并非把结论写全。
小结:
(1)正方形与矩形,菱形,平行四边形的关系如上图
(2)正方形的性质:
①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲
例1.如图,折叠正方形纸片ABCD,先折出折痕BD,再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DG,使2
AD ,求AG.
【解析】:作GM⊥BD,垂足为M.
由题意可知∠ADG=GDM , 则△ADG ≌△MDG . ∴DM=DA=2. AC=GM 又易知:GM=BM .
而BM=BD-DM=22-2=2(2-1), ∴AG=BM=2(2-1).
例 2 .如图,P 为正方形ABCD 内一点,10PA PB ==,并且P 点到CD 边的距离也等于10,求正方形ABCD 的面积
【解析】:过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E . 设PF x =,则10EF x =+,1(10)2
BF x =+. 由222PB PF BF =+. 可得:2221
10(10)4
x x =++. 故6x =.
216256ABCD S ==.
例 3. 如图,E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点,AM EF
⊥,?垂足为M,AM AB
=+,为什么
=,则有EF BE DF
【解析】:要说明EF=BE+DF,只需说明BE=EM,DF=FM即可,而连结AE、AF.只要能说明△ABE≌△AME,△ADF≌△AMF即可.
理由:连结AE、AF.
由AB=AM,AB⊥BC,AM⊥EF,AE公用,
∴△ABE≌△AME.
∴BE=ME.
同理可得,△ADF≌△AMF.
∴DF=MF.
∴EF=ME+MF=BE+DF.
例4.如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且45
∠=,试说
EAF?
明EF BE DF
=+。
【解析】:将△ADF旋转到△ABC,则△ADF≌△ABG ∴AF=AG,∠ADF=∠BAG,DF=BG
∵∠EAF=45°且四边形是正方形,
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG(SAS)
∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
例5. 如图,在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点,使45
∠=,AG EF
EAF
=
⊥于G. 求证:AG AB
【解析】:欲证 AG=AB,就图形直观来看,
应证Rt△ABE与Rt△AGE全等,但条件不够.
∠EAF=45°怎么用呢
显然∠1+∠2=45°,若把它们拼在一起,问题就解
决了.
【证明】:把 △AFD 绕A 点旋转90°至△AHB.
∵∠EAF=45°,∴∠1+∠2=45°. ∵∠2=∠3,∴∠1+∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF ,AE=AE. ∴ △AEF ≌△AEH.
例6.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,
CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ?∠=.
求证:BE CF =.
(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,
BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,90FOH ?∠=,4EF =.
求GH 的长.
1.已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上,
EF ,GH 交于点O ,90FOH ?∠=,4EF =. 直接写出下列两题的答案:
①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长;
②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数
式表示).
【解析】
(1) 证明:如图1,∵ 四边形ABCD 为正方形,
∴ AB =BC ,∠ABC =∠BCD =90°, ∴ ∠EAB +∠AEB =90°. ∵ ∠EOB =∠AOF =90°,
∴ ∠FBC +∠AEB =90°,∴ ∠EAB =∠FBC , ∴ △ABE ≌△BCF , ∴ BE =CF .
(2) 解:如图2,过点A作AM如图6,点A在线段BG上,四边形ABCD与DEFG 都是正方形,?其边长分别为3cm和5cm,则CDE
cm.
?的面积为________2
(6) (7)
2.你可以依次剪6张正方形纸片,拼成如图7所示图形.?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1,且正方形⑥与正方形③的面积相等,?那么正方形⑤的面积为________.
3.如图9,已知正方形ABCD的面积为35平方厘米,E、F分别为边AB、BC 上的点.AF、CE相交于G,并且ABF
?的面积
?的面积为14平方厘米,BCE
为5平方厘米,?那么四边形BEGF的面积是________.
4.如图,A、B、C三点在同一条直线上,2
=。分别以
AB BC
AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,
EC。
(3)主要识别方法:
1:对角线相等的菱形是正方形
2:对角线互相垂直的矩形是正方形
3:四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形
4:一组邻边相等的平行四边形是正方形
5:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。
典例精讲
例1. 已知:如图,P是正方形ABCD内点,15
∠=∠=.
PAD PDA?求证:PBC
?是正三角形.
【证明】:如下图做△DGC使与△ADP全等,
可得△PDG为等边△,从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,
得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150
所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC 是正三角形
例2. 如图,分别以ABC ?的AC 和BC 为一边,在ABC ?的外侧作正方形ACDE 和正方形
CBFG ,点P 是EF 的中点.
求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.
【证明】:过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ,CI ,FH 。
可得PQ=
2EG
FH
。
由△EGA ≌△AIC ,可得EG=AI ,
由△BFH ≌△CBI ,可得FH=BI 。
从而可得PQ=
2
AI BI
=
2
AB
, 从而得证。
例4. 如图,四边形ABCD 为正方形,DE AC ∥,AE AC =,AE 与CD 相交于F . 求证:CE CF =.
【证明】:顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB ≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形。∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A
EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证:CE=CF。
例6. 设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF AP
∠.
⊥,CF平分DCE 求证:PA PF
=.
【证明】:作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形。
,可得Y X Z
X=Z ,得出△
既得AF=
213(
1)4
2
= 23=
4
23
2
= 2(31)2 = 2
(31)2
=
62
2
。
例8. P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA a =,2PB a =,3PC a =,求正方形的边长.
【证明】顺时针旋转△ABP 900 ,可得如下图:
既得正方形边长L = 2
2
22(2)(
)2
2
a = 5
22a 。
A
C
B
P
D
【双基训练】
1.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于O,
四边形BEFD是菱形,若正方形的边长为6,则菱形的面积为
________.
2.如图,ABCD是正方形,E为BF上一点,四边形AFEC?恰是一个菱形,?则EAB
=________.
【纵向应用】
3.如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,点G,E分别是边AB,BC的中点,90
∠=,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
AEF?
(1)证明:BAE FEC
∠=∠;
(2)证明:AGE ECF
???;
(3)求AEF
?的面积.
【横向拓展】
4.如图,四边形ABCD是正方形,ABE
?是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60?得到BN,连接EN、AM、CM.
⑴求证:AMB ENB
???;
⑵①当M点在何处时,AM CM
+的值最小;
几何模型之半角模型 一、旋转性质 1.图形对应边相等(易得等腰,且等腰均相似) 2.对应角相等 3.对应点与旋转中心连线构成旋转角,旋转角处处相等 二、半角模型 半角模型(90°含45°) 条件模型结论 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°①EF=BE+DF; ②△CEF的周长是正方形周长的一半; ③点A到EF的距离等于正方形的边长. ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°EF=DF-BE 三、模型演练 1.如图,在正方形ABCD中,AB=1,E,F分别是边BC,CD上的点,连接EF、AE、AF,过A作AH⊥EF 于点H.若EF=BF+DF.那么下列结论:①AE平分∠BEF;②FH=FD; ③∠EAF=45°;④S△E A F=S△A B E+S△A D F;⑤△CEF的周长为2.其中正确结论的 是.
2.在Rt△ABC中,AB=AC,D?E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论①△AEF≌△AED;②∠AED=45°; ③BE+DC=DE;④BE2+DC2=DE2,其中正确的是() A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 3如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长. 4.如图,在正方形OABC中,点B的坐标是(4,4),点E、F分别在边BC、BA上,OE=25.若∠EOF=45°,则F点的坐标是. 5.已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交
半角模型题 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
半角模型 例1(海淀201405-8) 如图,点P 是以O 为圆心, AB 为直径的半圆的中点,AB=2,等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合, 当此三角板绕点P 旋转时,它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别 相交于C 、D 两点.设线段AD 的长为x ,线段BC 的长为y ,则下列图象中,能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 A B C D 例2.(海201311-24).已知在ABC △中, 90=∠ACB ,26==CB CA , AB CD ⊥于D ,点E 在直线CD 上,CD DE 2 1=,点F 在线段AB 上,M 是DB 的中点,直线AE 与直线CF 交于N 点. (1)如图1,若点E 在线段CD 上,请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系:___________,___________; (2)在(1)的条件下,当点F 在线段AD 上,且2AF FD =时,求证: 45=∠CNE ; (3)当点E 在线段CD 的延长线上时,在线段AB 上是否存在点F ,使得 45=∠CNE .若存在,请直接写出AF 的长度;若不存在,请说明理由. D C B A N F E C B A
24. (本小题满分8分) (1)AE ⊥CM ,AE =CM (2)如图,过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,,连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H . ∵ 90=∠ACB ,26==CB CA , ∴∠CAB =∠CBA =45°, 12. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥, ∴CD=AD=BD =162 AB =. ∵ M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =, ∴4 2.AF DF ==, ∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF , ∴FG = ∴.FG FM = 在△CAG 和△CBM 中, ∴△CAG ≌△CBM . ∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠. ∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠=.在△FCG 和△FCM 中, ∴△FCG ≌△FCM . ∴FCG FCM ∠=∠. ∴45FCH ∠=. 由(1)知AE ⊥CM , ∴90CHN ∠= ∴ 45=∠CNE . (3)存在. AF =8. 例3.(平谷201405-24)(1)如图1,点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,∠EAF =45°,连接EF , 则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是:EF =BE +FD .连结BD ,交AE 、AF 于点M 、N ,且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=,请证明这个等量关系;
倍半角模型知识精讲 一、二倍角模型处理方法 1.作二倍角的平分线,构成等腰三角形. 例:如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,作∠ABC的平分线交AC于点D,则∠DBC=∠C,DB=DC,即△DBC是等腰三角形. 2.延长二倍角的一边,使其等于二倍角的另一边,构成两个等腰三角形. 例:如图,在△ABC中,∠B=2∠C,延长CB到点D,使得BD=AB,连接AD,则△ABD、△ADC都是等腰三角形. 例题:如图,在△ABC中,∠C=2∠A,AC=2BC,求证:∠B=90o. 【解答】见解析 【证法一】如图1,作∠C的平分线CE交AB于点E,过点E作ED⊥AC于点D. 则∠ACE=∠A,AE=CE, ∵AE=EC,ED⊥AC,∴CD=AC, 又∵AC=2BC,∴CD=CB,∴△CDE≌△CBE,∴∠B=∠CDE=90o; 【证法二】如图2,延长AC到点D,使得CD=CB,连接BD,取AC的中点E,连接BE.
由题意可得EC=CD=BC,∠DBE=90o, ∵CD=CB,∠D=∠CBD,∴∠ACB=2∠D, ∵∠ACB=2∠A,∠A=∠D,∴AB=BD, 又∵AE=DC,∴△ABE≌△DBC,∴∠ABE=∠DBC,∴∠ABC=∠EBD=90o. 【证法三】如图3,作∠C的平分线CD,延长CB到点E,使得CE=AC,∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC,∴BC=BE,在△ACD与△ECD中,AC=EC,∠ACD=∠ECD,CD=CD, ∴△ACD≌△ECD,∴∠A=∠E, 又∵∠DCB=∠DCA=∠A,∴∠E=∠DCB,∴DC=DE,∴∠ABC=90o. 二、倍半角综合 1.由“倍”造“半” 已知倍角求半角,将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可. 如图,若() 2.由“半”造“倍” 已知半角求倍角,将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可. 如图,在Rt△ABC(∠A<45o)的直角边AC上取点D,当BD=AD时,则∠BDC=2∠A,设,
初中几何常见模型解析 模型一:手拉手模型-旋转型全等 (1)等边三角形 ?条件:均为等边三角形 ?结论:①;②;③平分。(2)等腰 ?条件:均为等腰直角三角形 ?结论:①;②; ?③平分。 (3)任意等腰三角形 ?条件:均为等腰三角形 ?结论:①;②; ?③平分 模型二:手拉手模型-旋转型相似 (1)一般情况 ?条件:,将旋转至右图位置 ?结论: ?右图中①; ?②延长AC交BD于点E,必有
(2)特殊情况 ?条件:,,将旋转至右图位置 ?结论:右图中①;②延长AC交BD于点E,必有;③; ④; ⑤连接AD、BC,必有; ⑥(对角线互相垂直的四边形)
模型三:对角互补模型 (1)全等型-90° ?条件:①;②OC平分 ?结论:①CD=CE; ②;③ ?证明提示: ①作垂直,如图,证明; ②过点C作,如上图(右),证明; ?当的一边交AO的延长线于点D时: 以上三个结论:①CD=CE(不变); ②;③ 此结论证明方法与前一种情况一致,可自行尝试。 (2)全等型-120° ?条件:①; ?②平分; ?结论:①;②; ?③ ?证明提示:①可参考“全等型-90°”证法一; ②如图:在OB上取一点F,使OF=OC,证明为等边三角形。(3)全等型-任意角 ?条件:①;②; ?结论:①平分;②; ?③.
?当的一边交AO的延长线于点D时(如右上图): 原结论变成:①;②; ③; 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结: ①常见初始条件:四边形对角互补;注意两点:四点共圆及直角三角形斜边中线; ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别; ③两种常见的辅助线作法; ④注意平分时,相等如何推导?
中考常考几何模型 专题20 半角模型 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形 如图①: (1)∠2=2 1 ∠AOB ;(2)OA=OB 。 如图②: 连接 FB ,将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置,连接 F ′E 、FE ,可得△OEF ′≌△OEF 。 模型精练 1.(2019秋?九龙坡区校级月考)如图.在四边形ABCD 中,∠B +∠ADC =180°,AB =AD ,E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,且∠EAF =1 2 ∠BAD ,求证:EF =BE ﹣FD . 【点睛】在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG .根据SAA 证明△ABG ≌△ADF 得到AG =AF ,∠BAG =∠DAF ,根据∠EAF =1 2∠BAD ,可知∠GAE =∠EAF ,可证明△AEG ≌△AEF ,EG =EF ,那么EF =
GE =BE ﹣BG =BE ﹣DF . 【解析】证明:在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG . ∵∠B +∠ADC =180°,∠ADF +∠ADC =180°, ∴∠B =∠ADF . 在△ABG 和△ADF 中, {AB =AD ∠B =∠ADF BG =DF , ∴△ABG ≌△ADF (SAS ), ∴∠BAG =∠DAF ,AG =AF . ∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =1 2∠BAD . ∴∠GAE =∠EAF . 在△AEG 和△AEF 中, {AG =AF ∠GAE =∠EAF AE =AE , ∴△AEG ≌△AEF (SAS ). ∴EG =EF ,
半角模型 已知如图:①∠2=1 2 ∠AOB;②OA=OB. O A B E F 1 23 连接FB,将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置,连接F′E,FE,可得△OEF≌△OEF′ 43 2 1 F' F E B A O 模型分析 ∵△OBF≌△OAF′, ∴∠3=∠4,OF=OF′. ∴∠2=1 2 ∠AOB, ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 又∵OE是公共边, ∴△OEF≌△OEF′. (1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点; (2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系; (3)常见的半角模型是90°含45°,120°含60°. 模型实例 例1 已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N.(1)求证:BM+DN=MN. (2)作AH⊥MN于点H,求证:AH=AB.
证明:(1)延长ND 到E ,使DE=BM , ∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB . 在△ADE 和△ABM 中, ?? ? ??=∠=∠=BM DE B ADE AB AD ∴△ADE ≌△ABM . ∴AE=AM ,∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°,∴∠BAM+∠NAD=45°. ∴ ∠MAN=∠EAN=45°. 在△AMN 和△AEN 中, ?? ? ??=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A ∴△AMN ≌△AEN . ∴MN=EN . ∴BM+DN=DE+DN=EN=MN . (2)由(1)知,△AMN ≌△AEN . ∴S △AMN =S △AEN . 即EN AD 2 1 MN AH 21?=?. 又∵MN=EN , ∴AH=AD . 即AH=AB .
半角模型专题专练
半角模型例题 已知,正方形ABCD 中,∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ,且∠EAF ﹦45° 结论1:BE ﹢DF ﹦EF 结论2:S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3:AH ﹦AD 结论4:△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5:当BE ﹦DF 时,△CEF 的面积最小 结论6:BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论8:EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9:四点共圆 结论10:△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论11:MN ﹦√2 2EF (可由相似得到) 结论12:S △AEF ﹦2S △AMN (可由相似的性质得到) 结论5的证明: 设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3 ﹦1﹣12x ﹣12y ﹣1 2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1 2﹣1 2xy 所以当x ﹦y 时,△AEF 的面积最小 结论6的证明: 将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′ 易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′ 在Rt △BMN ′中,由勾股定理可得: BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7的所有相似三角形:
△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE 结论8的证明: 因为△AMN ∽△AFE ∴∠3=∠2 因为△AMN ∽△BAN ∴∠3=∠4 ∴∠2=∠4 因为AB ∥CD ∴∠1=∠4 ∴∠1=∠2 结论9的证明: 因为∠EAN ﹦∠EBN =45° ∴A 、B 、E 、N 四点共圆(辅圆定理:共边同侧等顶角) 同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆 **必会结论-------- 图形研究正方形半角模型 已知:正方形ABCD ,E 、F 分别在边BC 、CD 上,且?=∠45EAF ,AE 、AF 分别交BD 于H 、G ,连EF . 一、全等关系 (1)求证:①EF BE DF =+;②DG 2﹢BH 2﹦HG 2;③AE 平分BEF ∠,AF 平分DFE ∠. 二、相似关系 (2)求证:①DG CE 2=;②BH CF 2=;③HG EF 2=. (3)求证:④DH BG AB ?=2;⑤HG BG AG ?=2;⑥21=?CF DF CE BE . 三、垂直关系 (4)求证:①EG AG ⊥;②FH AH ⊥;③BE AB HCF =∠tan . (5)、和差关系 求证:①BE DG BG 2=-;②DH DF AD 2=+; ③||2||DG BH DF BE -=-.
八上培优半角模型 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
八上培优5 半角模型方法:截长补短 图形中,往往出现90°套45°的情况,或者120°套60°的情况。还有2α套α的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是:截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等,翻折分割构全等。截长法,补短法。 勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页,新观察在第34页,新观察培优也有涉及,在第27页2两个例题,29页有习题。这些题大同小异,只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。 下面是新观察第34页1~4题 1.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90゜,∠D=60゜,AB=BC,E、F,分别在AD、CD 上,且∠EBF=60゜.求证:EF=AE+CF. 2.如图2,在上题中,若E、F分别在AD、DC的延长线上,其余条件不变,求证: AE=EF+CF. 3.如图,∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°,∠ECF=60°,AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE的面积.
A C B F E A C B F E D 4.如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,∠B+∠D=180゜,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠BAD=2∠EAF. (1)求证:EF=BE+DF; (2)在(1)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时,如图2所示,试探究EF、BE、DF之间的数量关 系. 3.如图3,在四边形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.
知识目标 第 6 讲 夹半角模型 知识导航 夹半角,顾名思义,是一个大角夹着一个大小只有其一半的角,如下图所示。 这类题目有其固定的做法,当 取不同的值的时候,也会有类似的结论,下面我们就来看一看这一类问题。夹 半角的常见分类: (1)90 度夹 45 度 (2)120 度夹 60 度 (3)2α夹α 题型一 90 度夹 45 度 【例 1】 如图,正方形 ABCD 中, E 在 BC 上,F 在 CD 上,且∠EAF =45°,求证:(1)BE +DF =EF (2)∠AEB =∠AEF 【练习】在例 1 的条件下,若 E 在 CB 延长线上,F 在 DC 延长线上,其余条件不变,证明: (1)DF -BE =EF (2)∠AEB +∠AEF =180°
夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论,比如: (1)已知△ABC 为等腰三角形,∠ACB=90°,M、N 是AB 上的点,∠MCN=45°,求证:AM2+BN2=MN2 (2)如图,正方形ABCD 中,F 为CD 中点,点E 在BC 上,且∠EAF=45°,求证:点E 为线段BC 靠近B 的三等分点. 题型二120 度夹60 度 【例2】已知如图,△ABC 为等边三角形,∠BDC=120°,DB=DC,M、N 分别是AB、AC 上的动点,且∠MDN=60°,求证:MB+CN=MN. 【练习】如图,四边形ABCD 中,∠A=∠BCD=90°,∠ADC=60°,AB=BC,E、F 分别在AD、DC 延长线上,且∠EBF=60°,求证:AE=EF+CF.
真题演练 在等边△ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点 M 、N .D 为△ABC 外一点,且∠MDN =60°,∠BDC =120°,BD =DC .探究:当 M 、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系以及 △AMN 的周长 Q 与等边△ABC 的周长 L 的关系. (1)当点 M 、N 在边 AB 、AC 上,且 DM =DN 时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ; Q 此时 = ;(不必证明) L (2)当点 M 、N 在边 AB 、AC 上,且当 DM ≠DN 时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明; (3)当 M 、N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时,若 AN =2,则 Q = (用含有 L 的式子表示)
半角模型例题 已知,正方形 ABCD中,∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F,且∠ EAF﹦ 45°结论 1:BE﹢ DF﹦EF 结论 2:S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF 结论 3:AH﹦ AD 结论 4:△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB 结论 5:当 BE﹦DF时,△ CEF的面积最小 22 2 结论 6:BM﹢DN﹦MN 结论 7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论 8:EA、 FA是△ CEF的外角平分线 结论 9:四点共圆 结论 10:△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论 11: MN﹦EF(可由相似得到) 结论 12: S△ AEF﹦2S△ AMN(可由相似的性质得到) 结论 5 的证明: 设正方形 ABCD的边长为 1 则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3 ﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y) ﹦﹣ xy 所以当 x﹦y 时,△ AEF的面积最小 结论 6 的证明: 将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合 ′ ∴DN﹦ BN ′ 易证△ AMN≌△ AMN ′ ∴MN﹦ MN ′ 在 Rt△BMN中,由勾股定理可得: 2′ 2′2 BM﹢BN ﹦MN 22 2 即 BM﹢DN﹦MN 结论 7 的所有相似三角形: △ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE
结论 8 的证明: 因为△ AMN∽△ AFE ∴∠ 3=∠ 2 因为△ AMN∽△ BAN ∴∠ 3=∠ 4 ∴∠ 2=∠ 4 因为 AB∥CD ∴∠ 1=∠ 4 ∴∠ 1=∠ 2 结论 9 的证明: 因为∠ EAN﹦∠ EBN= 45° ∴A、B、E、N 四点共圆(辅圆定 理:共边同侧等顶角) 同理可证 C、E、N、F 四点共圆 A、M、 F、 D 四点共圆 C、E、 M、 F 四点共圆 **必会结论 --------图形研究正方形半角模型 已知:正方形 ABCD ,E、F分别在边 BC 、 CD 上,且 EAF 45 ,AE、AF分别交BD于H、 G ,连EF. 一、全等关系 ()求证:① 2 2 2 平分,平分 DF BE EF ;②DG﹢ BH﹦ HG;③AE BEF AF DFE . 1 二、相似关系 (2)求证:①CE 2DG ;② CF 2 BH ;③ EF 2HG . (3)求证:④AB2 BG DH ;⑤ AG 2 BG HG ;⑥BE DF 1 . CE CF 2 三、垂直关系 (4)求证:①AG EG ;②AH FH ;③tan HCF AB . (5) 、和差关系 BE 求证:① BG DG 2BE ;② AD DF 2DH ; ③ | BE DF | 2 | BH DG | .