函数章末整合
知识结构·理脉络
要点梳理·晰精华
1．函数的定义
初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之间的异同点如下：
[不同点]传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系．
[相同点]两种对应关系满足的条件是相同的，“变量x的每一个值”及“集合A中的每一个数”，都有唯一一个“y值”与之对应．
2．函数三种表示方法的优缺点
三种表示法的特点(优缺点)比较如下：
解析法优点
(1)简明、全面地概括了变量间的关系；
(2)可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值．缺点
不够形象、直观，且有些实际问题的函数关系很难用解析式表
示或根本不存在解析式．
图像法优点
(1)直观、形象地反映出函数关系变化的趋势；
(2)便于通过图像研究函数的性质．
缺点只能近似地得到自变量对应的函数值，有时误差较大．
列表法
优点
查询方便，不需计算便可直接得出自变量对应的函数值． 缺点
(1)只能表示有限个数的函数关系； (2)数较多时使用不方便.
?
????
0，x ∈Q ，1，x ∈?R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．) 3．常见函数的值域
(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R . (2)二次函数
y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当
a ＞0时，值域为???
?4ac －b 24a ，＋∞，当a ＜0时，值域
为?
???－∞，4ac －b 24a .
(3)反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}．
4．函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)当f (x )，g (x )同为增(减)函数时，f (x )＋g (x )则为增(减)函数．
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．
(3)f (x )为奇函数?f (x )的图像关于原点对称；f (x )为偶函数?f (x )的图像关于y 轴对称． (4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．
(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图像必过原点即有f (0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f (x )＝0.
(6)f (x )＋f (－x )＝0?f (x )为奇函数； f (x )－f (－x )＝0?f (x )为偶函数． 5．函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，使f (x )＝0的实数x 称为函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)几个等价关系
方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图像与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．
素养突破·提技能
专题 常见函数模型的应用
1．二次函数
典例1 已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ＞0)在区间[2,3]上的值域为[2,5]． (1)求a ，b 的值；
(2)若关于x 的函数g (x )＝f (x )－(m ＋1)x 在区间[2,4]上为单调函数，求实数m 的取值范围． 思路探究：(1)二次函数固定区间上求值域，要先判断对称轴与区间端点的关系；(2)单调函数分单调递增和递减两种情况讨论．
解析：(1)∵f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a ，且a ＞0， ∴函数f (x )的图像开口向上且对称轴为直线x ＝1. ∴函数f (x )在[2,3]上单调递增．
∴????? f (2)＝2，f (3)＝5.即????? 2＋b ＝2，3a ＋2＋b ＝5，解得?
????
a ＝1，
b ＝0. (2)由(1)知a ＝1，b ＝0，
∴f (x )＝x 2－2x ＋2，∴g (x )＝x 2－(m ＋3)x ＋2.
∴函数g (x )的图像开口向上，且对称轴为直线x ＝m ＋32.
①若g (x )在[2,4]上单调递增，则m ＋3
2≤2，解得m ≤1；
②若g (x )在[2,4]上单调递减，则m ＋3
2≥4，解得m ≥5.
故实数m 的取值范围是{m |m ≥5或m ≤1}．
归纳提升：解决二次函数在某区间上的最值问题，关键是对函数图像的对称轴与给定区间的相对位置关系进行讨论，一般分为对称轴在区间的左侧、内部、右侧三种情况求解．二次函数的单调性和最值问题是本章的重点知识． 2．分段函数
典例2 已知函数f (x )＝????
?
－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x ＜0，且f (x )为奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．
思路探究：(1)已知函数奇偶性求参数值，可利用奇偶性的定义或特殊值来求解；(2)分段函数各段的单调性可分段判断，并借助于图像来求解．
解析：(1)设x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . ∵f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝x 2＋2x . 又∵当x <0时，f (x )＝x 2＋mx ， ∴m ＝2.
(2)由(1)可知f (x )＝????
?
－x 2＋2x ， x >0
0， x ＝0
x 2
＋2x ， x <0.
作出f (x )的图像(如图)．
要使函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则－1 归纳提升：分段函数在函数中占有重要的地位，对分段函数的问题要注意以下几点： (1)分段函数的图像问题、求分段函数的解析式、求分段函数的单调区间、求分段函数的值域或最值、解分段函数对应的方程或不等式等的解法均可归纳为“分段处理”四个字． (2)分段函数的求值、分段函数的奇偶性判断，要严格按照分段函数的含义及奇偶性的定义来处理． 3．对勾函数 典例3 已知函数f (x )＝x ＋m x ，且f (1)＝3. (1)直接写出m 的值及该函数的定义域、值域和奇偶性； (2)判断函数f (x )在区间 (0，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论． 解析：(1)m ＝2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 值域为(－∞，－22]∪(22，＋∞)，为奇函数． (2)f (x )在区间(0，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增． 证明：设0＜x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－2) x 1x 2 若2＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 1－x 2＜0，x 1x 2－2＞0， ∴(x 1－x 2)(x 1x 2－2) x 1x 2 ＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 故函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增． 同理，若0＜x 1＜x 2＜2，则f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )在(0，2)上单调递减． 归纳提升：形如f (x )＝ax ＋b x (a ＞0，b ＞0)的函数的奇偶性、单调性及图像的形状如下： (1)f (x )为奇函数． (2)函数f (x )在? ???－ b a ，0和???? 0，b a 上单调递减；在????－∞，－b a 和?? ? ?b a ，＋∞上单调递增． (3)图像如图所示，这个函数的图像形如两个对勾，因此，我们称它为“对勾”函数． (4)“对勾”函数求值域也可用均值不等式来求解． 专题 函数性质的综合应用 1．函数的单调性与奇偶性的综合应用 典例4 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，求不等式f ????x －1 2＜0的解集． 思路探究：f (x )在(0，＋∞)和(－∞，0)上为单调函数，分情况讨论． 解析：∵f (x )是奇函数，且f (1)＝0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (－1)＝－f (1)＝0，且f (x )在(－∞，0)上单调递增， ∴不等式f ??? ?x －1 2＜0可化为 ??? x －1 2＞0， f ???? x －12＜f (1) 或?? ? x －1 2＜0，f ??? ?x －12＜f (－1)， 即0＜x －1 2＜1或x －1 2＜－1， 解得12＜x ＜32或x ＜－1 2 . 所以原不等式的解集是??? ? ??x |x ＜－12或12＜x ＜32. 归纳提升：有关函数奇偶性与单调性的综合问题，主要有比较函数值的大小、解不等式等，关键是利用奇、偶函数的对称性，将不在同一单调区间上的两个自变量的值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性来处理，使问题得以解决． 2．函数的零点与方程根的关系及应用 典例5 设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两个实数根x 1，x 2，且0＜x 1＜1＜x 2＜2.求a 的取值范围． 思路探究：令f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2，其图像是开口向上的抛物线，它在(0,1)和(1,2)区间内与x 轴相交，则有f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0. 解析：设f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2， ∵x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，且0＜x 1＜1＜x 2＜2， ∴函数f (x )的图像如图所示． ∴???? ? f (0)＞0， f (1)＜0，f (2)＞0 即???? ? a 2 －a －2＞0， 7－(a ＋13)＋a 2－a －2＜0，28－2(a ＋13)＋a 2 －a －2＞0， 解得－2＜a ＜－1或3＜a ＜4. ∴a 的取值范围是(－2，－1)∪(3,4)． 归纳提升：抓住三个二次之间的关系是解此题的关键，将一元二次方程根的分布问题转化为函数零点问题．函数零点的应用主要是利用函数零点存在定理求参数值或范围，体现化归转化思想，数形结合思想． 真题精练·悟考情 1．(2019·全国 Ⅱ文数)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝ ( D ) A ． e － x －1 B ． e － x ＋1 C ． －e － x －1 D ． －e － x ＋1 解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝e －x －1，又f (x )为奇函数，有f (x )＝－f (－x )＝－e －x ＋1. 2．(2019·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是__[－1,7]__. 解析：由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域． 由已知得7＋6x －x 2≥0 ，即x 2－6x －7≤0，解得－1≤x ≤7， 故函数的定义域为[－1,7]． 3．(2019·北京理数改编)设函数f (x )＝e x ＋a e － x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝__－1__. 解析：首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值． 若函数f (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即e －x ＋a e x ＝－(e x ＋a e －x )， 即(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0对任意的x 恒成立， 则a ＋1＝0，得a ＝－1. 4．(2019·全国Ⅱ卷理数)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－8 9，则m 的取值范围是( B ) A ．????－∞，94 B ． ????－∞，73 C ． ? ???－∞，52 D ． ? ???－∞，83 解析：∵f (x ＋1)＝2f (x ), ∴f (x )＝2f (x －1) ∵x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)∈??? ?－1 4，0 ； ∴ x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)∈????－1 2，0 ； ∴x ∈(2,3]时，x －1∈(1,2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)∈[－1,0] ， 如图： 当x ∈(2,3]时，由4(x －2)(x －3)＝－89解得x 1＝73，x 2＝8 3， 若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m ≤7 3 . 则m 的取值范围是????－∞，73. 故选B ． 5．(2019·浙江)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－x ，若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤2 3，则实数 a 的最大值是__4 3 __. 解析：存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤2 3， 即有|a (t ＋2)3－(t ＋2)－at 3＋t |≤2 3， 化为|2a (3t 2＋6t ＋4)－2|≤2 3， 可得－23≤2a (3t 2＋6t ＋4)－2≤23， 即23≤a (3t 2＋6t ＋4)≤43 ， 由3t 2＋6t ＋4＝3(t ＋1)2＋1≥1，可得0＜a ≤43. 则实数a 的最大值是4 3. 章末知识整合 一、数形结合思想 “数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们的一种普遍思维习惯在数学上的具体表现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”． 解析几何研究问题的主要方法——坐标法，就是数形结合的典范．在本章的学习中主要体现在以下两个方面： (1)直线的方程中有很多概念，如距离、倾斜角、斜率等都很容易转化成“形”，因此题目中涉及这些问题时可以尝试用数形结合来解决． (2)与圆有关的最值问题、直线与圆的交点个数、圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想． [例1]已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－8)2＝4，直线y ＝ 5 2x＋b在两圆之间(不与圆相交或相切)，求实数b的取值范围．解：画出示意图如图所示， 直线y＝ 5 2x＋b，即5x－2y＋2b＝0. 当直线与圆C1相切时，|2b| 5＋4 ＝2， 解得b＝±3； 当直线与圆C2相切时，|－16＋2b| 5＋4 ＝2，解得b＝5或b＝11. 结合图形可知3 1 1.4集合章节复习 一、教学目标： （1）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质； （2）掌握集合的有关术语和符号； （3）运用性质解决一些简单的问题。 二、教学重难点： 教学重点：集合的相关运算。 教学难点：集合知识的综合运用。 三、基础知识 （一）：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系： 文字语言 符号语言 属于 ∈ 不属于 ? 4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N *N 或+ N Z Q R C （二）： 集合间的基本关系 关系 文字语言 符号语言 相等 集合A 与集合B 中的所有元素都相 同 B A ?且A ?B ? B A = 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素 B A ?或A B ? 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一元素不是A 的元素 A B 补集 全集是U,集合A U ?，全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合 {},U C A x x U x A =∈?且 2 空集 空集是任何集合的子集，是任何非 空集合的真子集 A ?φ，φ B （φ≠B ） 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数 是n 2－1, 所有非空真子集的个数是22-n （三）：集合的基本运算 1.两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; 2.两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; （四）：方法指导 1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法. 2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算. 3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理. 4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想. 5.强化数形结合、分类讨论的数学思想. 四、典型例题 考点一 集合的相关概念理解 例1：用适当的方法表示下列集合 （1）非负奇数组成的集合； （2）小于18的既是奇数又是质数的数组成的集合； （3）方程( )( ) 01212 2 =++-x x x 的解组成的集合； （4）平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合； （5）方程组? ??=+=-+10 12y x x x 的解集 例2、求集合{} 1),(≤+y x y x ，所围成图形的面积？ 右对称地描点画图 .一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0 ，c 、以及 . c - ， ? ? 2a ? ． 2a 时， y 随 x 的增大而减小；当 2a 时， y 随 x 的增大而增大； 第二十二章 二次函数 一、二次函数的有关概念： 1、二次函数的定义： 一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a ，b ，c 是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。 2、二次函数解析式的表示方法 （1） 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）； （2） 顶点式： y = a ( x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）； （3）两根式：y = a ( x - x 1 )(x - x 2 )（ a ≠ 0 ，x 1 ，x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） 二、二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法 1.基本方法：描点法 注 ： 五 点 绘 图 法 。 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数 y = ax 2 + bx + c 化 为 顶 点 式 y = a ( x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左 ( ) (0 ， ) 关于对称轴对称的点 (2h ，c ) 、与 x 轴的交点 (x 1 ，0) ，(x 2 ，0)（若与 x 轴没有 交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 2.画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的 交点. 三、二次函数的图像和性质 1.二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质 （ 1 ） . 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 ? b 4ac - b 2 ? 4a x =- b 2a ，顶点坐标为 当 x <- b b x >- 当 x =- b 4a c - b 2 2a 时， y 有最小值 4a ． （ 2 ） . 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x =- b 2a ，顶点坐标为 二次函数 二次函数的定义：一般地，形如 ()0,,2≠++=a c b a c bx ax y 是常数的函数，叫做二次函数，x 是 自变量，c b a ,,分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 开口方向：二次函数c bx ax y ++=2图像是一条抛物线，二次项系数()0≠a a 决定二次函数图像的开口方向，当0>a ，二次函数图像开口向上，当0a ，a 越大，抛物线的开口越小。 在直角坐标系中画出二次函数2 2 1x y -=，2x y -=，22x y -=的 图像，观察图像可知三个二次函数图像的顶点坐标，对称轴都相同，开口大小逐渐减小。规律：0 相反的。0>a ，当a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小，当a b x 2- >时，y 随x 的增大而增大。0时，y 随x 的增大而减小。 二次函数的顶点：二次函数对称轴与二次函数图像的交点便是二 次函数的顶点。二次函数的顶点坐标是???? ??--a b ac a b 44,22，当 0>a 时，二次函数的顶点是图像的最低点。0a 时，二次函数取得最小值 a b ac 442-，无最大值。当0a 时，二次函数取得最小值a b ac 442 -，最大值是21,y y 中的较大者。当0 章末整合提升 [教师用书独具] 专题一地质剖面图的阅读和判断方法 1．若地层呈水平状态，并且从下到上依次由老到新连续排列，说明在相应地质年代里，地壳稳定，地理环境没有发生明显变化。(如图) 2．若地层出现倾斜甚至颠倒，说明地层形成后，因地壳水平运动使岩层发生褶皱，地层颠倒是因为地壳运动剧烈，岩层发生强烈褶皱所致。(如图) 3．若地层出现缺失，形成原因可能有：一是在缺失地层所代表的年代，发生了地壳隆起，使当地地势抬高，终止了沉积过程；二是当时开始有沉积作用，地壳隆起后，原沉积物被剥蚀；三是当时当地气候变化，没有了沉积物来源。(如图) 4．若侵蚀面上覆有新的岩层，说明是由该地地壳下沉或相邻地区上升形成的。(如图) 5．若地层中有侵入岩存在，说明围岩形成之后又发生了岩浆活动，岩浆活动晚于围岩形成时代。(如图) 1．读“某地地质剖面图”，完成(1)～(3)题。 (1)有关甲构造顶部缺失的主要原因描述正确的是() A．因断层导致岩层破裂，后经侵蚀而形成 B．向斜顶部受挤压，容易被侵蚀 C．背斜顶部受张力大，容易被侵蚀 D．地处干旱区，因风化作用导致岩层被破坏 (2)若欲在图示地区建一东西向隧道，只从自然条件考虑最合理的选择是() A．甲处B．乙处 C．丙处地下D．丁处地下 (3)据图判断，该地区发生过的地壳运动情况及顺序是() ①A岩层的形成 ②地壳的水平运动 ③地壳的岩层断裂(断层) ④地壳的下降运动 A．①②③④B．②③④① C．②④①③D．③①②④ 解析：本题考查了地质构造与地貌、地质构造的研究意义以及地质剖面图的判读。第(1)题，甲为背斜构造，其顶部岩层缺失是由于背斜顶部岩层受张力作用易被侵蚀。第(2)题，在工程建设中，隧道宜建在背斜部位，因为这里结构稳定、无地下水、易开挖。第(3)题，从该地岩层形态及分布看，这里的岩层首先受地壳水平挤压运动的影响发生弯曲、断裂，后地壳下沉，发生沉积作用，形成A岩层。 答案：(1)C(2)A(3)B 专题二等压线的判读与应用 等压线是把在一定时间内气压相等的地点在平面图上连接起来所形成的封闭曲线，其可以显示空间气压的高低分布状况，如下图所示： 1．判断气压场 (1)高气压中心：中心气压高，周围气压低，如A处。 (2)低气压中心：中心气压低，周围气压高，如B处。 (3)高压脊：等压线由高压中心向外凸出的部分，是从高气压延伸出来的狭长区域，好 (1)用列举法表示小于2的自然数组成的集合是_____________ (2)集合{1，2}的所有子集的个数是__________ (3)集合{1，2，3}的所有真子集的个数是_________ (4)已知A={1，3} B={2，3，4}，则A∩B=___________ (5)已知A={1，2} B={2，3}，则A∪B=___________ (6)方程x2－2x＋1＝0的解集中，有__________个元素 (7)集合A是由点(1,2)和点(1,3)构成的，则A中有________个元素 (8)把集合{x|－3≤x≤3，x∈N}用列举法表示_____________ (9)方程x2＝1的解集用列举法表示为____________ (10)集合M＝{(x，y)|x<0，y>0}是第________象限内的点集 (11)设U＝{1,2,3,4}，M＝{1,3}，则?U M＝______________ (12)设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(?U A)∩(?U B)等于_____________ (13)设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A ∪B)∩?U C＝_______________ (14)设全集U＝R，集合A＝{x|－5 第二十二章 二次函数 一、二次函数的有关概念： 1、二次函数的定义： 一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 2、二次函数解析式的表示方法 （1） 一般式： 2 y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； （2） 顶点式： 2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； （3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 二、二次函数 2 y ax bx c =++图象的画法 1.基本方法：描点法 注：五点绘图法。利用配方法将二次函数 2 y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左 右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点( ) 0c ，、以及 ()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有 交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 2.画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 三、二次函数的图像和性质 1.二次函数 2 y ax bx c =++的性质 （1）. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =- ，顶点坐标为 2424b ac b a a ?? -- ???，． 当 2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >- 时，y 随x 的增大而增大； 当 2b x a =- 时，y 有最小值244ac b a -． 集合单元测试卷 重点：集合的概念及其表示法；理解集合间的包含与相等的含义；交集与并集，全集与补集的理解。 难点：选择恰当的方法表示简单的集合；理解空集的含义；理解交集与并集的概念及其区别联系。 基础知识： 一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征：_________，__________，__________. 集合元素的互异性：如:下列经典例题中 例2 （2）常用数集的符号表示：自然数集_______ ；正整数集______、______；整数集_____； 有理数集_______ ；实数集_________。 （3）集合的表示法：_________，__________，__________，_________ 。 注意：区分集合中元素的形式及意义：如： }12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B }12|),{(2 ++==x x y y x C ； }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； （4）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 二、集合间的关系及其运算 （1）元素与集合之间关系用符号“___________”来表示。 集合与集合之间关系用符号“___________”来表示。 （2）交集}{________________B A =?；并集}{______ __________B A =?； 补集_}__________{_________=A C U （3）对于任意集合B A ,，则： ①A B ____ B A ??；A B ____ B A ??；B A ____ B A ?? ②U A C A ?＝ ，U A C A ?＝ ，()U C C A = ． ③()()________________B C A C U U =?；()()________________B C A C U U =? 第二十二章二次函数知识点总结 【考点一】二次函数的概念和图像 1、二次函数的定义：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 其中，)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数 的性质 （3）|a|越大，抛物线的开口越小 3、 4、二次函数的图像 （1） （2） 5、求抛物线的顶点、对称轴的方法 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以连线的垂直平分线是抛物 线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。 6、二次函数图像的画法——五点法 （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 附：几种特殊的二次函数的图像特征如下： 【考点二】二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3） 【考点三】二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2- =时，a b a c y 442-=最值 。抛物线开口向上，顶点处取得最小值；开口向下，顶点处取得最大值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2- 是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内 的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=22 2最大，当1x x =时， c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大， 当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。 一、运动的合成和分解 1．判断合运动的性质 关于合运动的性质，是直线运动还是曲线运动，是匀变速运动还是非匀变速运动(即加速度变化)，都是由合运动的速度和这一时刻所受合力的情况决定的． (1)若合速度方向与合力方向在同一直线上，则合运动为直线运动． (2)若合速度方向与合力方向不在同一直线上，则合运动为曲线运动． (3)若物体所受外力为恒定外力，则物体一定做匀变速运动．匀变速运动可以是直线运动，也可以是曲线运动，如自由落体运动为匀变速直线运动，平抛运动为匀变速曲线运动． 2．小船渡河问题 v 水为水流速度，v 船为船相对于静水的速度，θ为v 船与上游河岸的夹角，d 为河宽．小船渡河的运动可以分解成沿水流方向和垂直河岸方向两个分运动，沿水流方向小船的运动是速度为v 水 －v 船cos θ的匀速直线运动，沿垂直河岸方向小船的运动是速度为v 船sin θ的匀速直线运动． (1)最短渡河时间：在垂直于河岸方向上有t ＝d v 船sin θ，当θ＝90°时，t min ＝d v 船 (如图1甲所示)． 图1 (2)最短渡河位移 ①若v 船>v 水，则当合速度的方向垂直岸时，渡河位移最小x min ＝d ，此时船头与上游河岸成θ角，满足cos θ＝v 水 v 船 (如图乙所示)． ②若v 船 集合章节测试卷 班级 姓名 座位号 一、选择题（每小题5分，共计60分） 1．下列表述正确的有 （ ） ①空集没有子集 ②任何集合都有至少两个子集 ③空集是任何集合的真子集 ④若? ? ≠A ，则A≠? A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．若集合{}|15A x N x =∈≤≤，则（ ） A.5A ? B.5A ? C.A ?5 D.5A ∈ 3．已知 错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。=（ ） （A ） 2 （B ） 1 （C ）2或 1 （D ）1或3 4．设集合{|101},{|5}A x Z x B x Z x =∈--=∈≤≤≤，则A B 中元素的个数是（ ） A 、11 B 、10 C 、16 D 、15 5．若非空集合{}{}|2135,|322A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤，则使?A (A ∩B)成立的所有a 的值的集合是（ ） A ．{}/19a a ≤≤ B.{/69}a a ≤≤ C ．{}/9a a ≤ D ．φ 6．下列指定的对象，不能构成集合的是 A.一年中有31天的月份 B.平面上到点O 的距离等于1的点 C.满足方程0322=--x x 的x D.某校高一（1）班性格开朗的女生 7．若集合A 、B 、C ，满足,A B A B C C ==，则A 与C 之间的关系为（ ） A ． A C B ． C A C ．A C ? D ．C A ? 8．集合P=},2|{Z k k x x ∈=，若P b a ∈?,都有P b a ∈*。则*运算不可能是（ ） A 、加法 B 、减法 C 、乘法 D 、除法 9．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则下图中的的为 A ．{2} B ．{4，6} 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 22.1.2 二次函数2 y ax =的图象和性质 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 例1．若抛物线y=ax 2经过P （1， ﹣2），则它也经过 ( ) A ．（2，1） B ．（﹣1，2） C ．（1，2） D ．（﹣1，﹣2） 【答案】 【解析】 试题解析：∵抛物线y=ax 2经过点P （1，-2）， ∴x=-1时的函数值也是-2， 即它也经过点（-1，-2）． 故选D ． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 例2．若点(2，-1)在抛物线2 y ax =上，那么，当x=2时，y=_________ 【解析】 试题分析：先把(2，-1)直接代入2 y ax =即可得到解析式，再把x=2代入即可. 由题意得14-=a ，41-=a ，则2 4 1x y -=， 当2=x 时，.144 1-=?-=y 考点：本题考查的是二次函数 点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式. 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减. 例1．若抛物线 y=ax 2+c 经过点P （l ，－2），则它也经过 （ ） A ．P 1（－1，－2 ） B ．P 2（－l ， 2 ） C ．P 3（ l ， 2） D ．P 4（2， 1） 【答案】A 【解析】 试题分析：因为抛物线y=ax 2+c 经过点P （l ，－2），且对称轴是y 轴，所以点P （l ，－2）的对称点是（－1，－2），所以P 1（－1，－2）在抛物线上，故选：A. 考点：抛物线的性质. 例2．已知函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2），则a ﹣b=（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．3 D ．7 【答案】D ． 【解析】 试题分析：∵函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2）， ∴a b 3b 2+=??=-?，解得a 5b 2=??=-? ． ∴a ﹣b=5+2=7． 章末检测 一、选择题 1．设P ＝{x|x<4}，Q ＝{x|x 2 <4}，则 ( ) A ．P ?Q B ．Q ?P C ．P ??R Q D ．Q ??R P 2．已知集合M ＝{1,2}，则集合M 的子集个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．符合条件{a} P ?{a ，b ，c}的集合P 的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．若集合A ＝{x||x |≤1，x∈R }，B ＝{y|y ＝x 2，x∈R }，则A∩B 等于 ( ) A ．{x|－1≤x≤1} B ．{x|x≥0} C ．{x |0≤x≤1} D ．? 5．已知集合A 中有且仅有两个元素2－a 和a 2，且a∈R ，则A 中一定不含元素 ( ) A ．0和1 B ．1和－2 C ．－1和2 D ．1和4 6．设全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e}，集合M ＝{a ，b ，c}，N ＝{b ，d ，e}，那么?I M∩?I N 等于( ) A ．? B ．{d} C ．{b ，e} D ．{a ，c} 7．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x∈R |x≥3}，下图中阴影部分所表示的集合为( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2} 8．有下列说法： ①0与{0}表示同一个集合； ②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}； ③方程(x －1)2 (x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； ④集合{x|4 章末总结提升 第1课时(见A 本11页) , 探究点 1 二次函数的对称性) 【例1】 xx·临沂 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝4.5；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ．其中正确结论的个数是( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 变式 在直角坐标系中，抛物线y ＝mx 2 －2mx －2(m≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B. (1)若该抛物线在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，并且在3＜x ＜4这一段位于直线 AB 的上方，则该抛物线的解析式为__y ＝2x 2 －4x －2__． (2)抛物线的图象在－1 1 / 2 章末检测 一、选择题 1．设P ＝{x|x<4}，Q ＝{x|x 2<4}，则 ( B ) A ．P ?Q B ．Q ?P C ．P ??R Q D ．Q ??R P 2．已知集合M ＝{1,2}，则集合M 的子集个数为 ( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．符合条件{a}?P ?{a ，b ，c}的集合P 的个数是 ( B ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．若集合A ＝{x||x|≤1，x ∈R}，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R}，则A∩B 等于 ( C ) A ．{x|－1≤x≤1} B ．{x|x≥0} C ．{x |0≤x≤1} D ．? 5．已知集合A 中有且仅有两个元素2－a 和a 2，且a ∈R ，则A 中一定不含元素 ( D ) A ．0和1 B ．1和－2 C ．－1和2 D ．1和4 6．设全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e}，集合M ＝{a ，b ，c}，N ＝{b ，d ，e}，那么?I M∩?I N 等于 ( A ) A ．? B ．{d} C ．{b ，e} D ．{a ，c} 7．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R|x≥3}，下图中阴影部分所表示的集合为 ( B ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{1,2,3} D ． {0,1,2} 8．有下列说法： ①0与{0}表示同一个集合； ②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； ④集合{x|4 新人教版九年级数学 第二十二章二次函数知识点总结（1） 知识要点： 一、相关概念及定义 1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次 函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零。 二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。 ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 二、二次函数各种形式之间的变换 1、二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，。 2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2 ax y =；②k ax y +=2 ； ③()2 h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2。 三、二次函数解析式的表示方法 1、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）。 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化。 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 1、五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开 口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五 点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交 点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。 第一章章末检测 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．对于(1)32?{x|x≤17}；(2)3∈Q；(3)0∈N；(4)0∈?.其中正确的有( ) A．4个B．3个 C．2个D．1个 2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，则实数m等于( ) A．±1B．－1 C．1 D．0 3．设集合U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2,3}，N＝{2,5}，则M∩?U N 等于( ) A．{2} B．{2,3} C．{3} D．{1,3} 4．下列集合不同于其他三个集合的是( ) A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0} C．{x＝1} D．{1} 5．下列表示同一个集合的是( ) A．M＝{(1,2)}，N＝{(2,1)} B．M＝{1,2}，N＝{2,1} C．M＝{y|y＝x－1，x∈R}，N＝{y|y＝x－1，x∈N} D ．M ＝? ? ? ? ?? x ，y |y －1x －2＝1，N ＝{(x ，y )|y －1＝x －2} 6．已知集合P ＝{x |x ＝n ，n ∈Z }，Q ＝???? ??x |x ＝n 3，n ∈Z ，S ＝ ???? ??x |x ＝n －1 3，n ∈Z ，则下列关系正确的是( ) A ．S ∪Q ＝P B ．Q ?P C ．P ∩S ＝Q D ．P Q 7．设A ＝{x |1 第十章章末整合归纳 常考专题整合 常考专题一统计的相关概念的区别 在中考中，统计的相关概念的区别是中考考查热点，包括全面主嵖民抽样调查，总体、个体、样本和样本容量等概念，题型主要是选择题． 类型1：全面调查与抽样调查 例1：在下列调查中，适宜采用全面调查的是( ) A．了解我省中学生的视力情况 B．了解九(1)班学生校服的尺码情况 C．检测一批电灯泡的使用寿命 D．调查台州《600全民新闻》栏目的收视率 解析：由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较接近总体的情况．了解我省中学生的视力情况，调查范围广，适合抽样调查，故A不符合题意；了解九(1)班学生校服的尺码情况，适合全面调查，故B符合题意；检测一批电灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C不符合题意；调查台州《600全民新闻》栏目的收视率．调查范围广，适合抽样调查，故D不符合题意． 答案：B 思维点拨本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考察的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大的调查，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查． 类型2：总体、个体、样本和样本容量 例2：为了了解某县七年级9800名学生的视力情况，从中抽查了100名学生的视力，就这个问题来说，下列说法正确的是( ) A．9800名学生是总体 B．每个学生是个体 C．100名学生是所抽取的一个样本 D．样本容量是100 解析：根据总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，样本容量是样本中个体的数量，即可求解．9800名学生的视力情况是总体，故A选项错误；每个学生的视力情况是个体，故B选项错误；100名学生的视力情况是抽取的一个样本，故C选项错误；这组数据的样本容量是100，故D选项正确． 答案：D 思维点拨此题考查的是总体、个体、样本、样本容量的概念，注意区别．正确理解总体、个体、样本与样本容量的概念是解决本题的关键． 常考专题二从统计图表中获取信息 中考中，一般是补全频数分布表、直方图或其他统计图，然后根据统计图中的信息综合解决其他问题．题型主要是解答题． 类型1：条形统计图 例3：为了深化课程改革，某校积极开展本校课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学试验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级数学·必修2(苏教版)练习：章末知识整合2
集合章节复习(教师版)
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数 知识点总结
九年上第二十二章 二次函数全章知识点总结
第二章章末整合提升资料
《集合》 章节题目 精编
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结
集合基础知识和单元测试卷(含答案)
第二十二章 二次函数 知识点总结
高中物理人教版必修2导学案：第五章 曲线运动 章末整合提升 Word版含解析(2篇)
集合章节测试卷
人教版初中数学第二十二章二次函数知识点汇总
第1章集合章末检测教师版
九年级数学上册 第1章 二次函数章末总结提升练习 (新版)浙教版
高中数学必修一第一章集合章末检测
新人教版九年级数学第二十二章二次函数知识点总结(1)
《集合》章末检测(含答案)
人教版七年级下册第十章章末整合归纳及练习(有答案)-(数学)
相关主题
文本预览