圆中的三角函数
解决几何图形的三角函数求值问题,关键在于,找到相关的直角三角形．若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形,或把角进行转化。圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下:
一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中
例1(成都市)如图1,已知ＡB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥ＡＢ,
22AC =,BC =1，那么ｓin ∠AB Ｄ的值是 ．
解析：在⊙O 中，∠ＡCD =∠AB Ｄ；
又由于AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ,则∠ＡCD =∠ＡB Ｃ. Rt △ABC 中,A Ｂ=
22BC AC +=221)22(+＝3,
从而ｓin ∠ＡBD =AB
AC =32
2.
评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化,充分本现了转化思想
的巧妙运用。
二、用直径与所对圆周角构造直角三角形
例２(烟台市)已知A Ｂ是半圆O 的直径，弦AD 、ＢC 相交于点P ,若∠DPB ＝α,那么CD
AB
等于
A ．ｓinα
B ．
C ＯSα C.t ａｎα Ｄ．1
tan α
解析: 连结ＢD ,由于AB 为直径,则∠ADB =90°, 于是,在Ｒt △PBD 中，有C ＯSα=
PB
PD
, 而点C 和点A 在圆周上，所以∠A =∠C , 又∠APB =∠CPD ，则△ＡPB ∽△CPD ， 从而
CD AB ＝PB PD ,所以CD
AB
=CO Ｓα，故选Ｂ。 评注：直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件,因此,在解题中,要倍加关注直径所对圆周角。
三、转化条件中的垂直关系构造直角三角形
例3(武汉市)如图４,等腰三角形ＡBC 中，AC =BC ＝１0，AB ＝12。以B Ｃ为直径作⊙O 交ＡB 于点D ，交AC 于点G ,DF ⊥A Ｃ,垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。 (1)求证:直线EF 是⊙O 的切线； (2)求sin ∠Ｅ的值。
解析:（1)证明：如图5,连结O Ｄ、ＣD ,
因为BC 是直径，所以CD ⊥AB ， 而A Ｃ=BC ,则D 是AB 的中点 又因为O 是CB 的中点,所以O Ｄ//AC
由于DF ⊥ＡＣ，则OD ⊥E Ｆ,于是EF 是⊙O 的切线.
(2)连结BG ，因为B Ｃ是直径,所以∠ＢGC =90° 图 B D
E F G O
C B D
O
图1
E D
O
A
B
C
D
O B 在Rt △BCD 中，ＣD ＝
22AD AC -=22610-=8
而A Ｂ·CD =2ABC S ?= A Ｃ·ＢG ， 则有BG =
AC CD AB ?＝10812?=5
48
. 在Ｒt △BCG 中，ＣG ＝22BG BC -=22
)548(
10-＝5
14
; 又因为BG ⊥ＡC ， ＤF ⊥AC ，所以B Ｇ/／ＥＦ,
则∠E ＝∠CBG ,从而sin ∠E =sin ∠CBG ＝BC CG =10514
=25
7
评注:挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利.
例4．如图,Ｒt △AＢC 中, ∠AC Ｂ=９0°，A Ｃ=4, B Ｃ=2, 以A Ｂ上的一点０为圆心作⊙Ｏ分别与AC ．BC 相切于点D,E 。 (1）求⊙O 的半径。
（2）求sin ∠BOC 的值。
证：(1)：连OE ，OD ，证四边形ＯECD 为正方形，设半径为Ｒ，
2R ＝44R -， R=3
4; (2)
10
10
3,作CM ⊥AB 于M ，易求AB=２5.ＡB · CM=BC ·A Ｃ， ∴CM=
554，易求ＯC ＝R 2=324,∴sin ∠BOC=OC
CM ＝1010
3
例5.如图，等腰△ＡBC 中,ＡB=A C,以AB 为直径作⊙Ｏ， 交BC 于点D,D Ｅ⊥ＡC 于点Ｅ。
(1)求证:DE 为⊙O 的切线:
（2）若B Ｃ=45,A Ｅ=１,求co ｓ ∠AEO 的值。
图5
E
B
解:（1)连OD, ∠C=∠ＡBC ＝∠O ＤB. OD//A Ｃ，∴ ∠O ＤE=∠D ＥC =90° (２) ∠ＡEO=∠D ＯE, co ｓ∠AE Ｏ＝ co ｓ∠D ＯE=OE
OD
，连DA.证C Ｄ=ＢD =25, 证△CDE∽△CDA,CD 2
=C Ｅ·CA=ＣE · (CE+1) ∴CE =４, DE=22CE CD -=２, OD=
21AC=2
5
,OE=22OD DE +=241,
∴cos ∠ＡEO== cos ∠DOE=
OE
OD =4141
5
●专练
１.如图，已知Rt△ABC 和Rt△EＢC ，∠B ＝９0°.以边AC 上的点Ｄ为圆心， ＯA 为半径的⊙O 与ＥC 相切于点D ，ＡD∥ＢC.
(l)求证： ∠E=∠ＡC Ｂ:
(2）若AD ＝１, tan ∠ＤＡＣ=2
2
,求B Ｃ的长.
2．如图,已知点0是Ｒｔ△ABＣ的直角边AC 上一动点,以Ｄ为圆心,OA 为半径的⊙O 交ＡＢ于D 点， DB 的垂直平分线交BC 于F,交BD 于E 。
(l ）连结DF,请你判断直线DF 与⊙Ｏ的位置关系,并证明你的结论 (2)当点D 运动到OA ＝2O Ｃ时，恰好有点D 是AE 的中点，求tan ∠B 。
A
F
D D
A B 3.如图,在△ABC 中．AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ．过D 作ＤＦ⊥BC,交AB 的延长线于点E,垂足为Ｆ ． (1)求证；直线ＤE 是⊙Ｏ的切线；
(2) 当A Ｂ=5，ＡＣ=8时,求cos ∠E 的值.
4．如图，Rt△ABC 中， ∠C=9０°,B Ｄ平分 ∠AB Ｃ,以ＡB 上一点0为圆心, 过B 、D 两点作⊙O,⊙O 交AB 于点E E Ｆ⊥ＡC (１)求证:⊙O 与AC 相切：
(2)若ＥF=2,BC ＝4，求ｔa ｎ∠A 的值。
5.如图, △ABP 中,∠ABP=９０°，以AB 为直径作⊙O 交AP 于点Ｃ，在弧ＡC 上取一点Ｆ,使弧C Ｆ=弧ＣＢ，过C 作ＡF 的垂线，垂足为M,MC 的延长线交BP 于Ｄ。
(１)求证:C Ｄ为⊙O 的切线。
(２）连BF 交ＡP 于Ｂ若BE ＝6，ＥＦ＝2.求tan ∠ＦAE 。
6.如图,A Ｂ是⊙Ｏ的直径,AC 是弦,点Ｄ是BC 的中点，DP AC ⊥，垂足为点P .
(１)求证:P Ｄ是⊙O 的切线.
（2)若AC =6, ｃosA ＝3
5
，求PD 的长.
7．如图，⊙Ｏ的直径AB 交弦CD 于点Ｍ，且M 是ＣD 的中点.过点Ｂ作BE ∥ CD ,交A Ｃ的延长线于点E .连接B Ｃ．
(１)求证:BE 为⊙O 的切线;
（2)如果C Ｄ＝6，tan ∠ＢC Ｄ=2
1
,求⊙O 的直径的长.
８.如图，△DEC 内接于⊙O ，AC 经过圆心O 交
O 于点Ｂ，且ＡC ⊥DE,垂足为F ，
连结ＡＤ、B Ｅ,若1
sin 2
A =
，∠BED =30°. (１）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2)DCE △是否是等边三角形?请说明理由； (3）若O 的半径2R =，试求CE 的长.
B
A
B
A
C
９.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，ＣF⊥AF，且CF=CE．(1)求证:CF是⊙O的切线；
(2)若sin∠ＢAC=，求的值．