数值传热学4-9章习题答案
习题4-2
一维稳态导热问题的控制方程:
022=+??S x T λ
依据本题给定条件,对节点2
节点3采用第三类边界条件具有二阶精度的差分格式,最后得到各节点的离散方程:
节点1: 1001=T
节点2: 1505105321-=+-T T T
节点3: 75432=+-T T
求解结果: 852=T ,403=T
对整个控制容积作能量平衡,有:
02150)4020(15)(3=?+-?=?+-=?+x S T T h x S q f f B
即:计算区域总体守恒要求满足
习题4-5
在4-2习题中,如果25
.03)(10f T T h -?=,则各节点离散方程如下:
节点1: 1001=T
节点2: 1505105321-=+-T T T
节点3: 25.03325.032)20(4015])20(21[-?+=-?++-T T T T
对于节点3中的相关项作局部线性化处理,然后迭代计算;
求解结果: 818.822=T ,635.353=T (迭代精度为10-4)
迭代计算的Matlab 程序如下:
x=30;
x1=20;
while abs(x1-x)>0.0001
a=[1 0 0;5 -10 5;0 -1 1+2*(x-20)^(0.25)];
b=[100;-150; 15+40*(x-20)^(0.25)];
t=a^(-1)*b;
x1=x;
x=t(3,1);
end
tcal=t
习题4-12的Matlab程序
%代数方程形式A i T i=C i T i+1+B i T i-1+D i
mdim=10;%计算的节点数
x=linspace(1,3,mdim);%生成A、C、B、T数据的基数;
A=cos(x);%TDMA的主对角元素
B=sin(x);%TDMA的下对角线元素
C=cos(x)+exp(x); %TDMA的上对角线元素
T=exp(x).*cos(x); %温度数据
%由A、B、C构成TDMA
coematrix=eye(mdim,mdim);
for n=1:mdim
coematrix(n,n)=A(1,n);
if n>=2
coematrix(n,n-1)=-1*B(1,n);
end
if n coematrix(n,n+1)=-1*C(1,n); end end %计算D矢量 D=(coematrix*T')'; %由已知的A、B、C、D用TDMA方法求解T %消元 P(1,1)=C(1,1)/A(1,1); Q(1,1)=D(1,1)/A(1,1); for n=2:mdim P(1,n)=C(1,n)/(A(1,n)-B(1,n)*P(1,n-1)); Q(1,n)=(D(1,n)+B(1,n)*Q(1,n-1))/(A(1,n)-B(1,n)*P(1,n-1)); end %回迭 Tcal(1,mdim)=Q(1,mdim); for n=(mdim-1):-1:1 Tcal(1,n)=P(1,n)*Tcal(1,n+1)+Q(1,n); end Tcom=[T;Tcal]; %绘图比较给定T值和计算T值 plot(Tcal,'r*') hold on plot(T) 结果比较如下,由比较可知两者值非常切合(在小数点后8位之后才有区别): 习题4-14 充分发展区的温度控制方程如下: )(1r T r r r x T u c p ????=??λρ 对于三种无量纲定义w b w T T T T --=Θ、∞∞--=ΘT T T T w 、w w T T T T --=Θ∞进行分析如下 1)由w b w T T T T --=Θ得: w w b T T T T +Θ-=)( 由T 可得: x T x T x T T T x T w b w w b ??Θ-+??Θ=?+Θ-?=??)1(])[( r T r T T r T T T r T w w b w w b ??Θ-+?Θ?-=?+Θ-?=??)1()(])[( 由b T 与r 无关、Θ与x 无关以及x T ??、r T ??的表达式可知,除了w T 均匀的情况外,该无量纲温度定义在一般情况下是不能用分离变量法的; 2)由∞ ∞--=ΘT T T T w 得: ∞∞+Θ-=T T T T w )( 由T 可得: x T x T T T x T w w ??Θ=?+Θ-?=??∞∞])[( r T r T T r T T T r T w w w ??Θ+?Θ?-=?+Θ-?=??∞∞∞)(])[( 由b T 与r 无关、Θ与x 无关以及x T ??、r T ??的表达式可知,在常见的四种边界条件中除了轴向及周向均匀热流const q w =的情况外,有 0=??r T w ,则该无量纲温度定义是可以用分离变量法的; 3)由w w T T T T --=Θ∞得: w w T T T T +Θ-=∞)(