北门中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学（理）试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分手多日，近况如何？ 1．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）
A ．3
B ．9
C ．17
D ．51 2
．一梯形的直观图是一个如上图所示的等腰梯形，面积为2，
则原梯形的面积为 ( )
A. 2
B. 2
C. 22
D. 4
3．蚂蚁搬家都选择最短路线行走，有一只蚂蚁沿棱长分别为 1cm,2cm,3cm 的长方体木块的顶点A 处沿表面达到顶点B 处 （如图所示），这只蚂蚁走的路程是（ ）
A ．cm 14
B ．cm 23
C ．cm 26
D ．1+cm 13
5．直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M （1，－1），则直线l 的斜率为 （ ） A ．
2
3
B ．
3
2 C ．－
2
3
D ． －
3
2 6．设集合)}0()1()1(|),{(},4|),{(2
2
2
2
2
>≤-+-=≤+=r r y x y x N y x y x M 当
N N M =?时，r 的取值范围是 （ ）
A 、]12,0[-
B 、]1,0[
C 、]22,0(-
D 、)2,0(
7．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量),(n m a =
与向量)1,1(-=b 的夹角为θ，则
]2,0(π
θ∈的概率是 （ ）
A.125
B.21
C.127
D.65
8.以下给出的是计算1111
24620
+++???+的值的一个程序框图，如下左图所示，其中判断框内应
填入的条件是 （ ）
A ．10i >
B ．10i <
C ．20i >
D ．20i <
O y ' x ' 450
A
B
0.3 0.1
4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
5.0 5.1 5.2
视力
频率组距
9．为了解某校高二学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高二学生的视力情况，得到频率分布直方图，如上右图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频
数成等差数列，设最大频率为a ，视力在 4.6到 5.0之间的学生数为b ，则,a b 的值分别为 ( )
A ．2.7,78
B ．2.7,83
C ．0.27,78
D ．0.27,83
10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与
该圆的位置关系是 （ ） A 、相切 B 、相交 C 、相离 D 、相切或相交
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案写在横线上.
11.在调查高一年级1500名学生的身高的过程中，抽取了一个样本并将其分组画成频率分布直方图，[)cm cm 165,160组的小矩形的高为a ，[)cm cm 170,165组小矩形的高为b,试估计该高一年集学生身高在[160cm ，170cm]范围内的人数
12. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第40个号码为
. 13．已知M (-2,0), N (4,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是
估计当使用年限为10年时，维修费用是
15．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2正方形．若PA=22,则球O 的体积为_________．
开始
s=0, n=2, i=1
s= s+ 1/n n=n+2 i=i+1
是 否
输出S 结束
三、解答题。本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 16．（本小题满分12分）圆 822=+y x 内有一点P(-1,2)，弦AB 过点P ，且倾斜角α (1)若 5
4
=
αsin ， 求线段AB 的长 ； (2)若弦AB 恰被P 平分，求直线AB 的方程.
18. （本小题满分12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 （1）用茎叶图表示这两组数据；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由
19．(本题满分12分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题： (1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和众数；
(3)请根据频率分布直方图估计这次考试的中位数和平均分．
A
P
E
D
20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥ 底面,ABCD
,,60,AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=?,PA AB BC ==
E 是PC 的中点．
（1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ； （3）求二面角A PD C --的正切值．
北门中学2012—2013学年度上学期期中考试
高二数学试卷（理科）答题卡
一．选择题
题号
选项
二．填空题
11．
12．
13．
14．
15．
三．解答题
17．
A D C
B
P
E
19．
20．
20续A
P
E
B
C
D
2
2
P
Q
x
y
A
图7
21．
参考答案
17．证明：（Ⅰ）连接AC ，设AC ∩BD =O ，连接EO ，
∵四边形ABCD 为矩形，∴O 为AC 的中点．
∴OE 为△PAC 的中位线．
∴PA ∥OE ，而OE ?平面EDB ，PA ?平面EBD ，∴PA ∥平面EDB . ……………6分 （Ⅱ）直线BE 与平面ABCD 所成角为6
π
18
（2）()()()()()()()()22222
2222
1
787981828488939585
81
=7583929585
81s 788579858185828584858 88859385958535.5
x x ?=-+-+-+-+-+
?
?-+-+-=?
甲乙甲＝（＋＋＋＋＋＋＋）＝（＋80＋80＋＋85＋90＋＋）＝＝ ()()()()()22222
21s 758580858085838585858?=-+-+-+-+-+?
乙
()
()()2
22
90859285958541?-+-+-=?
∵x =甲x 乙，22s s <乙甲，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适
19. (1)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f 4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10
＝0.03.
其频率分布直方图如图所示．
(2)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75. 所以，估计这次考试的合格率是75%.
中位数为75.
（3）由0.1+0.15+0.15=0.4, 0.1+0.15+0.15+0.3=0.7，可知中位数在第四小组内，设这次考试的中位数为x ，则0.1+0.15+0.15+0.030（x-70）=0.5，解得x=73.3
利用组中值估算这次考试的平均分为
45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 所以估计这次考试的平均分是71分． 20.（1）证明∵PA ⊥底面ABCD ，CD ?平面ABCD ∴PA ⊥CD 又AC ⊥CD ，AC ?PA=A ∴CD ⊥平面PAC ，又AE ?平面PAC ∴CD ⊥AE
（2）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，AB ?平面ABCD ∴PA ⊥AB
又AD ⊥AB ，AD ?PA=A ∴AB ⊥平面PAD ，又PD ?平面PAD ∴AB ⊥PD 由PA=AB=BC ，∠ABC=60o 则△ABC 是正三角形 ∴AC=AB ∴PA=PC ∵E 是PC 中点 ∴AE ⊥PC
由（1）知AE ⊥CD ，又CD ?PC=C ∴AE ⊥平面PCD ∴AE ⊥PD 又AB ⊥PD ，AB ?AE=A ∴PD ⊥平面
ABE
在Rt △AEM 中
22223773
22
41871721414
a a
PA AD
AM a PD a AE a EM AM AE a a a ?
?=
===
-=-=
-==
212tan 14721
14
a
AE AME EM a ∠===?= 21． 解：（1）连,
OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定理有
222
PQ OP OQ =-.
又由已知PQ PA =，故2
2
PQ PA =.
即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-.
化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=. （2）由230a b +-=，得23b a =-+.
22221(23)1PQ a b a a =+-=+-+-25128a a =-+=264
5()55
a -+.
故当6
5
a =
时，min 2 5.5PQ =即线段PQ 长的最小值为
2 5.5 解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －
3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min =
| 2×2 + 1－3 |2 2 + 1 2
= 25
5 .
解法2： 圆P 与圆O 有公共点，圆P 半径最小时为与圆O 外切（取小者）的情形，而这时半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ’ 与l 的交点P 0.
r =
32 2 + 1 2
－1 = 35
5 －1. 又 l ’：x －2y = 0, 解方程组20,230x y x y -=??+-=?，得6,53
5x y ?=????=??
.即P 0( 65 ,35 ).
∴ 所求圆方程为222633()()(51)555x y -+-=-.
2
2
O
P Q
x
y
A P 0
l