2015年“凝聚态物理导论”课程考试题目
（2015级硕士研究生，2016年1月）
一、简答题（合计30分，要求给出简洁和准确的解答，字数不少于1000字）
1. 固体物理学的范式？
答：（1）晶体学研究，涉及晶体的周期性结构（2）固体比热理论，涉及晶
格振动的研究（3）金属导电的自由电子理论 （4）铁磁性研究相关内容[1]。
2. 凝聚态物理学的新范式？
答：凝聚态物理学是从微观角度出发，研究相互作用多粒子系统组成的凝聚
态物质的结构和动力学过程以及其与宏观物理性质之间关系的一门科学。经
过长时间的发展，如进行成了以“对称破缺”为核心概念所建立的凝聚态物
理学新范式，包括了（1）基态 （2）元激发 （3）缺陷 （4）临界区域 等
四个不同的层次，而且这些层次之间又彼此相互关联[2]。
3. Hartree-Fock 近似？
答：总的来看，Hartree-Fock 近似是一种对“原子核和周围与其保持电中
性的一组电子”这一系统哈密顿量的一种简化处理，以实现单电子近似。它
主要涉及到对“电子之间的相互作用势”这一项的简化与修正。这种简化并
非是一蹴而就的，首先是Hartree 的自洽场近似，假设每个电子运动于其他所有电子构成的电荷分布（通过2
Ψ）所决定的场里，引入电子之间的相互
作用势： ()()j i j j i j i i i dr r r r Ψe r V ∑≠-=22041πε
（1） 来代替原先Hamilton 量中的电子之间的相互作用势。之所以称为“自洽”
是因为最终的方程组可以通过自洽的方式求解。 另外一方面，如果考虑电子的自旋，总波函数相对于互换一对电子应是
反对称的，最终求解出的电子系统的总能量还要增加一项：每对平行自旋电
子的交换能。 ()()()()r drd r r r r r r e E j i j j i i '''
-?'=∑??≠∞ψψψψπε1802
（2） 结合以上两种处理就是Hartree-Fock 近似。
4. 密度泛函理论？
答：密度泛函理论的含义从其英文“Density functional theory ”更能直
观的反映出来，它应用“电子密度泛函数”来处理多体问题。而泛函数通常
指一种定义域为函数，而值域为实数的函数，换句话说，是一种函数组成的
向量空间到实数的一个映射[3]。泛函数常用来寻找某个能量泛函的最小系统
状态，这为密度泛函理论的应用提供了一个基础。下面对密度泛函理论的理
论基础做一些初步的解释：一般在固体周期性结构中，当我们把原子或者离
子实看作是不动（波恩-奥本海默近似）的时候，那么静态电子态的波动方
程),...,(1N r r ψ将满足下面的静态薛定尔方程：
[]
()()E Ψ
Ψr r U r V m ΨU V T ΨH N i N i N j i j i i i i =??????++???? ???-=++=∑∑∑< ,2????22
（3） 解决多体薛定谔的方法很多都非常复杂，其中最简单的事 Hartree-Fock 方
法，但是这类方法的计算量都非常大，使得难以处理粒子更多，更加复杂的系统。而密度泛函理论（以下DFT 表示）则提供了一种从Hohenberg-Kohn
定理,即体系的基态唯一的决定于电子密度的分布[4]出发，通过自洽迭代求解单电子多体薛定谔方程，获得电子密度分布。利用电子密度可以使得原先
的3N 个空间变量直接减少到3（N 为体系中电子的个数）。这是因为电子密
度本身只具有三个参量，这显然大大降低了计算的难度。在DFT 中最主要的变量是粒子密度)(r n ，对于一个归一化的Ψ有：
()()()N N N r r r Ψr r r Ψr d r d N r n ,,
,,,,22323*??=
（4） 通过一系列变换与计算，可以得出单粒子有效势为：
其中，第二项叫做 Hartree 项，描述的是电子与电子之间的库伦斥力作用，
最后一项是交换-关联势。
5. 绝热近似？
答：相比于前两个问题中的Hartree-Fock 近似与密度泛函理论，绝热近似
是一种更加基础的近似。我们知道，固体晶格阵列的Hamilton 量由五项组
成，具体形式如下：
∑∑∑+???? ???-+-+???? ???-=≠N i i i q p q p p p p m R R e Z M H 22220222812 πε
∑∑???? ??--+-≠p i p i j i j i R r Ze r r e ,20
204181 πεπε （6） 在固体物理学问题中在许多问题中，起作用的只是最外层电子，即价电子，
其余的电子将和电子与原子核一起运动，构成离子实，应将这些电子的质量
归入p M ，而相应的调整Z 值，其次由于离子实的质量要远比电子大得多，相应的，其特征速度要比电子速度慢得多，所以不妨将离子实视为静止的，
这就是著名的“Born-Oppenheimer 绝热近似”[5]在这种近似下，上述的薛定
谔方程的第一项（为0），第二项（为常数）都可以被略去，于是只剩下下
面简化得多的Hamilton 量：
∑∑∑???? ??--+-+???? ???-=≠p i p i j i j i N i i i R r Ze r r e m H ,20202241812 πεπε
（7）
6.元激发？
答：对于能量靠近基态的低激发态，可以认为是一些独立基本激发单元的集合，它们具有确定的能量和波矢，这些基本激发单元就是元激发，有时也称为准粒子。引进元激发的概念，可以使复杂的多体问题简化为接近于理想气体的准粒子系统，从而使固体理论的大部分问题得以用简单统一的观点和方法加以阐述。
二、论述题（合计70分，要求给予充分的论述，字数不少于6000字）
1.相变和临界现象
答：（一）相变：
相是物理性质和化学性质完全相同且均匀的部分。具有特点：（1）相与相之间有分界面，可以用机械方法将他们分开[6]。（2）系统中存在的相可以是稳定、亚稳或不稳定的（当某相的自由能最低时，该相处于平衡态；
若自由能不是最低，但是与最低自由能态之间有能垒相分隔，则该相处于亚稳态；若不存在这种能垒，则该系统处于非稳定态，这种状态是不稳定的，一定会向平衡态或者亚稳态转变）。（3）系统在某一热力学的条件下，只有当能量具有最小值的相才是最稳定的。（4）系统的热力学条件改变时，自由能会发生变化，相的结构也相应发生变化[7]。
随着自由能的变化而发生的相的结构的变化称为相变，它指在外界条件发生变化的过程中，系统的相于某一特定条件下发生突变。
相变的表现为：（1）从一种结构变为另一种结构。（2）化学成分的不连续变化。（3）某些物理性质的突变。
相变的分类: 我们从热力学角度（从其他角度也可进行分类），根据相变前后热力学函数的变化，可将相变分为一级相变、二级相变和高级相变其中，一级相变指在临界温度、压力时，两相化学位相等，但化学位的一阶偏导数不相等的相变，这里两相共存的条件是化学位相等。二级相变指的是在临界温度、临界压力时，两相化学势相等，其化学位的一阶偏导数相等，而二阶偏导数不相等的相变。在临界温度、临界压力时，一阶，二阶偏导数相等，而三阶偏导数不相等的相变称为三级相变，以此类推，对于二级以上的相变人们称为高级相变。波色-爱因斯坦凝聚就是一种三级相变。
（二）临界现象
一般的人们把一级相变的终点称为临界点，与临界点有关的现象统称为临界现象，也称作连续相变。除此之外另一种表述是，连续相变的相变点称为临界点，而临界现象则是物质系统连续相变临界点邻域的行为。大部分的临界现象产生于临界点关联长度的发散性，涨落相关长度过大，除此之外还有动力降低[8]。临界现象包括不同量之间的标度关系，由临界指数描述的标度律的发散，普适性，分形行为，遍历破缺等。临界现象一般发生在二级相变中，不过也不全是如此。
2.有序相、无序相、序参量
答：（一）有序相和无序相：
某些置换固溶体（固相溶剂中部分质点被溶质质点取代而成的固态溶液
[9]），当温度较低时，不同种类的原子在点阵位置上呈规则的周期型排列，
称有序相[10]；而在某一温度以上，这种规律性就完全不存在了，称为无序相。 对于体积恒定的系统，平衡态要求自由能F ：
TS E F -= （8）
取极小值（T 为热力学温度，S 为系统的熵），在高温时F 的极小值与系统最大熵值有关，因而趋向于无序态；而在低温下，F 中内能占优势，平衡态由内能极小值决定，系统处于有序态[11]。而有序和无序的转变温度决定于上式中两相的相对重要性。
晶体由有序相转变为无序相称为有序-无序相变。有序化转变包括：位
置有序化，位向有序化，电子旋转态的有序化和结构中缺陷引起的有序化。
（二）序参量
Landau 在描述二级相变理论的过程中引入了一个热力学平衡条件决定
的宏观变量——序参量（order parameter ）[8]来描述有序-无序相变。序参量描述了与物质有关的有序化程度和伴随的对称性质，在相变点，序参量从零（无序）连续地变为非零值（有序）。序参量的数值大小表示这个相的有序程度，数值越大，有序度越高，对称性越差，反之则有序性越低，对称性越高。对于二级相变，温度大于临界温度时，也就是说在高对称相中，序参量一般是选为零的，无所谓空间取向；当温度小于临界温度时，也就是在低对称相中，序参量不为零，它的可能的取向由相变过程中体系丢失的对称性决定。所以，序参量反映的是低对称相的对称性。
自由能可以用序参量的幂级数展开，根据自由能极小和相变的稳定性条
件要求，奇次幂系数为零，且四次方项系数大于零[2]：
()()()() +++=420,ηηηT B T A T F T F （9）
因为在高温时，系统处于无序相，所以)(T A 也是正的，随着温度下降，)(T A 应改变符号；而在某个临界温度c T 处，有0)(c =T A 。通过一些计算，可以得到自由能F 和序参量η的关系如图1所示：
图1. 自由能F 和序参量η的关系示意图
当有序固溶体升温时，它向无序状态的改变，并不都是在临界温度下完
成的，在接近临界温度时，有序相逐渐降低，离临界温度愈近转变愈快，到临界点，长程有序度完全消失；但是也有一些情况是，在临界温度以下，有序度下降不多，而在临界温度骤降为零，前者对应二阶相变，后者则基本是
一阶相变[12]。另一方面有序化过程是通过原子扩散实现的，快速降温会引起之后，甚至不能达到该温度下的平衡有序度，这种滞后的程度和合金的种类
有关[13]。有序度又分为长程有序度和短程有序度，这里不作详述。
3. 临界指数和标度规律。
答：（一）临界指数
用幂指数来描述一些热力学量在临界点邻域内的特性，其幂（负幂次）
称为临界指数（Critical exponent ）[14]。人们实验发现，在临界点附近物
质特性的物理量与温度T 之间的关系均可以写成()βc T T -，β称为临界指数。
这些指数与平均场理论不符，之后卡达诺夫指出标度律（Power Law ）概念的重要性，在临界点附近粒子之间的关联、涨落起重要作用。
尽管没得到完全证明，人们认为临界指数具有普适性，它不依赖于物理
系统的细节，而和下面几个条件有关：（1）系统的尺寸（the dimension of the system ）；（2）相互作用的范围（the range of the interaction ）；
（3）自旋维度（the spin dimension ）。
这些临界指数的性质得到了实验数据支持，并且在高维数（维数大于等
于四）系统中，可以用平均场理论解释。而对于低维度（一维或二维）系统，平均场理论（Mean field theory ）就不再适应了，这时，需要借助重整化群理论（Renormalization group theory ）才能合理的说明。相变和临界指数同样可以出现在渗流系统以及随机图等中。下面将给出一个数学解释: 相变发生在一个特定的温度，称为临界温度c T ，人们想从标度规律的角度研究临界温度附近的比自由能f （Specific free energy ）的变化行为。
因此我们引入了约化温度（Reduced Temperature ）()c
c T T T -=:τ 可以看出当0=τ时，发生相变，定义临界指数κ： ()
τττlog log lim 0f k def →=
（10） 而我们要寻找()0,≈∝τττk f ，值得注意的是，当0→τ时，()τf 的渐
进行为。
更加普遍地，我们可以得到：
()()
++=11k k b A f τττ （11） （二）标度规律
在统计学中，标度规律（Power law ）[15]描述了两个量之间的函数关系，
具体地说就是一个量的某个相关改变导致另一个量的成比例变化，这种关联与这些量的原始尺寸无关，只是一个量按另一个量变化的规律来变化。举一个简单的例子：当一个正方形的边长变为原来的两倍时，面积将变为原先的四倍。
标度规律具有以下几条重要的性质，这为我们研究物质及物质的变化规
律提供了非常简便的方法：
（1）标度不变性（Scale invariance ）：我们考虑一个关系()k ax x f -=，如果我们用一个常数c 乘以参数x ，这对于上述关系本身，只会起到比例缩
放的作用，因为：()()()()x f x f c cx a cx f k k
∝==--
（2）缺乏定义很好的平均值（mean ）： 一个标度规律a x -只有当2>a 时，在[]∞∈,1x 上才能有定义很好的平均值，而且，只有当3>a 时才可能有有限的方差（variance ），大多数的在自然界中确定的标度律都有一个平均值可以很好定义但方差不能很好定义的指数，这意味着它们满足“黑天鹅行为（black swan behavior ）[16]”。这导致了我们在研究标度行为时，基于方差和标准差的传统统计学将不再适应。
（3）普适性（Universality ）：具有着特定指数的标度律等式在动力学过程中有深层次的形成原因，这些原因导致了标度律的产生。热力学系统中的相变过程就是与一些特定量的标度规律分布的产生有关，这里面的指数就是临界指数。事实上，几乎所有的金属相变都是用很小的一组通用类来描述的，在这里，系统的临界点是吸引子（attractor ）。这种相通的动力学性质的正式的称呼为普适性，对于具有完全相同的临界点的系统，人们将它们归入同一个普适类（Universality Class ）。 4. 平均场理论和Landau 相变理论
答：（一）平均场理论（Mean field theory ）
在物理和概率论中，平均场理论（MFT ，同时也被称为自洽场理论）[17]
是通过研究一个简单得多的模型来处理大而复杂的随机模型的理论。平均场理论考虑的是大量的相互之间有相互作用的小的单元，而把其他单元对于这些单元的作用通过一个平均场来近似处理，因此这样有效地将多体问题简化为单体问题。事实上个体之间存在相互作用的多体问题一般情况下很难精确求解，除了一些极为简单的模型（如随机场模型和一维Ising 模型）。
归纳起来，MFT 借助选择一个合适的外场，用一个单体问题来取代这种
多体问题，这种外场的作用取代了所有其他的粒子与任何粒子的相互作用。当我们把所有状态归结在一起时，最难处理的问题就是由Hamiltonian 量中各个量相互作用表示的组合问题，在MFT 中，将所有这些相互作用简化为一个平均的或有效的作用，有时人们称之为分子场（molecular field ）。 在场论中，Hamiltonian 可以用平均场周围的波动振幅展开，而MFT 就可以看成是零级展开，这也意味着MFT 中没有波动，但是这却和“平均场”的意义相符合。在波动的形式中，MFT 为研究一阶，二阶波动方程提供了一个很好的起点。
一般情况下，维度在决定一种平均场近似是否适合某种情况时起到重要
作用，这里面有一条规律就是，如果原先系统中的场或者粒子表现了非常多的相互作用，这时MFT 能够较精确的描述这个真实的系统。这在处理高纬度系统或者有长程力的系统时，都很适应。
Ginzburg criterion 就是描述用MFT 描述一个波动时适合程度的标准，
它依据的就是所处理系统的粒子维度。
下面给出平均场理论的数学描述：对平均场理论的正式描述是基于是
Bogoliubov inequality 的，一个系统的自由能的Hamiltonian 为：
H H H ?+=0 ，存在上界： 000TS H
F F def -=≤ （12）
0S 是熵，平均值取自Hamiltonian 为0H 的辅助系统的平衡系综。这里所选取的辅助系统是无相互作用的，因此
()
i N i i h H ξ∑==10
（13） 这里()i ξ是统计系统（原子，自旋等）中一个单独部分的自由度的简写，我们可以通过最小化不等式右边项来锐化上限。用无关联自由度
（non-correlated degrees of freedom ）的最小参考系统（minimizing reference system ）能最接近真实系统，这被称为平均场近似。
对于最一般的情况，目标Hamiltonian 只含有两两的相互作用
()()j
i P
j i ij V H ξξ,,∑∈= （14） 这里P 是相互作用对，定义()i i f Tr ξ为可观测量f 在所有单个组成部分的自由度的和（对于离散变量取和，连续变量则求积分）。可以得到，接近的自由能为：
()()()+=N N N N P H Tr F ξξξξξξ,...,,,...,,21021,...,2,10
()()()()N N N N N P P kTTr ξξξξξξ,...,,log ,...,,210
210,...,2,1 （15） 这里()()N N P ξξξ,...,210是找到特定参考系统的概率，它通过Boltzmann
factor 来归一化：
()()()()()()()∏∏=-=-===N i i i def h N
i H N N N P e Z e Z P i i N 1010,...,,021011
,...,,210ξξξξξβξξξβ （16） 这0Z 里为配分函数，那么
()()()
()()()()()i i i i N i i j j P
j i j i j i P P Tr kT P Tr F ξξξξξ0010,,0log ,∑∑=∈+= （17） 为了实现最小化，我们对单个组成部分的自由度概率()i P 0取导数，使用
拉格朗日乘子来确保归一化，最终的结果是一个自洽的等式：
()
()()i MF i h i i e Z P ξβξ-=001 N i ,...,2,1= （18） 平均场为：
()(){}()()()j
j j i j i P
j i j j i MF i P V Tr h ξξξξ0,,,∑∈= （19） （二）Landau 相变理论（Landau theory ）
Landau 相变理论[18]的提出是为了阐述一般连续相变（或二阶相变）过
程。
Landau 提出任何系统的自由能必需满足以下两个条件：（1）是解析的
（analytic ） （2）满足Hamiltonian 的对称性（symmetry of Hamiltonian ）
根据这两个条件，就可以写出自由能在序参量下的泰勒展开形式。下面
以Ising 模型为例做一个简单说明：
在Ising 模型中，相变点附近的自由能可以写为以下的形式：
++++=ψψψH s r a F 42 （20）
这里ψ是自旋的粗粒子场（coarse-grained field of spins ），我们
一般可以省略4次幂以后的高阶项而不失相变的物理性质。为了使热力学系统稳定，具有最高幂的序参量的系数必须大于零，在这种情况下0>s ，因此我们发现自由能受限。在相变发生的临界温度c T ，可以发现自由能的序参量从0变为非零量，当参量r 的符号改变时，我们可以用把参量r 表示成温度的函数 ()c T T r r -=0 ，其中0r 是一个与时间无关的常数，同时常数a 也可以被省略。
Landau 相变理论的应用十分广泛，在不知道参量r 和s 值的情况下，临
界指数仍能被简单计算出，它只依赖于对称性和解析性的假设，在Ising 模型中，序参量为： ()s T T r c 20--±=ψ
（21） 以上考虑的是无长程关联（no long-range correlation ）的情况，对
于包含长程关联（including long-range correction ）的情况,我们还用上述Ising 模型来做说明：
假设序参量ψ和外加磁场H 存在空间变化，那么系统的自由能就会被修
正为：
()()()()()()()()(
+?+++=?242:x T f x T s x T r T a x d F D ψψψ ()()()())46;ψψψ?O +x x h （22）
这里面D 是总的空间变化维度，最终可以得到：
()()Z
e x Tr x H
βψψ-=: （23） 5. 普适类（Universality class ）
答：在统计物理学中，普适类[19]是一类数学模型的集合，该集合中各个模型满足在重整化群流的过程中具有共同的标度不变性极限，在有限的标度下，类中的一些模型可能会有很大的区别，然而当越来越接近极限标度时，它们的变化行为逐渐趋于一致。值得特别注意的是，这些渐进行为，例如同一个临界指数,对于同一类中的所有模型都是适应的。由于关联长度趋于无穷，临界点附近不同体系的共性掩盖了个性的差异[20]。
六十年代后期，在总结实验事实的基础上，人们提出了关于普适性的假
设：各种物理系统按若干特征分为不同的普适类,同一体系具有相同的临界指数和临界行为。区分普适类的主要特征是空间维数d ，内部自由度数目n 和力程的长短。人们还发现，对于三维以上的维度，d 起到主要作用，二维
以下，n 更加重要。临界行为与晶体的对称、相互作用的性质等因素都没有关系。在这样的论述下，可以看出平均场理论是过分普适的理论，因为它的结果与数d ，n 及力程的长短均无关，甚至不存在相变的情况下也预言了相同的结果，这是和实验不相符的。而在实验上，人们能很好的区分不同的普适类。以临界指数β为例，对于()12=n MnF 为0.335，对于液氦超流相变()2=n 为0.354，对于()33=n CrBr 为0.368[21]。
分形维数和空间维数是已经提出来的影响临界指数的重要参量，换句话
说，我们能问一个系统是否有Hamiltonian 量
()2,∑∑-?-=i z i j j i i S D S S J H
（24）
空间维度为3的这个系统和同性Heisenberg 模型具有相同的临界指数。这表明这个模型和()1=n 的Ising 模型有相同的临界行为。Jasnow 和
Wortis 证明了空间维数是一个很重要的参数，他们研究了经典转动系统的Hamiltonian
()
∑?+?-=j
i z j z i j i S S S S J H ,η （25） 在基态Hamiltonian 中，当0=η时，3=n ，当0>η时，1=n ，当任意
时变成了Ising 基态[22]。
6. 标度不变性（Scale invariance ）
答：标度不变性[23]指，当物体或者某种规律适应的尺寸，能量或者其他的一些参量以变化为之前的常数倍时，其本身呈现出某种不变性（一种简单示意的数学形式在问题3中已经给出,这里不再描述）下面动态图所呈现Wiener process 就是一种标度不变现象。
图2 Wiener process
我们常用扩张（dilatation ）这个术语来描述这些变化，而扩张可以形成更
大的共形对称性（conformal symmetry ）。
在数学中，标度不变性常常指单个公式或者曲线线形的不变性，一个非
常相关的概念是自相似性（Self-similarity ），满足自相似性的公式或者曲线线形在离散子集扩张的条件下保持不变性。对于概率分布（probability distributions ）或者随机过程（random process ）都有可能存在某种标度不变性或者自相似性。
在经典场论中，标度不变性应用最广泛的是扩张下的整体理论的不变性。这种理论往往描述了不考虑特征长度尺度下的经典物理过程。
在量子场论中，标度不变性有基于粒子物理的理论解释。在量子标度不
变性理论中，粒子相互作用力不依赖于参与其中的粒子。
在统计力学中，标度不变性是相变的一个重要特点。其中，最主要的发现是，在临近相变或者说是在临界点附近，在所有的标度上都会发生涨落，所以人们需要需找一个严格的标度不变理论来描述这种现象。这种理论就是标度不变性统计场理论（Scale-invariant statistical field theory）。是事实上，这和标度不变量子场论很相似。
普适性的发现告诉我们一些很不相同的微观系统在一个相变过程中有着一样的行为。因此，在许多不同系统中的相变过程可以在一个共同的更加根本的标度不变性理论下进行描述。
一般情况下，无量纲量（dimensionless quantities）都是换标不变量（scale invariant）。统计物理中相似的概念有标准化力矩（standardized moments），它们是变量统计下的换标不变量，而非标准化力矩则不属于其中。除此之外，标度不变性还有其他很多应用，如：不施加外力条件下的牛顿流体力学，计算机视觉技术（Computer vision）等.......
7.重整化群理论（Renormalization group ）
答：在理论物理中，重整化群理论（RG）[24]是一种数学工具，它允许在不同的距离标度下研究物理系统的变化（allows systematic investigation of the changes of physical system as viewed at different distance scales）。在粒子物理中，它反映了基本力学规律（在量子场论中明确了该定义）的变化：处于物理过程发生变化的能量标度时，能量/动量以及分辨距离标度在测不准原理下的有效共轭。
标度上的一个变化叫做“标度转换（scale transformation）”。重整化群理论与标度不变性，共形不变性以及自相似性有着紧密的关联（我们要知道标度转换事实上属于共形转换）。当标度变化时，就像是改变了观察系统的显微镜放大倍率。在所谓的重整化群理论中，在一个标度下的系统一般可以看成是由一个更小的标度下看到的自相似的副本组成，同时在描述各个组成部分时，需要不同的参量。这些组成部分，或者是基本的一些变量可能会与原子，基本粒子，原子自旋有关联。它们可能是可变的耦合量，用来测试各种各样力的大小或者质量参数本身。当一个组成部分去了更近的距离时，这些组成部分可能更多地由相同的组成部分构成（The component themselves may appear to be composed of more of the self-same components when one goes to shorter distance）。这里举一个例子，在量子电动力学中（quantum electrodynamics），一个电子可以由电子群，正电子和光子组成，当我们在非常短的距离,以一个更高的分辨率去观察它的时候，在如此短距离下的电子与在远距离观察下的“裹电子（dressed electron）”相比，电量有一些不同，这种在电量上的变化可以由重整化群等式（ Renormalization group equation）[25]给出。下面给出一种重整化群等式的具体形式。
Wilson 具体重整化群公式从概念上讲是最简单的一种重整化群公式，
但遗憾的是，它几乎无法应用到实际问题中去。在芯旋转（wick rotation）到欧几里得空间中后，再用傅里叶变化变换到动量空间，由动量的临界值知
2Λ
2
p，因此只存在小于Λ的自由度，因此配分函数为：
≤
[][]φφΛΛ≤-=?S D Z p ex p 22 （26）
对于任意满足Λ<Λ'<0的Λ'，定义Λ'
S （一个在傅里叶变换满足22Λ'≤p 的φ 的配置域上）为： []()[][]?
Λ≤≤Λ'ΛΛ'-=-p def S D S φφφexp exp （27） 那么，我们就可以 得到配分函数： [][]?Λ'≤Λ'-=22ex p p S D Z φφ
（28） 8. 列出物理学中三种典型的相变和临界过程
答：三种典型的相变和临界过程分别为：一级相变（First-order phase transformation ），二级相变（Second-order phase transition ），无限相变（infinite-order phase transition ）[8]
（1）一级相变：一级相变涉及到潜热（latent heat ）的问题，在一级相变过程中，系统单位体积吸收或放出固定量（一般是比较大）的能量。而且在吸热的的同时，系统温度是保持不变的，在相变点，系统处于一个混合的状态之中，其中有些部分已经完成相变变为了其他相，但还有一些相没有完成相变过程。水的三相变化就属于一级相变，在气—液转化以及液—固转化的过程中，相变点水的相分别为气液混合太和固液混合态。下表列出来气，液，
固体 表1 相变
相变条件下图所示：
图 3 Phase transition
（2）二级相变：二级相变也称连续相变（continuous phase transition），它通常可以用发散的敏感性（divergent susceptibility）、无限关联长度、在临界点附近以及关联的标度律减弱来描述，二级相变的实例有铁磁相变（ferromagnetic transition），超导相变（对于第一类超导体，零外场时的相变为二级相变；对于第二类超导体，normal state-mixed state mixed-superconducting state 都是二级相变）和超流相变。与粘性度（viscosity）相比，在玻璃的相变温度[26]点，系统的热扩散和非晶材料的热容量表现出了一种关联的突然改变,相变温度确保了差示扫描热量法的测量精确度
（3）无限级相变：无限级相变像二级相变一样具有连续性，但是却没有打破对称性，二维条件下的Kosterlitz–Thouless相变就是这样的一个过程，一些量子相变过程，如二维电子气也属于这种相变。
参考文献：
[1]《凝聚态物理导论》课堂笔记
[2]《凝聚态物理学导论》
[3] 密度泛函理论，百度百科
[4] Density functional theory ,Wikipedia
[5] Born–Oppenheimer approximation,Wikipedia
[6] 相变过程—课堂PPT，宋晓岚，中南大学，百度文库
[7] 材料科学基础—课堂PPT，作者未知，百度文库
[8] Phase transition,Wikipedia
[9] 置换固溶体，百度百科
[10] 相变和有序相—课堂PPT，作者未知，百度文库
[11] 相变—课堂PPT，作者未知，百度文库
[12] 相变的基本类型—课堂PPT，作者未知，百度文库
[13] 固态相变—课堂PPT，作者未知，百度文库
[14] Critical exponent,Wikipedia
[15] Power law,Wikipedia
[16] Black swan theory,Wikipedia
[17] Mean field theory,Wikipedia
[18] Landau theory,Wikipedia
[19] Universality（dynamical systems），Wikipedia
[20] Universality class，Wikipedia
[21]《相变和临界现象》，于渌，郝柏林，科学出版社，1984,7
[22] 平衡统计物理学—相变和临界现象，作者未知，百度文库
[23] Scale invariance,Wikipedia
[24] Renormalization group,Wikipedia
[25] Renormalization group equation,Wikipedia
[26] Ojovan, M.I.Ordering and structural changes at the glass-liquidtransition.J.Non-Cryst.Solids ,382:79–86
附录：
Wiener process 的动态展示图：
Wiener_process
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