安庆市高三数学模拟考试

安庆市高三数学模拟考试

2011年安庆市高三模拟考试(三模)

数学试题(理科)

安庆市高考课题命题研究组 第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：

1.设集合2{|1}A x y x ==-，2{|1}B y y x ==-，2{(,)|1}C x y y x ==-，则正确的是( ) A.A B C = B.B C = C.A B ? D.B C =?

2.

对于函数()cos f x x x +，下列命题中正确的是

A.x R ?∈，()2f x <

B.x R ?∈，()2f x <

C.x R ?∈，()2f x >

D.x R ?∈，()2f x > 3.若

31i a bi i -=++(a 、b R ∈，i 是虚数单位)，则b

a

=( ) A.4 B.2- C.1- D.2

4.圆222650x y x y a +-++=关于直线2y x b =+成轴对称图形，则a b -的取值范围是( ) A.(,4)-∞ B. (,0)-∞ C. (4,)-+∞ D. (4,)+∞

5.设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同平面，下列四个命题中正确的序号是( ) ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥；②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ； ③若//m α，//n α，则//m n ；④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥. A.①② B.②③ C.③④ D.①④

6.已知数列{}n a 满足13a =，1110n n n a a a ++?++=，则2011a =( ) A.43-

B.1

4

- C.3 D.3- 7.现有男大学生6名，女大学生4名，其中男、女班长各1人.从这10人中选派5人到某中学顶岗，班长中至少有一人参加，则不同的选派方法种数是( ) A.169 B.140 C.126 D.196

8.已知20x OA x OB OC ?+?-=()x R ∈，其中A 、B 、C 三点共线，则满足条件的x ( ) A.不存在 B.有一个 C.有两个 D.以上情况均有可能

9.若1

(2)n x x

+的展开式中，二项式系数最大的项只有第三项，则展开式中常数项的值为( )

A.12

B.18

C.24

D.32

10.如图，在等腰梯形ABCD 中，且2AB AD =，设DAB θ∠=，(0,)2

π

θ∈，以A 、B 为焦

点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C 、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则( ) A.随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 为定值B.随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 为定值 C.随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 也增大D.随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 也减小

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题(25分)：

11.执行如图所示的程序框图，若输入0x =，则输出y 的值为

12.已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2x ，y -这四个数据的平均数为1，则1

y x

-

的最小值为 13.在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则

||AB =

14.在周长为a 的长方形中，其面积的最大值是2

16

a .请利用类比推理，写出长方体的结论:

15.某中学对函数()2cos f x x x =进行研究后，得出如下四个结论：①函数()f x 在[,0]π-上单调递增，在

[0,]π上单调递减；

②存在常数0M >使|()|||f x M x 对一切实数x 均成立；③点(,0)2

π

是函数()y f x =图像的一个对称中心；④函数()y f x =图像关于直线x π=对称. 其中正确的是 三、解答题(75分)：

16.(12分)设函数2()1cos(2)cos 3

f x x x π

=++

-.

⑴若[,]63

x ππ

∈-，求()f x 的最大值；

⑵设A 、B 、C 为ABC ?三个内角，若1cos 3B =，1

()24

C f =-，且C 为锐角，求sin A .

17.(12分)

已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M

、(N -，若圆C 的圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点(,)A x y 为圆C 上的一点. ⑴求椭圆的标准方程和圆的标准方程；

⑵求2||AC AO AC AO ?+-(O 为坐标原点)的取值范围

18.(13分)四棱锥P ABCD -及其三视图，PBC ?为正三角形

⑴若E 是PB 的中点，求证://CE 平面PAD ；

⑵求证：平面PAD ⊥平面PAB ； ⑶求二面角P AD B --的余弦值.

19.(12分)某班同学利用五一国际劳动节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

⑴补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；

⑵从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加

户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX .

俯视图

主视图左视图

B

A

C

D

P

低碳族 占

本组 [25,30) [30,35) 组数

第一组

第二组

第三组

第四组

第五组

第六组 [35,40) [40,45)

[45,50) [50,55] 分组 120 195 100 a 30 15 0.6 p 0.5 0.4 0.3 0.3 人数 频率 )

20.(13分)定义(,)(1)y F x y x =+，x 、(0,)y ∈+∞.

⑴令函数22()(1,log (49))f x F x x =-+的图像为曲线1C ，曲线1C 与y 轴交于点(0,)A m ，过坐标原点O 作曲线1C 的切线，切点为(,)B n t (0)n >.设曲线1C 在点A 、B 之间的曲线段与OA 、OB 所围成图形的面积为S ，

求S 的值；

⑵当x 、*y N ∈且x y <时，证明：(,)(,)F x y F y x >.

21.(13分)已知数列{}n a 中，11a =，112n

n i i na a +==∑.

⑴求{}n a 的通项公式； ⑵设数列{}n b 满足112b =，2 1 21

n

n n b b b a ++=+. 证明：①2

1111

(1)n n b b n +->-+；②1n b <.

2011年安庆市高三模拟考试（三模）

数学（理科）试题参考答案

一、选择题：每小题5分，满分50分

题号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

D B B A D C D C C B 二、填空题：每小题5分，共25分

11、23-. 12、32

8. 13

、

14、在所有棱长之和为a 的长方体中，其体积的

最大值是17283

a

.

15、②.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答

应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）x x x f 2

cos

)3

2cos(1)(-++=πx

x 2sin )3

2cos(++

=π

=1cos 21

cos 2cos sin 2sin 23322

x x x x ππ--+=- (4)

分

]3

,6[π

π-

∈x ∴当

6

π

-

=x 时，函数

)

(x f 有最大值为

4

5………… 6分

（Ⅱ）

)2

(C f =

122

C -=－

4

1, 所以

sin 2

C =

……………7分

因为

C

为锐角, 所以

3

C π

=

, …………… 8分

又因为在

ABC

?中,

3

1cos =

B ,所以

sin B =

……………10分

∴11

sin sin()sin cos cos sin 2

3

A B C B C B C =+=+=+=.………

12分 17、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为2

21

mx

ny +=，

依题意可得

41,51415m n m n ?+=???

?+=??

，可得1,15

m n ==， 所以，所求椭圆的标准方程为

2

215

x y +=.…………………………………………3分

因为圆的圆心C 和椭圆的右焦点重合，圆的半径恰为椭圆的短半轴长， 故

圆

的

标

准

方

程

为

22(2)1

x y -+=.…………………………………………

………6分

（Ⅱ）由（1）得圆心C （2，0）， 所以

4

2||222+-+=-+?x y x AO AC AO AC …………………………

…………9分

而2

2

430,x y x +-+=则2

2

43,x y x +=- 所以，221AC AO AC AO x ?+-=+

而2

2

(2)1,x y -+=则2

(2)1x -≤，即121,x -≤-≤即13x ≤≤，

因此，2AC AO AC AO ?+-（O 为坐标原点）的取值范

围为[3,7].………12分 18、（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）证明：由三视图知：BC AB ⊥,BC CD ⊥,且

CD

AB 2=,因此CD ∥AB

C

A 取PA 的中点F ，连结DF ， 则EF ∥A

B 且

EF AB

2

1=

所以CD ∥EF 且EF CD =，即四边形形， 所以CE ∥DF .

又CE ?平面PDA ，故CE ∥平面PDA .……………4分 （Ⅱ）证明：由三视图知：平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ?平面BC ABCD =,

⊥

∴⊥AB BC AB 平面PBC ，?CE 平面PBC CE AB ⊥∴

又PBC ?为正三角形CE PB ⊥∴⊥∴CE 平面PAB 又由(1)知DF ∥CE ⊥∴DF 平面PAB .

而?DF 平面PAD ∴平面⊥PAD 平面PAB .……………9分

(Ⅲ)记二面角B AD P --的平面角为α，设P 在底面上的射影为H ，由三视图H 为BC 的中点，连结

DH

AH ,，则PAD ?在面ABCD 上的射影为HAD ?，不难求

得2

3,6=

=??HAD PAD

S S

.

所以4

6

cos =

α，即二面角B

AD P --的余弦值为

4

6 . ……………13分

（其它解法参考给分）

19、（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）第二组的频率为

1(0.040.040.030.020.01)50.3

-++++?=，所以高为

0.3

0.065

=．频率直方图如下： …………

…2分

第一组的人数为1202000.6

=，频率为0.0450.2?=，所以200

10000.2

n =

=．

由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组

的人数为10000.3300?=，所以1950.65300p ==． 第四组的频率为0.0350.15?=，所以第四组的人数为

10000.15150

?=，所以1500.460a =?=．……………5分

（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年

龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，

[45,50)

岁中有6人．……………6分

03

1263

185

(0)204

C C P X C ===，

12

1263

1815

(1)68

C C P X C ===，

2112631833

(2)68

C C P X C ===

，

30

1263

1855

(3)204

C C P X C ===． (10)

分

所以随机变量X 的分布列为

∴数学期望

5153355012322046868204

EX =?

+?+?+?=．……………12分

20、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）y

x y x F )1(),(+=

9

42

))94(log ,1()(2)

94(log 2

222+-==+-=∴+-x x x x F x f x x ………………

…2分 故A （0，9）

4

2)('-=x x f ，过O 作1

C 的切线，切点为)0)(,(>n t n B ，

?????-=+-=∴42942n n

t

n n t ，解得B （3，

6）…………………………………4分

9|)933

1

()2943

2

3

2

3

=+-=-+-=∴?x x x dx x x x S ……………………6分 （

Ⅱ

）

令

2

)

1ln(1)('),1()1ln()(x x x x

x h x x x x h +-+=≥+=………………8分

令)0)(1ln(1)(>+-+=x x x

x

x P 0)

1(11)1(1)('2

2

<+-=+-

+=

∴x x

x x x P

[)

+∞∴,0)(在x P 单调递

减。………………………………10分 0)('1),0()(,0<≥∴<>∴x h x P x P x 时有当有时当

[)

+∞∴,1)(在x h 上单调递减。

y

y x x y x )

1ln()1ln(,1+>+<≤∴有

时，故)1ln()1ln(y x x y +>+，

即x

y

y x )1ln()

1ln(+>+，所以

)

,(),(x y F y x F >. .………………13分

21、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1

122(...)

n n na

a a a +=+++ ○1 当2≥n 时，121(1)2(...)

n

n n a a a a --=+++ ○2

○1—○2得1(1)2n n n

na n a a +--=即：1(1)n n

na

n a +=+，11

n n

a n a

n

++=

所以)2(1

...23121...12312≥=-???=???

-n n n n

a a a a a a a n n n

又1

1

a

=所以*()

n

a

n n N =∈

或者由1(1)n n

na n a +=+知n

a

n a n

n =++11

于

是

11

111===-=-a n a n a n n 所以

*()

n a n n N =∈…………………4分

（Ⅱ）

①由（Ⅰ）得：

,0)

1(,21

112

211>>>>>++==-+b b b b n b b b n n n n n

所以数列{}n

b 是正项单调递增数列，

当1≥n ， ,)1(1)1(12

22

1

n n n n n n b b b n b n b b ++<++=++

所以,)1(111

2

1

+->-

+n b b n n ………………8分

②（Ⅰ）当1=n 时，1

112b =<显然成立。 （Ⅱ）当2≥n 时，

,2)2

1

)1(11(1)11()11(12221121++-+->+-++-=- n n b b b b b b n n n

2

)2

1

111121111(2)121)2)(1(1)1(1(

+-++---+---=+?+--+--> n n n n n n n n

,

1112)11(n

n n n +=+=+--=所以11

<+<

n n

b

n

,

综上可知，1

b

成立。…………………13分