空间直角坐标系与空间两点的距离公式
空间直角坐标系
为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示.
轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点.
如何理解空间直角坐标系？
1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础；
2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合；
3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系；
4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°.
空间点的坐标
1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标；
这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.
已知数组(x，y，z)，如何作出该点？
对于任意三个实数的有序数组(x，y，z)：
（1）在坐标轴上分别作出点P x，P y，P z，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z；
（2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy，这三个平面的交点就是所求的点.
空间点的坐标
1．在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面；2．坐标平面上点的坐标的特征：
xOy平面（通过x轴和y轴的平面）是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数
yOz平面（通过y轴和z轴的平面）是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其
中y、z为任意实数；
xOz平面（通过x轴和z轴的平面）是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；
3．坐标轴上点的特征：
x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；
y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数；
z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。
卦限
在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限；
在坐标平面xOy上方的四个象限对应的卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限；在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、第VIII卦限；
在每个卦限内，点的坐标的各分量的符号是不变的，例如在第I卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第II卦限，x为负数，y、z均为正数；
八个卦限中点的坐标符号分别为：
I：（+ ，+ ，+ ）；II：（－，+ ，+ ）；III：（－，－，+ ）；
IV：（+ ，－，+ ）；V：（+ ，+ ，－）；VI：（－，+ ，－）；VII：（－，－，－）；VIII：（+ ，－，－）；
空间两点间的距离公式
空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) 的距离公式是
d A B=，
(,)
特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为(,)
d O A=
题型1．确定空间任一点的坐标
例1．正方体的棱长为2，求各顶点的坐标.
解：由图可知，正方体的各个顶点的坐标如下A(0，0，0)，
B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(2，
0，2)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，
题型2．空间中点的对称问题
例2．在空间直角坐标系中，写出点P(x，y，z)的对称点
的坐标
（1）关于x轴的对称点是P1；
（2）关于y轴的对称点是P2；
（3）关于z轴的对称点是P3；
（4）关于原点的对称点是P4；
（5）关于xOy 坐标平面的对称点是P 5 ；；
（6）关于yOz 坐标平面的对称点是P 6 ；
（7）关于xOz 坐标平面的对称点是P 7 .
解：（1）P 1(x ，－y ，－z )；（2）P 2(－x ，y ，－z )；（3）P 3(－x ，－y ，z )；
（4）P 4(－x ，－y ，－z )；（5）P 5(x ，y ，－z )；（6）P 6(－x ，y ，z )；
（7）P 7(x ，－y ，z )；
题型3．求两点间的距离
例3．（1）点P 236
到原点的距离是
（A ）6 （B ）1 （C ）6 （D ）6
（2） 134123(,,),(,,)3456310
A B -两点间的距离是 .
【研析】（1）点P 到原点的距离是||1OP ==，选B .
（2）由两点间的距离公式得||12
AB ==.
1．有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是（0，b ，0）；
②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上点的坐标一定可以写成（0，b ，c ）； ③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记为（0，0，c ）；
④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上点的坐标可写为（a ，0，c ）.
其中正确的叙述的个数是（ C ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2．点A (－3，1，5)，点B (4，3，1)的中点坐标是（ B ）
（A ）7(,1,2)2- （B ）1(,2,3)2 （C ）(－12，3，5) （D ）14(,,2)33
3．点B 是点A (1，2，3)在坐标平面yOz 内的射影，则|OB |等于（ B ）
（A （B （C ） （D
4．到定点(1，0，0)的距离小于或等于1的点的集合是（ A ）
（A ）{(x ，y ，z )| (x －1)2+y 2+z 2≤1} （B ）{(x ，y ，z )| (x －1)2+y 2+z 2=1}
（C ）{(x ，y ，z )| x 2+y 2+z 2≤2} （D ）{(x ，y ，z )| x 2+y 2+z 2≤1}
5．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，A (2，1，1)，B (1，1，2)，C (x ，0，1)，则x = 2 .
6．若点P (x ，y ，z )到A (1，0，1)，B (2，1，0)两点的距离相等，则x 、y 、z 满足的
关系式是 . (2x +2y －2z －3=0)
7．证明：以A (4，3，1)，B (7，1，2)，C (5，2，3)为顶点的△ABC 是等腰三角形
例4． 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 2的边长为AB =14，AD =6，AA 1=10，
（1）以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标；
（2）以C 点为原点，以射线BC 、CD 、CC 1的方向分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标；
【探究】根据题目要求画出图形，建立空间直角坐标系后写
出各顶点的坐标。
解：（1）如图1，A (0，0，0)，B (14，0，0)，C (14，6，0)，
D (0，6，0)，A 1(0，0，10)，B 1(14，0，10)，C 1(14，6，10)，
D 1(0，6，10)，
（2）如图2，A (－6，14，0)，B (－6，0，0)，C (0，0，0)，
D (0，14，0)，A 1(－6，14，10)，B 1(－6，0，10)，C 1(0，0，10)，
D 1(0，14，10)，
例5．在坐标平面xOy 上求一点P ，使点P 到A (3，1，5)与B (3，
5，2)的距离相等’
解：设P (x ，y ，0)，∵ |PA |=|PB |，
∴ (x －3)2+(y －1)2+25=(x －3)2+(y －5)2+4 ，整理得，－2y +26=－10y +29，
∴ 8y =3，即y =
83, ∴点P 的坐标为(x ，8
3，0). 例6．如图，在空间直角坐标系中，BC =4，原点O 是BC
的中点，点A 的坐标是(23，2
1，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°.
（1）求AD 的长度；
（2）求∠DAC 的余弦值的大小’
解：（1）由题意得B (0，－2，0)，C (0，2，0)，设D (0，
y ，z )，∵ 在Rt △BDC 中，∠DCB =30°，
∴ BD =2，CD =23， ∴ (y +2)2+z 2=4，(y －2)2+z 2=12，
∴ y =－1，z =3，∴ D (0，－1，3)，|AD =
（2） 在△ACD 中，由（1）知AD =6，又AC =CD =23，
∴ cos ∠DAC
4=-，即∠DAC 的余弦值等于4-。