习 题
1 一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度V 。运动，V 。的方向与
斜面底边的水平线 AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道.
解：物体置于斜面上受到重力 mg ，斜面支持力 N .建立坐标：取V 。方向为X 轴，平行斜面 与X 轴垂直方向为Y 轴?如图2-2.
2质量为16 kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 N,
当
当 t = 0时，x y 0, v x =
-1
=-2 m ?
s , V
y = 0 .求
当t
=2 s 时质点的（1） 位矢; （2）速度.
解:
f x a x 6 3
m s 2
m 16 8
f y
7
2
a y
m s
m
16
(1)
2
3
5
V x V x0
n a x dt
2
2 m s
8
4
2
7
7 1
V y V y0
a y dt
2
— m s
16
8
于是质点在2s 时的速度
题2-2图
X 方向： F x 0 x V o t Y 方
向： t 0
由①、②式消去t ,得
F y mg sin ma y
y o
v y
1 .
y ^gsin
t 2
1 2
y 2 g sin
2v 0
x
f x = 6 N, f y = -7
5 7 . v i j ms
4
8
⑵
(v o t 1 a x t 2 )i
1 a 上2?
y t J
2
2
1 3
1 7 (
2 2
4)i C ( )4j
2 8
2 16
13
7
—i j m
4
8
3质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力
(k
)t 度为
V o ，证明(1) t 时刻的速度为v = v °e m ; (2)
-t
v °e m
(3)质点停止运动时速度为零,
(4)当t= 时，其速度为
k
即速度减至v 0的-.
e
=3O °的初速v o 从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点
kv ( k 为常数)作用，t =o 时质点的速
由o 到t 的时间内经过的距离为
k
mv o
(-
)t
x = ( o ) : 1-e m ];
k
(3)停止运动前经过的距离为
v °(m
) ； (4)证明当t m k 时速 k
分离变量，得
kv a
m dv dt dv kdt v
v
dv v o
v
m t kdt
o
In — v o
In kt
e m
vdt
t
o v o e
At
m
dt 节1
故有
上t
o v o e m
dt
mv °
k m
v °e
i
v °e
v g e
4一质量为m 的质点以与地的仰角
落地时相对抛射时的动量的增量. 解：依题意作出示意图如题 2-6图
在忽略空气阻力情况下， 抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同， 与轨道相切斜向下
而抛物线具有对 y 轴对称性，故末速度与 x 轴夹角亦为30°，则动量的增量为
5作用在质量为10 kg 的物体上的力为 F (10 2t)i N,式中t 的单位是s , (1)求4s 后，这 物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量.
(2)为了使这力的冲量为200 N ? s ,该
力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 6 j m- s -1的物体，回
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大, 那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理. (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
t
2
I (10 2t)dt 10t t 2
2
t 10t 200
由矢量图知，动量增量大小为
p mv mv 0
mv 0，方向竖直向下.
答这两个问题.
解：(1)若物体原来静止,
4
0(10
t
p 1
Fdt 2t)i dt 56 kg m s
1
i ，沿 x 轴正向,
若物体原来具有
P 0 mv 0, p m( V 0
同理,
V 1 11
初速，则
m
dt)
P 2
V 2
P 1
m P 1
mv 0
5.6 m s 1i 56 kg m s 1i
t
Fdt 于是
P 0
t
Fdt 0
v 1
,12
! 1
P 1,
亦即
解得t 10s, (t 20 s舍去)
6—颗子弹由枪口射出时速率为v o m s I，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F =(a bt)N( a, b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试
计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量.(3)求子弹的质量.
解: (1)由题意，子弹到枪口时，
有
F (a bt) 0 得t a b
(2)子弹所受的冲量
t
1 0(a bt)dt at -bt
2 2
a
将t 代入，得
b
2
1 a
2b
(3)由动量定理可求得子弹的质量
I a2
m
V0 2bv0
证毕.
7 设F合7i 6jN . (1)当质点从原点运动到r3i 4j 16km时，求F所作的
功.(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率.(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的
变化.
解:(1)由题知，F合为恒力，
A合 F r(7i6j) ( 3i 4j 16k)
212445 J
A45
⑵P —75 w
t0.6
⑶由动能定理，E k A 45 J
I
8如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度v0= 3m- s-从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N,到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度.
解：取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
题 2-20 图(a) 题 2-20 图(b)
又碰撞过程中，动量守恒，即有
f r s 1
kx 2
2
1mv 2 mgss in 37
1 2 mv k 」 mgss in 37 f r s
式中s 4.8 0.2 5 m ， x 0.2 m ，再代入有关数据，解得
k 1390 N
-1
m
题2-18图
再次运用功能原理，求木块弹回的高度
f r s
mgs
代入有关数据，得 s 1.4 m , 则木块弹回高度
o
s sin 37
0.84
题2-19图
9 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞, 垂直.
证：两小球碰撞过程中，机械能守恒，有
1 2 2mv 0
试证碰后两小球的运动方向互相
1 2 1 mq mv 2
2 2
2
V
。
2 2
V 1 V 2
mv 0 mv 1 mv 2
V o V i V 2
由②可作出矢量三角形如图 （b ）,又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以 V 。为斜边，
故知V i 与V 2是互相垂直的.
10 一质量为m 的质点位于（x^yj 处，速度为V V x i V y j ,质点受到一个沿x 负方向的 力f 的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩. 解:由题知，质点的位矢为
r
x 1i
y i j
作用在质点上的力为
f
fi
所以，质点对原点的角动量为
L 0
r mv
(X i i
y i ) m(V x i V y j)
(X i mV y
%mv x )k
作用在质点上的力的力矩为
M o r f （x i i y i j ） （ fi ） y i fk
10 、，
ii 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.
它离太阳最近距离为 r i = 8.75 X io m 时的速率
4
-i
2
-i
是V 1 = 5.46 X 10 m- s ，它离太阳最远时的速率是 V 2 = 9.08 X 10 m- s
这时它离太阳的
距离Q 多少?（太阳位于椭圆的一个焦点。）
解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力一一即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于 哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有
r 1mv 1 r 2mv 2
8.75 1010 5.46 104
9.08 102
12物体质量为3kg , t =o 时位于r 4i m , V i 6jm s 1 ,如一恒力f 5j N 作用在物 体上，求3秒后，（1）物体动量的变化；（2）相对z 轴角动量的变化.
亦即
r i V i V 2
12
5.26 10 m
3
解：⑴ p fdt q 5 jdt 15j kg m s
y V°y t 1 2 at6 3 153225.5j
223
r14i ,r27i25.5j
V x V ox1
V y V0y at 6 5311
3
V1i16j /V2 i11 j
L1 r1mv14i3(i6j)72k
L2 r2 mv2(7i25.5j)3(i11j)154.5k
13飞轮的质量m = 60kg，半径R = 0.25m，绕其水平中心轴
利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力
计算.试求:
(1)设F = 100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动
(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力 F ?
解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)).图中N、
N是正压力，F r、F r是摩擦力,
dz
dt
dt
L1
t
0(r
82.5k kg
F)dt
3
0 (4
3
5(4
t)i (6t ) r)j 5jdt
t)kdt 82.5k kg m2
⑵解(一)x X o V ox t 4 3 7
-1
O转动，转速为900rev -min ?现
F，可使飞轮减速.已知闸杆的
尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘
? 在这段时间里飞轮转了几转