得222224b c a c a b c =???=? ???=+? 2222 11 a b c ?=?=??=? ∴所求椭圆方程为22 12x y +=。 （Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 11222,(,),(,)y kx A x y B x y =+ 由22 212 y kx x y =+???+=??，消去y 得关于x 的方程：22 (12)860k x kx +++=， 由直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，22 06424(12)0k k ∴>?-+>，解得2 32 k > 。 又由韦达定理得122 122812612k x x k x x k ? +=-??+???= ?+? ， 12|||AB x x ∴=-= = 原点O 到直线l 的距离d = 。 1||2AOB S AB d =?==. 解法1 ：对S =两边平方整理得： 2422244(4)240S k S k S +-++=（*）， ∵0S ≠，22222 2 22 16(4)44(24)0,4024 04S S S S S S S ? ?--?+≥?-?>???+>? ?，整理得：2 12S ≤。 又0S >， 02 S ∴<≤ AOB S 的最大值为2S = ， 此时代入方程（*）得 42 428490k k -+= ，2 k ∴=± 。 所以，所求直线方程为：240y -+=。 解法2 ：令0)m m =>，则2 2 23k m =+。 2442 S m m m ∴= =≤++ 当且仅当4 m m = 即2m = 时，max S = ，此时k =± 所以，所求直线方程为14240y += 解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零。 设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx A x y B x y =+， 则直线l 与x 轴的交点2 (,0)D k - ， 由解法一知2 32k >且12 2122812612k x x k x x k ? +=-??+?? ?=?+? ， 解法1：1212112 |||||||22|22AOB S OD y y kx kx k = ?-=?+-- =12||x x - 22212()4x x x x =+- 21624k -= 22223k -=. 下同解法一. 解法2：AOB POB POA S S S =-211 2||||||2 x x =??-21|| x x =-22223k -。 下同解法一。 点评：文科06年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。 题型3：证明问题和对称问题 4．（2004年高考福建卷文科（21））如图，P 是抛物线C ：y= 2 1x 2 上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q. （Ⅰ）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程； （Ⅱ）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离. 解：（Ⅰ）把x =2代入2 2 1x y = ，得y=2， ∴点P 坐标为（2，2）. 由 2 2 1x y = ， ① 得x y ='， ∴过点P 的切线的斜率k 切=2， 直线l 的斜率k l =－切 k 1 =,21- ∴直线l 的方程为y －2=－21(x －2)， 即 x +2y －6=0. （Ⅱ）设.2 1),,(2 0000x y y x P = 则 ∵ 过点P 的切线斜率k 初=x 0，当x 0=0时不合题意， .00≠x ∴ 直线l 的斜率k l =－ 切 k 1=01x -， 直线l 的方程为 ).(1 2100 20x x x x y --=- ② 方法一：联立①②消去y ，得x 2+0 2 x x －x 02－2=0. 设Q ).,(),,(11y x M y x ∵M 是PQ 的中点， ∴??? ????++=+---=-=+=. 12121)1(1,122 020********x x x x x x y x x x x 消去x 0，得y=x 2+121 2 +x (x ≠0)就是所求的轨迹方程. 由x ≠0知.121212121,02 2 22 2 +=+?≥++ =∴>x x x x y x 上式等号仅当21,214 2 2 ±==x x x 即时成立，所以点M 到x 轴的最短距离是.12+ 方法二： 设Q ).,(),,(11y x M y x 则 由y 0= 21x 02，y 1=2 1 x 12，x =,210 x x + ∴ y 0－y 1=21x 02－21x 12=2 1 (x 0+x 1)(x 0－x 1)=x (x 0－x 1)， ∴,101010x k x x y y x l -==--= ∴,10x x -= 将上式代入②并整理，得 y=x 2+ 121 2 +x (x ≠0)就是所求的轨迹方程. 由x ≠0知.121212121,02 2 22 2 +=+?≥++ =∴>x x x x y x 上式等号仅当21,214 2 2 ±== x x x 即时成立，所以点M 到x 轴的最短距离是.12+ 说明：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基 本思想和综合解题能力。 3 设O 为坐标原点, P 为直线1=y 上动点, OQ OP //, 1=?OQ OP , 求Q 点的轨迹方程. 解: 设),(),1,(y x Q a P , 则由// 得: x ay =, 即 y x a = , 由1=?得: 1=+y ax , 将y x a = 代入得: y y x =+22, 且0>y . ∴所求点Q 的轨迹方程为: )0(022>=-+y y y x . 求轨迹方程的几种常用方法 求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有： 1直接法： 若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为( x, y )后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1 ：在直角△ ABC中，斜边是定长2a (a 0)，求直角顶点C的轨迹方程。 解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB所在的直线为X轴，AB的中点0为坐 标原点，过0与AB垂直的直线为y轴(如图).则有A ( a,0), B (a,0)。 设动点C为(x, y), ??? | AC |2 |BC |2 |AB|2, a)2y2]2h(x a)2y2]24a2, 即x2 由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在，轨迹中应除去A、B两点, 故所求方程为x2y2a2( x a )。 2?代入法(或利用相关点法)： 即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例2 :已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM : MB 1:2，求动点M的轨迹方程。 解：设 A (a,0) , B (0, b), M (x, y), 一方面，. 另一方面, 36 , M分AB的比为 1 , 2 评注：本例中，由于 M 点的坐标随着 A 、B 的变化而变化，因而动点 M 的坐标(x, y)可以用A 、B 点 的坐标来表示，而点 M 又满足已知条件，从而得到 M 的轨迹方程。此外，与上例一样，求曲线的方程时， 要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。 3.几何法： 求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联 系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种 求轨迹方程的方法称作几何法。 求动点P 的轨迹方程。 解：设P (x, y)，由题 APO BPO ，由三角形角平分线定理有 L P A | ^A 0-1 |PB| |BO| ..(x 6)2 y 2 3 3 , (x 2)2 y 2 整理得x 2 y 2 6x 0,当x 0时，y 0, P 和O 重合，无 意义，??? x 0, 又易知P 落在x 轴上时，除线段AB 以外的任何点均有 APO BPO 00 , ? y 0 ( x 6或x 2)也满足要求。 综上，轨迹方程为 x 2 y 2 6x 0 ( x 0)或y 0 (x 6或x 2 )。 评注：本例利用平面几何的知识(三角形的角平分线定理进行解题) ，方便了求轨迹的方程。 4.参数法： 有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量(参数) 联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。 0 -b _2_ 1 - -b 3 a x 2 b 3y ②代入①得: 3 2 2 (評(3y) 2 36，即一 16 例3 :如图，已知两定点 A ( 6,0 ), B ( 2,0 ), O 为原点，动点 P 与线段AO 、BO 所张的角相等, ，使(x, y)之间的关系建立起 微专题71 求曲线（或直线）的方程 一、基础知识： 1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理 2、所学方程中字母的几何意义 （1）直线：：斜率；()00,x y ：直线所过的定点 （2）圆：(),a b :圆心的坐标； :r 圆的半径 （3）椭圆：2a ：长轴长，焦半径的和；2:b 短轴长；2c ：焦距 （4）双曲线：2a ：实轴长，焦半径差的绝对值；2:b 虚轴长；2c ：焦距 注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着,,a b c 展开，通过这些条件也可以求出,,a b c 的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）： 离心率：c e a =；通径（焦点弦长的最小值）：22b a 等 （5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： ① 直线：y kx m =+，x my t =+ ② 圆：2 2 0x y Dx Ey F ++++= ③ 椭圆： 标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()22 2210y x a b a b +=>>，视焦点所在轴来决定） 椭圆方程通式：()2 2 10,0mx ny m n +=>> ④ 双曲线： 名师作业练全能 第四十讲 曲线和方程（轨迹问题）（文） 班级 __________ 姓名____________ 考号 ____________ 日期 ___________ 得分____________ 括号内.） 1. 设线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|= 5, oM = |O ）A +-5OB , 则点M 的轨迹方程为 2 2 x y , A — + ——=1 9 + 4 2 2 C z + 乞=1 C. 25+ 9 答案：A 2. 方程 x （x? + — 4） = 0 与 x + （x? + y — 4）2 = 0 表示的曲线是（ ） A .都表示一条直线与一个圆 B .前者是两个点，后者是一条直线和一个圆 C .都表示两个点 D .前者是一条直线和一个圆，后者是两个点 解析：x(x 2 + y 2— 4)= 0? x = 0 或 x 2 + y 2= 4; x 2 + (x 2 + y 2 — 4)2= 0? x = 0 且 x 2 + y 2 — 4 = 0. 答案：D 3. 设动点P 在直线x = 1上，O 为坐标原点，以 0P 为直角边、点 0为直角顶点作等 腰Rt △ OPQ ，则动点 Q 的轨迹是（ ） 2 2 r y X ’ B.勺 + = 1 9 4 2 2 D .2I +討 i 解析: 如图，设 M(x 、 (x , y)= |(X O ,O) +1(0, 3 x = |x o y o )，则 2 y =|y o y o =fy 由 |AB|= 5,得 2 !|x/+ gy)= 52 化简得；+ x o =1 求点的轨迹问题 一、基础知识： 1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法 （1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可 （2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程 （3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r ② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c ③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c ④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距：p 。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程 （4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与 圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ， ，代入方程，然 后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中点 P 的轨迹方程。 （2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 ，为焦点，，。 （1 （2）求 的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 专题八、解析几何（三） 点的轨迹方程 1.求点的轨迹方程的常用方法： （1）定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可根据已知条件和曲线的固有定义，求出轨迹方程。 （2）直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以用点P 的坐标（x ，y ）表示出那些等量关系，化简即可得到轨迹方程。 （3）参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），再通过消去参数t ，得到关于x ，y 的轨迹方程F （x ，y ）＝0。 （4）代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 （5）几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可得到轨迹方程。 （6）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法。 （7）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题先求解两动曲线方程组，得出它们的交点（含参数）坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法、点差法并用。 2.求轨迹方程的注意事项：求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。 （一）用定义法求点的轨迹方程 例1. 一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆22 6910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 圆锥曲线轨迹方程的解法 目录 一题多解 (2) 一．直接法 (3) 二. 相关点法 (6) 三. 几何法 (10) 四. 参数法 (12) 五. 交轨法 (14) 六. 定义法 (16) 一题多解 设圆C ：（x －1）2+y 2=1，过原点O 作圆的任意弦OQ ，求所对弦的中点P 的轨迹方程。 一．直接法 设P （x,y ），OQ 是圆C 的一条弦，P 是OQ 的中点，则CP ⊥OQ ，x ≠0,设 OC 中点为M （0,21），则|MP |=21|OC |=21，得（x －21）2+y 2=41 (x ≠0)，即点P 的 轨迹方程是（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1)。 二．定义法 ⊥⊥OPC =90°，⊥动点P 在以M （0,2 1 ）为圆心，OC 为直径的圆（除去原点 O ）上，|OC |=1，故P 点的轨迹方程为（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1) 三．相关点法 设P （x,y ）,Q (x 1,y 1)，其中x 1≠0, ⊥x 1=2x,y 1=2y ,而（x 1－1）2+y 2=1 ⊥(2x －1)2+2y 2=1,又x 1≠0, ⊥x ≠0,即（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1） 四．参数法 ①设动弦PQ 的方程为y=kx ,代入圆的方程（x －1）2+kx 2=1， 即（1+k 2）x 2－2x =0,⊥.12 221k x x +=+ 设点P （x,y ），则2 2211],1,0(112k k kx y k x x x +==∈+=+= 消去k 得（x － 21）2+y 2=4 1 (0＜x ≤1） ②另解 设Q 点（1+cos θ,sin θ），其中cos θ≠－1,P (x,y )， 则,2sin ],1,0(2cos 1θθ=∈+= y x 消去θ得（x －21）2+y 2=4 1 (0＜x ≤1） 圆锥曲线标准方程求法 一、椭圆标准方程求法 1、定义法 【例1】已知ABC ?的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。 【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为25 7.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程. 【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点??? ? ??26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程； 【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程. 【例4】设R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量， ,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+．求点),(y x M 的轨迹C 的方程； 2、待定系数法 1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程． 2．已知椭圆1C ：22 221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程． 3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程． 4.设椭圆:E 22 221x y a b +=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。 3、转化已知条件 【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12- .求点M 轨迹C 的方程; 【例2】设Q 、G 分别为ABC ?的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //?求点C 的轨迹E 【例3】已知动点P 到直线33 4- =x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程; 2016年专项练习题集-定义法求轨迹方程 选择题 1、点p （x ，y 10=，则点 p 的轨迹方程是（ ） A ．22 1259 x y += B ．22 1259 x y -= C ．22 1925 x y += D ．22 1925 x y -= 分值：5 答案：A 【考查方向】本题考查椭圆的定义，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键。 x,y ）和点（4,0）之间的距离。 【解题思路】利用椭圆的定义即可得出． 【解析】∵点p （x ，y 10=， ∴点p 到两定点F （4，0），F′（-4，0）的距离之和满足：|PF|+|P F′|=1o ＞8． 故点P 的轨迹是以点F ，F′为焦点，10为长轴长的椭圆． 易知，c=4,a=5,∴b=3,∴椭圆的方程为22 1259 x y +=，故选A ． 2、已知圆1c ：（x+3）2+y 2=4，圆2c （x ﹣3）2+y 2=100，动圆c 与圆1c 、圆2c 都内切，则动圆圆心的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 【分值】5 【答案】A 【考查方向】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程、圆与圆的位置关系及其判定。菁优网版权所有 【易错点】找不出1cc +2cc 为定值这一关系。 【解题思路】设动圆的半径为r ，由相切关系建立圆心距与r 的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可解决问题． 【解析】设动圆的半径为r ，动圆圆心为c （x ，y ）， 因为动圆与圆1c ：（x+3）2+y 2=4及圆2c （x ﹣3）2+y 2=100都内切， 则1cc =r ﹣2，2cc =10﹣r ． ∴1cc +2cc =8＞12c c =6 因此动圆圆心为c 的轨迹是焦点为1c 、2c ，中心在（ 0，0）的椭圆． 故选A ． 3、设动圆M 与y 轴相切且与圆C ：x 2+y 2﹣4x=0相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A ．y 2=8x B ．y 2=﹣8x C ．y 2=8x 或y=0（x ＜0） D ．y 2=8x 或y=0 【分值】5 高二数学第二章曲线与方程学案 学习目标： 1、理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 2、掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习重点：理解曲线和方程的概念，掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习难点：曲线和方程概念的理解； 学习过程： 完成教学目标1：理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 新授知识：曲线的方程与方程的曲线的概念 一般地，在直角坐标系中，如果其曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点； 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 例1、判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 ； （2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 ； （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 ； 练习：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？ 2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，中线O AO (为原点）的 方程是0=x 吗？为什么？ 3、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ） A.曲线C 的方程是(,)0f x y = B.方程(,)0f x y =的曲线是C C.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上 D.坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 例2、已知方程252 2=+by ax 的曲线经过点)3 5,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。 练习：已知方程 2 2 25x y +=表示的曲线C 经过点)A m ，求m 的值。 完成教学目标2：掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 类型一：待定系数法求轨迹方程（设出标准方程，根据题意求出a ，b ，p ） 例1：已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ， 且0=?,||2||=,求椭圆的方程。 练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C 的标准方程； 类型二：直接法求轨迹方程（根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。注意：是否应该建立适当的坐标系） 例2：已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x ＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂 足为点Ｑ，且FQ FP QF QP ?=?,求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程； **练习：已知动点M 到定点A （1,0）与到定直线l ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ 轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆： 1、 长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程; 2、 线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 3如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 4在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 5（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明 直线l 过定点。 二、椭圆类型： 3、 定义法：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为2 1 ，求点M 的轨迹方程. 微专题19 1．答案：x 2＝2y . 解析：假设抛物线标准方程x 2＝2py (p ＞0)，因为准线方程y ＝－12＝－p 2 ，所以p ＝1，抛物线标准方程为x 2＝2y . 2．答案：x 28－y 28 ＝1. 解析：因为e ＝c a ＝2，又b a ＝4c ，所以b ＝22，a ＝22，所以双曲线的E 的标准方程为x 28－y 28 ＝1. 3．答案：x 24＋y 22 ＝1. 解析：由c a ＝22，2a 2c ＝42解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2.所以椭圆的方程为x 24＋y 2 2＝1. 4．答案：y ＝±2x . 解析：因为m ＋4m ＝3，得出m ＝2，所以渐近线方程为x 22－y 2 4 ＝0，所以y ＝±2x . 5．答案：x 216＋y 2 8 ＝1. 解析：由???c a ＝22，c ＋a 2 c ＝62，解得???a ＝4，c ＝22 则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1. 6．答案：x 2－y 2 3 ＝1. 解析：因为c a ＝2，不妨设焦点为(c ，0)，渐近线为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，所以bc b 2＋a 2＝b ＝3，c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，所以 a 2＝1，双曲线C 的标准方程为x 2－y 23 ＝1. 7．答案：x 24＋y 2 4 3 ＝1. 解析：因为a ＝2，由|OC →－OB →|＝ 2|BC →－BA →|，得|BC →|＝2|AC →|，所以|OC →|＝|AC →|，又由AC →·BC →＝0，所以|OC →|＝|AC →|＝2，则点C (1，－1)代入椭圆E ，得b 2＝43，所以椭圆E ：x 24＋y 2 4 3＝1. 轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论） 2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆 1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1= 2 ,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得24 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. 求曲线轨迹方程的五种方法 一、直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知 识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例1长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB 中点P的轨迹方程。 /解：设点P的坐标为（x, y），\ 则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a 得\、（2x 0）2（0 2y）2=2a 化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。 二、定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。 例2动点P到直线x+4=0的距离减去它到M （2, 0）的距离之 差等于2,则点P的轨迹是（） A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意，动点P到点M （2，0）的距离等于这点到直 线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。 解法二：设P点坐标为（x，y），则/ |x+4|- （x 2）2 y2=2 当x > -4 时，x+4- （x 2）2 y2=2 化简得 当时，y2=8x 当x V -4 时，-X-4- .. （x 2）2 y2=2 无解 所以P点轨迹是抛物线y2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显, 解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、代入法 如果轨迹点P（x，y）依赖于另一动点Q（a, b）,而Q（a, b）又在某已知曲线上，则可先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程，此法称为代入法。 2 2 例3 P 在以F1、F2为焦点的双曲线16七1上运动，则厶F1F2P 、k2 (x2 y2) ? . x2 y2=12 ??? k (x2+y2) =12,又点M在已知圆上， ??? 13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0 由上述两式消去x2+y2得 5x+12y-52=0 点评：用参数法求轨迹，设参尽量要少，消参较易。 五、交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点方程， 求曲线轨迹方程的常用 方法 Hessen was revised in January 2021 高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法 张昕 陕西省潼关县潼关高级中学 714399 求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下： （1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质. （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定 义法求方程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法. （4） 参数法：若动点的坐标（x ，y ）中的x ，y 分别随另一变量的 变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程. （5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式 求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法. （6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨 迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程. 典型例题示范讲解： 设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程. 【解】：法一：（直接法） 如图，设B （x ，y ），由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2 +［22(1)x y -+］=1 即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24 x y -+=（x ≠0）. 法二：（定义法） 设B （x ，y ），如上图，因为B 是OA 的中点 圆锥曲线 设而不求法典型试题 在求解直线与圆锥曲线相交问题，特别是涉及到相交弦问题,最值问题,定值问题的时候，采用“设点代入”(即“设而不求”)法可以避免求交点坐标所带来的繁琐计算，同时还要与韦达定理,中点公式结合起来,使得对问题的处理变得简单而自然,因而在 做圆锥曲线题时注意多加训练与积累. 1.通常情况下如果只有一条直线，设斜率相对容易想一些，或 者多条直线但是直线斜率之间存在垂直，互为相反数之类也可以设斜率需要注意的是设斜率的时候需要考虑： （1）斜率是否存在 （2）直线与曲线必须有交点也就是判别式必须大于等于0 这种设斜率最后利用韦达定理来计算并且最终消参法，思路清晰，计算量大，特别需要仔细，但是大多也是可以消去高次项，故不要怕大胆计算，最终一定能得到所需要的结果。 2.设点比较难思考在于参数多，计算起来容易信心不足，但是在对于定点定值问题上，只要按题目要求计算，将相应的参数互 带，，然后把点的坐标带入曲线方程最终必定能约分，消去参数。这种方法灵活性强，思考难度大，但是计算简单。 例1：已知双曲线x2-y2/2=1，过点M(1,1)作直线L，使L与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且点M是线段Q1Q2的中点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由。 解：假设存在满足题意的直线L，设Q1(X1,Y1)，Q2(X2,Y2) 代人已知双曲线的方程，得x12-y12/2=1 ①， x22-y22/2=1 ② ②-①，得(x 2-x 1 )(x 2 +x 1 )-(y 2 -y 1 )(y 2 +y 1 )/2=0。 当x1=x2时，直线L的方程为x=1，此时L与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意； 当x1≠x2时，有(y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2. 故直线L的方程为y-1=2(x-1) 检验：由y-1=2(x-1)，x2-y2/2=1，得2x2-4x+3=0,其判别式 ⊿=-8 ﹤0，此时L与双曲线无交点。 综上，不存在满足题意的直线 轨 迹 方 程 问 题 常见的有六种求轨迹方程的方法： ①待定系数法：由几何量确定轨迹方程； ②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程； ③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程； ④“代入法”求轨迹方程； ⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程． ⑤“交轨法”求轨迹方程； 1．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求解程序：①设动点P 的坐标为P(x ，y)；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注明范围． 例1．设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥，动点 (,)M x y 的轨迹为E ．求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状； 解：因为a b ⊥,(,1)a mx y =+,(,1)b x y =-，所以a ·b ＝2210mx y +-=， 即 221mx y +=． 当m ＝0时，方程表示两条直线：1±=y ； 当1m =时，方程表示的是圆：221x y +=； 当m ＞0且1≠m 时，方程表示的是椭圆； 当m ＜0时,方程表示的是双曲线． 2．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程 P M N 例2．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点） ，使得PM =试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程. 解：如图，以直线12O O 为x 轴，线段12O O 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心 分 别 为 12(2,0),(2,0) O O -．设 (,) P x y ， 则，同理 222(2)1PN x y =-+-．2222211(2)1PM O P O M x y =-=++- ∵PM =， ∴2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即221230x x y -++=，即22(6)33x y -+=． 这就是动点P 的轨迹方程． 注：动圆圆心轨迹问题 ①动圆与两外离定圆均外切(含相交)；②动圆过定点且定圆外切；③动圆过定点且定直线相切；④动圆与两定圆一个外切，一个内切；⑤动圆过定点且定圆相切． 3．参数法求轨迹方程： 例3．动圆P 过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O 是坐标原点，动圆P 的圆心轨迹是曲线C. （1）求曲线C 的方程； （2）过A 作直线l 交曲线C 于,D E 两点，求弦DE 的中点M 的轨迹方程； （3）在（2）中求ODE ?的重心G 的轨迹方程。 解：(1)点P 到点A 的距离等于点P 到直线y= -1的距离，故点P 的轨迹C 是以点A 为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，所以曲线C 的方程 x 2=4y. 2222 A , 1 4440,+=4,(+)2, 1, 2 1 2()1,1.2221l x y x x kx k x k y x x k y y x y =====+=?=?+=+?=+? 1122212122 (2)设M(x,y),D(x ,y ),E(x ,y ),依题意知过的直线的斜率存在，设该直线的方程为：y=kx+1 与联立，消整理得：--则x x 则x x kx+1=2k 2k 即，消去得：即为所求的方程k 另解：（2） 圆锥曲线轨迹方程问题 纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高， 主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目. 分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没 有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是 ft东卷高 考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。 圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生 心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。 一、考法解法 命题特点分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其 实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类 问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同 时具备一定的推理能力和运算能力。 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨 迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型 （定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处 理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问 题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理 解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要 等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；② 简化条件式； ③转化化归。 解题方法荟萃 曲线与方程专题训练 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 解题步骤为： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 例1.在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为|PA |、|PB |、|PC |，且满足|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求P 点的轨迹方程． 解：以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平 面直角坐标系(图略)， 设点P (x ，y )，B (－a,0)，C (a,0)，A (0，3a )， 用点的坐标表示等式|PA |2＝|PB |2＋|PC |2， 有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2， 化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2， 即所求的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0) 练习1.平面上有三点A (－2，y )、B (0，y 2 )、C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________． 2. 已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是求轨迹方程的几种常用方法
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