第一讲排列组合的基本方法
一．计数原理
1．分类计数原理
如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．
2．分步计数原理
如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．
3．分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理，将种数相乘．
二、排列组合
1．排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用A m n表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
考向一两个计数原理
【例1】（1）满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
【举一反三】
1. 用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)
2. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________．
3.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．
考向二排列
【例2】（1）用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有________个．
【套路总结】
1.乘法分步计数原理
(1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
2.加法分类计数原理
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．
3.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
（2）6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法
【举一反三】
1．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
2．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________．
考向三组合
【例3】男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
【举一反三】
1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种．
2．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________．(用数字作答)
考向四常用的方法
【例4】7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？
(1)老师甲必须站在中间或两端；
(2)两名女生必须相邻而站；
(3)4名男生互不相邻；
(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．
【举一反三】
1.为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案有________种．
2. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．
3.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．
4．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共
有________种不同的安排方法．(用数字作答)
【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行
1．2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( )
A．198 B．268 C．306 D．378
2．2020年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（）
A．144种B．24种C．12种D．6种
3．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则名同学所有可能的选择有（）
A．种B．种C．种D．种
4．用数字0,2,4,7,8,9组成没有重复数字的六位数,其中大于420789的正整数个数为（）
A．479 B．480 C．455 D．456
5．在中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游参观，其中的每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山的概
率为（）
A．B．C．D．
6．第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导。工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有（）A．150 B．126 C．90 D．54
7．今有个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种
A． B． C． D．
8．为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点．若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为（）
A．3600 B．1080 C．1440 D．2520
9．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有
A．种 B．种 C．种 D．种
10．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（）
A ．14400
B ．28800
C ．38880
D ．43200
11．定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ?∈，满足1t t a a +<，且*s N ?∈，满足1S S a a +>.已知“有增有减”数列{}n a 共4项，若{}(),,1,2,3,4i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a 共有（ ） A ．64个 B ．57个 C ．56个 D ．54个
12．一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？（ ） A ．5 B ．25 C ．55 D ．75
13．一名同学想要报考某大学，他必须从该校的8个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表．若A 专业不能作为第一、第二志愿，则他共有______种不同的填法（用数字作答）．
14．在一次中学生志愿者活动中，需要将,,,,A B C D E 共5名志愿者分派到2个不同的地点进行爱心活动，要求每个地点至少有1人活动，并且,A B 两名同学必须在同一个地点，则不同的爱心分派方案共有_______种（用数字作答）．
15．习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________．
16．分配5名水暖工去4个不同的居民家里检查暖气管道，要求5名水暖工全部分配出去，每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有_______种（用数字作答）． 17．把，，，四本不同的书分给三位同学，每人至少分到一本，每本书都必须有人分到，，不能同时分给同一个人，则不同的分配方式共有__________种（用数字作答）．
18．某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的
车位数为______．
19．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有____种不同选取方法.
20．用五种不同颜色给三棱台的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.
21．2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案为________种．
22．用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有________种．
23.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为________．
24．用6种不同的颜色给三棱柱ABC－DEF六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有________种．(用数字作答)
25.如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，则因电阻断路的可能性的种数为
26.某学校为了提高学生的意识，防止事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的情况有
27．在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有________种．
28.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有种分配方案？
29.6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站两端；
(2)甲、乙必须相邻；
(3)甲、乙不相邻；
(4)甲、乙之间间隔两人；
(5)甲、乙站在两端；
(6)甲不站左端，乙不站右端．
30.现有6本不同的书：
(1)甲、乙、丙三人每人两本，有多少种不同的分配方法？
(2)分成三堆，每堆2本，有多少种分堆方法？
(3)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？
(5)甲、乙、丙三人中，一人分4本，另两人每人分1本，有多少种不同的分配方法？