Description
给定的二阶矩阵(2*2)，求其逆矩阵。
Input
输入大小为2*2的距阵。
Output
输出一个大小为2*2的距阵，矩阵每一行相邻的的两个数字之间由一个空格隔开。具体的请详见Sample Output 。Sample Input
2 0
1 1
Sample Output
0.500000 0.000000
-0.500000 1.000000
#include
int main()
{
float a[2][2];
float b[2][2];
float c[2][2]={0};
float k;
k=0;
int i,j;
for(i=0;i<2;i++)
{
for(j=0;j<2;j++)
{
scanf("%f",&a[i][j]);
}
}
b[0][0]=a[1][1];
b[0][1]=-a[0][1];
b[1][0]=-a[1][0];
b[1][1]=a[0][0];
k=1/(a[0][0]*a[1][1]-a[0][1]*a[1][0]);
for(i=0;i<2;i++)
{
for(j=0;j<2;j++)
{
c[i][j]=k*b[i][j];
}
}
for(i=0;i<2;i++)
{
for(j=0;j<2;j++)
{
if(c[i][j]==0)
{
c[i][j]=0;
}
printf("%f ",c[i][j]);
if((j+1)%2==0)
{
printf("\n");
}
}
}
return 0;
}
2 #include
int main()
{
int Inpt[2][2];
int i,j;
for(i=0;i<2;i++)
{
for(j=0;j<2;j++)
scanf("%d",&Inpt[i][j]);
}
double det=Inpt[0][0]*Inpt[1][1]-Inpt[0][1]*Inpt[1][0];
printf("%f %f \n",Inpt[1][1]/det,-Inpt[0][1]/det);
printf("%f %f \n",-Inpt[1][0]/det,Inpt[0][0]/det);
return 0;
}
二阶行列式与逆矩阵 【学习目标】了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵； 【教材解读】 一、 行列式与矩阵 1. 行列式:我们把a b A c d ??=????两边的“??????”改为“”，于是，我们把a b c d 称为二阶行列式，并称它为矩阵a b A c d ??=???? 2. 3. 矩阵与行列式的区别：矩阵a b A c d ??= ???? 表示一个数表，而行列式a b A c d =是一个数值. 二、 利用行列式求逆矩阵 设a b A c d ??= ???? ，记||a b A ad bc c d ==-.则 1. 矩阵 A 2. 当0A ≠时，1||||||||d b d b A A ad bc ad bc A c a c a A A ad bc ad bc --??-??????--??==??--????????--?? ?? 【典例剖析】 例1． 设4112A -??= ????，判断A 是否是可逆矩阵，若可逆，求出1A -. 例2． 判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求出逆矩阵 （1） 1111A -??= ???? （2）101b B ??=???? （3）1111A ??=???? 例3． 已知矩阵234b A ??= ???? 可逆，求实数b 的范围.
【自我评价】 1. 展开下列行列式，并化简 （1）10937-- （2）121m m m m +++ （3）5779 2. 矩阵00a d 可逆的条件为 . 3. 行列式(,,,{1,1,2})a b a b c d c d ∈-的所有可能值中，最大的是 . 4. 若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-??=????对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵.
线性代数 第二节逆矩阵及其运算 一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵 四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵
线性代数 （或称的逆）；其中为的倒数， a 1 1 a a -=a , 1 1 1aa a a --==在数的运算中，对于数，有 是否存在一个矩阵,. 1 1 AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵A ，1 A -使得一、逆矩阵的概念和性质 0a ≠
线性代数 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得 则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。 , AB BA E ==例1设,01011010A B -????== ? ?-???? ,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。 定义1（可逆矩阵）
线性代数 例1 设,2110A ?? = ? -?? 解 设是A 的逆矩阵,a b B c d ?? = ? ??则2110a b AB c d ????= ???-????1001?? = ? ?? 221001a c b d a b ++?????= ? ?--????求A 的逆矩阵
线性代数 ,,,, 212001a c b d a b +=??+=??? -=??-=?, ,,. 0112a b c d =??=-??? =??=?又因为 ??? ??-01120112-?? ?????? ??-0112=0112-?? ???,1001?? = ??? 所以 .1 0112A --?? = ? ?? A B A B (待定系数法)
二阶行列式与逆矩阵 【教学目标】 了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵 【教学重难点】 1．掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵 2．运用行列式求逆矩阵 【教学过程】 一、行列式与矩阵 行列式：我们把a b A c d ??=????两边的“??????”改为“”，于是，我们把a b c d 称为二阶行列式， 并称它为矩阵a b A c d ??=????的行列式，它的结果是一个数值，记为||det()a b A A ad bc c d ===-。 计算方法：主对角线上两数之积减去副对角线上两数之积。 矩阵与行列式的区别：矩阵a b A c d ??=? ???表示一个数表，而行列式a b A c d =是一个数值。 二、利用行列式求逆矩阵 设a b A c d ??=????，记||a b A ad bc c d ==-。则 矩阵A 可逆的充要条件：||0a b A ad bc c d ==-≠。 当0A ≠时，1||||||||d b d b A A ad bc ad bc A c a c a A A ad bc ad bc --??-??????--??==??--???????? --???? 三、典例剖析 设4112A -??=???? ，判断A 是否是可逆矩阵，若可逆，求出1A -。 判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求出逆矩阵
（1） 1111A -??=???? （2）101b B ??=???? （3）1111A ??=???? 已知矩阵234b A ??=? ???可逆，求实数b 的范围。 四、课堂练习 展开下列行列式，并化简 （1） 10937-- （2）121m m m m +++ （3）5779 矩阵 00a d 可逆的条件为 。 行列式(,,,{1,1,2})a b a b c d c d ∈-的所有可能值中，最大的是 。 若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-??=???? 对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩
第二章行列式与矩阵求逆练习班级: 姓名: 学号 : 一、计算下列行列式: 1.600 300301395200199204 100103= 20000 315214 131000300152001410032 12 32=--=--=--c c c c 解:原式 2.1 2 4 99102201112-= 31 241211 121 241121
12100124121112124110021001200112-==-+=+-++=解:原式 二、确定下列排列的逆序数,并指出是偶排列还是奇排列? 1. 53214 解:逆序数t=7,为奇排列。 2. 18273645 解:逆序数t=12,为偶排列。 三、在6阶行列式中,256651144332651456423321a a a a a a a a a a a a , 这两项应带有什么符 号? 解: ,带正号。 ,逆序数为,带负号; 逆序数为85,665143322514256651144332655642332114651456423321a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a == 四、利用行列式的定义证明: 5 66 000000000000002000230 023402345x x x x x x =-- . 1054321666116651423324155
66 51423324156543216 54321===-==-===-=-=∑t t a x a x a x a x a x a x a a a a a a a a a a a a t j j j j j j t 的逆序数,为排列,,,,,其中((解:由定义,左式 五、利用行列式的性质计算下列各行列式: 1. 216 4 72954 1732152 ----- 90 123 116 2110 01 23011602 12 1523
二阶行列式与逆矩阵 教学目标 1. 了解行列式的概念； 2.会用二阶行列式求逆矩阵。 教学重点及难点 用行列式求逆矩阵。 教学过程 一、复习引入 （1）逆矩阵的概念。 （2）逆矩阵的性质。 二、新课讲解. 例1 设A= ???43 ?? ?21， 问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。 例2设A= ???43 ?? ?21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。 思考：对于一般的二阶矩阵A=? ??b a ?? ?d c ，是否有：当0≠-bc ad 时，A 可逆；当0=-bc ad 时，A 不可逆？
结论：如果矩阵A=? ?? b a ?? ?d c 是可逆的，则0≠-bc ad 。 表达式 bc ad -称为二阶行列式，记作 c a d b ，即 c a d b =b c a d -。ad bc -也称为行列式a b c d 的展开式。符号记为：detA 或|A| ① 反之，当 ≠-bc ad 时，有 ??? ?? ?-A c det det A d ?? ?? ? ? det A a det A b -?? ?b a ?? ?d c = ?? ?b a ?? ?d c ?? ? ???-A c det det A d ? ??? ??det A a det A b -=1001?? ? ??? 。 【可逆矩阵的充要条件】 定理：二阶矩阵A=? ?? b a ?? ?d c 可逆，当且仅当0≠-bc ad 。 当矩阵A=? ?? b a ?? ?d c 可逆时，1-A =?? ? ???-A c det det A d ? ??? ??det A a det A b -。 1.计算二阶行列式： ① 31 42 ② 2 2 1 3 λλ-- 2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。 ①A ＝0110?? ?-?? ②B ＝1100?? ??? 三、课堂小结
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》习题1 1．设A ，B ，C 均为非零二阶矩阵，则下列各式正确的是 （ ） A 、AB=BA B 、(AB)C=A(BC) C 、若AB=0，则A=0或B=0 D 、若AB=C 则B=CA —1 2．若二元一次方程组200x y x y λ+=??-=? 有非零解，则λ= （ ） A 、1 B 、—1 C 、2 D 、—2 3．已知二元一次方程组AX=B ，A=1 00 2??????，B=21?????? ，从几何变换角度研究方程组解的意义是 （ ） A 、一个点横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来2倍，得到（2，1） B 、一个点横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向压缩为原来12 倍，得到（2，1） C 、一个点纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍，得到（2，1） D 、一个点纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向压缩为原来12倍，得到（2，1） 4．设矩阵A= 4 3-3 4??????，B= b c d a ??????，若AB=E ，则b c += 。 5．设 A=1212??????，则6A 的逆矩阵是 。 6．判断矩阵M= ???12 ?? ?56是否存在逆矩阵，若存在试求出其逆矩阵 7．设矩阵A= 2 03 1??????，P= 2 15 3?????? ，试计算下列各题。 （1）求1P -；（2）求1P -AP 8．用矩阵方法求二元一次方程组28452 x y x y +=?? -=?。
答案 1．答案：B 。解析：由矩阵乘法的运算法则知。 2．答案：D 。解析：若λ≠—2，则方程组的解为00 x y =??=?且惟一。 3．答案：A 。解析：由矩阵A 表示的几何变换知。 4．答案：0。解析：由已知B=1A -，故33,2525b c -= =，从而b c +=0。 5． 答案： 1 00 -1-??? ???。解析：6A = 1 00 -1-??????其逆矩阵为自身。 6．答案：∵12 56=2×5-1×6=4≠0 ∴M= ???12 ?? ?56存在逆矩阵M -1 M -1 =?????-4145 ?????-4246=?????-4145 ???? ?-2123 。 7．（1）求1P -；（2）求1P -AP 答案：（1）∵1 3 -123151,-5 2P -???-?=∴=? ???； （2）1P -AP= 3 -1 2 0 2 1 3 -1 2 1 1 0-5 2 3 1 5 3-4 2 5 3 2 2????????????==???????????????????????? 。 8． 答案：原方程组可以写成 2 184 -52x y ??????=? ???????????，记M= 2 14 -5??????， 其行列式2 1 2(5)141404 -5=?--?=-≠，∴1151 831414,2122 -77x M M y --??????????=∴==????????????????????， 即方程组的解为32x y =?? =?。
精品教学教案设计| Excellent teaching plan 教师学科教案 [20 -20学年度第—学期] 任教学科：________________ 任教年级：________________ 任教老师：________________ xx市实验学校 r \?
《2.1.3用二阶行列式求逆矩阵》教案2 教学目标 1?了解行列式产生的背景； 2?经历引入二阶行列式的过程; 3?掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征. 教学重难点 二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组. 教学过程 典型例题 3 2 例1求矩阵A 的逆矩阵.（2009江苏卷） 2 1 解：设矩阵A的逆矩 阵〕为x y，则 3 2 x y 1 0 z w2 1 z w0 1 ， 即3x 2z3y 2w10,故3x2z 1,3y2w0, 2x z2y w012x z 0,2y w1, 解得：x1,z 2,y2,w 3 , 从而A的逆 :矩阵为A 1 12 23 d b 或由逆矩阵知 a 订识A b则1 A ad bc ad bc直接可得答案 c d c a ad bc ad bc 例2已知曲线C : xy1 将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C'的方程; cos45°sin45°sin 45°cos450 解：由题设条件，M
2， 2 a 例3已知矩阵M ，其中a R ，若点P(1, 2)在矩阵M 的变换下得到点 P( 4,0)， 2 1 (1)求实数a 的值; (2)求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量 二 2 2a 4 a 3. (2 )由 (1)知 M 2 3 ，则矩阵M 的特征多项式为 2 1 2 3 f() 2 1 (2)( 1) 6 2 3 4 令f() 0 ,得矩阵M 的特征值为 1与4. 当 1时，( 2)x 3y 0 x y 0 2x ( 1)y 0 ?矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为 例4自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响， 比如出生率、死亡率、资源的可利用 性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等 ?因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的 x T M : y y' x 2 匹 x 2 2 ■7y 2 ，即有 T y '血 x' x 2 '-Jx 2 x 解得 -J(x' 2 9' y') X') 代入曲线 C 的方程为 y'2 x'2 2。 所以将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转 45°后, 得到的曲线是 x 2 2。 解：(1 )由 ???矩阵M 的属于特征值 1的一个特征向量为 当 4时, ( 2)x 3y 0 2x ( 1)y 0 2x 3y 0
求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀 1、问题的提出 在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。 2、知识储备 1.1 对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得 AB=BA=E 则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -1 1.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下： 1121112 22212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ??????=?????? 1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，* 1 A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀 记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式 推导： 假设a b A c d ??=????，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2 *d b A c a -??=??-?? 所以呢，*1d b c a A A A A --????-??== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀 记忆口诀：除以行列式，别忘记。 去一行，得一列，二变号，
余不变，231 312 1） 整体要除以行列式，不能忘记 2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列 3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字 加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号 对于三阶矩阵33,a b c A d e f A R g h i ?????=∈?????? ，且A 可逆 1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----????=----????----?? （1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格 公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律） Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dh Step2： 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , ge Step3： 由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。 同样的道理，公式（1）的第二列，第三列求出
第四讲 二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组 一.二阶行列式与逆矩阵 【概念】 如果矩阵A ＝a b c d ?? ??? 是可逆的，则ad bc -≠0. 其中ab cd -称为二阶行列式，记作 a b c d ，即 a b c d ＝ad bc -，ad bc -也称为行 列式 a b c d 的展开式。符号记为：detA 或|A| 【可逆矩阵的充要条件】 定理：二阶矩阵A ＝a b c d ?? ??? 可逆，当且仅当detA=ad bc -≠0.此时 1 det det det det d b A A A c a A A --?? ?= ?- ? ??? （请同学一起证明此定理） 【应用】 1.计算二阶行列式： ① 31 42 ②2213λλ--
2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。 ①A＝ 01 10?? ?-?? ②B＝ 11 00?? ??? 【练习：P55】 二、二元一次方程组的矩阵形式 1.二元一次方程组的矩阵形式 一般的，方程组 ax by e cx dy f += ? ? += ? 可写成矩阵形式为： 2. 二元一次方程组的线性变换意义 设变换ρ：a b c d ?? ???，向量 x y ?? ? ?? 、 e f ?? ? ?? ，则方程组 ax by e cx dy f += ? ? += ? ，意即：ρ x y ?? ? ?? ＝ e f ?? ? ?? 三、逆矩阵与二元一次方程组 1. 研究方程组： 1 3 22 1 1 2 x y x y -= ? ? ?+= ?? 的矩阵形式与逆矩阵的关系。 【定理】如果关于x,y的二元一次方程组 ax by e cx dy f += ? ? += ? 的系数矩阵A＝ a b c d ?? ? ?? 是可