数与代数的知识点
整理和复习
一、数与代数
(一)数的认识
1定义:像8，16，+1，，+这样的数叫做正数 4
正数写法和读法:正数前面加“+”号。如+8读作:“正八”
“+”号一般可以省略不写
1数定义:像-1，，，-这样的数叫做负数 4
负数写法和读法:负数前面加“-”号。如-15读作:“负十五”
数字越大负数反而越小
比0小的数是负数，比0大的数是正数“0”既不是正数，也不是负数。
正整数
自然数
整数 0
负整数
(自然数全是整数，整数不全是自然数，还包括负整数)
小数:整数部分，小数点，小数部分有限小数
数真分数小数
分数: 整数1 无限不循环小数
假分数无限小数
带分数无线循环小数
(小数是特殊的分数)
百分数:(1)分母是100的分数叫做百分数。 (2)表示一个数是另一个数的百分
之几的数叫做百分数。百分数又叫百分比或百分率。百分数通常不写
成分数形式，而采用符号“%”来表示，叫做百分号。知识点一:整数
整数部分小
数
亿级万级个级点小数部分
数千百十亿千百十万十百千......
位亿亿亿万万万千百十个分分分
位位位位位位位位位位位位
. 计千百十千百十万千百十一十百千......
数亿万万万 (个) 分分分......
单亿亿亿之之之......
位一一一......
1、读数:从最高位起，一级一级的读。读万级或亿级的数时要按照个级的读法来读，并在后面加上级名。每一级末尾的0都不读，其他数位上不论连续有几个0，只读一个0。
写数:先确定最高位是哪一级的哪个数位，然后从高位起，一级一级往下写，哪一
位一个单位也没有，就在哪个数位上写0。
2、数的改写与求近似数:为了读写方便，常把较大的数简写成用“万”或“亿”作单位的数。如:2365500=万(改写用“万”作单位的数)。如:2365500237万(省略万位后面的尾数，写成近似数)，如:(保留一位小数)。知识点二:小数
1、小数的意义: 把整数“1”平均分成10份，100份，1000份……这样的1份或几
份是十分之几，百分之几，千分之几…可以用小数来表示。一位小数表示十分之几，
两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…
2、小数的读法和写法:读小数时，整数部分按照整数读法来读(整数部分是0的读作“零”)小数点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字。
写小数时，整数部分按照整数写法来写(整数部分是0的写作“0”小数点写在个位的右下面，小数部分顺次写出每个数位上的数字。
3、小数大小的比较:比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数
就大;整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就在;十分位上的数也相同的，百分
位上的数大的那个数就大……
4、小数的性质:小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。知识点三:分数
1、分数的分类
(1)真分数: 分子比分母小的分数叫做真分数。
(2)假分数:分子比分母大或者与分母相等的分数叫做假分数。
(3)带分数:假分数化成带分数:用分子除以分母，所得的商做带分数的整数部分、
103如: =1 (107=1……3) 余数做分子、分母不变。 77
3、分数大小的比较:分母相同的两个分数，分子大的分数比较大;分子相同的两个分数，
分母小的分数比较大
4、分数的基本性质:分数的分子、分母同时乘或除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变。
5、约分: 根据分数的基本性质，把分子、分母的公因数约去的过程，叫做分数的约分。
通分: 根据分数的基本性质，把分母不同的分数化成分母相同的分数,这个过程叫做
分数的通分。
6、分数的乘法和除法
bcb×dbcbd × = = × ada×cadac
分数的倒数:分数的分子、分母交换位置(乘积是1的两个数互为倒数)
整数的倒数:化为分母为1的分数，再求倒数
小数的倒数:化为分数，再求倒数知识点四:因数和倍数
1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，122=6,12是2的倍数，2是12的因数。因数与倍数是相互依存的。
2、一个数的最小因数是1，最大因数是它本身;一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数个数是无限的。
3、个位上是5或0的数都是5的倍数，个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。
4、整数中，是2的倍数的书叫做偶数(0也是偶数)，不是2的倍数的数叫做奇数。
5、一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
6、一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数(或素数)。如2,3,5,7都是质数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这
样的数叫做合数。如4,6,15,49都是合数。1既不是质数，也不是合数。2是最小的质数，4是最小的合数。
7、100以内的质数:2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
8、互质数:公因数只有1的两个数叫做互质数。
9、最大公因数:几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
10、最小公倍数:几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最大的一个数叫做这几个数的最小公倍数。
11、求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法。
如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的积。
利用短除法求最大公因数和最小公倍数。
知识点五:数的互化
数的互化包括小数、分数、百分数之间的互化。
小数点向右移动两位，添上%
小数百分数
去掉%，小数点向左移动两位
分子除以分母
小数分数
小数部分原来有几位小数就在1后面写几个0 (约分写最简分数)
先写成小数，再写成百分数
分数百分数
先写成分数，再约分
(二)数的运算(加、减、乘、除)
1、在一个只有加减或乘除的算式里，按照从左到右的顺序进行计算。
2、在一个既有加减又有乘除的算式中，按照先乘除后加减的顺序进行计算。
3、在有括号的算式中，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。
4、运算定律
交换律:A+B=B+A 交换律:A×B=B×A
加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C) 乘法结合律:A×B×C=A×(B×C)
分配律:(A+B)×C=A×C+B×C
减法的运算性质:A-B-C=A-(B+C) 除法的运算性质:ABC=A(B×C) 5、常见的数量关系:
速度×时间=路程路程时间=速度路程速度=时间
单价×数量=总价总价数量=单价总价单价=数量
工作效率×工作时间=工作总量工作总量工作时间=工作效率
工作总量工作效率=工作时间
收入-支出=结余本金×利率×时间=利息
6、分数应用题:关键是找准标准量，即单位“1”。若单位“1”已知，用乘法计算;若单位“1”未知，用除法计算。
(1)求甲比乙多(或少)几分之几(百分之几)的解题规律:甲乙的差乙; (2)已知甲比乙多(或少)几分之几(百分之几)，求甲的的解题规律:乙×(1几分之几/百分数);求比前的量用乘法。
)已知甲比乙多(或少)几分之几(百分之几)，求乙的的解题规律:甲(1几分(3之几/百分数);求比后的量用除法。
(三)式与方程
知识点一:用字母表示数
1、数量关系可以用含有字母的式子简明而概括地表达出来。用字母还可以表示运算律或者计算公式。
2、写法:字母和数字之间或字母与字母之间的乘号可以记作“”或者省略不写。但要注意，在省略乘号的时候，数字要写在字母的前面。例如:a×3=3 a(或3a);m×n=m n(或mn);5×b×c=5bc(5bc)。
知识点二:等式与方程
1、等式:表示相等关系的式子叫等式。
2、方程:含有未知数的等式叫做方程。
3、等式与方程的关系:所有的方程都是等式，但是等式不全是方程。知识点三:等式的性质
1、等式的基本性质1:等式两边都加上或减去同一个数，等式仍然成立。
2、等式的基本性质2:等式两边同时乘以或除以同一个数(0除外)，等式仍然成立。知识点四:解方程
1、方程的解的定义:使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
2、解方程的定义:求方程解的过程叫做解方程。
3、解方程的依据:(1)等式的性质;(2)加与减、乘与除各部分之间的互逆关系。知识点五:列方程解决问题
列方程解决问题的一般步骤:
1、弄清题意，找出未知数并用x表示;
2、找出问题中数量之间的相等关系，列出方程;
3、解方程;
4、检验并写出答语。
(四)比和比例
知识点一有关比和比例的知识
1、比和比例的联系和区别
比比例意义两个数的比表示两个数相除表示两个比相等的式子叫做比例
9 :6 =3 :2 9 : 6 = 各部分的前项后项比值名称内项外项
比的前项和后项同时乘或除以相两个外项的积等于两个内向的积基本性质同的数(0除外)，比值不变
2、比和分数、除法的关系
联系
例子
各部分名称
5 分数分子分数线—分母分数值 8除法被除数除号除数商 58
比前项比号: 后项比值 5:8 3、比的基本性质、分数的基本性质、商不变的规律之间的关系
比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
分数的基本性质:分数的分子、分母同时乘或除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变。
商不变的规律:被除数和除数同时乘和除以相同的数(0除外)，商不变。 4、求比值和化简比的联系和区别
一般方法结果
是一个商，可以是整数、小数、分数求比值根据比值的意义，用前项除以后项如，60:50=不能写成60:50=6:5
根据比的基本性质，将比的前项和后项同结果是一个比，前项和后项都是整数化简比时18:6=3:1乘或除以相同的数(0除外)
化简比的方法
整数比比的前项和后项同时除以它们最大公因数(也可以一步一步的除)
如，18:6=(186):(66)=3:1 或18:6=(182):(62)=9:3=(93):
(33)=3:1
小数比先把比的前项和后项同时乘以10、100……，变成整数比;再把整数比化成最简
比
如，:=×100):×100)=25:150=1:6
分数比先把比的前项和后项同时乘以它们分母的最小公倍数，变成整数比;再把整数比
化成最简比
5533如，:=(×24):(×24)=20:9 8866
混合比先把混合比变成小数比或分数比(如果比中的分数不能化成有限小数的，一般
化为分数比)，再变成整数比，最后把整数比化成最简比
5515如，:=:=25:2或:=:=25:2 5222
555如，:中的不能化成有限小数，所以把:先化为分数比。 666
355 :=:=25:9 6610
知识点二按比例分配解决问题
1、按比例分配应用题:把一个数量按照一定的比例分配成几部分，求每一部分数量各是多少的应用题叫做按比例分配应用题。
2、解题方法:
一般方法:把比转化成分数，用分数方法解答。即先求总份数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的解题方法，分别求出各部分的量是多少。
归一法:把比看作分得的份数，先求出总份数，然后用总量总份数=平均每份的量(归一)，再用1份的量×各部分量所对应的的份数求出各部分的量。
用比例知识解答，解设未知量为x。
知识点三正比例与反比例
1、判断成正、反比例关系的方法
(1)分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量;
(2)分析:比值一定，成正比例关系;乘积一定，成反比例关系。 2、用正、反比例知识解决问题
(1)分析数量关系，判断成什么比例;
(2)找等量关系。如果是成正比例，则按“等比”找等量关系;如果是成反比例，则按“等积”找等量关系;
(3)列比例。设未知数为x，并代入等量关系式;
(4)解比例; (5) 检验并写出答语。
知识点四比例尺
1、比例尺定义:图上距离和实际距离的比叫比例尺
2、比例尺公式
比例尺=图上距离:实际距离或比例尺=图上距离/实际距离
图上距离=实际距离×比例尺实际距离=图上距离比例尺
3、求比例尺时的注意要点
(1)比例尺与一般的尺不同，它是一个比，不应带有计量单位;
(2)求比例尺时，前项、后项的长度单位一定要化成同级单位;
(3)厘米和千米的换算方法是:厘米减五个0变成千米，千米加五个0变为厘米。米和厘米的换算方法是加减两个0。
(4)计算结果，图上距离一般用厘米表示;实地距离一般用千米或米表示。