高中数学《抛物线》练习题
一、选择题：
1. (浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )
(A)
18 (B)41 (C) 2
1
(D)1 2. （上海）过抛物线x y 42
=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在 3. 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
4. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42
=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42
=的交点到原点的距离是 （ ）
A ．23+6
B ．21
C ．21218+
D ．21
5 .（江苏卷）抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) ( A )
16
17
( B ) 1615 ( C ) 87 ( D ) 0
6. （湖北卷）双曲线)0(12
2≠=-mn n
y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为
（ ）
A ．
163
B ．
8
3 C ．
3
16 D ．
3
8 二、填空题：
7．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是 . 8．若抛物线m x x y +-=
22
12
的焦点在x 轴上，则m 的值是 . 9．过（－1，2）作直线与抛物线x y 42
=只有一个公共点，则该直线的斜率为 . 10．抛物线2
2x y =为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是 .
三、解答题：
11. （江西卷）如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.
（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；
（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹
12. （上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.
已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的
距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B,OB 的中点为M. (1)求抛物线方程;
(2)过M 作MN ⊥FA, 垂足为N,求点N 的坐标;
(3)以M 为圆心,MB 为半径作圆M.当K(m,0)是x 轴上一动点时,丫讨论直线AK 与圆M 的位置关系.
当m<1时, AK 与圆M 相交.
13、(全国卷III)
设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线2
2y x =上，l 是AB 的垂直平分线。
（Ⅰ）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围。
14.（广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）．
（Ⅰ）求AOB ?得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）AOB ?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
抛物线练习题答案
解答：一。BB D BB A
三.1. 解：（1）设M （y 2
0,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0)
则直线MF 的斜率为－k ，方程为200().y y k x y -=-
∴由2
002
()y y k x y y x
?-=-??=??，消2
00(1)0x ky y y ky -+-=得 解得20021(1),F F ky ky y x k k --=∴= ∴00220000
222
112
14(1)(1)2E F EF
E F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+-
--===
=---+--
(定值) 所以直线EF 的斜率为定值 （2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为2
00()y y k x y -=-
由2
002y y x y y x ?-=-??=??得200((1),1)E y y -- 同理可得200((1),(1)).F y y +-+
设重心G （x , y ），则有2222
00000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x x ?+-+++++===???
+--+++?===-??
消去参数0y 得2122().9273
y x x =
-> 4. [解](1) 抛物线y 2=2px 的准线为x=-
2p ,于是4+2
p
=5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y 2=4x. (2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),
又∵F(1,0), ∴k FA =
34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43, 则FA 的方程为y=34(x-1),MN 的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54, ∴N 的坐标(58,5
4
).
(1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,
当m=4时, 直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离. 当m ≠4时, 直线AK 的方程为y=
m -44
(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK 的距离d=2
)
4(1682-++m m ,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK 与圆M 相离;
当m=1时, AK 与圆M 相切; 当m<1时, AK 与圆M 相交.
8. ．解：（Ⅰ）F l FA FB A B ∈?=?、两点到抛物线的准线的距离相等， ∵抛物线的准线是x 轴的平行线，1200y y ≥≥，，依题意12y y ，不同时为0
∴上述条件等价于()()2
2
121212120y y x x x x x x =?=?+-= ∵12x x ≠
∴上述条件等价于120x x += 即当且仅当120x x +=时，l 经过抛物线的焦点F 。
（Ⅱ）设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为2y x b =+；过点A B 、的直线方程可写为
12y x m =-+，所以12x x 、满足方程21202x x m +-= 得121
4
x x +=-
A B 、为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式1804m ?=+，即1
32
m -
13.解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则???
????+=+=33
2121y y y x x x (1)
∵OA ⊥OB ∴1-=?OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)
又点A ，B 在抛物线上，有2
222
11,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x ∴3
2332)3(31]2)[(31)(31322212212
22121+=+?=-+=+=+=
x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3
2
32+
=x y
（II ）2
2
21212222212221222221212
1))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==
? 由（I ）得
1
22
12)1(221222122166
2616261=?=+-=+?≥++=
?x x x x S AOB 当且仅当6
261x x =即121-=-=x x 时，等号成立。 所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1；