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第一章三角函数
1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
学习目标：
（1）推广角的概念、引入大于360?角和负角；
（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；
（3）理解任意角以及象限角的概念；
(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；学习重、难点
重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.
难点: 终边相同的角的表示.
学习过程
思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360
??
~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.
【探究新知】
1．初中时，我们已学习了0360
??
~角的概念，它是如何定义的呢？
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位
置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.
2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?
如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).
如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?；图1.1.3(2)中，正角210α?=，负150,660βγ??=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.
3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.
角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的30?角、210?-角
分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角. 4.练习:
(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几?
7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?
5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.
不难发现,在教材图 1.1-5中,如果32?-的终边是OB ,那么328,392??-角的终边都是OB ,而328321360???=-+?,39232(1)360???-=-+-?.
设{|32360,}S k k Z ββ??==-+?∈,则328,392??-角都是S 的元素,32?-角也是S 的元素.因此,所有与32?-角终边相同的角,连同32?-角在内,都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与32?-角终边相同.
一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合
{|360,}S k k Z ββα?==+?∈,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 6.例题讲评
例1. 例1在0360??~范围内，找出与95012'?－角终边相同的
角，并判定它是第几象限角.（注：0360??－是指0360β??≤<）
例2.写出终边在y 轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α?-≤720?<的元素β写出来. 7.练习
教材6P 第3、4、5题.
注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360?的整数倍. 学习小结
(1) 你知道角是如何推广的吗? (2) 象限角是如何定义的呢?
(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在
x 轴、y 轴、直线y x =上的角的集合.
作业：
1．习题1.1 A 组第1,2,3题．
2．多举出一些日常生活中的“大于360?的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，进一步理解具有相同终边的角的特点． 随堂练习
1、已知集合=A {第一象限的角}，=B {锐角}，=C {小于90o 的角}，下列四个命题：①C B A == ②C A ? ③A C ? ④B C A =? 其中正确命题的个数为 （ ）
A．0 B． 1 C． 2 D．4
2、与120°角终边相同的角是（）
A. －600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
B. －120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
C. 120°＋(2k＋1)·180°，ｋ∈Ｚ
D. 660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
3、若α是第四象限角，则1800-α是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4、若θ
θ则角
θ
cos<
,0
>的终边所在象限是
2
sin
且,0
（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5、下列命题中正确的是（）
A. 终边在y轴正半轴上的角是直角
B. 第二象限角一定是钝角
C. 若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同
D. 第四象限角一定是负角
6、若角α与β终边相同，则一定有（）
A. α＋β＝180°
B. α＋β＝0°
C. α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ
D. α＋β＝ｋ·360°，
ｋ∈Z
7、若Ａ＝｛α｜α＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ｝；
B＝｛α｜α＝ｋ·180°，ｋ∈Ｚ｝；
C＝｛α｜α＝ｋ·90°，ｋ∈Ｚ｝，则下列正确的是（）
A. Ａ＝Ｂ＝Ｃ
B. Ａ＝Ｂ Ｃ
C. Ａ Ｂ＝Ｃ
D. ＡＢＣ
8、若α与β的终边互为反向延长线，则有（）
A. α＝β＋180°
B. α＝β－180°
C. α＝－β
D. α＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Ｚ
9、在－720o到720o之间与－1050o终边相同的角
是.
10、终边在第二象限的角的集合是
11、今天是星期一，100天后的那一天是星期，
100天前的那一天是星期.
12、钟表经过4小时，时针与分针各转了(填度).
【课后札记】
1.1.2弧度制
学习目标：
（1）理解并掌握弧度制的定义；
（2）领会弧度制定义的合理性；
（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；
（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；
（5）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.
学习重、难点
重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.
难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.
学习过程
有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）
显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？
那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
【探究新知】
1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等
等.
弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.
2.弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，
弧度，或1(单位可以省略不写).
3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.
我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之
y x
A α
O
B
分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?
角α的弧度数的绝对值是：r
l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径.
5.根据探究中180rad π?=填空:1___rad ?=,1___rad =度 显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:
例1.按照下列要求,把'6730?化成弧度: (1) 精确值；
(2) 精确到0.001的近似值.
例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π?=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应. 例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12
S lR =
. 其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇
形的面积.
例4.利用计算器比较sin1.5和sin85?的大小.
注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧
度的区别. 学习小结
(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?
(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?
作业：习题1.1 A 组第7,8,9题． 随堂练习
1、下列各对角中终边相同的角是 （ ）
A. ππ
π
k 22
2
+-
和（ｋ∈Ｚ）
B. －3π和
3
22π
C. －9
7π和
9
11π D.
9
122320π
π和
2、若α＝－3，则角α的终边在 （ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3、若α是第四象限角，则απ-一定在 ( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4、下列与π6
13-的终边相同的角（Z ∈k ）是
（ ）
A.
ππ
k 26
+ B. ππk 26
10
+ C.
ππk 26
11
+ D.
ππk 26
7
+- 5、2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么此圆心角所夹扇形的面积的数值为 （ ）
A. 2sin1
B.
1
sin 12 C.
2
cos 11
-
D.
1sin1
6、把0
1125-化成
()
πααπ20,2<≤∈+Z k k 2sin1
的形式是
（ ）
A ． 4
6π
π-
- B ．
4
76ππ+
- C ．
4
8π
π-
-
D ．4
78ππ+-
7、集合()????
??∈?
-+==Z k k x x A k
,21|π
π，?
??
???∈+==z k k x x B ,22|ππ,则A 、B 的关系为
（ ）
A ．
B A ? B ．A B ?
C ．B A =
D ．=?B A ?
8
、
已
知
()Z k k ∈+
=3
23π
πα
，则
2
α在
（ ）
A ． 第一象限
B ． 第二象限
C ． x 轴上
D ． y 轴上
9、(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 . 10、7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .
11、圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .
12、在（－4π，4π）上与角3
16
π终边相同的所有角
为 .
【课后札记】
1.2.1任意角的三角函数(一)
学习目标：
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；
（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；
（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切
线表示出来；
（4）掌握并能初步运用公式一；
学习重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
学习过程
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
第一课时
提问：锐角
O 借助右图直角三角形，复习回顾. 引入：锐角三角函数就是以
锐角为自变量，以比值为函数值的函数。 你能用直角坐标系中角的终
边上点的坐标来表示三角函数
吗?
如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,
那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP
的长度为b .则sin MP b
OP r
α=
=;cos OM a
OP r
α=
=;
tan MP b
OM a
α=
=. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系
内的点的坐标表示锐角三角函数：
sin MP
b OP
α=
=;
cos OM
a OP
α=
=;
tan MP b
OM a
α=
=. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函
数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 【探究新知】
1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:
(1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=；
（2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=；
（3）y x
叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y
x x
α=
≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需算点到原点的距离
r =那么
sin α=
,
cos α=
,tan y
x
α=.所以，三角函数是以角为自变量,以单
位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数；又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 4.例题讲评
例1.求53
π的正弦、余弦和正切值.
例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:
如例2:设3,4,x y =-=-
则5r ==.
于是
4sin 5y r α=
=-,3cos 5x r α==-,4tan 3
y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题
6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：
例3．求证：当且仅当不等式组sin 0
{
tan 0
θθ<>成立时，角θ为第
三象限角.
8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin(2)sin k απα+=
cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=
9.例题讲评
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1)cos250?; (2)sin()4π
-
;
(3)tan(672)?-; (4)tan3π
例5.求下列三角函数值:
(1)'sin148010?; (2)9cos
4
π; (3)11tan()6
π
-
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0?到360?)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10. 巩固练习17P 第4,5,6,7题 学习小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?
作业：1．习题1.2 A 组第1,2题． 随堂练习
1、若0cos sin >?θθ，则θ在 （ ）
A ．第一、四象限
B ．第一、三象限
C ．第一、二象限
D ．第二、四象限
2、若α是第二象限角，用
2
cos
|2
cos
|α
α
-=，则2
α是
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、sin2·cos3·tan4的符号是 （ ）
A ．小于0
B ．大于0
C ．等于0
D ．不
确定
4、角α终边上有一点（a ，a ）则sin α= （ ）
A ．
2
2
B ．－
2
2或
2
2 C ．－
2
2
D ．1
5、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为 （ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．以上三种情况都可能
6、若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 （ ）
A ．sin α+cos α<0
B ．tan α-sin α<0
C ．sin α - tan α<0
D ．tan α sin α<0
7、下列说法正确的是
（ ）
A ．正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零
角的正弦值是零。
B ．设A 是第三象限的角，且2
sin |2
sin |A A -=，则2
A 是第
四象限的角。
C ．对任意的角α，都有ααααcos sin cos sin +=+。
D ．若αcos 与αtan 同号，则α是第二象限的角。 8、若α为第二象限角，那么αααα2cos ,2tan ,2
cos ,2sin 中，其值
必为正的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9、适合条件|sin α|=－sin α的角α是第 象限角或y 轴负半轴。
10、已知α的终边过点)2,93(+-x x ，且αcos ≤0，0sin >α，则∈x _______。
11、若点P(－3，ｙ)是角α终边上一点，且3
2sin -=α，则ｙ的值是 。 12、填表：
13、已知θ是第三象限角且02
cos <θ，问2
θ是第几象限角？
14、已知第二、第三象限角x 满足cosx=a
a --432，求实数a
的取值范围。
15、已知角θ的终边上一点P 的坐标是（x ，–2）(x ≠0)，且3
cos x =θ，求sin θ和tan θ的值。
【课后札记】
第二课时 任意角的三角函数（二）
【复习回顾】
1、 三角函数的定义；
2、 三角函数在各象限角的符号；
3、 三角函数在轴上角的值；
4、 诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；
5、 三角函数的定义域.
要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】 1．引入：角是一个图形概念，也是
一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数
量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？
高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 第一章三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0 720”，怎么刻画？ 720”这样的动作名词，这里的“0 ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_________ ， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成。 4．象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
第2课时弧度制 1.了解弧度制的概念及其意义,会将角度制与弧度制互相转化. 2.了解弧度制下的弧长公式和扇形公式并能应用公式解决有关问题. 3.理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系. 自行车大链轮有48个齿,小链轮有20个齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度是多少度?多少弧度? 问题1:弧度制的定义 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制,把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作1rad. 问题2:角度与弧度之间的转换 ①将角度化为弧度:360°=,180°=,1°=≈0.01745rad,n°= rad. ②将弧度化为角度:2π=,π=,1rad=()°≈57.30°=57°18',n rad=()°. 问题3:弧度制下终边相同的角的表示 (1)与任意角α终边相同的角组成的集合为,其中α为角的弧度数. (2)用弧度制表示角省掉单位“弧度”后,就使角的集合与实数集R之间建立了一种的关系,即每一个角都有的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有的一个角与之对应. (3)在表示与角α终边相同的角时,要注意统一单位,应避免出现30°+2kπ或+k·360°, 即同一表达式中度量单位要. 问题4:弧长公式及扇形的面积公式 (1)弧长公式: ①弧度制:; ②角度制:. (2)扇形的面积公式:
①弧度制:; ②角度制:. 上述公式中,由α、r、l、S中的两个量可以求出另外两个量,即知二得二;使用弧度制下的弧长公式有很多优越性(如公式简单,便于记忆、应用),但是如果已知的角是以“度”为单位时,则必须先把它化成弧度后再用公式计算. 1.225°角的弧度数为(). A.B.C.D. 2.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为(). A.40πcm2 B.80πcm2 C.40cm2 D.80cm2 3.半径为2的圆中,弧长为4的弧所对的圆心角是. 4.两角差为1°,两角和为1rad,求这两角的弧度数. 角度与弧度的互化 (1)把22°30'化成弧度; (2)把化成角度. 用弧度表示终边相同的角
第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量； 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】 重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 【自主学习】 1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示： （1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________ 思考： （1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； b c，则a和c是方向相同的向量； （4）向量a和b是共线向量，//
任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o
问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）?480； （２）?-760； （３）03932'?. 变式练习 1、 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 o (2)—54 o18′ （3）395o 8 ′ (4)—1190o 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。
§1.1.2 弧度制 1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题. 一、课前准备 （预习教材P6~ P9，找出疑惑之处）在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？ 二、新课导学 ※探索新知 问题1：什么叫角度制？ 问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？ 问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？ 问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？
问题5：角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系。 问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合. 问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。 ※ 典型例题 例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法） （1） 5 3π （2）3.5 （3）252o （4）11o151 变式训练：①填表 ②若6-=α，则α为第几象限角？ ③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集 合 ___ ____. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合
__ _____. 例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60o，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积 变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积. 变式训练 (2)：A=()? ??? ??∈? -+=Z k k x x k ,21π π, B=? ?? ? ?? ∈+=Z k k x x ,22π π则A 、B 之间的关系为 . ※ 动手试试 1、将下列弧度转化为角度： （1） 12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）6 13π = °； 2、将下列角度转化为弧度： （1）36°= rad ； （2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 3、已知集合M =｛x ∣x = 2 π ? k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2 π π± ?k , k ∈Z ｝，则 （ ） A ．集合M 是集合N 的真子集
第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，
2014级必修四 编号：4001 课题：角的概念的推广 编制人：李敏 审核人：王国燕 编制日期 ： 班级 姓名 一、学习目标： 1. 会判断角的大小； 2. 能够会用集合表示终边相同的角； 3. 会用集合表示表示象限角区间角以及终边在坐标轴上的角. 二、自主学习 1、回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？ 初中所研究的角的范围为 . 2、举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720o ”（即转体 周），“转体1080o ”（即转体 周）； ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度） 如果慢了5分钟，又该如何校正？（ 时针旋转 度） 3、在实际生活中有些角显然超出了我们已有的认识范围. 如何重新给出角的定义？研究这些角的分类及记法？ 4、如何将角放入坐标系中讨论？ 角的顶点与 重合，角的 与x 轴的非负半轴重合. 象限角的定义： 5、终边相同的角 与60°终边相同的角有 , , …都可以用代数式表示为 . 与α终边相同的角如何表示？ 6、终边在以下象限中的角如何表示? 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角: 第四象限角 三．尝试练习 1、基础过关 (1)（A ）下列命题是真命题的有 .（填序号） ①三角形的内角必是第一二象限角 ②始边相同而终边不同的角一定不相等 ③第四象限角一定是负角 ④钝角比第三象限角小 (2)用集合表示下列各角：“第一象限角”、“锐角”、“小于90o 的角”、“0o ~90o 的角” 2、难点突破 (A) (1)写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来. －15° 124°30′ (A) (2)求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： 210-； 731484'- ． (B) (3)若α是第二象限的角，试分别确定2α， 2α，3 α 的终边所在位置. (B) (4)如果α是第三象限的角，那么—α，2α的终边落在何处？ 四．巩固提高 (A)1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° (A)2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (B)3、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C (B)4、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角 D ．第一、四象限角 (B)5、若α是第四象限的角，则α- 180是 ． A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角 (C)6、设集合{} Z k k x k x A ∈+?<<+?=,30036060360| , {} Z k k x k x B ∈?<<-?=,360210360| , 求B A ,B A .
第二章 平面向量 1 向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1 如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |. 作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当 a 与 b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最 大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下： 例2 如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向. 作法 在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－ b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下： 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.
例3 如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1 (应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b . 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b . 作图如下： 点评 向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2 (应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD → ＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b .作图如下：
1.2.1任意角的三角函数（A层学案） 学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义； 2.记住诱导公式一并会应用。 学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。 学习难点：任意角的三角函数的定义。 一、课前预习案 1．任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的________，记作______，即sinα＝y； ②x叫做α的________，记作______，即cosα＝x； ③y x 叫做α的________，记作______，即tanα＝ y x (x≠0)． (2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)，它到原点的距离r(r>0),r=,那么任意角α的三角函数的定义为： sinα＝ cosα＝ tanα＝ 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 记忆口诀：。 3．诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________，即： sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________， tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z. 角α0π 6 π 4 π 3 π 2 2 3 π 3 4 π 5 6 ππ 3 2 π2π sin αcos αtan α
二、课内探究案 知识点一利用定义求角的三角函数值 例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1： （1）已知角α的终边过点 0(3,4) P--，求角α的正弦、余弦和正切值. （2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值． 知识点二：三角函数值的符号问题 例2. （1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α （2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2：判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°.
3.1 两角和与差的三角函数公式的应用 （一）公式默写：对于任意角,αβ有： 1、sin (α±β)=___________________ ， cos (α±β)=___________________ ， tan (α±β)=___________________ 。 2、sin 150= ；sin 750= . (二）【课内探究】 例1、31sin ,tan ,.57 αβαβαβ= =+已知、为锐角，且求 例2、求下列各式的值： )36sin()54cos()36cos()54sin()2(;76sin 44sin 14sin 44cos )1(x x x x +-++-- .15cos 2315sin 21)4(15 tan 115tan 1)3( --+； 变式：化简下列各式： .sin 6cos 2)3(cos sin 3)2(sin 2 3cos 21)1(x x x x x x -+-；；
例3、已知函数()sin f x x x =+，求该函数的最小正周期以及最值 【总结提高】 1．熟记 105,75,15角的正、余弦值； 2．强化公式的理解和灵活应用（包括公式的顺用、逆用、变用） 3．对于形如ααcos sin b a y +=的函数，常利用两角和与差的正、余弦公式转化为)tan )(sin(22a b b a y =++=??α其中的形式。常见的几个结论： ) 6sin(2cos sin 3)3()3sin(2cos 3sin )2()4sin(2cos sin )1(παααπαααπααα±=±±=±± =±；；【反馈检测】 1.化简：（1）=+ 314sin 254sin 224sin 164sin ； （2）)sin()cos()cos( )sin(γβαββγβα-+--+= ； （3）=-x x sin 2 3cos 23 . 2、4cos ,sin ,.510 αβαβαβ==+已知、为锐角，且求
第一章三角函数 [基础自学] 一、角的概念 1．角的概念 (1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边； 终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类：
1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角． 2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限． 三、终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．() (2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．() (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．() 提示：(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)下列各组角中，终边不相同的是() A．60°与－300°B．230°与950° C．1050°与－300°D．－1000°与80° 答案 C (2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________． 答案195°＋(－3)×360°
课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU 1 终边相同的角之间有什么关系？ 提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍． 2 如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？ 提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)； 终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)； 第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． 题型一正确理解角的概念 例1下列结论： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)． [解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． [答案]① 角的概念的理解 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、
3.2.1倍角公式 （一）倍角公式 sin 2________________α= 简记为_____________. cos 2________________α=简记为_____________又可写成 ________________.________________.=??=? tan 2________________α= 简记为_____________. （二）公式的变形应用 21sin 2_______________(_________).α±== sin __________.α?= 1cos 2_______;1cos 2_______.αα+=-= 22sin _______.cos _______.αα?== *（三）相对2倍角 sin _________.α=（利用2 α表示）. cos3_________.α=（利用32α表示）. 一、求值问题 例1 已知3sin 5α= ，求sin 2()4 πα-及tan 2α的值. 二、利用公式化简求值 例2 （1）化简: 000cos 20cos 40cos80 （2）化简：000sin10sin 50sin 70 （3）若00180270α<<
例3 已知5sin(),04134 x x ππ-=<<，求cos 2cos()4x x π+的值. 三、证明 例4 变式： 求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ +-=++. 求证：2sin 2sin tan 2cos 22sin cos θθθθθθ +=++ （理） 已知cos 26(),()cos sin 5 x f x f x x α==+，求2()f α-的值. （二）（第24届数学家会标） 它是由四个相同的直角三角形拼成大正方形和小正方形，大正方形面积=1，小正方形面积= 125，每三角形中较小的角为θ，求22sin cos θθ-.（利用倍角公式）
第一章 三角函数 任意角和弧度制 1.1.1任意角 学习目标： （1）推广角的概念、引入大于360?角和负角； （2）理解并掌握正角、负角、零角的定义； （3）理解任意角以及象限角的概念； (4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 学习重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 学习过程 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的假如你的手表快了小时，你应当如何将它校准当时间校准以后，分针转了多少度 [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋 转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于 0360??~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1．初中时，我们已学习了0360??~角的概念，它是如何定义的呢 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的
始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题又该如何区分和表示这些角呢 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle). 如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?；图中，正角210α?=，负150,660βγ??=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图中的30?角、210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限
课题：角的概念的推广 第一章第 1 节第 1 课时 【学习目标】1.了解角的概念及推广。2.掌握终边相同的角及象限角的概念。 【学习重点】角的概念的推广。 【学习难点】1.角的旋转合成。2.终边相同的角的集合。【学习方法】阅读，讨论，练习 【学习过程】 一、预习成果展示（学生以思维导图形式展示预习成果） 二、小组探究解疑（小组合作学习新知，讨论解疑） 1.角的概念的推广： 2.角的加减法运算： 3.终边相同的角的集合： 4.象限角（轴上角）： GAGGAGAGGAFFFFAFAF
三、反馈矫正点拨（将难点问题集中呈现，教师点拨） 1.（1）分别写出终边在x正半轴和负半轴，y正半轴和负半轴，x轴和y轴上的角的集合。 （2）分别写出第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的角的集合。 2.在直角坐标系中，判断下列语句的真假： （1）第一象限的角一定是锐角。 （2）终边相同的角一定相等。 （3）相等的角终边一定相同。 （4）小于90°的角一定是锐角。 （5）象限角为钝角的终边一定在第二象限。 （6）终边在直线y=3x上的象限角表示为0 060 ?，k∈Z。 k+ 360 3.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角： GAGGAGAGGAFFFFAFAF
（1）-150°（2）650°（3）-950°15′ GAGGAGAGGAFFFFAFAF
GAGGAGAGGAFFFFAFAF 4.射线OA 绕端点O 逆时针旋转270°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转一周到达OC 位置，求∠AOC 的大小？ 四、 强化巩固练习（通过精选习题训练巩固新知） 1.若α分别是第一，二，三，四象限的角，那么2 α分别是第几象限角？α2的终边又分别在哪呢？（你能总结出一点规律吗） 2.小明发现自己的手表走慢了10分钟，他想把时间调准那么时针和分针各旋转了多大的角度呢？ 3.（1）若 ? <<
山东省临沭第二中学高一数学学科学案 编号002时间：2013-1-24 主编：王廷建 审核：高一年级组 班级： 姓名： 课题：弧度制 【学习目标】 1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α= （l 为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用 【学习重点】 1.弧度与角度之间的换算； 2.弧长公式、扇形面积公式的应用。 【学习难点】 1.弧度与角度之间的换算； 2.弧长公式、扇形面积公式的应用。 【问题导学】 1.初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？ 2.什么是弧度制？角度制与弧度制有什么区别？ 3.<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？ 由上可知：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。 问；当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4.角度与弧度的换算 3602π=rad 180π=rad 180 1π = ?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180 ( π 5718'≈
归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是： < 5.弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式： ||l r α=? 因为||l r α=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为 ||l r α=?． 根据这个你能证明出下面两个扇形面积公式吗？ 请证明． 【典型例题】 1.把下列各角从度化为弧度： (1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o 2.把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4) 4 π 3.半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数，并求出该扇形的面积。 【基础题组】 (2) ;R 21(1)S 2α=2 (1) 1(2) 2 1(3) 2 l R S R S lR αα== =
§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着 顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） ． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它 的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中， 已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．
课题：§1.1.2 弧度制总第____课时班级_______________姓名_______________【学习目标】 1．理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数； 2．了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系； 3．掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题. 【重点难点】 学习重点：在理解弧度制意义的前提下，能正确地进行弧度制与角度制的换算； 学习难点：在弄清1弧度角的含义基础上建立弧度制的概念. 【学习过程】 一、自主学习与交流反馈 问题1：如何规定1度的角：__________________________________________； 什么叫角度制：______________________________________________. 1° = ______′；1′=________’’. 问题2：在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为___________; 在半径为r的圆中，含n°圆心角扇形的面积为___________. 问题3：在半径为r的圆中，圆心角θ所对的弧长为l，θ = _______，若l、r的值确定，则θ的是否发生变化？ 二、知识建构与应用： 1．（1）弧度制的定义：所对的圆心角称为1弧度的角. 弧度制是另一种度量角的单位制。它的单位是，读作. （2）正角的弧度数是，负角的弧度数是，零角的弧度数是； 2．角度制与弧度制的换算：360?=2πrad ，180?=π rad ， 角度化弧度：1 = rad；弧度化角度：1rad= 度≈ . 3．角α的弧度数的绝对值与弧长和半径的关系： （1）求圆心角：；（2）求弧长：； （3）求扇形的周长与面积：.
§1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.
邳州市铁富高级中学高一年级 数学预学案 2010—2011学年 第一学期 模块：必修 4 章节：第一章三角函数 班级： 姓名： 10级高一数学备课组编印
目录 第一章三角函数 §1．1.1 任意角 1课时§1．1.2 弧度制 1课时§1．2.1 任意角的三角函数 2课时§1．2.2 同角三角函数关系 1课时§1．2.3 三角函数的诱导公式 2课时§1．3.1 三角函数的周期性 1课时§1．3.2 三角函数的图像与性质 3课时§1．3.3 函数y＝A sin(ωx＋ )的图像2课时§1．3.4 三角函数的应用 2课时
§1.1.1任意角（预学案） 课时：第一课时 预习时间： 年 月 日 学习目标 1、理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角。 2、能在0 3600到的范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定为第几象限角。 3、能写出与任一已知角终边相同的角的集合。 高考要求：B 级 课前准备 （预习教材P5 ~ P7，完成以下内容并找出疑惑之处） 一、知识梳理、双基再现 1、角可以看成平面内一条 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 。 2、按逆时针方向旋转形成的角叫做 ，按顺时针方向旋转形成的角叫做 。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个 ，它的 和 重合。这样，我们就把角的概念推广到了 ，包括 、 、 和 。 3、我们常在 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的 与 重合，角的 与 重合。那么，角的 落在第几象限，我们就说这个角是 。如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角 。 4、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个 。 二、小试身手、轻松过关 1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° 2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、在0 与360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）o 58-（2）o 398 3、若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是 _____________ ．