3.3.1 几何概型
[提出问题]
每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立
了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一
次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①，②或③区域，
顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20
个扇形)，一位顾客消费了120元．
问题1：这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？
提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．
问题2：在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？
提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等．
问题3：如何计算该顾客获得100元购物券的概率？
提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．
[导入新知]
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域
的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．几何概型概率公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：
P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积
.
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
[化解疑难]
理解几何概型应关注三点
(1)几何概型中，每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关；
(2)如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但不是不可能事件；
(3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不
是必然事件．
与长度有关的几何概型 [例1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．
(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．
[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝2
3
.
(2)设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．
记“等车时间超过10 min”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．
∴P (A )＝
T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝1
3
，
即该乘客等车时间超过10 min 的概率是1
3.
[答案] (1)2
3
[类题通法]
1．几何概型概率问题的一般步骤
(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域D ； (3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ； (4)利用概率公式计算．
2．与长度有关的几何概型问题的计算公式
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：
P (A )＝
构成事件A 的区域长度
试验的全部结果所构成的区域长度
.
[活学活用]
1．(重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2
＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．
解析：设方程x 2
＋2px ＋3p －2＝0的两个负根分别为x 1，x 2，
∴????
?
Δ＝4p 2－43p －2≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，
解得2
3
故所求概率P ＝? ??
??1－23＋5－25
＝2
3
. 答案：23
2．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒．当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．
解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.
(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝1
15
.
(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35，或P ＝1－P (红灯亮)＝1－
2
5＝3
5
.
与面积有关的几何概型
[例2] (1)他应当选择的游戏盘为( )
(2)四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )
A.π
4 B ．1－π4
C.
π8
D ．1－π8
[解析] (1)根据几何概型的面积比，选项A 中的游戏盘中奖概率为3
8，选项B 中游戏盘
的中奖概率为13，选项C 中游戏盘的中奖概率为2r 2
－πr 2
2r 2
＝4－π
4
，选项D 中游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1
π
，故A 游戏盘的中奖概率最大．
(2)如图所示，长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为
π
2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π
4
.
[答案] (1)A (2)B [类题通法]
1．与面积有关的几何概型的概率公式
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：
P (A )＝
构成事件A 的区域面积
试验的全部结果所构成的区域面积
.
2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率． [活学活用]
1．(福建高考改编)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的
坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝????
?
x ＋1，x ≥0，－1
2
x ＋1，x <0的图
象上. 若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
解析：因为f (x )＝????
?
x ＋1，x ≥0，－1
2
x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点
坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为
1
2×3×1＝3
2，故P ＝326＝14
.
答案：14
2．在平面直角坐标系xOy 中，设M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区
域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是________．
解析：如图，区域M 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，
因此P ＝π×12
4×4＝π
16
.
答案：π16
与角度有关的几何概率
[例3] CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．
[解] 如图，在AB 上取AC ′＝AC ，连接CC ′， 则∠ACC ′＝180°－45°
2
＝67.5°.
设D ＝???
???
???
?在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC ，则所有可能结果的区域角度为90°，事件D
的区域角度为67.5°，
∴P (D )＝67.5°90°＝34.
[类题通法]
与角度有关的几何概型概率的求法
(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为
P (A )＝
构成事件A 的区域角度
试验的全部结果构成的区域角度
.
(2)解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．
[活学活用]
在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终
边落在∠xOT 内的概率是( )
A.1
6 B ．23 C.13
D ．160
解析：选A 如图，∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60°360°＝1
6
.
与体积有关的几何概型 [例4] (1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )
A.6π B ．32π C.3π
D ．233π
(2)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点
M 在球O 内的概率是________．
[解析] (1)由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝43πR 3＝32π.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2
＝
1
32
π＝233π. (2)设正方体的棱长为2.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径是其棱长的一半，其体积
为V 1＝43π×13
＝4π3.则点M 在球O 内的概率是4π323＝π6
.
[答案] (1)D (2)π6
[类题通法]
与体积有关的几何概型概率的求法
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为
P (A )＝
构成事件A 的区域体积
试验的全部结果所构成的区域体积
.
[活学活用]
有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 的距离大于1的概率．
解：圆柱的体积V 圆柱＝π×12
×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积． 以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V
半球
＝12×4π3×13＝2π
3
，则构成事件A “点P 到点O 的距离大于1”的区域体积为2π－
2π3＝4π3
， 由几何概型的概率公式得P (A )＝4π
32π＝2
3
.
3.几何概型中的交汇性问题
[典例] 设关于x 的一元二次方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0，若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，
b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
[解题指导] 设事件A 为“方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0”有实根． 则Δ＝4a 2
－4b 2
≥0，即a 2
≥b 2
. 又∵a ≥0，b ≥0. ∴a ≥b .
试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，而构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，即如图所示的阴影部分．
所以P (A )＝3×2－12×2
2
3×2＝2
3.
[多维探究]
几何概型与其他知识的交汇问题，以其新颖性、综合性而渐成为命题者的一个重要着眼点，本题是以方程的根为依托考查了与面积有关的几何概型的求法，另外，几何概型还常与集合、解析几何等问题相交汇命题，出现在试卷中．
[角度一] 几何概型与集合的交汇问题 已
知
集
合
M ＝
{}
x ，y |x ＋y ≤8，x ≥0，y ≥0，N ＝
{}x ，y
|x －3y ≥0，x ≤6，y ≥0，若向区域M 随机投一点，则点P 落入区域N 的概率为
( )
A.
1
3
B．
1
2
C.
3
8
D．
3
16
解析：选D 根据题设中集合的意义，在平面直角坐标系中分别画出区域M和N，可分别计算区域M和N的面积，进而求解．
将集合M和N所表示的区域在直角坐标系中画出，如图，
则区域M的面积S＝
1
2
×8×8＝32，
区域N的面积S′＝
1
2
×6×2＝6，
所以点P落入区域N的概率为P＝
6
32
＝
3
16
.
[角度二] 几何概型与解析几何的交汇问题
已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
解：(1)由点到直线l的距离公式可得
d＝
25
42＋32
＝5.
(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为
π
3
.
故所求概率为P＝
π
3
2π
＝
1
6
.
[随堂即时演练]
1．下列概率模型中，几何概型的个数为( )
①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率； ④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率． A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性．
2.如图所示，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a
2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的
点
落在梯形内部的概率为( )
A.112 B ．14 C.512
D ．712
解析：选C S 矩形＝ab ，S 梯形＝12? ????13a ＋12a b ＝5
12ab .
故所投的点在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512ab
ab ＝5
12.
3．方程x 2
＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________． 解析：由于方程x 2
＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根， ∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤1
4
，
又n ∈(0,1)，∴有实根的概率为P ＝141－0＝1
4.
答案：14
4．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．
解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构
成的区域体积是400毫升，
则P (A )＝2
400＝0.005.
答案：0.005
5．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率．
解：设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△
ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，
其面积为43－3×12×π3×12
＝43－π2，故所求概率P ＝43－
π
243
＝1－324π.
[课时达标检测]
一、选择题
1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边长作正方形，这个正方形的面积介于36 cm 2
与81 cm 2
之间的概率为( )
A.36
81 B ．1236 C.1281
D ．14
答案：D
2．(全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.7
10
B.58
C.38
D.310
解析：选B 如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何
概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58
，故选B.
3．已知函数f (x )＝x 2
－x －2，x ∈[－5,5]，那么满足f (x 0)≤0，x 0∈[－5,5]的x 0取值的概率为( )
A.3
10
B ．35 C.15 D ．110
答案：A
4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，即称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A.8
27
B．
1
27
C.
26
27
D．
15
27
答案：B
5．如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它的长度小于或等于半径的概率为( )
A.
1
2
B．
3
2
C.
1
3
D．
1
4
答案：C
二、填空题
6．设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P(A)＝________.
解析：如图所示，△DPQ为圆内接正三角形，当C点位于劣弧PQ上时，弦DC＞PD，
∴P(A)＝
1
3
.
答案：
1
3
7．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．
解析：点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率：
P＝
1
8
×
4
3
πa3
a3
＝
1
6
π.
答案：
1
6
π
8．已知正方形ABCD的边长为2，H是边
DA的中点．在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<2的概率为________．
解析：如图，设E，F分别为边AB，CD的中点，则满足|PH|<2的点
P在△AEH，扇形HEF及△DFH内，由几何概型的概率计算公式知，所求概
率为
1
4
π22＋
1
2
×1×1×2
2×2
＝
π
8
＋
1
4
.
答案：
π
8
＋
1
4
三、解答题
9．已知点M(x，y)满足|x|≤1，|y|≤1.求点M落在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的内部的概率．
解：如图所示，区域Ω为图中的正方形，
正方形的面积为4，且阴影部分是四分之一圆，其面积为
1
4
π，则点M落在圆(x－1)2＋(y －1)2＝1的内部的概率为
1
4
π
4
＝
π
16
.
10．小朋友做投毽子游戏，首先在地上画出如图所示的框图，其中AG＝HR＝DR＝
1
2
GH，CP ＝DP＝AE＝2CQ.其游戏规则是：将毽子投入阴影部分为胜，否则为输．求某小朋友投毽子获胜的概率．
解：观察图形可看出阴影部分面积占总面积的一半，投入阴影部分的概率只与阴影部分的面积和总面积有关，故所求事件(记为事件A )的概率为P (A )＝1
2
.
11．如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个分点．
(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．
解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310
.
(2)连接MP ，取线段MP 的中点D ， 则OD ⊥MP ，
易求得OD ＝22，
当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝1
2
×22×8＝82，
所以只有当S 点落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S 扇形MOP －S △OMP ＝
1
2×π2×42－12
×42
＝4π－8， 所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π
.