向量专题复习一、与三角形“四心”相关的向量问题
题1:已知O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ??=++ ? ???
uuu r uuu r uuu r uur uuu r uuu r ,[0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过△ABC 的A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心解:由已知得||||AB AC AP AB AC λ??=+ ??? ,||
AB AB 是AB 方向上的单位向量,||AC AC 是AC 方向上的单位向量,根据平行四边形法则知构成菱形,点P 在∠BAC 的角平分线上,故点P 的轨迹过△ABC 的内心,选B.练习:在直角坐标系xoy 中,已知点A(0,1)和点B(–3,4),若点C 在∠AOB 的平分线上,且||2OC = ,则OC =_________________.
略解:点C 在∠AOB 的平线上,则存在(0,)λ∈+∞使
()||||
OA OB OC OA OB λ=+ =34(0,1)(,)55λλ+-=39(,)55λλ-,而||2OC = ,可得3λ=,∴10310(,)55OC =- .题2:已知O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()OP OA AB AC λ=++ ,[0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过△ABC 的()
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心解:由已知得()AP AB AC λ=+ ,设BC 的中点为D ,则根据平行四边形法则知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上,故P 的轨迹过△ABC 的重心,选C.
题3:已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C
λ=++ ,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
解:由已知得()||sin ||sin AB AC AP AB B AC C λ=+ ,
由正弦定理知||sin ||sin AB B AC C = ,∴()||sin AP AB AC AB B
λ=+ ,设BC 的中点为D ,则由平行四边形法则可知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上,所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心,故选A.
题4:已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点
P 满足(||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C
λ=++ ,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(
)
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心解:由已知得()||cos ||cos AB AC AP AB B AC C
λ=+ ,∴()||cos ||cos AB BC AC BC AP BC AB B AC C
λ???=+ =||||cos()||||cos ()||cos ||cos AB BC B AC BC C AB B AC C πλ?-?+ =(||||)BC BC λ-+ =0,∴AP BC ⊥ ,即AP ⊥BC ,所以动点P 的轨迹通过△ABC 的垂心,选B.题5:已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB AC OP AB B AC C
λ+=++ ,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(
)
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心解:设BC 的中点为D ,则2
OB OC OD += ,则由已知得()||cos ||cos AB AC DP AB B AC C
λ=+ ,∴()||cos ||cos AB BC AC BC DP BC AB B AC C
λ???=+? =||||cos()||||cos ()||cos ||cos AB BC B AC BC C AB B AC C
πλ?-?+ =(||||)BC BC λ-+ =0.∴DP ⊥BC ,P 点在BC 的垂直平分线上,故动点P 的轨迹通过△ABC 的外心.
选C.题6:三个不共线的向量,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ?+ =(||BA OB BA ? +||
CB CB )=()||||BC CA OC BC CA ?+ =0,则O 点是△ABC 的()
A.垂心
B.重心
C.内心
D.外心解:||||
AB CA AB CA + 表示与△ABC 中∠A 的外角平分线共线的向量,由()||||
AB CA OA AB CA ?+ =0知OA 垂直∠A 的外角平分线,因而OA 是∠A 的平分线,同理,OB 和OC 分别是∠B 和∠C 的平分线,故选C.
题7:已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点,O 为△ABC 的外心,动点P 满足1[(1)(1)(12)]3
OP OA OB OC λλλ=-+-++ (,0)R λλ∈≠,则P 的轨迹一定通过△ABC 的(
)
A.内心
B.垂心
C.重心
D.AB 边的中点
解:CP OP OC =- =1[(1)(1)2(1)]3
OA OB OC λλλ-+--- =1[()()]3
OA OC OB OC λ--+- =1()3CA CB λ-+ ,由平行四边形法则知CA CB + 必过AB 边的中点,注意到0λ≠,所以P 的轨
迹在AB 边的中线上,但不与重心重合,故选D.
题8:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若OA OB OC ++ =0,则O 点是△
ABC 的()
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心解:若OA OB OC ++ =0,则OA OB OC +=- ,以OA 、OB 为邻边作平行四
边形OAC 1B ,设OC 1与AB 交于点D ,则D 为AB 的中点,有1OA OB OC += ,得
1OC OC =- ,即C 、O 、D 、C 1四点共线,同理AE 、BF 亦为△ABC 的中线,所以O 是△ABC 的重心.选C.
题9:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若()3
PO PA PB PC =++(其中P 为平面上任意一点),则O 点是△ABC 的()
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心解:由已知得3PO OA OP OB OP OC OP =-+-+- ,
∴33PO OP OA OB OC +=++ ,即OA OB OC ++ =0,由上题的结论知O 点是△ABC 的重心.故选C.
题10:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若OA OB OB OC OC OA ?=?=? ,
则O 点是△ABC 的()
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心解:由OA OB OB OC ?=? ,则0OA OB OB OC ?-?= ,即()0OB OA OC ?-= ,得0OB CA ?= ,所以OB CA ⊥ .同理可证OC AB ⊥ ,OA BC ⊥ .
∴O 是△ABC 的垂心.选D.
题11:已知O 为△ABC 所在平面内一点,满足2222||||||||OA BC OB CA +=+ =22||||OC AB + ,则O 点是△ABC 的(
)A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心
解:由已知得2222||||||||OA OB CA BC -=- ?()()OA OB OA OB -?+ =(CA - )()
BC CA BC ?+ ?()BA OA OB ?+ =()CA CB BA +? ?()BA OA OB AC BC ?+++ =0
?2BA OC ? =0,∴OC ⊥BA .
同理OA CB ⊥ ,OB AC ⊥ .故选A.
题12:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若()OA OB AB +? =()OB OC BC +? =()OC OA CA +? =0,则O 点是△ABC 的(
)A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解:由已知得:()()OA OB OB OA +?- =()()OB OC OC OB +?- =()()OC OA OA OC +?- =0
2222OB OA OC OB ?-=- =22OA OC - =0
||||||OA OB OC ?== .所以O 点是△ABC 的外心.选A.
题13:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若aOA bOB cOC ++ =0,则O
点是△ABC 的()
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心解:∵OB OA AB =+ ,OC OA AC =+ ,则()a b c OA bAB cAC ++++ =0,得()||||bc AB AC AO a b c AB AC =+++ .因为||AB AB 与||
AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量,设||||
AB AC AP AB AC =+ ,则AP 平分∠BAC.又AO 、AP 共线,知AO 平分∠BAC.同理可证BO 平分∠ABC ,CO 平分∠ACB ,所以O 点是△ABC 的内心.
题14:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若aPA bPB cPC PO a b c
++=++ (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点),则O 点是△ABC 的()
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心解:由已知得bPB cPC cPA bPA PO PA a b c +--=+++ =bAB cAC PA a b c
++++ ,∴bAB cAC AO a b c +=++ =(bc AB AC a b c c b +++ =()||||
bc AB AC a b c AB AC +++ ,由上题结论知O 点是△ABC 的内心.故选B.
题15:设O 为△ABC 的外心,G 为△ABC 的重心,求证:1()3
OG OA OB OC =++ .证明:根据题9中P 点的任意性即可证得.证明略.
题16:设O 为△ABC 的外心,H 为△ABC 的垂心,则OH OA OB OC =++ .
证明:在△ABC 的外接圆O 中作直径BD ,连接
AD 、DC ,则有:OB OD =- ,AD ⊥AB,DC ⊥BC,
又H 是垂心,则AH ⊥BC,CH ⊥AB,
∴CH ∥AD,AH ∥DC,于是AHCD 是平行四边形,A B C
O H D
∴AH DC = .
∴OH OA AH OA DC OA OC OD OA OB OC =+=+=+-=++ .
练习1:△ABC 的外接圆的圆心为O ,两边上的高的交点为H ,OH =()m OA OB OC ++ ,则实数m =____________.
解1:由上题结论知m =1.解2:∵O 为△ABC 的外接圆的圆心,所以()OB OC BC +⊥ ,又H 为三角形
的垂心,则AH BC ⊥ ,故AH ∥()OB OC + ,设()AH OB OC λ=+ .
则OH OA AH OA OB OC λλ=+=++ ,又OH =()m OA OB OC ++ ,所以m=1.
练习2:△ABC 中,AB=1,BC =,CA =2,△ABC 的外接圆的圆心为O ,若AO AB AC λμ=+ ,求实数,λμ的值.
解:BC AC AB =- ,两边平方得12AB AC ?=- .分别取AB 、AC 的中点M 、N ,连接OM 、ON.则OM AM AO =- =1()2AB AB AC λμ-+ =1()2AB AC λμ-- .又O 为△ABC 的外接圆的圆心,则OM AB ? =0,即有1022μλ-+=.同理有ON AC ? =0,得2402λμ+-=.解得45λ=,35
μ=.二、与三角形形状相关的向量问题题17:已知非零向量AB 与AC 满足()||||
AB AC BC AB AC +? =0且12||||AB AC AB AC ?= ,则△ABC 为()
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形解:由()||||
AB AC BC AB AC +? =0,知角A 的平分线垂直于BC ,故△ABC 为等腰三角形,即|AB|=|AC|;由12||||AB AC AB AC ?= ?1cos 2
||||AB AC A AB AC ?==? ,∴A ∠=600.所以△ABC 为等边三角形,选D.
题18:已知O 为△ABC 所在平面内一点,满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-,
则△ABC 一定是()
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形解:由已知得||||
CB OB OA OC OA =-+- ?||||AB AC AB AC -=+ ,可知以AB 与AC 为邻边的平行四边形是矩形,所以AB ⊥AC ,选B.题19:已知△ABC ,若对任意t R ∈,||BA t BC - ≥||AC ,则△ABC(
)
A.必为锐角三角形
B.必为钝角三角形
C.必为直角三角形
D.答案不确定解法1:∵CA BA BC =- ,∴||||||CA AC BA BC ==- ,∴||BA tBC - ≥||BA BC - ……①
①式右边表示A 、C 两点之间的距离,记tBC BP = ,则①式左边表示直线
BC 外一点A 与直线BC 上动点P 之间的距离,由||PA ≥||CA 恒成立知,A 在直
线BC 上的射影就是C 点,所以AC ⊥BC ,故选C.解法2:令ABC α∠=,过点A 作AD ⊥BC 于点D,由||BA tBC - ≥||AC ,得222||2||BA tBA BC t BC -?+ ≥2||AC ,令f (t)=222||2||BA tBA BC t BC -?+ ,
则f (t)≥2||AC 恒成立,只要f (t)的最小值大于或等于2||AC ,而当t =2||
BA BC BC ? 时,f (t)取最小值,此时:22222||2||cos cos ||BA BA BA αα-+ ≥2||AC ,
即22||sin BA α ≥2||AC ,∴||sin BA α ≥||AC ,从而有|AD |≥|AC |,
∴2
ACB π∠=
,故选C.题20:已知a ,b,c 分别为△ABC 中∠A,∠B,∠C 的对边,G 为△ABC 的重
心,且a GA b GB c GC ?+?+? =0,则△ABC 为()A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
解:∵G 是△ABC 的重心,∴GA GB GC ++=0,又a GA b GB c GC ?+?+?=0,
∴()aGA bGB c GA GB +-+ =0,即()()a c GA b c GB -+- =0.
∵GA ,GB 不共线,∴a –c =b –c =0,即a =b =c.
∴△ABC 为等边三角形.选D.
三、与三角形面积相关的向量问题
命题:平面内点O 是△ABC 的重心,则有::1:1:1OAB OAC OBC S S S ???=.
题21:已知点O 是△ABC 内一点,23OA OB OC ++ =0,则:
(1)△AOB 与△AOC 的面积之比为___________________;
(2)△ABC 与△AOC 的面积之比为___________________;
(3)△ABC 与四边形ABOC 的面积之比为_____________.
解:(1)将OB 延长至E ,使OE =2OB ,将OC 延长至F ,使OF =3OC ,则OA OE OF ++ =0,所以O 是△AEF 的重心.
∴1139AOC AOF AEF S S S ???==,1126AOB AOE AEF S S S ???==,∴:3:2AOB AOC S S ??=.(2)∵11618BOC EOF AEF S S S ???==,∴ABC AOB AOC BOC S S S S ????=++=111()6918AEF S ?++=13AEF S ?,又19
AOC AEF S S ??=,∴:3:1ABC AOC S S ??=.
(3)ABOC AOB AOC S S S ??=+=115(6918AEF AEF S S ??+=,13
ABC AEF S S ??=∴:6:5ABC ABOC S S ?=.
四、向量的基本关系(共线、垂直、夹角)命题:A 、B 、C 三点共线?OC OA OB λμ=+ ,且1λμ+=(O 为平面上任一点).题22:在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若2AD DB = ,13CD CA CB λ=+ ,则λ=()
A.23
B.13
C.13-
D.23
-解:题23:中点,过点O
的两点M 、N ,若AB mAM =,AC nAN =,则
m +n =______.
解1:取特殊位置.设M 与B 重合,N 与C
重合,则m=n=1,所以m+n=2.解2:1122AO AB AC =+ =22m n AM AN + ,∵M 、O 、N 三点共线,∴122m n +=,∴m +n =2.解3:过点B 作BE ∥AC,则(1)BE NC n AN ==- ,(1)BM m AM =- .
又||||||||
BE BM AN AM = ,∴1–m =n –1,∴m +n =2.题24:如图,已知点G 是△ABC 的重心,若PQ 过△ABC 的重心,记CA =a ,CB =
b ,CP =m a ,CQ =n b ,则11m n +=__________.解:23CG CM = =13a +13b =1133CP CQ m n
+ ,∵P 、G 、Q 三点共线,∴11133m n +=,∴11m n +=3.题25:(1)已知||1a = ,||2b = ,a 与b 的夹角为1200,求使a kb + 与ka b + 的夹角为锐角的实数k 的取值范围.(2)已知(2,3)a m m =-+ ,(21,2)b m m =+- ,且a 与b 的夹角为钝角,求实数m 的取值范围.
解:(1)()()a kb ka b +?+ =222(1)ka k a b kb ++?+ =k +(k 2+1)×1×2×cos1200+4k =–k 2+5k –1,
依题意,得–k 2+5k –1>0,∴5522
k -+<<.又当a kb + 与ka b + 同向时,仍有()()a kb ka b +?+ >0,此时设
()a kb ka b λ+=+ ,显然a 、b 不共线,所以1k λ=,k =λ,k =λ=1±,取k =λ=1.∴5522
k -+<<且k ≠1.G A B C M P Q
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量及空间向量高考数学专题训练(四) 一、选择题(本大题共12小题,每小题分6,共72分) 1.设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b , 则锐角α为( ) A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ,动点2),(x y x P =?满足,则点P 的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3.已知向量值是相互垂直,则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(( ) A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4.已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5.将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a (2,3 π )平移,再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍,则所得图像的解析式可以写成( ) A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x -3 π )-2 C.y=(321π+x )-2 D.y=sin(321π-x )+2 6.若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7.从点A(2,-1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为( ) A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(-1, 3),若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则?的值为 ( ) A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10.O 为空间中一定点,动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,