高考数学公式及结论汇总--高中、初中
1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠??
2 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21
n -个；非空的真子集有22n -个. 3 二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;
(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式）
(3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为
12(,0),(,0)x x 时，设为此式） （4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相
切且切点的横坐标为0x 时，设为此式） 4 真值表： 同真且真，同假或假 5
6 题同真同假.）
逆命题 若ｑ则ｐ 互 否
逆 逆
逆否命题
充要条件： (1)、p q ?，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；
（2）、p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件；
4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条
件。
7 函数单调性:
增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的
1212
,,x x D x x ∈<且，都有
12()()
f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）
的递增区间。
减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的
1212
,,x x D x x ∈<且，都有
12()()
f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）
的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：
(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么
[]1212()()()0x x f x f x -->?
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --
()(2
121在?<--上是减函数.
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果
0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：
定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，
则f （x ）就是奇函数。
性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间； （3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数：
定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。 性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数〃偶函数=奇函数； （2）、奇函数〃奇函数=偶函数； (3)、偶奇函数〃偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）
(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 9函数的周期性：
定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周
期函数，其中，T 是f （x ）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ； （2）、 f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n - ； (3)、1
()()
f x m f x +=-
，此时周期为2m 。 10常见函数的图像：
11 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,)(x f 2b a x +=
;两个函数)(a x f y +=与
)(x b f y -= 的图象关于直线2
b a
x -=对称. 12 分数指数幂与根式的性质：
(1)m n
a
0,,a m n N *>∈，且1n >）. （2）1m n
m n
a
a
-=
=
0,,a m n N *>∈，且1n >）.
（3
）n a =.
（4）当n
a =；当n
,0
||,0a a a a a ≥?==?
-
.
13 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.
指数性质： (1)1、1p p a a
-=
； （2）、0
1a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r
s
r s
a a a a r s Q +?=>∈ ； (5)
、m
n
a ； 指数函数：
(1)、 (1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数；
（2）、 (01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质：
(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；（2）、 log log log a a a M
M N N
-= ； (3)、 log log m a a b m b =? ；(4)、 log log m
n a a n
b b m
=
? ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 log a
b a b = 对数函数：
(1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；
（2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）
(3)、 log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >?∈∈+∞或
(4)、log 0(0,1)(1,)a x a x
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 对数恒等式：log a
N
a N =(0a >,且1a ≠, 0N >).
推论 log log m
n a a n
b b m
=
(0a >,且1a ≠, 0N >). 15对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M
M N N
=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m
n a a
n
N N n m R m
=∈。
16 平均增长率的问题（负增长时0p <）：
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+. 17 等差数列：
通项公式： （1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n
a 为末项。
（2）推广： ()n k a a n k d =+-
（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）
前n 项和： （1）1()
2
n n n a a S +=
；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。 （2）1(1)
2
n n n S na d -=+
（3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） （4）12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用）
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；
注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+?n 、m 、p 成
等差。
（2）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。 （3）、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也
成等差数列。
（4）、,,0
p q p q a q a p a +===则 ；
（5） 1+2+3+…+n=
2
)
1(+n n 等比数列：
通项公式：（1） 1*11()n n
n a a a q q n N q
-==
?∈ ，其中1a 为首项，n 为项数，q 为
公比。
（2）推广：n k n k a a q -=?
（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）
前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）
（2）12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用）
（3）1
1(1)(1)
(1)
1n n na q S a q q q =??
=-?≠?-?
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ?=? ；
注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2m n p a a a =??n 、m 、
p 成等比。
（2）、若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ?为等比数列。
18分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)(1)1
n
n
ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).
19三角不等式：
（1）若(0,)2
x π
∈，则sin tan x x x <<.
(2) 若(0,)2
x π
∈
，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.
20 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=
θ
θ
cos sin ， 21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 22 和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
sin cos a b αα+
)α?+
(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a
?= ). 23 二倍角公式及降幂公式
sin 2sin cos ααα=22tan 1tan α
α
=
+.
2
2
2
2
cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan α
α
-=
+. 2
2tan tan 21tan ααα=-. sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα
ααα-==+ 221cos 21cos 2sin ,cos 22
αα
αα-+==
24 三角函数的周期公式
函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=
；函数tan()y x ω?=+，,2
x k k Z π
π≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||
T π
ω=
. 三角函数的图像：
25 正弦定理 ：2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ?外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C ?=
26余弦定理：
2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.
27面积定理：
（1
）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.
（2）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===.
(3)OAB S ?=2,2
a b c S r r a b c ?
??+==
++斜边内切圆直角内切圆－ 28三角形内角和定理 ：
在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+
222
C A B
π+?
=-
222()C A B π?=-+. 29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a
;
(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa
;
(3)第二分配律：λ(a +b )=λa
+λb . 30a 与b 的数量积(或内积)：a 〃b =|a
||b |cos θ。 31平面向量的坐标运算：
(1)设a =11(,)x y ,b =22(,
)x y ，则a +b
=1212(,)x x y y ++.
(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b
=1212(,)x x y y --.
(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--
.
(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa
=(,)x y λλ.
(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a
〃b =1212()x x y y +.
32 两向量的夹角公式：
cos ||||
a b
a b θ?==
?
(a
=11(,)x y ,b =22(,)x y ).
33 平面两点间的距离公式：
,A B d
=||AB =
=11(,)x y ，B 22(,)x y ).
34 向量的平行与垂直 ：设a
=11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0 ，则：
a ||
b ?b =λa
12210x y x y ?-=.（交叉相乘差为零）
a ⊥
b (a ≠0 )? a
〃b =012120x x y y ?+=.（对应相乘和为零）
35 线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实
数，且12
PP PP λ= ，则12
1
211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?
?12
1OP OP OP λλ+=+ ?12
(1)OP tOP t OP =+- （1
1t λ
=+）. 36三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、
33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123
(,)33
x x x y y y G ++++.
37三角形五“心”向量形式的充要条件：
设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则
（1）O 为ABC ?的外心222
OA OB OC ?== .
（2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=
.
（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?
.
（4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=
.
（5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+
.
38常用不等式：
（1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +∈
?
2
a b
+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>
（4）b a b a b a +≤+≤-.
（5
）22ab a b a b +≤≤≤+(当且仅当a ＝b 时取“=”号)。 39极值定理:已知y x ,都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；
（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值24
1
s . （3）已知,,,a b x y R +∈，若1ax by +=则有
21111()()by ax ax by a b a b x y x y x y
+=++=+++≥++=。 （4）已知,,,a b x y R +∈，若1a b
x y
+=则有
2()()a b ay bx
x y x y a b a b x y x y
+=++=+++≥++=
40 一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2ax bx c
++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即： 121212()()0()x x x x x x x x x <?--><或. 41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
22x a x a a x a
22x a x a x a >?>?>或x a <-.
42 斜率公式 ：
21
21
y y k x x -=
-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 43 直线的五种方程：
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
11
2121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)). 两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----=（无任何限制条件！）
(4)截距式 1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、)
（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
直线0Ax By C ++=的法向量：(,)l A B '= ，方向向量：(,)l B A =-
44 夹角公式：
(1)21
21
tan |
|1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212
tan ||A B A B
A A
B B α-=+.(1111:0l A x B y
C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2
π.
45 1l 到2l 的角公式：
(1)21
21
tan 1k k k k α-=
+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
1+r 2
r 2-r o
(2)1221
1212
tan A B A B A A B B α-=
+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12
l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2
π.
46 点到直线的距离 ：d =
(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
47 圆的四种方程：
（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).
（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ=+??
=+?
.
（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、
22(,)B x y ).
48点与圆的位置关系：点00(,)P x y
与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种： 若d =d r >?点P 在圆外;
d r =?点P 在圆上; d r
有三种(2
2
B
A C Bb Aa d +++=
):
0相离r d ;0=???=相切r d ;0>???<相交r d .
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，则：
条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 条公切线相交22121??+<<-r r d r r 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d .
51 椭圆22
221(0)x y a b a b +=>
>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?
. 离心率c e a ==
准线到中心的距离为2
a c
，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =。
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2
2b a
.
52 椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a ex c =-=-；1221||tan 2
F PF P F PF
S c y b ?∠==。
53椭圆的的内外部:
（1）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的内部22
00
221x y a b ?
+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的外部2200
221x y a b
?
+>. 54 椭圆的切线方程:
(1) 椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b
+=.
（2）过椭圆22
221x y a b
+=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是
00221x x y y
a b
+=. （3）椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是
22222A a B b c +=.
55 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==准线到中心的距离为2
a c ，
焦点到对应准线的距离(焦准距)2
b p c
=。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，
其长度为：2
2b a
.
焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+，2
2|()|||a PF e x a ex c
=-=-，
两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot 2
F PF F PF
S b ?∠=。
56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22
220x y a b -=?x a
b y ±=.
(2)若渐近线方程为x a
b
y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .
(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x
（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.
(4) 焦点到渐近线的距离总是b 。 57双曲线的切线方程:
(1)双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b
-=.
(2)过双曲线22
221x y a b
-=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是
00221x x y y
a b
-=.
（3）双曲线22
221x y a b
-=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.
58抛物线px y 22=的焦半径公式:
抛物线22(0)y px p =>焦半径02
p
CF x =+.
过焦点弦长p x x p
x p x CD ++=+++=21212
2.
59二次函数22
24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：
（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241
(,)24b ac b a a -+-；
（3）准线方程是241
4ac b y a
--=.
60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =
或1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程??
?=+=0
)y ,x (F b
kx y 消去y 得到02=++c bx ax
0?>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，12||x x -=61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直；
(3) 转化为两平面的法向量平行。 64 向量的直角坐标运算：
设a
＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则：
(1) a
＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；
(2) a
－b ＝112233(,,)a b a b a b ---；
(3)λa
＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；
(4) a
〃b ＝112233a b a b a b ++； 65 夹角公式：
设a
＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b
，则cos ,a b <>=
.
66 异面直线间的距离 ：
||
||
CD n d n ?=
(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).
67点B 到平面α的距离：
||
||
AB n d n ?=
（n 为平面α的法向量，A α∈，AB 是α的一条斜线段）. 68球的半径是R ，则其体积34
3
V R π=,其表面积24S R π=．
69球的组合体：
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体
的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)球与正四面体的组合体: 棱长为a
的正四面体的内切球的半径为
12
a (
的14),
(
的3
4
).
70 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++ .
分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =??? . 71排列数公式 ：m n A =)1()1(+--m n n n =
！
！
)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=. 72 组合数公式：m
n
C =m n m m A A =m
m n n n ???+-- 21)
1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).
组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.规定10=n C .
73 二项式定理 n n n r r n r n n n n n
n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.
2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++ 的展开式的系数关系：
012(1)n a a a a f ++++= ； 012(1)(1)n n a a a a f -+++-=- ；0(0)a f =。 74 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．
n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．
75 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A 〃B)= P(A)〃P(B).
n 个独立事件同时发生的概率
：
P(A 1〃 A 2〃…〃 A n )=P(A 1)〃 P(A 2)〃…〃 P(A n )．
76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k n n P k C P P -=- 77 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++
数学期望的性质
（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p
ξ=. 78方差：()()()2
2
2
1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?++-?+
标准差：σξ=ξD . 方差的性质：
(1)()2D a b a D ξξ+=；
(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.
(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2
q D p ξ=. 方差与期望的关系：()2
2D E E ξξξ=-.
79正态分布密度函数：(
)()()2
26,,x f x x μ--
=
∈-∞+∞，
式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-??
=Φ
???
. ()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<
80 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：
00000()()()lim
lim x x x x f x x f x y
f x y x x
=?→?→+?-?''
===??. 瞬时速度：00()()
()lim lim t t s s t t s t s t t t
υ?→?→?+?-'===??.
瞬时加速度：00()()
()lim lim
t t v v t t v t a v t t t
?→?→?+?-'===??. 81 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 82 几种常见函数的导数：
(1) 0='C （C 为常数）.(2) 1()()n
n x nx n Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.
(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln ='；1(log )log a a x e x
'=. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 83 导数的运算法则：
（1）'
'
'
()u v u v ±=±.（2）'
'
'
()uv u v uv =+.（3）''
'2
()(0)u u v uv v v v -=
≠. 84 判别)(0x f 是极大（小）值的方法：
当函数)(x f 在点0x 处连续时，
（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值；
（2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 85 复数的相等：,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）
86 复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +=. 87 复平面上的两点间的距离公式：
12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）. 88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程20ax bx c ++=，
①若2
40b ac ?=->,则1,2x =②若240b ac ?=-=,则122b
x x a
==-;
③若240b ac ?=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两
个共轭复数根2
40)x b ac =
-<.
高中数学公式提升
一、集合、简易逻辑、函数
1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=
2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x ∈R}求M ∩N 的区别。
3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？
4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真
子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集
合M 共有多少个
5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题.
逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
p 、q 形式的复合命题的真值表: （真且真，同假或假）
9、
互 否
否 否 互 逆
原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与
它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质：
①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.
②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.
③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数．
④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数．
⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0( 函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0( 12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y= 2 ) 3lg()4(--x x x 的定义域 是 ； 复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域 14、一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要 非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数; 15、据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.) 可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。 16、函数()0>+ =a x a x y 的单调区间吗？（该函数在(]a - ∞-,和 [ ) +∞,a 上单调递 增；在[)0,a - 和(]a ,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！ 17、函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀. 18、换底公式及它的变形，你掌握了吗？（b b a b b a n a c c a n log log ,log log log == ） 19、 你还记得对数恒等式吗？（b a b a =log ） 20、 “实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=?ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当a=0时，“方程有解”不能转化为042≥-=?ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？ 二、三角、不等式 21、 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公式:________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公 式将高次降次, 22、 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 23、 在三角中，你知道1等于什么吗？（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+= ====?=0cos 2 sin 4 tan cot tan π π x x 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种 种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系； 诱导公试：奇变偶不变，符号看象限） 24、 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如 ,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ?? ? ??--??? ??-=+βαβαβ α222 等） 25、 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母 不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来） 26、 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2x=(1-cos2x)/2 27、 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ （4 1 518sin ,42615cos 75sin ,4 2 675cos 15sin -= ?+=?=?-= ?=?） 28、 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr S r l 2 1 ,==扇形α) 29、 辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由a b =θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 30、 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的x 值的集合吗？（别忘了k ∈Z ） 三角函数性质要记牢。函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质： 振幅|A|，周期T= ω π 2, 若x=x 0为此函数的对称轴，则x 0是使y 取到最值的 点，反之亦然，使y 取到最值的x 的集合为 ， 当0,0>>A ω时函数的增区间为 ，减区间为 ；当0<ω时要利用诱导公式将ω变为大于零后再用上面的结论。 五点作图法：令?ω+x 依次为ππ ππ 2,2 3, ,2 0 求出x 与y ，依点()y x ,作图 31、 三角函数图像变换还记得吗？ 平移公（1）如果点 P （x ，y ）按向量()k h a ,=→ 平移至P ′（x ′，y ′）， 则 ?????+=+=. , ''k y y h x x （2） 曲线f （x ，y ）=0沿向量()k h a ,=→ 平移后的方程为f （x-h ，y-k ） =0 32、 有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式 33、 在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？ ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次 是],0[],2 ,0[,2,0πππ?? ? ??. ②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值范围依次是 ]2 , 0(),,0[),,0[π ππ． 34、 不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式） 35、 分式不等式 ()() ()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回） 36、 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论) 37、 利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2 2?? ? ??+≤b a ab 等求函数的最值时， 你是否注意到a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值？(一正二定三相等) 38、 ) R b , (a , b a 2ab 2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当c b a ==时，取等号）； a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当c b a ==时，取等号）； 39、 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底 10<a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……． 40、 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 41、 对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题） 三、数列 42、 等差数列中的重要性质：（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；（2） 仍成等差数列数列}{ka },{a },{n 2n 12b a n +-；仍成等差数列n 23n n 2n n S S , S S , S -- （3）若三数成等差数列，则可设为a-d 、a 、a+d ；若为四数则可设为a-d 2 3、 a-d 2 1、a+d 2 1、a+d 2 3； （4）在等差数列中,求S n 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前 面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a 1 >0,d<0,解不等式组 a n ≥0 a n+1 ≤0 可得S n 达最大值时的n 的值;当a 1 <0,d>0,解不等式组 a n ≤0 a n+1 ≥0 可得S n 达最小值时的n 的值;（5）．若a n ,b n 是等差数列,S n ,T n 分别为a n ,b n 的前n 项和,则1 m 21m 2m m T S b a --=。.（6）.若{n a }是等差数列，则{n a a }是等 比数列，若{n a }是等比数列且0>n a ，则{n a a log }是等差数列. 43、 等比数列中的重要性质：（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=?；（2）k S ， k k S S -2，k k S S 23-成等比数列 44、 你是否注意到在应用等比数列求前n 项和时，需要分类讨论．（1=q 时， 1na S n =；1≠q 时，q q a S n n --=1) 1(1） 45、 等比数列的一个求和公式：设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ,
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