第十二章微分方程
§2-1 微分方程的基本概念
一、 判断题
1. y=ce 2x （c 的任意常数）是y ' =2x 的特解。 （ ）
2. y=（ y ）3是二阶微分方程。 （ ）
3. 微分方程的通解包含了所有特解。
（
）
4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）
5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （
）
二、 填空题
微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 _______________ 。 2. 函数y=3sinx-4cosx ___________ 微分方程的解。
3. 积分曲线y=(c 1 +c 2x)e 2x 中满足 y x=o =O, y" x=o =1的曲线是 _________________ 。 三、选择题
1. _________________ 下列方程中 是常微分方程
_2
_2 2 2 2
d arctan x
3
'3
2 2
(A )、x+y =a (B)、 y+——(e ) = 0 (C)、—2 +— =0
( D )、y =x +y
dx
ex
cy
2. _______________ 下列方程中 是二阶微分方程
2
y 2
i-2 2 3 2
(A ) ( y ) +x +x =0
(B) ( y ) +3x y=x (C) y +3 y +y=0 (D) y -y =sinx
(A ) y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c i coswx+c 2sinwx
(D)y=c coswx+c sinwx
2
4. C 是任意常数，则微分方程
y =3y 3的一个特解是 ______________
3
3
3
3
(A ) y-=(x+2) (B)y=x +1 (C) y=(x+c) (D)y=c(x+1)
四、试求以下述函数为通解的微分方程。
2
2
2x
3x
1. y =Cx C (其中C 为任意常数)
2.y =C i e C 2e (其中C-C ?为任意常数)
五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运
3.微分方程
穿+w2y =0的通解是
______ 中c.c i.c 2均为任意常数
动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
12-2可分离变量的微分方程
、求下列微分方程的通解
2 2
1. sec .tacydx+sec ytanxdy=O
2 2
2. (x+xy )dx-(x y+y)dy=0
x+y x x+y y
3. (e -e )dx+(e -e )dy=0
4. y =cos(x-y).(提示令.x-y=z)
、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
-x 兀
1. cosydx+(1+e )sinydy=O. y x=o=—
4
secx
2. ------- 牙dy = xdx. y 3仃=一1
1+y2T
、设f(x)=x+ . x f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)
四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1），且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
五、船从初速v o=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。
12-3 齐次方程
、求下列齐次方程的通解
求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
二、求方(x+y+1 ) dx=(x-y+1)dy 的通解
y 1 xy -xsin
x
y y
2 (x+ycos ) dx-xcos dy=0
x x
1. xy 虬x 2+y 2
ax
2 2
2.x dy+(xy-y )dx=0y
x=i =1
四、设有连结点 0(0, 0)和A ( 1，1)
段向上凸的曲线孤 O A 对于O A 上任一点
P (x ， y ),曲线孤与O P 直线段
O p 所围图形的面积为
x 2，求曲线孤O 「A 的方程。
、求下列微分方程满足初始条件的特解
1. y " cosy+siny =x y x曲=—
4
、已知f(二),曲线积分，a sinx - f (x)l#dx ? f (x)dy与路径无关，求函数f(x).
x
四、质量为M o克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。
五、求下列伯努利方程的通解
1. y，+_y =x2y5
x
2. xy' +y-y2l nx=0 12.4 —阶线性微分方程
、求下列微分方程的通解
x
1.x y +y=xe
2. y +ytanx=sin2x
dy _ y
dx x y3e y
2.(2x+1)e y y 2e y=4 y = 0
12-4 全微分方程
、求下列方程通解
22
1．[cos(x+y )+3y]dx+[2ycos(x+y )+3x]dy=0
2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0
yy
3. e dx+(xe -2y)dy=0
、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解
2
1 ydx-xdy+y xdx=0
2 y(2xy+e x)dx-e x dy=0
2
三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x 2y]dy=0 为全微分方程，其中函数f(x) 连续可微，数
f(0)=0, 试求函f(x) ，并求该方程的通解。
12-7可降阶的高阶微分方程
一、求下列各微分方程的通解
1. y =xsinx
2. y - y =x
3. y y +( y )2= y
4. y (1+e x)+ y =0
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
FF 31 卩
1. 2 y =sin 2y 丫*卫=匚y %卫=1
tt t ft c ?2
2. x y -y 1 n y+y inx=o yx±=2 y x^=e
、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2 ,以及「(x)-丄凶一x丄単dt = 0 ,求f(x).
x 出t2
四、一物体质量为m,以初速度Vo从一斜面上滑下，若斜面的倾角为:,摩擦系数为u,试求
物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。